专题02 相交线与平行线（考题猜想，12大题型）-2024-2025学年七年级数学下学期期中考点大串讲（北师大版2024）

专题02 相交线与平行线（12大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 余角和补角 · 题型二 对顶角、邻补角 · 题型三 点到直线的距离 · 题型四 垂线段最短 · 题型五 平行线公理 · 题型六 同位角，内错角和同旁内角（高频） · 题型七 两直线平行的条件 · 题型八 利用平行线的性质求角 · 题型九 平行线与折叠综合 · 题型十 平行线的生活中的实际应用（重点） · 题型十一 平行线的性质与判定综合（易错） · 题型十二 平行线中常考模型（高频） 【题型1】余角和补角 1．（24-25七年级下·陕西榆林·开学考试）如图，已知是内的一条射线，是外的一条射线，与互补，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了补角，余角的定义，几何中角度的计算，先求出，再根据补角的定义求出，最后根据余角的定义即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵与互补， ∴， ∴， 故选：A． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知是平角，平分，在平面上画射线，使和互余，若，求的度数．    【答案】的度数是或 【分析】本题考查的是余角和补角．先根据角平分线的性质求出的度数，由两角互余的性质求出的度数，再根据当在的异侧时和当在的同侧时得出结论． 【详解】解：因为平分，， 所以， 因为和互余， 所以， 依题意可分以下两种情况讨论： ①如图，当点A在上方时， ； ②如图，当点A在下方，即点的位置时， ．    综上所述，的度数是或． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知点O在直线上，与互补． (1)如图①，试说明：平分； (2)如图②，若，，求的度数； (3)在（2）的条件下，作，请直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)或 【分析】本题主要考查学生根据图形进行计算角的能力及角平分线的应用． （1）根据同角的补角相等证明即可； （2）由题意得出，再根据角的和差关系列方程解答即可； （3）分在内部以及外部两种情况讨论即可． 【详解】（1）证明：∵点O在直线上， ∴， ∴， ∵与互补， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴． ①当在内部时， ∵， 又∵， ∴， ∵， ∴； ②当在外部时， ∵，， ∴， ∵， ∴． 综上所述，的度数为或． 【题型2】对顶角、邻补角 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，与互为对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了对顶角，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的，掌握“对顶角的定义”是解本题的关键．有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角． 【详解】解：A．两个角不具有公共顶点，所以不是对顶角，不符合题意； B．两个角符合对顶角的定义，所以是对顶角，符合题意； C．两个角，一个角的两边不是另一个角的两边的反向延长线，所以不是对顶角，不符合题意； D．两个角，一个角的两边不是另一个角的两边的反向延长线，所以不是对顶角，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线、相交于点O，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角相等，根据对顶角相等得，再由可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选：C． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，直线、相交于点，平分，，， ， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了对顶角相等，角的和差及角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键，根据对顶角相等求出，根据角平分线的定义求出，再根据余角的定义求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴ ， ∵， ∴， 故答案为：； 【题型3】点到直线的距离 1．（22-23七年级下·福建厦门·期末）如图，点在直线上，点，在直线上，设，且无论取何值，均有，则下列说法正确的是（    ）    A．点到直线的距离是的长度 B．点到直线的距离是的长度 C．点到直线的距离是的长度 D．点到直线的距离是的长度 【答案】B 【分析】根据点到直线的距离，垂线段最短即可求解． 【详解】解：∵，且无论取何值，均有， ∴点到直线的距离是的长度， 故选：B． 【点睛】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，熟练掌握点到直线的距离，垂线段最短是解题的关键． 2．（23-24七年级下·福建厦门·期末）如图，点A，E在直线上，点B，C，D在直线上，于点B，于点A，于点E，下列线段的长度是点A到直线的距离的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点到直线的距离的定义即可得出，本题主要考查点到直线的距离的定义． 【详解】根据点到直线的距离的定义得： 线段的长度是点A到直线的距离， 故选：B． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，，那么点B到的距离是 ，点A到的距离是 ，点C到的距离是 ． 【答案】 8 6 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，垂线定义的理解，先根据点到直线的距离，垂线定义可得出点B到的距离即，点A到的距离是即，过点C作与点D，点C到的距离即，再根据等面积法即可得出的长． 【详解】解：∵ ∴那么点B到的距离即为，点A到的距离是即为， 过点C作与点D， ∴点C到的距离即， ∵， ∴； 故答案为：． 【题型4】垂线段最短 1.（23-24七年级下·河南郑州·阶段练习）如图所示，计划在河边的A，B，C，D处引水到P处，从B处引水能使所用的水管最短的理由是 ． 【答案】垂线段最短 【分析】本题考查了垂线段的性质，熟记性质是解题关键．根据垂线段的性质：垂线段最短，可得答案． 【详解】解：， 由垂线段最短可知，从B处引水，能使所用的水管最短． 故答案为：垂线段最短． 【题型5】平行线公理 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．不垂直的两条直线叫作平行线 B．在同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线平行 C．在同一平面内，不相交的两条线段互相平行 D．在同一平面内，过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行 【答案】D 【分析】该题主要考查了平行公理及推论，平行线的定义，熟记平行公理及推论，平行线的定义是解题的关键． 根据平行公理及推论，平行线的定义解答即可． 【详解】解：同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线，故A选项错误，不符合题意； 在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故B选项错误，不符合题意； 在同一平面内，不相交的两条直线互相平行，故C选项错误，不符合题意； 在同一平面内，过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行，故D选项正确，符合题意； 故选：D． 2．（23-24七年级下·山东滨州·期末）在同一平面内，a，b，c是直线，下列关于它们位置关系的说法中，正确的是（    ） A．若，，则 B．若，//，则// C．若//，//，则 D．若//，//，则// 【答案】D 【分析】根据平行线的判定与性质、平行公理的推论判断求解即可． 【详解】解：若a⊥b，b⊥c，则a∥c，故A错误，不符合题意； 若a⊥b，b∥c，则a⊥c，故B错误，不符合题意； 若a∥b，b∥c，则a∥c，故C错误，不符合题意； 若a∥b，b∥c，则a∥c，故D正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，平行公理的推论，熟练掌握平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． 【题型6】同位角，内错角和同旁内角 1．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，两只手的食指和拇指在同一平面内，在以下四种摆放方式中，它们构成的一对角可以看成同旁内角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三线八角．熟练掌握同位角，同旁内角，内错角的定义，是解题的关键．根据同位角，同旁内角，内错角的定义，进行判断即可． 【详解】解：A、可以看成同旁内角，符合题意； B、可以看成内错角，不符合题意； C、不是内错角，不是同位角，不是同旁内角，不符合题意； D、可以看成同位角，不符合题意； 故选A． 2．（24-25七年级下·全国·随堂练习）和是同位角的是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查了同位角的概念：两条直线被第三条直线所截而形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同侧，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、和不是同位角，故该选项不符合题意； B、和是同位角，故该选项符合题意； C、和不是同位角，故该选项不符合题意； D、和不是同位角，故该选项不符合题意； 故选：B． 3．（22-23七年级下·山东青岛·期中）如图，下列说法不正确的是（　　）    A．与是内错角 B．与是内错角 C．与是同旁内角 D．与是同位角 【答案】B 【分析】根据同位角，内错角，同旁内角的定义判断即可． 【详解】解：A. 与是内错角，故该选项正确，不符合题意；     B. 与是同旁内角，故该选项不正确，符合题意；     C. 与是同旁内角，故该选项正确，不符合题意；     D. 与是同位角，故该选项正确，不符合题意；     故选：B． 【点睛】本题考查了同位角，内错角，同旁内角，掌握同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形是解题的关键． 【题型7】两直线平行的条件 1.（24-25七年级下·天津和平·阶段练习）如图，点E在的延长线上，下列条件中能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，熟记相关定理是解题关键． 【详解】解：若，根据内错角相等两直线平行，可判定； 、、，均不能推出； 故选：C 2.（24-25七年级下·河南商丘·阶段练习）如图所示，直线经过点，直线经过点，下列说法正确的是（   ）    A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，不能得到，不符合题意； B、，可以得到，不能得到，不符合题意； C、，不能得到，不符合题意； D、，则：，即：，则：，符合题意； 故选D． 3.（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在下列给出的条件中，可以判定的有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．①②③ B．①③④ C．②③⑤ D．②④⑤ 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定，能判断是那两条直线被那一直线所截的角，并进一步判断那两直线平行是解此题的关键． 根据平行线的判定定理：角平分线的判断判断①，内错角相等，两直线平行判断②③，同旁内角互补，两直线平行，判断④、⑤即可． 【详解】解：①，只能说明是的角平分线，不能得出，故不符合题意； ②∵， ∴（内错角相等，两直线平行），，故符合题意； ③∵， ∴（内错角相等，两直线平行），故符合题意； ④∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行），不能判定，故不符合题意； ⑤∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行），故符合题意， 则符合题意的是． 故选：C． 4.（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．根据平行线的判定定理依次判断即可． 【详解】解：A，和是直线被直线所截形成的内错角，内错角相等，可以判断，不能判断，故符合题意； B，和是直线被直线所截形成的内错角，内错角相等，可以判断，故不符合题意； C，和是直线被直线所截形成的同位角，同位角相等，可以判断，故不符合题意； D，和是直线被直线所截形成的同旁内角，同旁内角互补，可以判断，故不符合题意； 故选：A． 【题型8】利用平行线的性质求角 1．（24-25七年级下·重庆·开学考试）如图，已知直线，直线与交于点E，与交于点F，过E作，交于点G，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质的应用，先由已知得，再根据平行线的性质得到，继而可得，即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，，，，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，正确作出辅助线是解题关键．过作，过作，得到，推出，，，求出，得到，即可求出． 【详解】解：过作，过作，如下图， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 3．（24-25九年级上·云南楚雄·期末）如图，，于点E，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由得到，根据三角形内角和得到，根据平行线的性质，即可求解， 此题考查了平行线的性质，三角形内角和，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，三角形内角和． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，平分，且．若，则 ． 【答案】/46度 【分析】本题考查了角的平分线，平行线的性质，根据平行线的性质得出，根据射线平分，得到，根据，得到即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 5．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知，若，，则 ． 【答案】/度 【分析】此题考查了平行线的性质．根据平行线的性质得到，，即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为： 【题型9】平行线与折叠综合 1．（23-24七年级下·黑龙江鸡西·阶段练习）手工课上小亮将一张长方形纸片沿折叠，若，则度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质、翻折变换等知识，如图，设B的对应点为K．由，推出，求出即可解决问题． 【详解】解：如图设B的对应点为K． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 2．（23-24七年级下·广东广州·期中）如图，把长方形沿折叠后，点D，C分别落在，的位置，若，则 ． 【答案】130 【分析】根据平行线的性质可得，根据邻补角的性质可得，即可求出的度数． 本题主要考查了平行线的性质和邻补角的性质，熟练掌握平行线的性质和邻补角的性质是 解题的关键． 【详解】解：， ， ． 故答案为：130． 3．（23-24七年级下·云南昆明·期末）如图，将一张长方形纸片沿折叠，点分别落在点处，若，则的度数为 ． 【答案】/54度 【分析】本题考查了平行线的性质，根据折叠性质得出，根据的度数求出，即可得出，再根据平行线的性质即可求出答案． 【详解】解：由折叠的性质得：， ， ， ， ， ，， ． ． 故答案为：． 4．（23-24九年级下·黑龙江·期中）把一张对边平行的纸条（）按照如图所示的方式折叠，为折痕，，则的度数为 °． 【答案】/68度 【分析】本题考查平行线的性质及翻折变换，由，根据邻补角定义可得，由折叠得，最后根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， 由折叠可知， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线的性质及其应用，涉及翻折变换，解此题的关键是掌握平行线的性质． 5．（23-24七年级下·广东茂名·期中）如图，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点分别落在的位置，再沿折叠成图，若，则 °． 【答案】80 【分析】本题考查的是平行线的性质和折叠的性质，由折叠的性质得到角相等是解题关键．先根据求出的度数，进可得出和的度数，根据和三角形的内角和可得的度数，再由折叠的性质可得的度数． 【详解】∵， ∴，， 即，， ∴． ∵， ∴． 由折叠可得：， ∴． 故答案为：． 【题型10】平行线的生活中的实际应用 1.（2025·山西吕梁·一模）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从空气射入水中要发生折射．物理课上，小军手持一激光笔射入水中，如图，水面与水杯下沿平行，光线从空气射入水中，发生折射，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质的应用，根据平行线的性质，两直线平行同旁内角互补，即可求出，进而求出答案，解题的关键在于熟练掌握平行线的性质． 【详解】解：如下图，由题意得：， ， ， ， ， ， 故选：B． 2.（2025·湖南长沙·模拟预测）近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质、垂线的定义等知识点，正确作出辅助线、构造平行线成为解题的关键． 如图：过C作得到，由，推出，由垂直的定义得到，由平行线的性质得出，即可求出的度数． 【详解】解：如图：过C作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 3.（24-25七年级下·四川泸州·阶段练习）健康骑行越来越受到大众的喜欢，某自行车的示意图如图所示，其中，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 根据和、的度数分别求出和的度数，然后根据求出，进而求出，即可． 【详解】， ，， ， ，， ， ， ， ． 故选：C． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，自行车的尾部通常会安装一种塑料制成的反光镜，夜间骑车时，在车灯照射下，能把光线按原来方向返回（即），根据光的反射可知，其原理如图2所示，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平角的定义．由平角的定义求出，由平行线的性质推出，求出，即可得到的度数． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 【题型11】平行线的性质与判定综合 1．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，是的高，点在上，，垂足是点，点在上，连接，若．求证： 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，灵活运用平行线的判定与性质成为解题的关键． 根据可判定，利用平行线的性质可知，再结合，运用等量代换得即可证明结论． 【详解】证明：∵是的高， ∴， ∵， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． 2．（24-25七年级上·海南海口·期末）如图，四边形中，F为上一点，连接并延长，交的延长线于点E，连接．若，，． (1)试说明； 解：（1）∵，（已知） ∴．（_______） (2)与的位置关系如何？为什么？ 解：与的位置关系是：，理由如下： ∵，（已知） ∴_______．（_______） ∵，（已知） ∴_______．（_______） ∵，（已知） ∴， 即______________， ∴_______．（等量代换） ∴．（_______） (3)与相等吗？请说明理由． 【答案】(1)同位角相等，两直线平行 (2)；两直线平行，同位角相等；；等量代换；；；；内错角相等，两直线平行 (3)相等，见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质． （1）根据同位角相等两直线平行即可判定． （2）根据平行线的判定和性质求解即可． （3）根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，（已知） ∴．（同位角相等，两直线平行） 故答案为：同位角相等，两直线平行． （2）解：与的位置关系是：，理由如下： ∵，（已知） ∴．（两直线平行，同位角相等） ∵，（已知） ∴．（等量代换） ∵，（已知） ∴． 即， ∴,（等量代换） ∴.（内错角相等，两直线平行） 故答案为：；两直线平行，同位角相等；；等量代换；；；；内错角相等，两直线平行 （3）解：，理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 3．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）如图，点、、分别是的边、、上的点，连接，，且，． (1)证明：； (2)若，平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补是解题关键． （1）由两直线平行，同旁内角互补，得到，进而得出，即可证明结论； （2）由平行线的性质，得到，结合角平分线的定义，得出，即可得出的度数． 【详解】（1）证明：， ， ， ， （2）解：，， ， 平分， ， ， ． 4．（24-25七年级上·吉林长春·期末）已知：如图，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)若平分，若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义； （1）根据可得，从而证明，根据平行线的判定即可证明结论； （2）根据平行线的性质和角平分线的性质求解即可． 【详解】（1）解：． 理由：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 【题型12】平行线中常考模型 1.（24-25七年级上·福建泉州·期末）已知，点、分别在直线、上，点在、之间，连接、，． (1)如图1，若，直接写出的度数； (2)如图2，点是上方一点，连接、，与交于点，，，，求的度数；（结果可用含的式子表示） (3)如图3，点是下方一点，连接、，若的延长线是的三等分线，平分交于点，，求的度数． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】本题考查平行线的判定和性质，过拐点构造平行线是解题的关键： （1）过点作，得到，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可； （2）过点作，则：，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可； （3）过点作，得到，利用平行线的性质结合角的和差和数量关系，分2种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：过点作， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴； （2）过点作， ∵， ∴， ∴， 由（1）知：， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∵是的三等分线，分两种情况： ①当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，又由（1）知：， ∴， ∴， ∴； ②当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 2.（24-25七年级下·福建福州·阶段练习）已知，点、分别在直线、上，点在、之间，连接、，． (1)如图1，若，直接写出的度数； (2)如图2，点是上方一点，连接、，与交于点，，，，求的度数；（结果可用含的式子表示） (3)如图3，点是下方一点，连接、，若的延长线是的三等分线，平分交于点，，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)的度数为或 【分析】本题考查平行线的判定和性质，过拐点构造平行线是解题的关键： （1）过点作，得到，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可； （2）过点作，则：，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可； （3）过点作，得到，利用平行线的性质结合角的和差和数量关系，分2种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：过点作， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴； （2）过点作， ∵， ∴， ∴， 由（1）知：， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∵是的三等分线，分两种情况： ①当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，又由（1）知：， ∴， ∴， ∴； ②当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 3.（23-24七年级上·河南南阳·期末）【课题学习】平行线的“等角转化”． 如图1，已知点A是外一点，连接，．求的度数． 解：过点A作， ∴_____，______， 又∵． ∴______． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，， “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图2，已知，、交于点E，，求的度数． （3）如图3，若，点P在，外部，请直接写出，，之间的关系． 【答案】（1）见解析；（2）；（3），理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键； （1）过点A作，从而利用平行线的性质可得，，再根据平角定义可得，然后利用等量代换可得，即可解答； （2）过点E作，从而利用平行线的性质可得，再利用平行于同一条直线的两条直线平行可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答； （3）过点P作，从而利用平行线的性质可得，再利用平行于同一条直线的两条直线平行可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：（1）过点A作， ∴，， 又∵， ∴， 故答案为：；；； （2）过点E作， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）， 理由：过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 4.（24-25七年级下·湖北孝感·阶段练习）已知． (1)如图1，请确定，和之间的数量关系并证明； (2)如图2，平分，直线与的邻补角的平分线交于点．若，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，BM平分的邻补，平分，作，求的度数． 【答案】(1)，证明见解析； (2)； (3)． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）过点作，得到，再得到，则，即可求解； （2）设，，则，由（1）得，过点作，则， 判断，得到，即可求解； （3）连接， 由，，得到，，，设，则，求得，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图1，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即； （2）解：设，，则， 由（1）得， 如图2，过点作，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴； （3）解：如图3，连接，     ∵，， ∴，， ∴，即， 设， 则． 由（1）得 即， ∴， ∴， ∴． 5.（24-25七年级下·全国·单元测试）小明同学在完成七年级下册数学第七章的线上学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下． (1)如图①，已知，则成立吗？请说明理由； (2)如图②，已知点在点的左侧，，平分，平分，，所在直线交于点．若，，求的度数； (3)如图③，点在点的右侧，点在点的右侧，若，，，平分，平分，请你求出的度数（用含，的式子表示）． 【答案】(1)成立，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题考查平行线的判定和性质，与角平分线有关的计算，解题的关键是过拐点构造平行线： （1）过点作，利用平行线的性质和角的和差关系即可得出结论； （2）过点作，利用平行线的性质，角平分线的定义和角的和差关系即可得出结果； （3）过点作，利用平行线的性质，角平分线的定义和角的和差关系即可得出结论． 【详解】（1）解：成立．理由： 如图，过点作． ， ， ，， ． （2）如图，过点作． ， ． ， ． 平分， ， ． 平分，， ， ， ． （3）如图，过点作． ， ． 平分，平分， ，， ，， ，， ． $$专题02 相交线与平行线（12大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 余角和补角 · 题型二 对顶角、邻补角 · 题型三 点到直线的距离 · 题型四 垂线段最短 · 题型五 平行线公理 · 题型六 同位角，内错角和同旁内角（高频） · 题型七 两直线平行的条件 · 题型八 利用平行线的性质求角 · 题型九 平行线与折叠综合 · 题型十 平行线的生活中的实际应用（重点） · 题型十一 平行线的性质与判定综合（易错） · 题型十二 平行线中常考模型（高频） 【题型1】余角和补角 1．（24-25七年级下·陕西榆林·开学考试）如图，已知是内的一条射线，是外的一条射线，与互补，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知是平角，平分，在平面上画射线，使和互余，若，求的度数．    3．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知点O在直线上，与互补． (1)如图①，试说明：平分； (2)如图②，若，，求的度数； (3)在（2）的条件下，作，请直接写出的度数． 【题型2】对顶角、邻补角 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，与互为对顶角的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线、相交于点O，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，直线、相交于点，平分，，， ， ． 【题型3】点到直线的距离 1．（22-23七年级下·福建厦门·期末）如图，点在直线上，点，在直线上，设，且无论取何值，均有，则下列说法正确的是（    ）    A．点到直线的距离是的长度 B．点到直线的距离是的长度 C．点到直线的距离是的长度 D．点到直线的距离是的长度 2．（23-24七年级下·福建厦门·期末）如图，点A，E在直线上，点B，C，D在直线上，于点B，于点A，于点E，下列线段的长度是点A到直线的距离的是（  ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，，那么点B到的距离是 ，点A到的距离是 ，点C到的距离是 ． 【题型4】垂线段最短 1.（23-24七年级下·河南郑州·阶段练习）如图所示，计划在河边的A，B，C，D处引水到P处，从B处引水能使所用的水管最短的理由是 ． 【题型5】平行线公理 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．不垂直的两条直线叫作平行线 B．在同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线平行 C．在同一平面内，不相交的两条线段互相平行 D．在同一平面内，过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行 2．（23-24七年级下·山东滨州·期末）在同一平面内，a，b，c是直线，下列关于它们位置关系的说法中，正确的是（    ） A．若，，则 B．若，//，则// C．若//，//，则 D．若//，//，则// 【题型6】同位角，内错角和同旁内角 1．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，两只手的食指和拇指在同一平面内，在以下四种摆放方式中，它们构成的一对角可以看成同旁内角的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·随堂练习）和是同位角的是（   ） A．B．C．D． 3．（22-23七年级下·山东青岛·期中）如图，下列说法不正确的是（　　）    A．与是内错角 B．与是内错角 C．与是同旁内角 D．与是同位角 【题型7】两直线平行的条件 1.（24-25七年级下·天津和平·阶段练习）如图，点E在的延长线上，下列条件中能判断的是（   ） A． B． C． D． 2.（24-25七年级下·河南商丘·阶段练习）如图所示，直线经过点，直线经过点，下列说法正确的是（   ）    A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3.（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在下列给出的条件中，可以判定的有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．①②③ B．①③④ C．②③⑤ D．②④⑤ 4.（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【题型8】利用平行线的性质求角 1．（24-25七年级下·重庆·开学考试）如图，已知直线，直线与交于点E，与交于点F，过E作，交于点G，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，，，，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·云南楚雄·期末）如图，，于点E，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，平分，且．若，则 ． 5．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知，若，，则 ． 【题型9】平行线与折叠综合 1．（23-24七年级下·黑龙江鸡西·阶段练习）手工课上小亮将一张长方形纸片沿折叠，若，则度数是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·广东广州·期中）如图，把长方形沿折叠后，点D，C分别落在，的位置，若，则 ． 3．（23-24七年级下·云南昆明·期末）如图，将一张长方形纸片沿折叠，点分别落在点处，若，则的度数为 ． 4．（23-24九年级下·黑龙江·期中）把一张对边平行的纸条（）按照如图所示的方式折叠，为折痕，，则的度数为 °． 5．（23-24七年级下·广东茂名·期中）如图，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点分别落在的位置，再沿折叠成图，若，则 °． 【题型10】平行线的生活中的实际应用 1.（2025·山西吕梁·一模）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从空气射入水中要发生折射．物理课上，小军手持一激光笔射入水中，如图，水面与水杯下沿平行，光线从空气射入水中，发生折射，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2.（2025·湖南长沙·模拟预测）近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为（   ） A． B． C． D． 3.（24-25七年级下·四川泸州·阶段练习）健康骑行越来越受到大众的喜欢，某自行车的示意图如图所示，其中，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，自行车的尾部通常会安装一种塑料制成的反光镜，夜间骑车时，在车灯照射下，能把光线按原来方向返回（即），根据光的反射可知，其原理如图2所示，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【题型11】平行线的性质与判定综合 1．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，是的高，点在上，，垂足是点，点在上，连接，若．求证： 2．（24-25七年级上·海南海口·期末）如图，四边形中，F为上一点，连接并延长，交的延长线于点E，连接．若，，． (1)试说明； 解：（1）∵，（已知） ∴．（_______） (2)与的位置关系如何？为什么？ 解：与的位置关系是：，理由如下： ∵，（已知） ∴_______．（_______） ∵，（已知） ∴_______．（_______） ∵，（已知） ∴， 即______________， ∴_______．（等量代换） ∴．（_______） (3)与相等吗？请说明理由． 3．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）如图，点、、分别是的边、、上的点，连接，，且，． (1)证明：； (2)若，平分，求的度数． 4．（24-25七年级上·吉林长春·期末）已知：如图，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)若平分，若，求的度数． 【题型12】平行线中常考模型 1.（24-25七年级上·福建泉州·期末）已知，点、分别在直线、上，点在、之间，连接、，． (1)如图1，若，直接写出的度数； (2)如图2，点是上方一点，连接、，与交于点，，，，求的度数；（结果可用含的式子表示） (3)如图3，点是下方一点，连接、，若的延长线是的三等分线，平分交于点，，求的度数． 2.（24-25七年级下·福建福州·阶段练习）已知，点、分别在直线、上，点在、之间，连接、，． (1)如图1，若，直接写出的度数； (2)如图2，点是上方一点，连接、，与交于点，，，，求的度数；（结果可用含的式子表示） (3)如图3，点是下方一点，连接、，若的延长线是的三等分线，平分交于点，，求的度数． 3.（23-24七年级上·河南南阳·期末）【课题学习】平行线的“等角转化”． 如图1，已知点A是外一点，连接，．求的度数． 解：过点A作， ∴_____，______， 又∵． ∴______． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，， “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图2，已知，、交于点E，，求的度数． （3）如图3，若，点P在，外部，请直接写出，，之间的关系． 4.（24-25七年级下·湖北孝感·阶段练习）已知． (1)如图1，请确定，和之间的数量关系并证明； (2)如图2，平分，直线与的邻补角的平分线交于点．若，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，BM平分的邻补，平分，作，求的度数． 5.（24-25七年级下·全国·单元测试）小明同学在完成七年级下册数学第七章的线上学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下． (1)如图①，已知，则成立吗？请说明理由； (2)如图②，已知点在点的左侧，，平分，平分，，所在直线交于点．若，，求的度数； (3)如图③，点在点的右侧，点在点的右侧，若，，，平分，平分，请你求出的度数（用含，的式子表示）． $$