专题01 整式的乘除 (考题猜想，11大题型）-2024-2025学年七年级数学下学期期中考点大串讲（北师大版2024）

专题01 整式的乘除（11大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 同底数幂的乘除法运算 · 题型二 幂的乘方与积的乘方（高频） · 题型三 零指数幂和负整数的指数幂 · 题型四 科学计数法-表示较小的数 · 题型五 整式的乘法（高频） · 题型六 整式乘法的应用（重点） · 题型七 整式除法运算（高频） · 题型八 平方差及几何意义（易错） · 题型九 完全平方及几何意义 · 题型十 整式的混合运算 · 题型十一 整式的化简求值 【题型1】同底数幂的乘除法运算 1．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（2024七年级上·上海·专题练习）的计算结果是（ ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若，则 ． 4．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）已知，求的值是（   ） A．9 B．8 C．6 D．5 5．（24-25八年级上·河南新乡·期末）若，，则等于（    ） A． B． C． D． 【题型2】幂的乘方与积的乘方 1．（24-25八年级上·吉林·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）若成立，那么的值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）若， ，则 的值为 ． 【题型3】零指数幂和负整数的指数幂 1．（24-25八年级上·安徽芜湖·阶段练习）计算：（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 2．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若，则m的取值范围是 ． 3．（2024·四川乐山·模拟预测）计算：． 4． （2024·广西南宁·三模）计算：． 【题型4】科学计数法-表示较小的数 1．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）杭州奥体中心体育场因其特殊的外表被称为“大莲花”，它的占地面积为平方米，这个数用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 2.（24-25七年级上·云南文山·期末）2024年6月25日14时07分，嫦蛾六号返回器准确着陆于内蒙古四子王旗预定区域，工作正常，标志着探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功，实现世界首次月球背面采样返回．地球与月球的平均距离大约为，数据384000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 27．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）据统计，2024年国庆假期，安徽博物院共接待观众124000人次，单日最高到馆人数24978人．将数据124000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【题型5】整式的乘法 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则（   ） A． B． C． D． 3.（24-25七年级下·全国·随堂练习）小明在课后复习时，发现一道单项式与多项式相乘的题目：，“”的地方被墨水污染了，那么被墨水污染了的应是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·河南南阳·期中）计算： (1) (2) 【题型6】整式乘法的应用 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）一个长方形的长、宽分别为，它的面积等于（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·浙江·期中）两个长为，宽为的长方形，按如图方式放置，记阴影部分面积为，空白部分面积为，若，则，满足（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·河南商丘·阶段练习）有正方形和长方形卡片若干张（数据如图），拼成一个长为，宽为的长方形，则需要C类卡片（   ） A．2张 B．3张 C．5张 D．6张 4．（24-25八年级上·北京·期中）【知识回顾】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值． 通常的解题思路是：把x、y看作字母，a看作系数，合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0． 具体解题过程是：原式， 代数式的值与x的取值无关， ，解． 【理解应用】 （1）若关于x的代数式的值与x的取值无关，则m值为_________． （2）已知，且的值与x的取值无关，求m的值． 【能力提升】 （3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 5．（24-25八年级上·河南商丘·阶段练习）今年以来，开封市高质量推进城区绿化“九大专项行动”，让城市幸福底色更加厚实，让群众尽享“绿色福利”．如图，该市有一块长米，宽米的长方形空地，现准备在这块长方形空地上建一个长米，宽米的长方形绿地，剩余四周全部修建成器材场地． (1)求长方形绿地的面积；（去括号化简） (2)器材场地比绿地的面积大多少平方米？ 6．（24-25七年级上·新疆巴音郭楞·期末）为改善居住环境，某社区计划修建一个广场，广场的平面图（单位：）如图所示． (1)用含m，n的代数式表示该广场的面积S． (2)若m，n满足，求该广场的面积S． (3)在（2）的条件下，若一款地砖的价格为元/，铺设地砖的人工费为元/，则为该广场铺满这款地砖一共要花费多少钱？ 【题型7】整式除法运算 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，那么的值分别为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·河南周口·期中）长方形的面积为，若它的一边为，则另一边长为（   ） A．1 B． C． D． 【题型8】平方差及几何意义 1．（24-25八年级上·山西吕梁·阶段练习）下列整式乘法能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）计算： (1) (2) 3．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图①，从边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形，再将阴影部分沿虚线剪开，将其拼接成如图②所示的长方形，则根据两部分阴影面积相等可以验证的数学公式为（   ）    A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． (1)上述操作能验证的等式是 ．（请选择“A”“B”“C”） A．          B．        C． (2)已知，，则的值为 ． (3)计算：． 【题型9】完全平方及几何意义 1．（24-25八年级上·云南昆明·期中） ． 2．（24-25八年级上·山东滨州·期中）已知，，则的值为 ． 3．（24-25九年级上·北京朝阳·期末）若代数式可以配方为，则 ． 4．（24-25八年级上·四川遂宁·期中）观察下列图形由左到右的变化，写出相应的代数恒等式为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个代数恒等式．如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个大正方形． (1)请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积（直接用含，的代数式表示）： 方法一：______； 方法二：______； (2)根据（1）中的结论，请你写出代数式，，之间的等量关系为______； (3)根据（2）中的等量关系，解决如下问题： 已知实数，满足：，且，求的值． 6．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）完全平方公式：经过适当变形后可解决很多的数学问题． 例如：若，，求的值． 解：∵，，∴，， ∴． 【探究】（1）若，，求的值； 【延伸】（2）若，求的值； 【应用】（3）如图，点C在线段上，以，为边向两边作正方形，若，两正方形的面积之和，求阴影部分的面积． 7．（24-25八年级上·广东韶关·期末）【背景阅读】在数学的学习中，我们经常可以利用图形的面积关系理解代数公式，使抽象的数量关系直观化． 【问题解决】 （1）填空：根据图1所示图形的面积关系，可以写出的一个乘法公式是_____________； （2）如果图2中阴影部分的面积为25，一个小长方形的面积为14，求的值； 【拓展应用】 （3）如图3，有两个正方形A，B，现将放在的内部得到图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得到图乙．设正方形的边长为，正方形的边长为，且图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30．现将三个正方形和两个正方形如图丙摆放，求图丙中阴影部分的面积． 【题型10】整式的混合运算 1．（24-25八年级上·广东汕头·期末）化简： (1)； (2) (3) 2．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）计算： (1) (2) 3．（24-25八年级上·北京·期中）计算： (1) (2) 4．（24-25八年级上·辽宁营口·期中）计算： (1) (2) 【题型11】整式的化简求值 1．（2023·吉林松原·模拟预测）先化简，再求值：，其中，． 2．（24-25八年级上·青海海东·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 3．（24-25八年级上·福建泉州·期中）先化简，再求值：，其中，． 4．（2023·吉林松原·模拟预测）先化简，再求值：，其中，． 5．（24-25八年级上·青海海东·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 6．（24-25八年级上·福建泉州·期中）先化简，再求值：，其中，． $$专题01 整式的乘除（11大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 同底数幂的乘除法运算 · 题型二 幂的乘方与积的乘方（高频） · 题型三 零指数幂和负整数的指数幂 · 题型四 科学计数法-表示较小的数 · 题型五 整式的乘法（高频） · 题型六 整式乘法的应用（重点） · 题型七 整式除法运算（高频） · 题型八 平方差及几何意义（易错） · 题型九 完全平方及几何意义 · 题型十 整式的混合运算 · 题型十一 整式的化简求值 【题型1】同底数幂的乘除法运算 1．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂乘法，熟知运算法则是计算关键． 根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即可得出正确答案． 【详解】解： ． 故选：C． 2．（2024七年级上·上海·专题练习）的计算结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，同底数幂的乘法，先把原式变形为，进而得到． 【分析】解： ， 故选C． 3．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了同底数幂相乘的运算法则，根据，得出，解出的值，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：2． 4．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）已知，求的值是（   ） A．9 B．8 C．6 D．5 【答案】A 【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的除法，根据幂的乘方法则和同底数幂的除法法则，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴； 故选A． 5．（24-25八年级上·河南新乡·期末）若，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的除法，根据同底数幂的除法法则，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ 故选：A． 【题型2】幂的乘方与积的乘方 1．（24-25八年级上·吉林·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方，根据积的乘方与幂的乘方的运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故选：C． 2．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）若成立，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查积的乘方，掌握积的乘方公式是解题的关键．先化为，从而得到，继而得解． 【详解】解：∵， ∴， 解得：． 故选：B． 3．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）若， ，则 的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键，根据幂的乘方，可得同底数幂的除法，根据同底数幂的除法，可得答案． 【详解】解： ， ， 故答案为∶1． 【题型3】零指数幂和负整数的指数幂 1．（24-25八年级上·安徽芜湖·阶段练习）计算：（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题考查整数指数幂，熟练掌握零指数幂的性质是解题的关键，根据任何非零数的零次幂都等于1，即可得到答案． 【详解】解：∵任何非零数的零次幂都等于1， ∴， 故选：B． 2．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了零指数幂“任何不等于0的数的0次幂都等于1”，熟记零指数幂的定义是解题关键．根据0次幂的底数不能为0求解即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（2024·四川乐山·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了零指数幂，有理数的混合运算；先计算有理数的乘方以及零指数幂，再计算乘除法，最后加减，即可求解． 【详解】解：原式 ． 4．（2024·广西南宁·三模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算以及零指数幂，根据有理数混合运算的法则即可求解． 【详解】解：原式． 【题型4】科学计数法-表示较小的数 1．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）杭州奥体中心体育场因其特殊的外表被称为“大莲花”，它的占地面积为平方米，这个数用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中当，可以用整数位数减去1来确定，掌握以上知识是解题的关键； 本题根据科学记数法的表示方法进行作答，即可求解； 【详解】解：． 故选：C． 2.（24-25七年级上·云南文山·期末）2024年6月25日14时07分，嫦蛾六号返回器准确着陆于内蒙古四子王旗预定区域，工作正常，标志着探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功，实现世界首次月球背面采样返回．地球与月球的平均距离大约为，数据384000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法． 【详解】解：， 故选：B． 27．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）据统计，2024年国庆假期，安徽博物院共接待观众124000人次，单日最高到馆人数24978人．将数据124000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：将数据124000用科学记数法表示为． 故选：C． 【题型5】整式的乘法 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多个单项式相乘，根据单项式乘法法则求解，即可解题． 【详解】解： ， 故选：B． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了单项式乘以单项式，直接利用积的乘方运算法则进而得出的值． 【详解】解：∵， ∴， 则， ∴，， 解得， 故选：C 3.（24-25七年级下·全国·随堂练习）小明在课后复习时，发现一道单项式与多项式相乘的题目：，“”的地方被墨水污染了，那么被墨水污染了的应是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键； 单项式乘多项式就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，计算即可． 【详解】解： ， 故被墨水污染了的应是， 故选：D． 4．（24-25八年级上·河南南阳·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，解题的关键是熟练运用法则，准确计算．（1）根据多项式乘以单项式的法则即可求解； （2）根据多项式乘以多项式的法则即可求解． 【详解】（1） （2） 【题型6】整式乘法的应用 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）一个长方形的长、宽分别为，它的面积等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了整式的乘法运算，掌握整式的乘法运算法则并正确计算是解题关键．利用长方形的面积公式将面积表示出来，再利用整式的乘法化简即可． 【详解】解：∵长方形的长、宽分别为、 ∴面积为：． 故选：B． 2．（23-24七年级下·浙江·期中）两个长为，宽为的长方形，按如图方式放置，记阴影部分面积为，空白部分面积为，若，则，满足（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求阴影部分面积和整式乘法，关键是正确列出阴影部分与空白部分的面积，先表示出，，再根据题意得到等式，进行变形得出结论． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：B． 3．（24-25八年级上·河南商丘·阶段练习）有正方形和长方形卡片若干张（数据如图），拼成一个长为，宽为的长方形，则需要C类卡片（   ） A．2张 B．3张 C．5张 D．6张 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据长方形的面积等于长乘宽列式计算，再根据C类卡片的面积求解即可． 【详解】解：∵，C类卡片的面积为， ∴需要C类卡片5张， 故选：C． 4．（24-25八年级上·北京·期中）【知识回顾】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值． 通常的解题思路是：把x、y看作字母，a看作系数，合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0． 具体解题过程是：原式， 代数式的值与x的取值无关， ，解． 【理解应用】 （1）若关于x的代数式的值与x的取值无关，则m值为_________． （2）已知，且的值与x的取值无关，求m的值． 【能力提升】 （3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 【答案】（1）4；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式和合并同类项，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则和合并同类项法则． （1）把含有的项提取公因式，然后根据关于的代数式的值与的取值无关，列出关于的方程，解方程即可； （2）把已知条件中的和代入，根据去括号法则和合并同类项法则进行化简，然后根据的值与无关，列出关于的方程，解方程即可； （3）设，由图可知，，然后再求出，最后根据的值始终保持不变，得到关于，的等式即可． 【详解】解：（1） ， 关于的代数式的值与的取值无关， ， 解得：， 故答案为：4； （2）， ， 的值与x无关， ， 即； （3）设，由图可知， ， 当的长变化时，的值始终保持不变． 取值与x无关， ， 5．（24-25八年级上·河南商丘·阶段练习）今年以来，开封市高质量推进城区绿化“九大专项行动”，让城市幸福底色更加厚实，让群众尽享“绿色福利”．如图，该市有一块长米，宽米的长方形空地，现准备在这块长方形空地上建一个长米，宽米的长方形绿地，剩余四周全部修建成器材场地． (1)求长方形绿地的面积；（去括号化简） (2)器材场地比绿地的面积大多少平方米？ 【答案】(1)长方形绿地的面积为平方米 (2)器材场地比绿地的面积大平方米 【分析】本题考查了整数的乘除和加减的运用，准确理解题意是解题的关键． （1）根据长方形的面积公式列式并计算即可； （2）根据器材场地减去绿地的面积列式，再进行计算即可． 【详解】（1）解：平方米， 答：长方形绿地的面积为平方米； （2）解：器材场地的面积： ， ， ， ， ， 平方米． 答：器材场地比绿地的面积大平方米． 6．（24-25七年级上·新疆巴音郭楞·期末）为改善居住环境，某社区计划修建一个广场，广场的平面图（单位：）如图所示． (1)用含m，n的代数式表示该广场的面积S． (2)若m，n满足，求该广场的面积S． (3)在（2）的条件下，若一款地砖的价格为元/，铺设地砖的人工费为元/，则为该广场铺满这款地砖一共要花费多少钱？ 【答案】(1) (2) (3)元 【分析】（1）由花坛的面积等于大长方形面积减去小长方形面积表示出S即可； （2）利用非负数的性质求出m与n的值，代入S中计算即可得到结果； （3）用单价×面积×单个人工费用进行计算求解． 【详解】（1）解：根据题意得： ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 即该花坛的面积为． （3）解：（元） 答：为该广场铺满这款地砖一共要花费元． 【点睛】此题考查整式的加减——化简求值，解题关键是熟练掌握运算法则． 【题型7】整式除法运算 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，那么的值分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的除法，根据单项式除以单项式可得出，，即可得出答案． 【详解】解：∵ ∴，， ∴，， 故选：A． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的除法，利用多项式除以单项式的法则进行计算，即可解答． 【详解】解： ， 故选：A． 3．（24-25八年级上·河南周口·期中）长方形的面积为，若它的一边为，则另一边长为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的除法，根据长方形面积公式列出算式，然后根据多项式除以单项式的法则计算即可． 【详解】解：根据题意得，另一边长为： ， 故选：B． 【题型8】平方差及几何意义 1．（24-25八年级上·山西吕梁·阶段练习）下列整式乘法能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方差公式，熟知平方差公式的特点是解题的关键：． 【详解】解：A、不能用平方差公式计算，不符合题意； B、可以用平方差公式计算，符合题意； C、不能用平方差公式计算，不符合题意； D、不能用平方差公式计算，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的运算． （1）根据多项式乘多项式的法则展开，再合并同类项即可； （2）根据平方差公式展开，再将完全平方公式展开计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图①，从边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形，再将阴影部分沿虚线剪开，将其拼接成如图②所示的长方形，则根据两部分阴影面积相等可以验证的数学公式为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差与几何图形面积的计算，理解图示面积的计算方法是解题的关键． 边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形，则面积为，拼接成如图②所示的长方形的长为，宽为，其面积为，两部分面积相等，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，如图①中阴影部分的面积为， 拼接成如图②所示的长方形的长为，宽为， ∴阴影部分的面积为， ∴， 故选：B ． 4．（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． (1)上述操作能验证的等式是 ．（请选择“A”“B”“C”） A．          B．        C． (2)已知，，则的值为 ． (3)计算：． 【答案】(1)B (2)3 (3) 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． （1）根据图中阴影部分面积的两种不同表示方法即可解决问题； （2）根据（1）中的发现即可解决问题； （3）根据（1）中的发现，将将平方差的形式改写成两数之和乘以两数之差的形式即可解； 【详解】（1）解：由题知， 图①中阴影部分的面积为， 图②中阴影部分的面积为， 又图②由图①中的阴影部分剪拼而得， 所以． 故选：B． （2）解：由（1）可知， ， 又，， 所以． 故答案为：3． （3）解：原式 ． 【题型9】完全平方及几何意义 1．（24-25八年级上·云南昆明·期中） ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，解题的关键是掌握，进行解答，即可． 【详解】解：． 故答案为：． 2．（24-25八年级上·山东滨州·期中）已知，，则的值为 ． 【答案】26 【分析】此题考查了完全平方公式，正确掌握完全平方公式是解题的关键．利用完全平方公式展开然后代入求解即可． 【详解】∵，， ∴ ． 故答案为：26． 3．（24-25九年级上·北京朝阳·期末）若代数式可以配方为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是配方法的应用，利用配方法原式变形，根据题意分别求出a、b，计算即可． 【详解】解：， 由题意得：，， ，， ， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·四川遂宁·期中）观察下列图形由左到右的变化，写出相应的代数恒等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式乘法与几何的应用，理解题意，能用代数式表示图中阴影部分的面积是解答的关键． 【详解】解：左图中阴影部分的面积为， 右图中阴影部分的面积为， ∴相应的代数恒等式为， 故选：C． 5．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个代数恒等式．如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个大正方形． (1)请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积（直接用含，的代数式表示）： 方法一：______； 方法二：______； (2)根据（1）中的结论，请你写出代数式，，之间的等量关系为______； (3)根据（2）中的等量关系，解决如下问题： 已知实数，满足：，且，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式的实际应用，完全平方公式与正方形的面积公式和长方形的面积公式经常联系在一起，要学会观察． （1）观察图形很容易得出运用大正方形的面积减去四个矩形的面积，即，图②中的阴影部分的正方形的边长等于，即面积为； （2）根据（1）中表示的面积是同一个图形的面积，两个式子相等，即可列出等量关系； （3）由（2）中的等量关系即可求解． 【详解】（1）解：解：（1）方法一：； 方法二：； 故答案为：；； （2）解：代数式，，之间的等量关系为： ， 故答案为：； （3）解：由（2）可得， ． 6．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）完全平方公式：经过适当变形后可解决很多的数学问题． 例如：若，，求的值． 解：∵，，∴，， ∴． 【探究】（1）若，，求的值； 【延伸】（2）若，求的值； 【应用】（3）如图，点C在线段上，以，为边向两边作正方形，若，两正方形的面积之和，求阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）23；（3） 【分析】本题主要完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． （1）根据完全平方公式得出，然后再整体代入求值即可； （2）根据完全平方公式将转化为，然后再整体代入求值即可； （3）设， ，可得，，再根据完成平方公式可得求出，进而完成解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：， ， ∵， ∴， 又∵， ∴， 由完全平方公式可得，， ∴，解得： ∴阴影部分的面积． 7．（24-25八年级上·广东韶关·期末）【背景阅读】在数学的学习中，我们经常可以利用图形的面积关系理解代数公式，使抽象的数量关系直观化． 【问题解决】 （1）填空：根据图1所示图形的面积关系，可以写出的一个乘法公式是_____________； （2）如果图2中阴影部分的面积为25，一个小长方形的面积为14，求的值； 【拓展应用】 （3）如图3，有两个正方形A，B，现将放在的内部得到图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得到图乙．设正方形的边长为，正方形的边长为，且图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30．现将三个正方形和两个正方形如图丙摆放，求图丙中阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）76 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示图1的面积即可； （2）根据图2可得，再将，代入计算即可； （3）由图甲和乙中阴影部分的面积分别为4和30得到，，求得，，再根据代入计算即可． 【详解】解：（1）图1中大正方形的边长为，因此面积为， 拼成图1的四个部分的面积和为， 所以有， 故答案为：； （2）图2中，大正方形的边长为，因此面积为， 阴影部分是边长为的正方形，因此面积为，四个空白长方形的面积和为， 所以有， ∵图2中阴影部分的面积为25，一个小长方形的面积为14， ∴，， ∴， ∵， ∴； （3）∵图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30，即，， ∴，， ∵， ∴，； ∴ ． 【题型10】整式的混合运算 1．（24-25八年级上·广东汕头·期末）化简： (1)； (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查整式的运算，熟练掌握运算法则和乘法公式是解答本题的关键． （1）原式先运用平方差公式进行计算，再运用完全平方公式计算即可； （2）原式先计算中括号内的，然后再根据多项式除以单项式的运算法则进行计算即可； （3）原式先根据完全平方公式和平方差公式将括号再合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： ． 2．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握相应的同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方法则． （1）先利用同底数幂的乘法和除法，积的乘方运算，然后合并解题即可； （2）利用单项式乘以多项式、平方差公式计算，然后合并解题． 【详解】（1）解： ； （2）解： 3．（24-25八年级上·北京·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握整式的混合运算法则． （1）先算积的乘方和幂的乘方，再算同底数幂的除法即可求解； （2）先根据多项式乘以多项式法则计算，再去括号合并同类项即可得到结果． 【详解】（1）解： （2）               4．（24-25八年级上·辽宁营口·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据提公因式进行化简计算即可； （2）先计算同底数幂的乘法以及积的乘方，再计算同底数幂的除法即可得到答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【题型11】整式的化简求值 1．（2023·吉林松原·模拟预测）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．首先利用完全平方公式以及平方差公式计算，然后去括号、合并同类项即可化简，然后代入数值计算． 【详解】解：原式 ， 当，时，原式． 2．（24-25八年级上·青海海东·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】，6 【分析】本题考查了多项式乘多项式—化简求值，平方差公式，完全平方公式，先根据单项式乘多项式，以及乘法公式进行展开，合并同类项得，然后把分别代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ， 当时，原式． 3．（24-25八年级上·福建泉州·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，0 【分析】此题考查了整式的化简求值，正确掌握整式的混合运算法则及计算步骤正确计算是解题的关键． 根据完全平方公式及多项式乘以多项式的法则去括号，再合并同类项化简，最后代入字母的值计算，即可求解． 【详解】解： ， 把，代入， 即. 4．（2023·吉林松原·模拟预测）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．首先利用完全平方公式以及平方差公式计算，然后去括号、合并同类项即可化简，然后代入数值计算． 【详解】解：原式 ， 当，时，原式． 5．（24-25八年级上·青海海东·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】，6 【分析】本题考查了多项式乘多项式—化简求值，平方差公式，完全平方公式，先根据单项式乘多项式，以及乘法公式进行展开，合并同类项得，然后把分别代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ， 当时，原式． 6．（24-25八年级上·福建泉州·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，0 【分析】此题考查了整式的化简求值，正确掌握整式的混合运算法则及计算步骤正确计算是解题的关键． 根据完全平方公式及多项式乘以多项式的法则去括号，再合并同类项化简，最后代入字母的值计算，即可求解． 【详解】解： ， 把，代入， 即. $$