精品解析：重庆市荣昌中学校2024-2025学年高三下学期4月月考数学试题

重庆荣昌中学高2025届高三下期4月月考试题 数 学 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，其中为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 为深入推进“五育”并举，促进学生身心全面和谐发展，某校于上周六举办跳绳比赛.现通过简单随机抽样获得了22名学生在1分钟内的跳绳个数如下（单位：个）： 估计该校学生在1分钟内跳绳个数的第65百分位数为（ ） A 124 B. C. D. 3 设，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 若则等于（ ） A. B. C. D. ＋ 5. 展开式中的常数项为（ ） A. 80 B. -80 C. 40 D. -40 6. 在中，，点在边上，则“”是“为中点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知直线：上存在点A，使得过点A可作两条直线与圆：分别切于点M，N，且，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在R的函数对任意的x满足，当，．函数 ，若函数在上有6个零点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 在上的值域为 C. 若在上单调递减，则 D. 若，则在定义域上单调递增 11. 若正实数满足，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知曲线在点处的切线与曲线在点处的切线互相垂直，则________． 13. 已知数列的通项公式为，则________． 14. 已知三棱锥满足，且，则该三棱锥外接球的表面积为________，异面直线与所成夹角的余弦值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设的内角所对边的长分别为，且． （1）求的大小； （2）若，，为的中点，求的长． 16 如图，三棱台，，，平面平面，， ，与相交于点，，且∥平面. （1）求三棱锥的体积； （2）平面与平面所成角为，与平面所成角为，求证：. 17. 京东配送机器人是由京东研发，进行快递包裹配送的人工智能机器人.年月日，京东配送机器人在中国人民大学顺利完成全球首单配送任务，作为整个物流系统中末端配送的最后一环，配送机器人所具备的高负荷､全天候工作､智能等优点，将为物流行业的“最后一公里”带去全新的解决方案.已知某市区年到月的京东快递机器人配送的比率图如图所示，对应数据如下表所示： 年 月 月 月 月 月 时间代码 配送比率 （1）如果用回归方程进行模拟，请利用以下数据与公式，计算回归方程； ，，. 参考公式：若，则 （2）已知某收件人一天内收到件快递，其中京东快递件，菜鸟包裹件，邮政快递件，现从这些快递中任取件，表示这四件快递里属于京东快递的件数，求随机变量的分布列以及随机变量的数学期望. 18. 已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点相同，曲线的离心率为为上一点且. （1）求曲线和曲线的标准方程； （2）过的直线交曲线于两点，若线段的中点为，且，求四边形面积的最大值. 19. 已知函数，． （1）讨论函数单调性； （2）若，且关于的不等式在上恒成立，其中是自然对数的底数，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重庆荣昌中学高2025届高三下期4月月考试题 数 学 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，其中为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据复数代数形式的除法运算化简复数，再根据复数的几何意义判断即可； 【详解】解：因为，所以复数在复平面内所对应的点的坐标为，位于第一象限. 故选：A 2. 为深入推进“五育”并举，促进学生身心全面和谐发展，某校于上周六举办跳绳比赛.现通过简单随机抽样获得了22名学生在1分钟内的跳绳个数如下（单位：个）： 估计该校学生在1分钟内跳绳个数的第65百分位数为（ ） A. 124 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据百分位数的概念直接计算即可得答案. 【详解】解：因为，22名学生的跳绳成绩从小到大第15个数为， 所以，该校学生在1分钟内跳绳个数的第65百分位数为 故选：C 3. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别利用指数函数、对数函数、三角函数单调性，限定的取值范围即可得出结论. 【详解】根据对数函数在定义域内为单调递增可知，即； 由三角函数单调性可知； 利用指数函数为单调递增可得； 所以. 故选：C 4. 若则等于（ ） A. B. C. D. ＋ 【答案】D 【解析】 【分析】将改为起点为的向量后再转化可求解. 【详解】∵， ∴，∴， ∴ 故选：D 5. 展开式中的常数项为（ ） A. 80 B. -80 C. 40 D. -40 【答案】C 【解析】 【分析】先求出展开式的通项，然后求出常数项的值 【详解】 展开式通项公式为:，化简得，令，即，故展开式中的常数项为. 故选：C. 【点睛】本题主要考查二项式定理、二项展开式的应用，熟练运用公式来解题是关键. 6. 在中，，点在边上，则“”是“为中点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先看条件”能否推出“为中点”，再看“为中点”能否推出“”，即可判断答案. 【详解】若，不妨设，，则， 则 满足条件有两个，一个是中点，一个是点， 故“”不能推出“为中点”， 若中点，，则， 即“为中点”能推出“”， “”是“是中点”的必要不充分条件， 故选：B． 7. 已知直线：上存在点A，使得过点A可作两条直线与圆：分别切于点M，N，且，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意求出，转化为直线上存在与C距离为2的点，利用点到直线距离建立不等式求解即可. 【详解】由可得， 圆心，半径， 过点A可作两条直线与圆：分别切于点M，N， 连接，如图， 由知，，又， 所以， 由题意，只需直线上存在与圆心距离为的点即可， 即圆心到直线的距离， 解得， 故选：C 8. 已知定义在R的函数对任意的x满足，当，．函数 ，若函数在上有6个零点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得为周期函数，作出其图象，的图象有两段，左侧图象不含参数，故可以先确定、的图象在轴左侧的交点个数，再根据余下交点个数确定的图象在右侧如何变化，从而确定出满足的不等式，解这个不等式就得到的取值范围． 【详解】因为，所以周期为， 如图作出的图象与的图象，在有两个不同的交点， 故的图象与在有4个不同的交点， 由此时的图象应如图所示： 故 ，当 时，解得，当 时，解得， 故或， 故选：C． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】利用面面平行的性质定理、线面垂直的性质定理及面面垂直的性质定理判断，即可判断. 【详解】显然A正确； 由面面垂直的性质定理可知，只有当时，才能推出，B错误； 当时，与矛盾，C错误； 借助直二面角的定义及法向量的定义可知成立，即D正确. 故选：AD. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 在上的值域为 C. 若在上单调递减，则 D. 若，则在定义域上单调递增 【答案】AC 【解析】 【分析】求得的定义域判断选项A；求得在上的值域判断选项B；求得a的取值范围判断选项C；求得时的单调性判断选项D. 【详解】选项A：由得，则的定义域为.判断正确； 选项B：， 由，可得，则， 当时，，则在上的值域为； 当时，，， 即在上的值域为； 当时，，， 即在上的值域为. 综上，当时，在上的值域为； 当时，在上的值域为； 当时，在上的值域为.判断错误； 选项C：， 若在上单调递减，则，解之得.判断正确； 选项D：， 则时，在和上单调递增.判断错误. 故选：AC 11. 若正实数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性，可以用中间值求出和的范围，验证选项A不正确，再通过指数对数互化，，，结合换底公式，得到，，再考虑与的范围可以验证BCD选项正确. 【详解】由可得，由可得，则，可知选项A错误； 由指对数互化可得，，则，即可知选项B正确； 又，由，可知等号不成立，即，可知选项C正确； 由得， 令，由，，则在上单调递增，故，选项D正确． 故选：BCD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知曲线在点处的切线与曲线在点处的切线互相垂直，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用导数的几何意义求出曲线在点处的切线斜率，进而可对函数求导，然后根据条件列方程求. 【详解】由曲线得，， 曲线在点处的切线斜率为， 曲线得， 由已知可得， 解得. 故答案为：. 13. 已知数列的通项公式为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】作差判断数列的单调性，根据单调性代入去绝对值化简计算可得结果. 【详解】因为，所以， 当时，，当时，，所以数列有最小值， 则 . 故答案为： 14. 已知三棱锥满足，且，则该三棱锥外接球的表面积为________，异面直线与所成夹角的余弦值为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】空1：把三棱锥的外接球转化成长方体的外接球求解；空2：构造两条异面直线的所成角，利用余弦定理求夹角的余弦. 【详解】由题意可知都是直角三角形，可补形为长方体如下图所示： 则三棱锥的外接球即为长方体的外接球，故球心为体对角线的中点，且， 即外接球半径，故该外接球的表面积； 补形如图， 作，故与所成夹角即为或的补角， 在中，易求， 则． 故答案：； 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设的内角所对边的长分别为，且． （1）求的大小； （2）若，，为的中点，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用两角和的正弦公式及诱导公式求出，即可得解； （2）利用余弦定理求出，即可得到，再由勾股定理计算可得. 【小问1详解】 因为， 所以， 又，所以， 所以，又，所以，所以． 【小问2详解】 由余弦定理， 所以，所以，所以，即， 在中，． 16. 如图，三棱台，，，平面平面，， ，与相交于点，，且∥平面. （1）求三棱锥的体积； （2）平面与平面所成角为，与平面所成角为，求证：. 【答案】（1）2 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）通过证明线线和线面垂直，并结合已知条件即可得出三棱锥的体积； （2）建立空间直角坐标系，表达出各点的坐标，求出所成角为与的正余弦值，即可证明结论. 【小问1详解】 由题意， ∵平面平面，且平面平面，，平面ABC ∴平面， ∵平面， ∴， 又，，平面ABC ∴平面， 连接， ∵平面，平面，平面平面， ∴， ∵， ∴， ∴. ∴三棱锥底面的面积，高， ∴其体积为：. 【小问2详解】 证明：由题意及（1）得， 以为坐标原点，分别以为轴的正方向建立空间直角坐标系， 如图. 则. 设平面的法向量为， 由，取，则， 平面的一个法向量为， 所以 又因为，所以 又，所以. 17. 京东配送机器人是由京东研发，进行快递包裹配送的人工智能机器人.年月日，京东配送机器人在中国人民大学顺利完成全球首单配送任务，作为整个物流系统中末端配送的最后一环，配送机器人所具备的高负荷､全天候工作､智能等优点，将为物流行业的“最后一公里”带去全新的解决方案.已知某市区年到月的京东快递机器人配送的比率图如图所示，对应数据如下表所示： 年 月 月 月 月 月 时间代码 配送比率 （1）如果用回归方程进行模拟，请利用以下数据与公式，计算回归方程； ，，. 参考公式：若，则 （2）已知某收件人一天内收到件快递，其中京东快递件，菜鸟包裹件，邮政快递件，现从这些快递中任取件，表示这四件快递里属于京东快递的件数，求随机变量的分布列以及随机变量的数学期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析；数学期望 【解析】 【分析】（1）令，利用最小二乘法即可求得，从而得到回归方程； （2）首先确定可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望公式直接计算可得期望. 【小问1详解】 由题意得：； 设，则，，， ，， 回归方程为：. 【小问2详解】 由题意知：所有可能的取值为， ；；；； 的分布列为： 数学期望. 18. 已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点相同，曲线的离心率为为上一点且. （1）求曲线和曲线的标准方程； （2）过的直线交曲线于两点，若线段的中点为，且，求四边形面积的最大值. 【答案】（1）， （2）. 【解析】 【分析】（1）根据离心率以及抛物线的焦半径即可求解 ，进而可根据 的关系求解， （2）联立直线与抛物线方程得韦达定理，根据弦长公式求解弦长，进而根据向量共线得面积的关系为，结合对勾函数的性质即可求解最值. 【小问1详解】 椭圆， 又, 椭圆, 抛物线 【小问2详解】 因为直线斜率不为0，设为， 设，联立 整理得，. 所以， 所以， ， 设四边形的面积为， 则， 令，再令， 则在单调递增， 所以时，， 此时取得最小值4，所以. 【点睛】圆锥曲线中的范围或最值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用．另外在解析几何中还要注意向量的应用，如本题中根据向量的共线得到面积的关系，对于简化计算起到了重要的作用 19. 已知函数，． （1）讨论函数的单调性； （2）若，且关于的不等式在上恒成立，其中是自然对数的底数，求实数的取值范围． 【答案】（1）答案见解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）对函数求导，分和两种情况分别得出函数的单调性； （2）在上恒成立，可得，即在上恒成立，令，求导研究函数的单调性与极值，利用导函数为零得出，代入不等式，并构造出，利用导数得出的范围，进而求出实数的取值范围． 【详解】（1）根据题意可知的定义域为， ，令，得． 当时，时，，时； 当时，时，，时． 综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． （2）依题意，，即在上恒成立， 令，则． 对于，，故其必有两个零点，且两个零点的积为， 则两个零点一正一负，设其正零点为， 则，即， 且在上单调递减，在上单调递增， 故，即． 令， 则， 当时，，当时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 又，故， 显然函数在上是关于的单调递增函数， 则， 所以实数的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：本题考查导数研究函数的单调性和极值以及最值，导数在恒成立问题中的应用，解决本题的关键点是利用导函数为零得出参数与极值点的关系，进而通过构造函数并求导得出函数的值域，进而得出参数的范围，考查学生逻辑思维能力与计算能力，属于中档题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$