精品解析：云南省保山市昌宁县第二中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试卷

云南省保山市昌宁县第二中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试卷 测试时间：120分钟 满分：150分 难度系数： 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷第1页至第3页，第II卷第3页至第6页．考试结束后，请将答题卡交回．满分150分，考试用时120分钟． 第I卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号、准考证号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知椭圆中，长轴长为10，离心率为，则焦距为（ ） A. 5 B. 10 C. 5 D. 5 2. 已知直线和平面，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 过点的直线与圆交于两点，则的最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 2 4. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 5 D. 6 5. 如图是函数的导函数的函数图象，则下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 函数的减区间为，增区间为 B. 函数在点和点处的切线斜率相等 C. D. 函数只有一个极小值点，没有极大值点 6. 《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二节气的日影长成等差数列，若前九个节气日影长之和为85.5尺，则雨水日影长为（ ） A. 10.5尺 B. 9.5尺 C. 8.5尺 D. 7.5尺 7. 某班准备从甲、乙、丙、丁4位同学中挑选3人，分别担任2025年元旦晚会的主持人、记分员和秩序员，每个职务最多一人担任且每个职务必须有一人担任，已知甲同学不能担任主持人，则不同的安排方法有（ ）种. A. 18 B. 24 C. 27 D. 64 8. 展开式中的系数等于（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设方程在复数范围内的两根分别为，则下列关于的说法正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 在某次学科期末检测后，从全部考生中选取100名考生的成绩（百分制，均为整数）分成五组后，得到频率分布直方图（如右图），则下列说法正确的是（ ） A. 图中的值为0.005 B. 低于70分的考生人数约为40人 C. 考生成绩的平均分约为73分 D. 估计考生成绩第80百分位数为82.5分 11. 若，则（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题，共92分 注意事项： 第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若直线：与直线：垂直，则实数的值等于________. 13. 已知，则______． 14. 已知定义在R上的函数f（x）满足：，且，则的解集为___________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. 已知单调递增的等差数列满足，且成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和，求证：. 16. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，是的中点，且平面，. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； 17. 请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.①；② ；③ ，在中，内角，，的对边分别是，，，若  . （1）求角； （2）若，求周长的取值范围. 18. 已知双曲线的一条渐近线为，其实轴长为为双曲线上任意一点. （1）求双曲线的方程； （2）求证：到两条渐近线的距离之积为定值，并求出此定值； （3）若双曲线的左顶点为，右焦点为，求的最小值. 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若在区间上存在极值，且此极值小于，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南省保山市昌宁县第二中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试卷 测试时间：120分钟 满分：150分 难度系数： 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷第1页至第3页，第II卷第3页至第6页．考试结束后，请将答题卡交回．满分150分，考试用时120分钟． 第I卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号、准考证号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知椭圆中，长轴长为10，离心率为，则焦距为（ ） A. 5 B. 10 C. 5 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆长轴和离心率的概念即可求解. 【详解】，所以；又因为， 得，所以. 故选：A. 2. 已知直线和平面，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】由直线与平面的位置关系即可逐一判断各个选项，进而得解. 【详解】对于A，若，则或或或斜交，故A错误； 对于B，若，则或，故B错误； 对于C，由线面垂直的性质可知：若，则，故C正确； 对于D，若，则或相交或异面，故D错误. 故选：C. 3. 过点的直线与圆交于两点，则的最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用几何特征，得到当时弦取得最小值求解即可. 【详解】将圆化为，圆心，半径， 因为，所以点在圆内， 记圆心到直线的距离为，则， 由图可知，当，即时，取得最小值， 因为， 所以的最小值为. 故选：C. . 4. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得 【详解】解：,,即,解得, 故选：C 5. 如图是函数的导函数的函数图象，则下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 函数的减区间为，增区间为 B. 函数在点和点处的切线斜率相等 C. D. 函数只有一个极小值点，没有极大值点 【答案】B 【解析】 【分析】结合的图象得到或时，；时，，即可判断A选项；图象经过点和，可判断B选项；可判断C选项；结合函数的单调区间即可判断函数的极值点，从而可判断出D选项. 【详解】结合函数图象可知或时，，所以单调递增；时，，所以单调递减；故A错误；因为图象经过点和，所以，，所以函数在点和点处的切线斜率相等，故B正确；由图象知，故C错误；函数在处取得极大值，在处取得极小值，故D错误， 故选：B. 6. 《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二节气的日影长成等差数列，若前九个节气日影长之和为85.5尺，则雨水日影长为（ ） A. 10.5尺 B. 9.5尺 C. 8.5尺 D. 7.5尺 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件，结合等差数列的前项和公式，即可求解 【详解】这十二个节气的日影长成等差数列，前九个节气日影长之和为85.5尺， 则，，即雨水日影长为9.5尺. 故选：B． 7. 某班准备从甲、乙、丙、丁4位同学中挑选3人，分别担任2025年元旦晚会的主持人、记分员和秩序员，每个职务最多一人担任且每个职务必须有一人担任，已知甲同学不能担任主持人，则不同的安排方法有（ ）种. A. 18 B. 24 C. 27 D. 64 【答案】A 【解析】 【分析】应用分类分步计数原理及排列组合数求不同的安排方法数. 【详解】若甲被选出，从其它3位同学选2位有种， 将甲安排为记分员或秩序员有种，另2人作全排有种， 所以共有种； 若甲不被选出，只需将选出的3人作全排列有种， 综上，共有种. 故选：A 8. 展开式中的系数等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二项式通项公式，结合已知二项式的乘积形式写出含的项，即可得答案. 【详解】展开式中含的项为： ，其系数为， 故选：A 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设方程在复数范围内的两根分别为，则下列关于的说法正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】求解可得，再逐个选项判断即可. 【详解】对A，由实系数一元二次方程求根公式知， 则（与顺序无关），故A正确； 对B，因为，所以，故B正确； 对C，由A，，故C错误； 对D，由韦达定理可得，故D正确． 故选：ABD 10. 在某次学科期末检测后，从全部考生中选取100名考生的成绩（百分制，均为整数）分成五组后，得到频率分布直方图（如右图），则下列说法正确的是（ ） A. 图中的值为0.005 B. 低于70分的考生人数约为40人 C. 考生成绩的平均分约为73分 D. 估计考生成绩第80百分位数为82.5分 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用频率分布直方图逐项求解 【详解】由，解得，故A对； 低于70分的考生人数约为，故B错； 考生成绩的平均分约为，故C对； 成绩落在内频率为， 落在内频率为， 故考生成绩第80百分位数落在，设为m， 由，解得， 故考生成绩第80百分位数为82.5分，故D对； 故选：ACD 11. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用赋值法计算即可判断AC，根据二项式展开式的通项公式计算即可判断BD． 【详解】设，二项式展开式的通项公式为， 对于A，，故A错误； 对于B，令，得，故B正确； 对于C，， 所以，故C正确； 对于D，令，得；令，得； 令，得；令，得； 令，得，所以， 故D错误， 故选：BC． 第II卷（非选择题，共92分 注意事项： 第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若直线：与直线：垂直，则实数的值等于________. 【答案】 【解析】 【分析】写出两直线斜率，由直线垂直得到斜率乘积为，建立方程后解出参数的值. 【详解】由题意知两直线斜率存在， ，， ， 解得. 故答案为： 13. 已知，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】使用余弦的诱导公式和二倍角公式即可得到结果. 【详解】． 故答案为：. 14. 已知定义在R上的函数f（x）满足：，且，则的解集为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意得，构造，利用导数求得的单调性，结合题中数据，可得，根据单调性，即可得答案. 【详解】由题意得，构造， 则，则在R上为单调递增函数， 因为，所以， 所以可变形为， 因为在R上为单调递增函数， 所以，则的解集为 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. 已知单调递增的等差数列满足，且成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和，求证：. 【答案】（1） （2） 由（1）可知，则: ， 所以 . 【解析】 【分析】（1）由等差数列与等比数列的性质及待定系数法即可求得数列的通项公式； （2）先求出，再用裂项相消法即可化简数列的前项和，从而得证. 【小问1详解】 设数列的公差为，则，① 成等比数列，， ，② 由①②可得或者（舍）， . 【小问2详解】 略 16. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，是的中点，且平面，. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； 【答案】（1） 在菱形中，连接， 由已知底面是菱形，， 为等边三角形， 因为是的中点，所以， 因为平面，平面，所以. 因为平面，平面， 且，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，再由平面证明，根据线面垂直判定定理证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求平面与平面的法向量，利用向量夹角公式求结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面，则有， 由（1）知，，故，，两两垂直， 如图建立空间直角坐标系， 因为是的中点，，，所以， 因为底面是菱形，， 所以， 所以为等边三角形，由（1）也为等边三角形， 则，，， 设平面的一个法向量为， 则 令，则，， 所以为平面的一个法向量， 又因为平面， 所以平面的一个法向量为， 所以， 故平面与平面夹角的余弦值为. 17. 请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.①；② ；③ ，在中，内角，，的对边分别是，，，若  . （1）求角； （2）若，求周长的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别选择① ，② ，③ ，利用正弦定理和余弦定理边角互化，借助于三角形内角和与诱导公式化简，最后通过观察三角函数图象即可求出角； （2）利用正弦定理化边为角表示，把三角形的周长整理成关于内角的正弦型函数，结合正弦函数的性质即可求得三角形周长的范围. 【小问1详解】 选择①，，由正弦定理，，即， 由余弦定理，，因，故； 选择②，，因， 则得，，整理得，， 因， ，故得，因，故； 选择③，由可得，， 由正弦定理，， 因, ，故得，，因，故. 【小问2详解】 由正弦定理，， 可得，， 于是的周长为： ，因，，则， 故，即 周长的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，属于较难题. 解题的关键在于，细心观察题设条件，确定化边为角还是化角为边；对于求三角形周长的范围问题，一般是利用正弦定理化边为角，将其整理成正、余弦型函数，利用正、余弦函数的图象即可求得. 18. 已知双曲线的一条渐近线为，其实轴长为为双曲线上任意一点. （1）求双曲线的方程； （2）求证：到两条渐近线的距离之积为定值，并求出此定值； （3）若双曲线的左顶点为，右焦点为，求的最小值. 【答案】（1） （2） 设，则，渐近线为， 到两条渐近线的距离之积 ； （3） 【解析】 【分析】（1）由双曲线渐近线方程、实轴长可得答案； （2）设，求出渐近线方程，利用点到直线的距离公式可得答案； （3）设，利用坐标表示，根据的范围可得答案. 【小问1详解】 由题意可得， 解得， 因此，双曲线的方程为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由已知，得，如图， 设或， 又在双曲线上，所以， 因此 或， 其对称轴为， 由于或， 所以当时，取得最小值为. 【点睛】关键点点睛：在第三问中，先用坐标表示出，再通过点横坐标的范围求出最小值. 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若在区间上存在极值，且此极值小于，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 当时，函数在区间单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）先确定切点坐标，再根据导数的几何意义求切线斜率，依据点斜式可得切线方程. （2）求导，对的不同取值进行讨论，可得函数的单调区间.要注意：函数的定义域. （3）利用（2）的结论，可求问题（3）. 【小问1详解】 当时，，. 又，所以. 所以切点坐标为，切线斜率为1， 所以切线方程为即. 【小问2详解】 因为， 当时，恒成立，函数在区间单调递增． 当时，令，解得， 在区间，，函数单调递减， 在区间，，函数单调递增. 综上可知：当时，函数在区间单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 由（2）知，当时，函数无极值， 当时，函数在取得极小值， 所以，解得，所以． 所以实数的取值范围为： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $