专题03 概率初步（考题猜想，7大题型）-2024-2025学年七年级数学下学期期中考点大串讲（北师大版2024）

专题03 概率初步（7大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 事件的类型 · 题型二 可能性大小 · 题型三 频率估计概率（高频） · 题型四 概率公式（高频） · 题型五 几何概率 · 题型六 用列举法或树状图求概率（高频） · 题型七 游戏的公平性 【题型1】事件的类型 1．（23-24七年级下·山西运城·期末）下列事件中，必然事件是（   ） A．明年“雨水”时节会下雨 B．任意买一张电影票，座位号是奇数 C．从地面向上踢出的足球会落下 D．任意掷一枚图钉，钉帽朝下 2．（2024·江苏徐州·模拟预测）从一副扑克牌中抽出5张红桃、4张梅花、3张黑桃放在一起洗匀后，从中一次随机抽出8张，其中红桃这种花色（    ） A．不可能抽到 B．可能抽到 C．很有可能抽到 D．一定能抽到 3．（23-24七年级下·山东淄博·期末）下列事件是必然事件的是（    ） A．清明时节雨纷纷 B．打开电视机，正在播动画片 C．袋中有4个黑球和2个白球，摸一次一定摸到红球 D．任意画一个三角形，其内角和一定是 4．（23-24七年级下·贵州贵阳·期末）下列4个袋子中，装有除颜色外都相同的10个小球，分别从每个袋子中任意摸出一个球，摸到的球是红球这一事件属于必然事件，则应选择的袋子是（     ） A．B．C．D． 【题型2】可能性大小 1．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）在一种扑克牌游戏中，玩家可以利用“牌值”来预估还没有发出的牌的点数大小，“牌值”的计算方式为：没有发牌时，“牌值”为0；发出的牌点数为2至9时，表示发出点数小的牌，则“牌值”加1；发出的牌点数为10、J、Q、K、A、大王、小王时，表示发出点数大的牌，则“牌值”减1．若一副完整的扑克牌已发出34张，且此时的“牌值”为10，则随机发出的下一张牌的可能性判断正确的是（   ） A．点数小的牌可能性大 B．点数大的牌可能性大 C．两者可能性一样大 D．无法判断 2．（2024七年级下·全国·专题练习）任意掷一枚骰子，下列情况出现的可能性比较小的是（　　） A．面朝上的点数是6 B．面朝上的点数是偶数 C．面朝上的点数大于2 D．面朝上的点数小于3 3．（23-24七年级上·广东广州·开学考试）一个不透明的口袋里有4个黄球和4个红球，除颜色不同以外其余均相同，从口袋中任意提出1个球，要使摸出黄球的可能性大于摸出红球的可能性，可以在摸球之前（ ）． A．拿出2个黄球 B．拿出2个红球 C．放入2个白球 D．放入2个红球 4.（24-25七年级上·福建漳州·开学考试）口袋里有红、绿、黄三种大小外形相同的球，其中红球4个，绿球5个，任意摸出一个球，摸到绿球的可能性是，则摸到黄球的可能性是 ． 【题型3】频率估计概率 1．（23-24七年级下·辽宁朝阳·期末）一只不透明的袋中装有除颜色外都相同的红球、黄球、白球共50个．通过多次摸球试验后，发现摸到红球、黄球的频率分别是．则可估计袋中白球的个数是（    ） A．10 B．15 C．25 D．20 2．（23-24七年级下·河南郑州·期末）七（1）班同学设计用频率去估计概率的试验如下：在一个不透明的口袋中，装有6个球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验，统计了黄球出现的次数，绘出的统计图如图所示，则袋子中黄球的个数最可能是 个． 3．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）在学习“频率的稳定性”时，某班同学们共同完成了“抛图钉”的试验，同学们记录了500次抛图钉的试验数据如下，根据表格中的数据可以估计图钉钉尖朝上的概率约为 ． 试验总次数 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 钉尖朝上的频率 0.69 4．（23-24七年级下·陕西西安·期末）在一个不透明的口袋中装有若干个只有颜色不同的小球，已知袋中有6个红球，且摸出红球的概率为，则袋中小球的个数为 ． 5．（23-24七年级下·全国·单元测试）下表是某厂质检部门对该厂生产的一批排球质量检测的情况． 抽取的排球数描取格品数 合格品数 合格品频率 (1)求出表中 ， ． (2)从这批排球中任意抽取一个，是合格品的概率约是 精确到 (3)如果生产个排球，那么估计该厂生产的排球合格的有多少个？ 6．（23-24七年级下·江西吉安·期末）某校组织篮球队，在一次定点3分投篮训练中，教练记录了一个队员的情况，制成表格如下： 投篮次数m 20 50 100 200 500 命中次数n 9 26 49 102 250 命中率 a b (1) ； ． (2)直接写出该运动员投篮命中的概率； (3)估计该运动员3分投篮24次的得分数． 7．（24-25九年级下·安徽安庆·阶段练习）在一个不透明的箱子中装有个白色乒乓球和若干个红色乒乓球，这些乒乓球除颜色外全一样，摇匀后从中随机摸出一个乒乓球，记下它的颜色后再放回．不断重复这一过程，共摸了次，发现有次摸到红色乒乓球，由此可估计箱子中有多少个红色乒乓球． 【题型4】概率公式 1．（23-24七年级下·广东揭阳·期末）一个不透明的袋子里装有2个白球，3个红球，除颜色外，其余如材料、大小、质量等完全相同．随机从中抽出一个球，抽到红球的概率是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）盒中装有只白球和只黑球，从中任取一只球，取出的球是白球的概率是（　　） A． B． C． D． 【题型5】几何概率 1．（23-24七年级下·山东烟台·期末）七巧板是我国古代劳动人民的一项发明，被誉为“东方模板”，它由五块等腰直角三角形、一块正方形、一块平行四边形（对边平行且相等）组成．如图，某同学利用七巧板拼成的正方形玩“滚小球游戏”，小球可以在该正方形上自由滚动，并随机地停留在某块板上（停留在拼接缝隙处不计），则小球停留在阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图是用相同正方形砖铺成的地面，一宝物藏在其中某一块砖的下面，则宝物在黑色区域的概率是 ． 3．（23-24七年级下·山东威海·期末）如图，飞镖游戏板被等分成若干个相同的小正方形，某位同学向游戏板投掷飞镖，假设飞镖落在游戏板上每个点的概率相同，则落在涂色部分的概率为 ． 4．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图②是用图①的七巧板拼成的“龙马精神”图形，现将一个飞镖随机投掷到该图形上，则飞镖落在阴影部分的概率是 ． 5．（2022·山东济南·一模）如图，飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，小东向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是 ． 【题型6】用列举法或树状图求概率 1．（24-25九年级上·山东青岛·期末）某超市为“庆元旦”设置抽奖活动，如图，三张不透明的卡片“国是家、孝为先、善作魂”（除图案外都相同）分别对应价值为25元、20元、15元的三种奖品，现将这三张卡片背面朝上，洗匀放好． (1)小明从中随机抽取一张卡片，抽到卡片“国是家”的概率为______； (2)如果小明有两次抽奖机会，先从中随机抽取1张，记下后放回，背面朝上洗匀，再从中随机抽取1张，请用列表或画树状图的方法，求小明两次所获奖品总值不低于40元的概率． 2．（24-25九年级上·山东济南·期末）一只不透明的袋子中装有三个乒乓球，球面上分别标有数字3、4、5，这些乒乓球除所标数字不同外其余都相同． (1)搅匀后从中任意摸出一个乒乓球，求摸出的乒乓球的球面上恰好标有数字3的概率； (2)搅匀后先从袋子中任意摸出一个球，将球面上所标数字作为一个两位数的十位数字，不放回，再从袋中余下的球中任意摸出一个球，将球面上所标数字作为这个两位数的个位数字，求这个两位数恰好是奇数的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由） 3．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）一个不透明的口袋中有三个小球，每个小球上只标有一个汉字，分别是“步”、“步”、“高”，除汉字外其余均相同．小亮同学从口袋中随机摸出一个小球，记下汉字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下汉字．用画树状图（或列表）的方法，求小亮同学两次摸出小球上的汉字不相同的概率． 4．（24-25九年级上·四川眉山·期末）“二十四节气”是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是劳动人民长期经验的积累成果和智慧的结晶．小王同学收藏了“二十四节气”主题卡片，他将A（秋分），B（寒露），C（小雪），D（大雪）四张卡片（除正面不同外，其余均相同）背面朝上洗匀． (1)小王从中随机抽取一张卡片，求出抽中是A（秋分）的概率． (2)小王先从中随机抽取一张卡片，记下内容后，正面朝下放回，重新洗匀后再随机抽取一张卡片．请用树状图或列表的办法求小王两次抽取的卡片中至少有一张是D（大雪）的概率． 5．（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）为响应国家加强劳动教育的相关政策，某校计划开设以下四项劳动活动：．耕种；．烹饪；．收纳；．手工．为了解学生对这四项活动的参与意愿，从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，通过分析整理，绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据上述信息，解答下列问题． (1)参与调查的学生有_______人，补全条形统计图； (2)若该校共有名学生，请你估计该校愿意参加收纳活动的学生人数； (3)若从参与调查的名男生和名女生中随机抽取名学生，进行四项活动体验，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到名男生和名女生的概率． 6．（24-25九年级下·陕西西安·期中）在一个不透明的箱子中装有张白色的卡片和若干张红色的卡片，这些卡片除颜色外，大小、形状、厚度等均相同．我校动感社团的同学们做试验：将卡片搅匀后从中任意摸出张，记下颜色后放回，记为一次试验． (1)若多次进行上述试验后发现摸到白色卡片的频率为，则箱子中的红色卡片约有___________张； (2)在（）的条件下，请用列表或画树状图的方法，求两次试验摸出的卡片颜色恰好相同的概率． 【题型7】游戏的公平性 1．（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）天山外国语初一两名同学雨辰和树豪做摸球游戏：在一个不透明的口袋里放有3个红球和5个绿球，每个球除颜色外都相同，每次摸球前都将袋中的球充分搅匀，从中任意摸出一个球，记录颜色后再放回，若是红球雨辰得1分，若是绿球树豪得1分，游戏结束时得分多者获胜． (1)你认为这个游戏对双方公平吗？ (2)若你认为公平，请说明理由；若你认为不公平，也请说明理由，并修改规则，使该游戏对双方公平． 2．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，一个转盘被平均分成8等份，分别标有“我”“是”“附”“中”“人”“我”“骄”“傲”这8个汉字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的汉字即为转出的汉字． (1)转动转盘，当转盘停止时，指针指向“我”的概率是____________，指针指向汉字的笔画数是奇数的概率是____________； (2)明明和红红利用该转盘做游戏，当转出的汉字笔画多于7画时明明获胜，否则红红获胜．请你判断这个游戏是否公平？并说明理由． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）1个袋子中装有1个白球和1个黑球，它们除颜色外其他完全相同．甲、乙两人去摸球，每人摸1次，1次摸出1个球． (1)如果摸出球后放回摇匀，并规定摸出黑球的人获胜，那么这个游戏对双方公平吗？ (2)若摸出球后不放回，同样规定摸出黑球的人获胜，则这个游戏的公平性是否和摸出球后放回摇匀时的一样？ (3)若袋子中装有除颜色外其他完全相同的5个白球和5个黑球，甲、乙两人先后去摸球，一人摸1次，1次摸出1个球，摸出后放回摇匀，并规定摸出黑球的人获胜．这个游戏对双方公平吗？为什么？ $$专题03 概率初步（7大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 事件的类型 · 题型二 可能性大小 · 题型三 频率估计概率（高频） · 题型四 概率公式（高频） · 题型五 几何概率 · 题型六 用列举法或树状图求概率（高频） · 题型七 游戏的公平性 【题型1】事件的类型 1．（23-24七年级下·山西运城·期末）下列事件中，必然事件是（   ） A．明年“雨水”时节会下雨 B．任意买一张电影票，座位号是奇数 C．从地面向上踢出的足球会落下 D．任意掷一枚图钉，钉帽朝下 【答案】C 【分析】本题主要考查必然事件、不可能事件、随机事件的概念．用到的知识点为：确定事件包括必然事件和不可能事件．必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据实际情况即可解答． 【详解】解：A、明年“雨水”时节会下雨，是随机事件，故A不符合题意； B、任意买一张电影票，座位号是奇数，是随机事件，故B不符合题意； C、从地面向上踢出的足球会落下，是必然事件；故C符合题意； D、任意掷一枚图钉，钉帽朝下，是随机事件，故D不符合题意． 故选：C． 2．（2024·江苏徐州·模拟预测）从一副扑克牌中抽出5张红桃、4张梅花、3张黑桃放在一起洗匀后，从中一次随机抽出8张，其中红桃这种花色（    ） A．不可能抽到 B．可能抽到 C．很有可能抽到 D．一定能抽到 【答案】D 【分析】本题考查了事件的分类，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据必然事件、随机事件以及不可能事件的定义即可判断． 【详解】解：5张红桃、4张梅花、3张黑桃共12张牌， 即，梅花、黑桃共7张牌， 从中一次随机抽出8张，红桃这种花色一定能抽到，是必然事件， 故选：D． 3．（23-24七年级下·山东淄博·期末）下列事件是必然事件的是（    ） A．清明时节雨纷纷 B．打开电视机，正在播动画片 C．袋中有4个黑球和2个白球，摸一次一定摸到红球 D．任意画一个三角形，其内角和一定是 【答案】D 【分析】本题考查了事件的分类，熟练掌握随机事件、必然事件的定义是解题的关键．根据定义逐项判断即可． 【详解】解：A、清明时节雨纷纷属于随机事件，不符合题意； B、打开电视机，正在播动画片属于随机事件，不符合题意； C、袋中有4个黑球和2个白球，摸一次一定摸到红球属于随机事件，不符合题意； D、任意画一个三角形，其内角和一定是属于必然事件，符合题意； 故选：D． 4．（23-24七年级下·贵州贵阳·期末）下列4个袋子中，装有除颜色外都相同的10个小球，分别从每个袋子中任意摸出一个球，摸到的球是红球这一事件属于必然事件，则应选择的袋子是（     ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、里面知有10个白球，从里面摸出红球是不可能事件，不符合题意； B、里面只有10个红球，从里面摸出红球是必然事件，符合题意； C、里面有2个红球，8个白球，从里面摸出红球是随机事件，不符合题意； D、里面有9个红球，1个白球，从里面摸出红球是随机事件，不符合题意； 故选：B． 【题型2】可能性大小 1．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）在一种扑克牌游戏中，玩家可以利用“牌值”来预估还没有发出的牌的点数大小，“牌值”的计算方式为：没有发牌时，“牌值”为0；发出的牌点数为2至9时，表示发出点数小的牌，则“牌值”加1；发出的牌点数为10、J、Q、K、A、大王、小王时，表示发出点数大的牌，则“牌值”减1．若一副完整的扑克牌已发出34张，且此时的“牌值”为10，则随机发出的下一张牌的可能性判断正确的是（   ） A．点数小的牌可能性大 B．点数大的牌可能性大 C．两者可能性一样大 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的应用、求事件的概率，列方程求得已发出的34张牌中点数小的张数为张，点数大的张数为张，从而得出剩余的张牌中点数大的张数为张，点数小的张数为，分别求出概率比较即可得出答案． 【详解】解：设一副完整的扑克牌已发出的34张牌中点数小的张数为张，点数大的张数为张， 则， 解得：， ∴已发出的34张牌中点数小的张数为张，点数大的张数为张， ∴剩余的张牌中点数大的张数为张，点数小的张数为， ∵剩下的牌中每一张牌被发出的机会皆相等， ∴下一张发出的牌是点数大的牌的几率是，下一张发出的牌是点数小的牌的几率是， ∴两者可能性一样大， 故选：C． 2．（2024七年级下·全国·专题练习）任意掷一枚骰子，下列情况出现的可能性比较小的是（　　） A．面朝上的点数是6 B．面朝上的点数是偶数 C．面朝上的点数大于2 D．面朝上的点数小于3 【答案】A 【分析】本题考查可能性大小的比较，根据题意与概率的计算公式，比较四个选项中包含的情况的概率，比较可得答案． 【详解】解：A．面朝上的点数是6的概率为； B．面朝上的点数是偶数的概率为； C．面朝上的点数大于2的概率为； D．面朝上的点数小于3的概率为； 出现的可能性比较小的是：面朝上的点数是6， 故选：A． 3．（23-24七年级上·广东广州·开学考试）一个不透明的口袋里有4个黄球和4个红球，除颜色不同以外其余均相同，从口袋中任意提出1个球，要使摸出黄球的可能性大于摸出红球的可能性，可以在摸球之前（ ）． A．拿出2个黄球 B．拿出2个红球 C．放入2个白球 D．放入2个红球 【答案】B 【分析】袋子里面只有两种球的情况下，哪种颜色的球多，摸到哪种球的可能性就大； 【详解】解：要使摸出黄球的可能性大，黄球数量要多于红球数量，可以放入两个黄球，也可以拿出两个红球； 故选：B． 【点睛】根据可能性大小的判定方法，解答此题即可． 4.（24-25七年级上·福建漳州·开学考试）口袋里有红、绿、黄三种大小外形相同的球，其中红球4个，绿球5个，任意摸出一个球，摸到绿球的可能性是，则摸到黄球的可能性是 ． 【答案】 【分析】根据绿球有5种可能，利用摸到绿球的可能性是求出总球数，再计算出黄球数，进而求黄球可能性即可， 本题考查了可能性的意义，掌握如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的可能性大小为是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得球总数为：（个）， 故黄球有（个）， 故摸出一个黄球的可能性是：， 答：提出一个黄球的可能性是． 故答案为：． 【题型3】频率估计概率 1．（23-24七年级下·辽宁朝阳·期末）一只不透明的袋中装有除颜色外都相同的红球、黄球、白球共50个．通过多次摸球试验后，发现摸到红球、黄球的频率分别是．则可估计袋中白球的个数是（    ） A．10 B．15 C．25 D．20 【答案】D 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到摸到红球和摸到黄球的概率，进而求出黄球和红球的个数，据此可得白球的个数． 【详解】解：∵通过多次摸球试验后，发现摸到红球、黄球的频率分别是， ∴摸到红球、黄球的概率分别是， ∴红球和黄球各有个，个， ∴可估计袋中白球的个数是个， 故选：D． 2．（23-24七年级下·河南郑州·期末）七（1）班同学设计用频率去估计概率的试验如下：在一个不透明的口袋中，装有6个球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验，统计了黄球出现的次数，绘出的统计图如图所示，则袋子中黄球的个数最可能是 个． 【答案】2 【分析】根据题意，得黄球的频率近似稳定在，故黄球的个数为个，解答即可． 本题考查了用频率估计概率，熟练掌握意义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得黄球的频率近似稳定在，故黄球的个数为个， 故答案为：2． 3．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）在学习“频率的稳定性”时，某班同学们共同完成了“抛图钉”的试验，同学们记录了500次抛图钉的试验数据如下，根据表格中的数据可以估计图钉钉尖朝上的概率约为 ． 试验总次数 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 钉尖朝上的频率 0.69 【答案】 【分析】本题考查了用频率估计概率．分析表格频率特点是关键． 根据大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，对表格进行分析即可解答． 【详解】观察发现，随着试验次数的增多，钉尖朝上的频率逐渐稳定到常数， 抛一枚这样的图钉落地后钉尖朝上的概率约为． 故答案为：． 4．（23-24七年级下·陕西西安·期末）在一个不透明的口袋中装有若干个只有颜色不同的小球，已知袋中有6个红球，且摸出红球的概率为，则袋中小球的个数为 ． 【答案】15个 【分析】本题主要考查概率公式，熟练掌握概率的定义是解决本题的关键． 设袋中球的总数量为个，利用概率公式列式求解即可． 【详解】解：设袋中球的总数量为个． 由题意得，摸出红球的概率为． ． 袋中的球共有15个． 故答案为：15． 5．（23-24七年级下·全国·单元测试）下表是某厂质检部门对该厂生产的一批排球质量检测的情况． 抽取的排球数描取格品数 合格品数 合格品频率 (1)求出表中 ， ． (2)从这批排球中任意抽取一个，是合格品的概率约是 精确到 (3)如果生产个排球，那么估计该厂生产的排球合格的有多少个？ 【答案】(1)0.942；1898 (2)0.95 (3)个 【分析】本题考查了由频率估计概率，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据表格中的数据计算即可得解； （2）利用频率估算出概率即可得解； （3）根据概率计算即可得解． 【详解】（1）解：，； （2）解：由题意得：从这批排球中任意抽取一个，是合格品的概率约是； （3）解：（个）， 故如果生产个排球，那么估计该厂生产的排球合格的有个． 6．（23-24七年级下·江西吉安·期末）某校组织篮球队，在一次定点3分投篮训练中，教练记录了一个队员的情况，制成表格如下： 投篮次数m 20 50 100 200 500 命中次数n 9 26 49 102 250 命中率 a b (1) ； ． (2)直接写出该运动员投篮命中的概率； (3)估计该运动员3分投篮24次的得分数． 【答案】(1)； (2)这个运动员投篮命中率的概率是； (3)36分 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，得到的值越来越精确，还考查了频率的计算公式． （1）用对应的n除以m即可求解； （2）根据（1）的计算结论可估计这个运动员投篮3分球命中率的概率； （3）根据（2） 的估计得到投篮24次命中次，然后用12乘以3即可． 【详解】（1）解：根据题意得：，， 故答案为：；； （2）解：这个运动员投篮命中率的概率是； （3）解：这个运动员3分球投篮24次大约命中（次）， ∴这个运动员3分球投篮24次的得分大约为（分）． 7．（24-25九年级下·安徽安庆·阶段练习）在一个不透明的箱子中装有个白色乒乓球和若干个红色乒乓球，这些乒乓球除颜色外全一样，摇匀后从中随机摸出一个乒乓球，记下它的颜色后再放回．不断重复这一过程，共摸了次，发现有次摸到红色乒乓球，由此可估计箱子中有多少个红色乒乓球． 【答案】估计箱子中有个红色乒乓球 【分析】本题考查了利用频率代替概率、解分式方程．摸了次，发现有次摸到红色乒乓球，估计摸到红色乒乓球的概率为，设红色乒乓球个数为个，利用概率公式可得关于的分式方程，解分式方程即可求出红色乒乓球的个数． 【详解】解：摸了次，发现有次摸到红色乒乓球， 估计摸到红色乒乓球的概率为， 设红色乒乓球个数为个， ， 解得：， 经检验是方程的解， 估计箱子中有个红色乒乓球． 【题型4】概率公式 1．（23-24七年级下·广东揭阳·期末）一个不透明的袋子里装有2个白球，3个红球，除颜色外，其余如材料、大小、质量等完全相同．随机从中抽出一个球，抽到红球的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率．据此解答即可． 【详解】解：根据题意可得：一个袋子中装有5个球，其中有2个白球，3个红球， 随机从这个袋子中摸出一个红球的概率是． 故选：C． 2．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）盒中装有只白球和只黑球，从中任取一只球，取出的球是白球的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】本题考查了概率，由题意知，共有种等可能的结果，其中取出的球是白球的结果有种，利用概率公式即可求解，掌握概率公式是解题的关键． 【解答】解：由题意知，共有种等可能的结果，其中取出的球是白球的结果有种， ∴取出的球是白球的概率是， 故选：． 【题型5】几何概率 1．（23-24七年级下·山东烟台·期末）七巧板是我国古代劳动人民的一项发明，被誉为“东方模板”，它由五块等腰直角三角形、一块正方形、一块平行四边形（对边平行且相等）组成．如图，某同学利用七巧板拼成的正方形玩“滚小球游戏”，小球可以在该正方形上自由滚动，并随机地停留在某块板上（停留在拼接缝隙处不计），则小球停留在阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查几何概率，以及七巧板特点，熟练掌握几何概率的计算方法是解题的关键．设大正方形的边长为，先求出阴影部分的面积，然后根据概率公式即可得到答案． 【详解】解：设大正方形的边长为， 根据七巧板特点有， 又大正方形的面积为：， 小球停留在阴影部分的概率是：， 故选：． 2．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图是用相同正方形砖铺成的地面，一宝物藏在其中某一块砖的下面，则宝物在黑色区域的概率是 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查几何概率的求法统计出图中瓷砖的总块数，再统计出白色瓷砖的总块数，根据概率公式计算即可． 【详解】解：图中地板砖共16块， 白色地板砖共8块， 则宝物藏在白色区域的概率； 故答案为：． 3．（23-24七年级下·山东威海·期末）如图，飞镖游戏板被等分成若干个相同的小正方形，某位同学向游戏板投掷飞镖，假设飞镖落在游戏板上每个点的概率相同，则落在涂色部分的概率为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了几何概率的应用,属于简单题, 用涂色部分的面积除以图形总面积即可得到答案. 【详解】解：涂色部分的面积为， ∴飞镖落在涂色部分的概率. 故答案为： 4．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图②是用图①的七巧板拼成的“龙马精神”图形，现将一个飞镖随机投掷到该图形上，则飞镖落在阴影部分的概率是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了七巧板，以及几何概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．根据图形和七巧板特点可得到阴影部分面积占正方形面积的，进而根据概率公式，即可得到飞镖落在阴影部分的概率． 【详解】解：由七巧板特点可知，图②中阴影部分的面积，可转化为图①中阴影部分面积，如图所示： 阴影部分面积占正方形面积的， 飞镖落在阴影部分的概率是， 故答案为：． 5．（2022·山东济南·一模）如图，飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，小东向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是 ． 【答案】 【分析】利用黑色区域的面积除以游戏板的面积即可． 【详解】解：∵游戏板的面积为3×3=9，其中黑色区域为3， ∴小东向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是， 故答案是： ． 【点睛】本题考查了几何概率：求概率时，与几何有关的就是几何概率．计算方法是面积比或体积比等． 【题型6】用列举法或树状图求概率 1．（24-25九年级上·山东青岛·期末）某超市为“庆元旦”设置抽奖活动，如图，三张不透明的卡片“国是家、孝为先、善作魂”（除图案外都相同）分别对应价值为25元、20元、15元的三种奖品，现将这三张卡片背面朝上，洗匀放好． (1)小明从中随机抽取一张卡片，抽到卡片“国是家”的概率为______； (2)如果小明有两次抽奖机会，先从中随机抽取1张，记下后放回，背面朝上洗匀，再从中随机抽取1张，请用列表或画树状图的方法，求小明两次所获奖品总值不低于40元的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中抽到卡片“国是家”的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及小明两次所获奖品总值不低于40元的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由题意知，共有3种等可能的结果，其中抽到卡片“国是家”的结果有1种， 小明从中随机抽取一张卡片，抽到卡片“国是家”的概率为． 故答案为：． （2）解：将这三张卡片分别记为，，， 列表如下： 共有9种等可能的结果，其中小明两次所获奖品总值不低于40元的结果有：，，，，，，共6种， 小明两次所获奖品总值不低于40元的概率为． 2．（24-25九年级上·山东济南·期末）一只不透明的袋子中装有三个乒乓球，球面上分别标有数字3、4、5，这些乒乓球除所标数字不同外其余都相同． (1)搅匀后从中任意摸出一个乒乓球，求摸出的乒乓球的球面上恰好标有数字3的概率； (2)搅匀后先从袋子中任意摸出一个球，将球面上所标数字作为一个两位数的十位数字，不放回，再从袋中余下的球中任意摸出一个球，将球面上所标数字作为这个两位数的个位数字，求这个两位数恰好是奇数的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由） 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）根据共有3种等可能情况即可求解； （2）列表可得出所有等可能的结果数以及这个两位数恰好是奇数的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：∵搅匀后从中任意摸出一个乒乓球，摸出的乒乓球的球面上的数字共有3种情况，即分别为3、4、5， ∴摸出的乒乓球的球面上恰好标有数字3的概率为； （2）解：列表如下： 3 4 5 3 34 35 4 43 45 5 53 54 共有6种等可能的结果，其中这个两位数恰好是奇数的结果有：35，43，45，53，共4种， 故这个两位数恰好是奇数的概率为． 3．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）一个不透明的口袋中有三个小球，每个小球上只标有一个汉字，分别是“步”、“步”、“高”，除汉字外其余均相同．小亮同学从口袋中随机摸出一个小球，记下汉字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下汉字．用画树状图（或列表）的方法，求小亮同学两次摸出小球上的汉字不相同的概率． 【答案】 【分析】本题考查了概率的知识，解题的关键是熟练掌握画树状图或者列表求解概率的性质；画出树状图，共有9个等可能的结果，小亮同学两次摸出小球上的汉字不相同的结果有4个，即可完成求解． 【详解】解：根据题意，可以画出如下树状图： 共有9种等可能的结果，其中小亮同学两次摸出小球上的汉字不相同的结果有4种， ∴P（小亮同学两次摸出小球上的汉字不相同）． 4．（24-25九年级上·四川眉山·期末）“二十四节气”是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是劳动人民长期经验的积累成果和智慧的结晶．小王同学收藏了“二十四节气”主题卡片，他将A（秋分），B（寒露），C（小雪），D（大雪）四张卡片（除正面不同外，其余均相同）背面朝上洗匀． (1)小王从中随机抽取一张卡片，求出抽中是A（秋分）的概率． (2)小王先从中随机抽取一张卡片，记下内容后，正面朝下放回，重新洗匀后再随机抽取一张卡片．请用树状图或列表的办法求小王两次抽取的卡片中至少有一张是D（大雪）的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法求概率： （1）直接利用概率公式进行求解即可； （2）列出表格，利用概率公式进行求解即可． 【详解】（1）解：小王从中随机抽取一张卡片，共有4种等可能的结果，抽中A（秋分）的情况只有1种， ∴； （2）由题意，列表如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共16种等可能的结果，其中两次抽取的卡片中至少有一张是D（大雪）的结果共有7张， ∴． 5．（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）为响应国家加强劳动教育的相关政策，某校计划开设以下四项劳动活动：．耕种；．烹饪；．收纳；．手工．为了解学生对这四项活动的参与意愿，从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，通过分析整理，绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据上述信息，解答下列问题． (1)参与调查的学生有_______人，补全条形统计图； (2)若该校共有名学生，请你估计该校愿意参加收纳活动的学生人数； (3)若从参与调查的名男生和名女生中随机抽取名学生，进行四项活动体验，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到名男生和名女生的概率． 【答案】(1)；见解析 (2)人 (3) 【分析】（1）用条形统计图中的人数除以扇形统计图中的百分比可得抽取的学生人数，用抽取的学生人数分别减去、、的人数可得愿意参加烹饪活动的学生人数，再补全条形统计图即可； （2）根据样本估计总体，用乘以样本中的人数所占的百分比，即可得出答案； （3）列表可得出所有等可能的结果数以及恰好抽到名男生和名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：参与调查的学生有（人）， 参与调查的学生中，愿意参加烹饪活动的学生有（人）， 补全条形统计图如图所示： ； （2）解：（人） 估计该校愿意参加收纳活动的学生人数有人； （3）解：列表如下： 男 男 女 女 男 （男，男） （男，女） （男，女） 男 （男，男） （男，女） （男，女） 女 （女，男） （女，男） （女，女） 女 （女，男） （女，男） （女，女） 共有种等可能的结果，其中恰好抽到名男生和名女生的结果有种， 恰好抽到名男生和名女生的概率为． 【点睛】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，利用表格求概率，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键． 6．（24-25九年级下·陕西西安·期中）在一个不透明的箱子中装有张白色的卡片和若干张红色的卡片，这些卡片除颜色外，大小、形状、厚度等均相同．我校动感社团的同学们做试验：将卡片搅匀后从中任意摸出张，记下颜色后放回，记为一次试验． (1)若多次进行上述试验后发现摸到白色卡片的频率为，则箱子中的红色卡片约有___________张； (2)在（）的条件下，请用列表或画树状图的方法，求两次试验摸出的卡片颜色恰好相同的概率． 【答案】(1)； (2)两次试验摸出的卡片颜色恰好相同的概率是． 【分析】（）利用频率估算概率得出摸到白色卡片的概率为，设箱子中的红色卡片约有张，列出方程，然后解方程并检验即可； （）画出树状图可得一共有种可能等结果，两次试验摸出的卡片颜色恰好相同有种，然后利用概率公式即可求解； 本题考查了频率估算概率，解分式方程，列表或画树状图的方法求概率，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵摸到白色卡片的频率为， ∴摸到白色卡片的概率为， 设箱子中的红色卡片约有张， ∴， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴箱子中的红色卡片约有张， 故答案为：； （2）解：画树状图如图， 一共有种可能等结果，两次试验摸出的卡片颜色恰好相同有种， ∴两次试验摸出的卡片颜色恰好相同的概率是． 【题型7】游戏的公平性 1．（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）天山外国语初一两名同学雨辰和树豪做摸球游戏：在一个不透明的口袋里放有3个红球和5个绿球，每个球除颜色外都相同，每次摸球前都将袋中的球充分搅匀，从中任意摸出一个球，记录颜色后再放回，若是红球雨辰得1分，若是绿球树豪得1分，游戏结束时得分多者获胜． (1)你认为这个游戏对双方公平吗？ (2)若你认为公平，请说明理由；若你认为不公平，也请说明理由，并修改规则，使该游戏对双方公平． 【答案】(1)不公平 (2)见解析 【分析】题目主要考查利用概率判断游戏是否公平，关键要看游戏双方取胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，熟练掌握概率的应用是解题关键． （1）根据题意即可得出结果； （2）分别求出摸出红球和绿球的概率，确定平均每次得分情况，然后修改规则即可． 【详解】（1）解：这个游戏对双方不公平； （2）根据题意得：摸出红球的概率为，平均每次得分（分）， 摸出绿球的概率为，平均每次得分（分）， ∵， ∴游戏不公平， 修改规则不唯一，例如可修改为：若是红球，雨辰得分，若是绿球，树豪得分． 2．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，一个转盘被平均分成8等份，分别标有“我”“是”“附”“中”“人”“我”“骄”“傲”这8个汉字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的汉字即为转出的汉字． (1)转动转盘，当转盘停止时，指针指向“我”的概率是____________，指针指向汉字的笔画数是奇数的概率是____________； (2)明明和红红利用该转盘做游戏，当转出的汉字笔画多于7画时明明获胜，否则红红获胜．请你判断这个游戏是否公平？并说明理由． 【答案】(1)， (2)游戏不公平，理由见解析 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．实际考查概率的计算与游戏公平性的理解，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）分别计算出明明、红红获胜的概率，判断大小关系即可得出答案． 【详解】（1）解：转动转盘，当转盘停止时，指针指向“我”的概率是， “我”的笔画数是7， “是”的笔画数是9， “附”的笔画数是7， “中”的笔画数是4， “人”的笔画数是2， “我”的笔画数是7， “骄”的笔画数是9， “傲”的笔画数是12， 8个汉字中笔画数是奇数的汉字有5个， ∴指针指向汉字的笔画数是奇数的概率是， 故答案为：，； （2）解：游戏不公平，理由如下： 8个汉字中笔画多于7画的有：“是”、“骄”、“傲”， 8个汉字中笔画不多于7画的有：“我”、“附”、中、人、“我”， 所以明明获胜的概率为， 红红获胜的概率为， ∴明明获胜的概率红红获胜的概率， 所以游戏不公平． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）1个袋子中装有1个白球和1个黑球，它们除颜色外其他完全相同．甲、乙两人去摸球，每人摸1次，1次摸出1个球． (1)如果摸出球后放回摇匀，并规定摸出黑球的人获胜，那么这个游戏对双方公平吗？ (2)若摸出球后不放回，同样规定摸出黑球的人获胜，则这个游戏的公平性是否和摸出球后放回摇匀时的一样？ (3)若袋子中装有除颜色外其他完全相同的5个白球和5个黑球，甲、乙两人先后去摸球，一人摸1次，1次摸出1个球，摸出后放回摇匀，并规定摸出黑球的人获胜．这个游戏对双方公平吗？为什么？ 【答案】(1)这个游戏对双方公平 (2)这个游戏的公平性和摸出球后放回时的一样 (3)这个游戏对双方是公平的，理由见解析 【分析】此题目是关于游戏公平性的问题，解题的关键是熟练掌握每种情况下的概率． （1）因为口袋里有1个白球和1个黑球，它们除颜色外其他完全相同，每次摸出一个球后放回，每个人摸出黑球的概率都是，所以对双方公平； （2）由于是摸出后不放回，则总的结果为甲黑乙白，或甲白乙黑，每人摸出黑球的可能性都是，所以这个游戏对双方是公平的； （3）因为口袋里有5个白球和5个黑球，它们除颜色外其他完全相同，每人摸出黑球的可能性都是，所以这个游戏对双方是公平的． 【详解】（1）解：由于是摸出后放回，每个人摸出黑球的概率都是，所以对双方公平； （2）解：由于是摸出后不放回，则总的结果为甲黑乙白，或甲白乙黑，则他们获胜的概率和放回时一样都是，对双方公平； （3）解：游戏对双方公平，因为袋子中白球和黑球各有5个，每人摸出黑球的可能性都是，所以这个游戏对双方是公平的． $$