专题01 三角形（13大题型）（考题猜想，13大题型）-2024-2025学年八年级数学下学期期中考点大串讲（北师大版）

专题01 三角形（13大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 等腰三角形的性质 · 题型二 等腰三角形的性质与判定（重点） · 题型三 等边三角形的性质 · 题型四 等边三角形的性质与判定（重点） · 题型五 等腰三角形常见的模型（重点） · 题型六 直角三角形的性质与判定 · 题型七 勾股定理的有关于运算（高频） · 题型八 勾股定理的逆定理（高频） · 题型九 垂直平分线的性质 · 题型十 垂直平分线的性质与判定（重点） · 题型十一 角平分线的性质（高频） · 题型十二 角平分线的性质与判定（易错） · 题型十三 尺规作图-角平分线与垂直平分 【题型1】等腰三角形的性质 1．（23-24八年级上·青海西宁·期中）等腰三角形的一边长为6，另一边长为，则它的周长为（   ） A． B．或 C． D． 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）等腰三角形的一个角为，则它的底角为（   ） A． B． C．或 D．或 3．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）等腰三角形的一个底角为，那么它的顶角是（   ） A．或 B． C． D． 【题型2】等腰三角形的性质与判定 1．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）已知平面直角坐标系中有两点，若坐标轴上有点，使得为等腰三角形，则满足条件的点的个数有（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．8个 2．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）已知平面直角坐标系中有两点，若坐标轴上有点，使得为等腰三角形，则满足条件的点的个数有（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．8个 3．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）如图，在中，，平分，平分，过点O作的平行线与，分别相交于点M，N．若，． (1)求的度数； (2)求的周长． 4．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在锐角中，点是边上一点，，于点，与交于点． (1)求证：； (2)若，，为中点，求的长． 5．（24-25八年级上·浙江·期中）如图，在等腰三角形中，，是底边上的高线，于点，交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【题型3】等边三角形的性质 1．（24-25八年级上·湖南永州·期中）如图，为等边三角形，点是边上异于，的任意一点，于点，于点．若边上的高线，则（   ） A．5 B．10 C．8 D．6 2．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，等边的周长为，则它的高为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）如图，在等边三角形中，是边上的高，延长至点，使，则的长为 ． 4．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中等边的顶点B的坐标为，点A在第一象限，则点A的坐标为 ． 5．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，已知等边三角形的边长为6，过边上一点P作于点E，Q为延长线上一点，取，连接，交于，则的长为 ． 6．（24-25九年级上·重庆南岸·阶段练习）如图，直线，等边三角形的顶点C在直线b上，，则的度数为（　　）． A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·云南曲靖·期末）如图，在等边三角形中，，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【题型4】等边三角形的性质与判定 1．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）已知：在中，，D为边上一点，过点D作、的垂线，垂足分别为点E，F， (1)当D为边中点时，求证：； (2)当时，求的面积； (3)在（2）的条件下，当点D在线段上运动时，的值是否为一个定值？若是，求出这个定值；若否，说明理由． 2．（24-25八年级上·四川泸州·期中）如图，在中，，，是边的中点，以点为直角顶点向上方作等腰直角三角形，边经过点C，与交于点G． (1)求证：是等边三角形； (2)若，为的中点，求的长． 3．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，为等腰三角形，，、分别是边、上的点，且满足，连接、交于点．    (1)求证：； (2)求的度数． 4．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，点O是等边内一点，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，α为多少度？ 【题型5】等腰三角形常见的模型 1．（22-23八年级上·江苏宿迁·期中）已知：如图1，点C为线段上一点，、都是等边三角形，交于点E，交于点F． (1)求证： (2)求证：为等边三角形 2.（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，是边长为6的等边三角形，是边上一动点，由点向点运动（与，不重合），是延长线上一点，与点同时以相同的速度由点向延长线方向运动（点不与点重合），过点作于点，连接交于点． (1)若设，则______，______；（用含的式子表示） (2)时，求的长； (3)在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化，请说明理由． 【题型6】直角三角形的性质与判定 1．（24-25八年级上·湖北荆州·期中）如图，，垂足为，交于，，． (1)求证：； (2)求的度数． 2．（24-25八年级上·贵州·期中）如图，于点D，于点E，，若，求的度数． 3．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）已知：如图，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 4．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，在中，，点E在上，，连接，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 5．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，于点D，E为上一点，连结． (1)若，． ①求证：； ②若，求的度数； (2)若，，，，求． 【题型7】勾股定理的有关的运算 1．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在中，，点在线段上，当时，的长度为 ． 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，，，为的角平分线，则的面积为 ． 3．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）小丽在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其做了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小丽用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，（图中的、、、在同一平面上），测得，．求的长． 4．（24-25八年级上·浙江·期中）如图，一条路的两边有两棵树，一棵树高为11米，另一棵树高为6米，两树的距离为12米．若一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少要飞行 米． 5．（23-24八年级下·重庆大足·期末）如图，在一条笔直的东西方向的公路上有A、B两地，相距1000米，且离公路不远处有一块山地C需要开发，已知C与A地的距离为600米，与B地的距离为800米，在施工过程中需要实施爆破，为了安全起见，爆破点C 周围半径520米范围内不得进入． (1)山地C距离公路的垂直距离为多少米? (2)在进行爆破时，A、B两地之间的公路是否有危险需要暂时封锁?若需要封锁，请求出需要封锁的公路长． 【题型8】勾股定理的逆定理 1．（24-25八年级下·四川德阳·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积．    2．（23-24八年级上·陕西汉中·期末）如图，青青想用自己学过的知识测量一条湖两端的距离，他在地面上取了一点，测得米，米，在上取了一点，测得米，米，请你根据青青的测量结果，计算这条湖两端的距离． 3．（24-25八年级上·山东济南·期中）我区某校校园有一块四边形的空地，如图所示，为了绿化环境，学校拟对空地进行美化施工，已知米，米，，米，米，学校欲在此空地上铺草坪． (1)求四边形的空地的面积； (2)已知草坪每平方米160元，试问用该草坪铺满这块空地共需花费多少元？ 4．（24-25八年级下·重庆长寿·期中）2020年是第六届全国文明城市创建周期的第三年，是“强基固本、全力冲刺”的关键之年．“创城”，既能深入改变一座城市的现代化进程，也能深刻影响生活在此间的人们．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的四边形空地．如图，已知，，，，技术人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间距离为15m，便快速确定了． (1)请写出技术人员测量的是哪两点之间的距离，并说明他确定的理由； (2)若平均每平方米空地的绿化费用为100元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？ 【题型9】垂直平分线的性质 1．（23-24八年级上·云南楚雄·期末）如图，在中，DE垂直平分BC，若，，则AD的长为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 2．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）如图，在中，分别以顶点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点，，作直线，分别交，于点，，连接，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线交于点，，，则的周长为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，的垂直平分线l交于点D．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．（22-23八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，、的垂直平分线分别交于点、，若，则为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·江西上饶·期中）到的三个顶点距离相等的点是的（   ） A．三条角平分线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条高的交点 D．三边中线的交点 【题型10】垂直平分线的性质与判定 1．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）在中，点D在的平分线所在的直线上．过点D作于E，作交的延长线于F，且． (1)求证：点D在的垂直平分线上： (2)若，．求的长度是多少？ 2．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点P． (1)求证：点P在线段的垂直平分线上； (2)已知，求的度数． 3．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，是的角平分线，，，垂足分别是E，F，连接，与相交于点G． (1)求证：是的垂直平分线； (2)若，，求的面积． 4．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，中，，连接为是上一点且． (1)求证：垂直平分． (2)已知求的面积． 【题型11】角平分线的性质 1．（24-25八年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点和，再分别以点为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，连接并延长交于点，于点，则的面积为（   ） A．4 B．5 C．8 D．9 2．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M、N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，则的面积为（    ）    A．15 B．20 C．25 D．30 3．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，在中，，点D在的外部，且平分，过点D作，交的延长线于点E，，交于点F，连接．若，，则的度数为 ． 【题型12】角平分线的性质与判定 1．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． (1)则 °； (2)求证：平分； (3)若，且，则的面积为 ． 2．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，，于点，，点在上，． (1)求证：平分； (2)求证：． 3．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，与均为等腰直角三角形，连接，，相交于点． (1)求证：； (2)求的大小． (3)连接，求证：平分． 4．（22-23八年级上·江苏·期中）如图，在的两边，上分别取点M，N，连接．若平分，平分． (1)求证：平分； (2)若，且与的面积分别是16和24，求线段与的长度之和． 5．（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，，E是的中点，连接．    (1)若平分，求证：是的平分线； (2)在（1）的条件下，若，，直接写出的长为________； (3)若，求证：是的平分线． 【题型13】尺规作图-角平分线与垂直平分线 1．（23-24八年级下·贵州六盘水·期中）在中，． (1)利用直尺和圆规完成如下操作，作的平分线和的垂直平分线，交点为（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，若，求的度数． 2．（24-25八年级上·江西赣州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，点． (1)只用直尺（没有刻度）和圆规，求作一个点，使点同时满足下列两个条件（要求保留作图痕迹，不必写出作法）：①点到，两点的距离相等；②点到轴和轴的距离相等． (2)在（1）作出点后，写出点的坐标． 3．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，如图在中，利用尺规作图． (1)画出的角平分线，线段的垂直平分线，保留作图痕迹； (2)在（1）中，所画角平分线与垂直平分线相交于点F，连接，若，，则的度数是多少？ 4．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在的内部找出一点，使得，且满足点到与的距离相等．（尺规作图，保留作图痕迹） $$专题01 三角形（13大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 等腰三角形的性质 · 题型二 等腰三角形的性质与判定（重点） · 题型三 等边三角形的性质 · 题型四 等边三角形的性质与判定（重点） · 题型五 等腰三角形常见的模型（重点） · 题型六 直角三角形的性质与判定 · 题型七 勾股定理的有关于运算（高频） · 题型八 勾股定理的逆定理（高频） · 题型九 垂直平分线的性质 · 题型十 垂直平分线的性质与判定（重点） · 题型十一 角平分线的性质（高频） · 题型十二 角平分线的性质与判定（易错） · 题型十三 尺规作图-角平分线与垂直平分 【题型1】等腰三角形的性质 1．（23-24八年级上·青海西宁·期中）等腰三角形的一边长为6，另一边长为，则它的周长为（   ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系的应用．熟练掌握等腰三角形的性质，三角形三边关系的应用是解题的关键． 由题意知，等腰三角形的第三边的长为6或，根据三角形的三边关系确定第三边的长，然后求周长即可． 【详解】解：由题意知，等腰三角形的第三边的长为6或， 当等腰三角形的第三边的长为6时， ∵， ∴此时不能构成三角形，舍去； 当等腰三角形的第三边的长为时，满足三角形三边关系， ∴它的周长为， 故选：C． 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）等腰三角形的一个角为，则它的底角为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质以及分类讨论是解题的关键．根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】解：①等腰三角形的顶角为， 它的一个底角度数为； ②等腰三角形的底角为， 综上所述：底角为或， 故选：C． 3．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）等腰三角形的一个底角为，那么它的顶角是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内角和是和等腰三角形2个底角是相等，在等腰三角形中，2个底角是相等的，然后用减去2个就是等腰三角形的顶角的度数． 【详解】解： ， 即：顶角是． 故选：B． 【题型2】等腰三角形的性质与判定 1．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）已知平面直角坐标系中有两点，若坐标轴上有点，使得为等腰三角形，则满足条件的点的个数有（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．8个 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定、坐标与图形的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 分、、三种情况，进行分析画图即可解答． 【详解】解：如图： 当时，以点A为圆心，长为半径画弧，交y轴于点， 当时，以点B为圆心，长为半径画弧，交x轴于点， 当时，作的垂直平分线，交x轴于点，交y轴于点， ∵点A，B，三个点在同一条直线上， ∴满足条件的点C的个数是5． 故选：B． 2．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）已知平面直角坐标系中有两点，若坐标轴上有点，使得为等腰三角形，则满足条件的点的个数有（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．8个 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定、坐标与图形的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 分、、三种情况，进行分析画图即可解答． 【详解】解：如图： 当时，以点A为圆心，长为半径画弧，交y轴于点， 当时，以点B为圆心，长为半径画弧，交x轴于点， 当时，作的垂直平分线，交x轴于点，交y轴于点， ∵点A，B，三个点在同一条直线上， ∴满足条件的点C的个数是5． 故选：B． 3．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）如图，在中，，平分，平分，过点O作的平行线与，分别相交于点M，N．若，． (1)求的度数； (2)求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求得，再利用角平分线的定义求得，即可解答； （2）根据平行线的性质，证明，为等腰三角形，再利用等腰三角形的性质即可求解； 【详解】（1）解：， ， 平分平分， ； （2）解：平分， ， ， ， ， ， 同理可得， ， ， 的周长为． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，看到平行线之间有角平分线应想到能得到等腰三角形是解题的关键． 4．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在锐角中，点是边上一点，，于点，与交于点． (1)求证：； (2)若，，为中点，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)的长为． 【分析】（）根据垂直定义可得，利用直角三角形的两个锐角互余可得∴，，再利用等腰三角形的性质可得，然后利用等角的余角相等可得，再根据对顶角相等可得，从而可得，最后利用等角对等边即可解答； （）过点作，垂足为，利用等腰三角形的性质得，再根据中点定义得，再证明，根据全等三角形的性质得出，最后由勾股定理即可求解； 本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，掌握知识点的应用，添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：过点作，垂足为， ∴， ∵，， ∴， ∵为中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 5．（24-25八年级上·浙江·期中）如图，在等腰三角形中，，是底边上的高线，于点，交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理． （1）先根据等腰三角形的性质得到，，再根据等腰三角形的判定和三角形的内角和定理证得，，然后证明，即可得证； （2）由得到即可求解． 【详解】（1）解：∵在等腰三角形中，是底边上的高线， ∴，， ∴， ∵， ∴，又， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 【题型3】等边三角形的性质 1．（24-25八年级上·湖南永州·期中）如图，为等边三角形，点是边上异于，的任意一点，于点，于点．若边上的高线，则（   ） A．5 B．10 C．8 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，求三角形的面积，连接，根据，再代入数值可得答案． 【详解】如图所示，连接， ∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴， 即， ∴． 故选：B． 2．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，等边的周长为，则它的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由等边三角形的性质可得，由三线合一可得，由垂线的性质可得，由等边的周长为可得，于是可得，在中，根据勾股定理可得，于是得解． 【详解】解：是等边三角形， ， 又， ，， ， ， ， 在中，根据勾股定理可得： ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三线合一，垂线的性质，线段的和与差，等式的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握等边三角形的性质及勾股定理是解题的关键． 3．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）如图，在等边三角形中，是边上的高，延长至点，使，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，根据题意可得，进而根据，即可求解． 【详解】解：∵在等边三角形中，是边上的高， ∴， 又∵， ∴ ∴ 故答案为：． 4．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中等边的顶点B的坐标为，点A在第一象限，则点A的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标，根据等边三角形的性质，勾股定理确定点的坐标是解题的关键． 根据等边三角形的性质得出，再根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：作于点，轴于点， ∴， ∵， ∴， 是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 故答案为： ． 5．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，已知等边三角形的边长为6，过边上一点P作于点E，Q为延长线上一点，取，连接，交于，则的长为 ． 【答案】3 【分析】延长，过点作于点，先证明，得出，，再证明，得出，即可求解．本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握等边三角形三个角都是，正确画出辅助线，构造全等三角形． 【详解】解：延长，过点作于点， 为等边三角形， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ，， ， ． 故答案为：3． 6．（24-25九年级上·重庆南岸·阶段练习）如图，直线，等边三角形的顶点C在直线b上，，则的度数为（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、平行线的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握等边三角形的三个内角都相等且都等于是解题的关键． 先根据等边三角形的性质得到，根据三角形内角和定理计算出，再根据平行线的性质得到即可解答． 【详解】解：如图：∵为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 7．（24-25八年级上·云南曲靖·期末）如图，在等边三角形中，，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，先由三线合一定理和垂直的定义得到，再由等边对等角和三角形内角和定理求出，则． 【详解】解：∵在等边三角形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【题型4】等边三角形的性质与判定 1．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）已知：在中，，D为边上一点，过点D作、的垂线，垂足分别为点E，F， (1)当D为边中点时，求证：； (2)当时，求的面积； (3)在（2）的条件下，当点D在线段上运动时，的值是否为一个定值？若是，求出这个定值；若否，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)的值是一个定值， 【分析】（1）根据证根据全等三角形的性质推出即可； （2）根据等边三角形的判定定理得到是等边三角形，过A作于M，根据等边三角形的性质得到，根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式即可得到的面积； （3）连接，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵D为边中点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， 过A作于M， ∴， ∴ ∴的面积； （3）解：的值是一个定值， 连接， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等边对等角，三角形的面积公式，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 2．（24-25八年级上·四川泸州·期中）如图，在中，，，是边的中点，以点为直角顶点向上方作等腰直角三角形，边经过点C，与交于点G． (1)求证：是等边三角形； (2)若，为的中点，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（）由角所对直角边是斜边的一半得，根据直角三角形斜边上的中线性质得出，则，最后等边三角形的判定即可求证； （）由是等边三角形，则，从而得出，，由角所对直角边是斜边的一半得，然后根据等腰三角形的判定得，则，再由是等腰直角三角形，且，则，求出即可； 本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵是边中点， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴． 3．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，为等腰三角形，，、分别是边、上的点，且满足，连接、交于点．    (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质、三角形的外角定理，熟练掌握是解题的关键． （1）判定为等边三角形，得到，，结合即可判定； （2）根据全等三角形的性质得，根据三角形的外角定理进行转化即可得出． 【详解】（1）证明：∵，， ∴为等边三角形 ∴， 在和中， ， ∴．    （2）解：∵， ∴ ∴． 4．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，点O是等边内一点，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，α为多少度？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，熟记等边三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质、等边三角形的性质求出，根据等边三角形的判定推出即可； （2）根据全等三角形的性质及等边三角形的性质求出，，则，，再根据等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形． （2）解：∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：． 【题型5】等腰三角形常见的模型 1．（22-23八年级上·江苏宿迁·期中）已知：如图1，点C为线段上一点，、都是等边三角形，交于点E，交于点F． (1)求证： (2)求证：为等边三角形 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据等边三角形的性质，证明，即可得出结论； （2）证明，得到，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵、是等边三角形， ∴，，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， 又∵， ∴为等边三角形． 2.（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，是边长为6的等边三角形，是边上一动点，由点向点运动（与，不重合），是延长线上一点，与点同时以相同的速度由点向延长线方向运动（点不与点重合），过点作于点，连接交于点． (1)若设，则______，______；（用含的式子表示） (2)时，求的长； (3)在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化，请说明理由． 【答案】(1)， (2)； (3)当点P、Q运动时，线段的长度不会改变，． 【分析】（1）根据题意得，然后得到，； （2）在中利用角直角三角形的性质列方程求解即可； （3）过点P作的平行线交AB于点M，首先证明出是等边三角形，然后得到，然后证明出，得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，， ∵是边长为6的等边三角形， ∴，， ∴，； 故答案为：，； （2）解：在中，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴； （3）解：当点P、Q运动时，线段的长度不会改变，， 理由如下： 如图：过点P作的平行线交AB于点M，    ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，角直角三角形的性质，一元一次方程的应用等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 【题型6】直角三角形的性质与判定 1．（24-25八年级上·湖北荆州·期中）如图，，垂足为，交于，，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握斜边直角判定两个三角形全等是解题的关键． （1）根据题意证明即可求解； （2）由，得到，，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 2．（24-25八年级上·贵州·期中）如图，于点D，于点E，，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形的全等证明及性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 证，得，进而即可求解 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ∵在与中 ∵， ∴， ∴ ∴， 3．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）已知：如图，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明过程见详解 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握其判定方法是解题的关键． （1）根据题意，运用斜边直角边证明，由全等三角形的性质即可求解； （2）根据题意可证，得到，由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴是直角三角形， ∵，， ∴， ∴． （2）解：由（1）可得，， ∵， ∴， ∴， ∴． 4．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，在中，，点E在上，，连接，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先证明出，再利用证明即可； （2）由全等三角形的性质可得，，得为等腰直角三角形，得出，再由三角形外角的定义及性质得出，再由即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 又∵为等腰直角三角形， ∴， ∴ 5．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，于点D，E为上一点，连结． (1)若，． ①求证：； ②若，求的度数； (2)若，，，，求． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理； （1）①用证即可； ②由得，，进而可得，再由，即可得出答案； （2）先由，，，得，进而得，进而得，，由勾股定理求出，再由面积法求出，最后由计算即可． 【详解】（1）①证明：∵， ∴， 又∵，， ∴在和中 ， ∴，即； ②解：∵， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型7】勾股定理的有关的运算 1．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在中，，点在线段上，当时，的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．先求得，设，则，再根据勾股定理得，列出方程得，求解即可． 【详解】解：在中，， ， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ， 故答案为： 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，，，为的角平分线，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理及勾股定理；根据角平分线的性质可得，根据勾股定理求得，设，进而根据三角形的面积公式列出方程，解方程，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵为的角平分线， ∴ 在中，，， ∴， ∵ 设， ∴ ∴ 解得： ∴ 故答案为：． 3．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）小丽在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其做了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小丽用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，（图中的、、、在同一平面上），测得，．求的长． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据题意，结合勾股定理建立方程是正确解决本题的关键． 设的长为，由建立方程即可求解． 【详解】解∶设的长为，则， ， ， ，， 中，，即， 解得， 答∶ 的长为． 4．（24-25八年级上·浙江·期中）如图，一条路的两边有两棵树，一棵树高为11米，另一棵树高为6米，两树的距离为12米．若一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少要飞行 米． 【答案】13 【分析】本题考查了勾股定理，过C作平行地面，连接，由题意得米，米，由勾股定理可得的长，即小鸟至少要飞行的距离． 【详解】解：过C作平行地面，连接， 由题意得，米，米，米， 由勾股定理得，米， 故答案为：13． 5．（23-24八年级下·重庆大足·期末）如图，在一条笔直的东西方向的公路上有A、B两地，相距1000米，且离公路不远处有一块山地C需要开发，已知C与A地的距离为600米，与B地的距离为800米，在施工过程中需要实施爆破，为了安全起见，爆破点C 周围半径520米范围内不得进入． (1)山地C距离公路的垂直距离为多少米? (2)在进行爆破时，A、B两地之间的公路是否有危险需要暂时封锁?若需要封锁，请求出需要封锁的公路长． 【答案】(1)山地C距离公路的垂直距离为米 (2)需要封锁的公路长为400米 【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）由勾股定理的逆定理得是直角三角形，且，过点C作于点D，再由三角形面积求出的长即可； （2）过C作于点D，以点C为圆心，520米为半径画弧，交于点E、F，连接，，根据480米米可以判断有危险，再根据勾股定理求出的长，进而得出的长即可． 【详解】（1）解：由题意可知，米，米，米， ∴， ∴是直角三角形，且， 如图1，过点C作于点D， （米） 答：山地C距离公路的垂直距离为米． （2）公路有危险需要暂时封锁，理由如下： 如图2，过C作于点D，以点C为圆心，520米为半径画弧，交于点E、F，连接，， 则米，， 由（1）可知，米， ∵480米米， ∴有危险需要暂时封锁， 在中，由勾股定理得： （米） ∴（米）， 即需要封锁的公路长为400米． 【题型8】勾股定理的逆定理 1．（24-25八年级下·四川德阳·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积．    【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理求出，再由勾股定理逆定理判断形状，即可求出答案． 【详解】解： ∵，， 为直角三角形， ． 2．（23-24八年级上·陕西汉中·期末）如图，青青想用自己学过的知识测量一条湖两端的距离，他在地面上取了一点，测得米，米，在上取了一点，测得米，米，请你根据青青的测量结果，计算这条湖两端的距离． 【答案】这条湖两端的距离为米 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理的应用，解题的关键是掌握相关知识．先根据勾股定理的逆定理得到，再求出米，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】解： 米，米，米， ，， ， ，即， 米，米， （米）， （米）， 答：这条湖两端的距离为米． 3．（24-25八年级上·山东济南·期中）我区某校校园有一块四边形的空地，如图所示，为了绿化环境，学校拟对空地进行美化施工，已知米，米，，米，米，学校欲在此空地上铺草坪． (1)求四边形的空地的面积； (2)已知草坪每平方米160元，试问用该草坪铺满这块空地共需花费多少元？ 【答案】(1)24 (2)3840 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的应用．熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键； 连接，根据勾股定理求出，根据勾股定理的逆定理求出，求出区域的面积，即可求出答案． 【详解】（1）解：如图，连接， 在中，，米，米， 由勾股定理得米， ∵米，米， ，， ∴， ∴， 该区域面积 (平方米)， （2）用该草坪铺满这块空地共需花费元． 答：用该草坪铺满这块空地共需花费3840元． 4．（24-25八年级下·重庆长寿·期中）2020年是第六届全国文明城市创建周期的第三年，是“强基固本、全力冲刺”的关键之年．“创城”，既能深入改变一座城市的现代化进程，也能深刻影响生活在此间的人们．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的四边形空地．如图，已知，，，，技术人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间距离为15m，便快速确定了． (1)请写出技术人员测量的是哪两点之间的距离，并说明他确定的理由； (2)若平均每平方米空地的绿化费用为100元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？ 【答案】(1)测量的是A，C两点之间的距离，理由见解析； (2)元． 【分析】本题考查了勾股定理逆定理的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接运用勾股逆定理进行列式计算，即可作答． （2）直接运用勾股逆定理进行列式计算，得证，再计算，，最后相加，即可作答． 【详解】（1）连接， 技术人员测量的是A，C两点之间的距离， 理由测量的是A，C两点之间的距离， 理由如下：∵， ∴ ∴； （2）∵， ∴ ∴ ∴， ， ∴ ∴绿化这片空地共需花费元． 【题型9】垂直平分线的性质 1．（23-24八年级上·云南楚雄·期末）如图，在中，DE垂直平分BC，若，，则AD的长为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质．熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．由线段垂直平分线的性质可知，垂直平分，则.利用这一性质和已知的和的长度，可以计算出的长度. 【详解】解：因为垂直平分，， 所以， 因为， 所以， 解得. 故选：C. 2．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）如图，在中，分别以顶点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点，，作直线，分别交，于点，，连接，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了作图-基本作图：先利用基本作图得到垂直平分，，从而可求出． 【详解】解：由基本作图得到垂直平分， ∴， ∵ ∴， 故选：C． 3．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线交于点，，，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质得，即可得的周长，据此即可求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴的周长， 故选：． 4．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，的垂直平分线l交于点D．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质．掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题关键．根据线段垂直平分线的性质得出，结合等边对等角即可得出． 【详解】解：∵的垂直平分线l交于点D， ∴， ∴． ∵， ∴． 故选A． 5．（22-23八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，、的垂直平分线分别交于点、，若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵、分别为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 6．（24-25八年级上·江西上饶·期中）到的三个顶点距离相等的点是的（   ） A．三条角平分线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条高的交点 D．三边中线的交点 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定定理，熟练掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解决此题的关键． 根据线段垂直平分线的判定定理判断即可． 【详解】解：∵到三角形的一边的两端点距离相等的点在这边的垂直平分线上， ∴到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点， 故选：B． 【题型10】垂直平分线的性质与判定 1．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）在中，点D在的平分线所在的直线上．过点D作于E，作交的延长线于F，且． (1)求证：点D在的垂直平分线上： (2)若，．求的长度是多少？ 【答案】(1)证明见解析 (2)1 【分析】（1）连接，，先由角平分线的性质就可以得出，再证明就可以得出结论； （2）由条件可以得出就可以得出，进而就可以求出结论． 【详解】（1）证明：连接，， ∵点D在的平分线所在的直线上，过点D作于E，作交的延长线于F， ， 在和中， ， ， ， ∴点D在的垂直平分线上； （2）解：在和中， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】此题考查角平分线的性质的运用，线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定与性质的运用，证明三角形全等是关键． 2．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点P． (1)求证：点P在线段的垂直平分线上； (2)已知，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）连接，，，根据线段垂直平分线的性质证明，从而证明结论即可； （2）先根据垂直平分线的性质证明，，，再设，，然后根据三角形内角和定理，求出，再根据直角三角形的性质求出和，再根据对顶角的性质求出，，最后利用三角形内角和定理求出答案即可． 【详解】（1）证明：如图所示，连接，，， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴点P在线段的垂直平分线上； （2）解：∵垂直平分，垂直平分， ∴，，， ∴， 设，， ∴，，，， ∴，， ∵，， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性性质，等腰三角形的性质，对顶角相等等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 3．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，是的角平分线，，，垂足分别是E，F，连接，与相交于点G． (1)求证：是的垂直平分线； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识，解题的关键是： （1）根据证明，得出，，然后根据线段垂直平分线的判定即可得证； （2）根据割补法求解即可． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴A、D都在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线； （2）解：∵，， ∴ ． 4．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，中，，连接为是上一点且． (1)求证：垂直平分． (2)已知求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，等腰三角形的性质，含30度直角三角形的性质，三角形面积公式 （1）根据线段垂直平分线的判定即可证的结论； （2）过点作于，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，由含30度直角三角形的性质求出，根据三角形面积公式即可求出答案． 【详解】（1）证明：，， ∴点A在垂直平分线上，点E在垂直平分线上， 垂直平分； （2）解：中， ，， ， ， 过点作于， ， 的面积． 【题型11】角平分线的性质 1．（24-25八年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点和，再分别以点为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，连接并延长交于点，于点，则的面积为（   ） A．4 B．5 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积公式，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 根据题意得出平分，作垂直于点，得到，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：作垂直于点， 由题意得平分， ∵， ∴， ∵， ∴, 故选： D． 2．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M、N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，则的面积为（    ）    A．15 B．20 C．25 D．30 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的作图和性质，过点D作于点H，根据作图可得平分，再根据角平分线的性质可得，即可求解，熟练掌握知识点并作出适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点D作于点H， 由作图可得，平分， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的面积为， 故选：A． 3．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，在中，，点D在的外部，且平分，过点D作，交的延长线于点E，，交于点F，连接．若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形的外角性质．连接，过点D作，交的延长线于点G，证明平分，平分，利用三角形的外角性质求得，进一步计算即可求解． 【详解】解：连接，过点D作，交的延长线于点G， ∵，，， ∴平分， ∵平分， ∴，， ∴， ∴， ∴平分， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 故答案为：． 【题型12】角平分线的性质与判定 1．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． (1)则 °； (2)求证：平分； (3)若，且，则的面积为 ． 【答案】(1)40 (2)见解析 (3)3 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形外角的性质，三角形面积公式，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键． （1）根据垂直得到，利用三角形外角的性质得到，再根据，即可求出的度数； （2）过E作于M，于N，由角平分线的性质推出，，得到，即可证明平分； （3）由三角形面积公式得到，即可求出的出，即可求出△ABE的面积． 【详解】（1）解：， ， ， ， ，， ， （2）证明：过E作于M，于N， ，， ∴， ∴， ∴平分， ∵， ∴， 同理：， ∴， ∵， ∴平分； （3）解：∵的面积的面积的面积， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积． 故答案为：3． 2．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，，于点，，点在上，． (1)求证：平分； (2)求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】（）由，，则，证明，再由角平分线的判定定理即可求证； （）先证明，则，所以，又，然后代入求证即可； 本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质和判定定理，同角的补角相等，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴点在的平分线上， ∴平分； （2）证明：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由（）得， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，与均为等腰直角三角形，连接，，相交于点． (1)求证：； (2)求的大小． (3)连接，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）首先根据等腰直角三角形的性质得到，，，进而得到，即可证明出； （2）首先根据全等三角形的性质得到，然后根据对顶角相等得到，然后利用三角形内角和定理求解即可； （3）首先根据全等三角形的性质得到，然后利用角平分线的判定定理求解即可． 【详解】（1）∵与均为等腰直角三角形， ∴，， ∴，即 ∴ ∴； （2）设与交于点B， ∵ ∴ 又∵ ∴； （3）如图所示，连接，过点D作，， ∵，，，， ∴ ∴平分． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理的应用，角平分线的判定定理，对顶角相等等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 4．（22-23八年级上·江苏·期中）如图，在的两边，上分别取点M，N，连接．若平分，平分． (1)求证：平分； (2)若，且与的面积分别是16和24，求线段与的长度之和． 【答案】(1)见解析 (2)20 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线．添加垂线，熟练掌握角平分线的判定与性质，三角形面积面积公式求三角形面积，是解题的关键． （1）过点P作 ，垂足为C，过点作，垂足为D，过点作，垂足为，先利用角平分线的性质定理可得，，再利用角平分线判定定理，即可解答； （2）根据的面积是16，，可求出，从而可得，然后再利用 的面积的面积，进行计算即可解答． 【详解】（1）证明：过点P作 ，垂足为C，过点作，垂足为D，过点作，垂足为. ∵平分，，， ∴. ∵平分，，， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：∵的面积是16，， ， ， ， ∴. ∵的面积是24， ∴四边形的面积的面积的面积， ∴ 的面积的面积， ， ∴ ， ∴， ∴线段与的长度之和为20. 5．（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，，E是的中点，连接．    (1)若平分，求证：是的平分线； (2)在（1）的条件下，若，，直接写出的长为________； (3)若，求证：是的平分线． 【答案】(1)见解析 (2)5 (3)见解析 【分析】（1）如图：过E作，由角平分线的性质定理可得，再结合已知条件可得，进而得到，最后根据角平分线的判定定理即可证明结论； （2）先证明可得，同理可得，最后根据线段的和差即可解答； （3）如图：延长交于点N，再证明可得，进而得到是线段的垂直平分线，即；最后根据等腰三角形三线合一的性质即可证明结论． 【详解】（1）证明：如图：过E作，    ∵平分，，， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴是的平分线． （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴；    同理可得：， ∴． 故答案为：5． （3）证明：如图：延长交于点N， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴是的平分线（三线合一）．    【点睛】本题主要考查了角平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关判定与性质定理成为解题的关键． 【题型13】尺规作图-角平分线与垂直平分线 1．（23-24八年级下·贵州六盘水·期中）在中，． (1)利用直尺和圆规完成如下操作，作的平分线和的垂直平分线，交点为（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，若，求的度数． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线和线段垂直平分线的作法及其性质，等腰三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． （）根据角平分线和线段垂直平分线的作法作图即可； （）由三线合一可得，即得，再根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质即可求解； 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求； （2）解：，为的平分线， ， ∴， ∴，， 点在的垂直平分线上， ， ． 2．（24-25八年级上·江西赣州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，点． (1)只用直尺（没有刻度）和圆规，求作一个点，使点同时满足下列两个条件（要求保留作图痕迹，不必写出作法）：①点到，两点的距离相等；②点到轴和轴的距离相等． (2)在（1）作出点后，写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． （1）作的垂轴平分线和的角平分线，它们的交点即为点； （2）由于点在的垂轴平分线上，则点的横坐标为2，再利用点在第一象限的角平分线上，则点的横纵坐标相同，从而得到点坐标． 【详解】（1）解：如图，点即为所求作的点； （2）解：设的垂直平分线交于点，交轴于点， 由作图可得，，轴，且， 是坐标轴的角平分线， ． 3．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，如图在中，利用尺规作图． (1)画出的角平分线，线段的垂直平分线，保留作图痕迹； (2)在（1）中，所画角平分线与垂直平分线相交于点F，连接，若，，则的度数是多少？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据作角的平分线、作线段的垂直平分线的方法，作出的平分线、线段的垂直平分线即可； （2）先证明，由∠，根据三角形内角和定理得，即可求得． 【详解】（1）解：如图，射线是的平分线，直线是线段的垂直平分线． （2）解：如图，与交于点F， ∵平分， ∴， ∵点F在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查尺规作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，正确地作出的平分线及线段的垂直平分线是解题的关键． 4．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在的内部找出一点，使得，且满足点到与的距离相等．（尺规作图，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查的是角平分线和线段的垂直平分线的尺规作图，根据角平分线和线段的垂直平分线的尺规作图方法作图即可． 【详解】解：连接，作线段的垂直平分线，作的平分线交于点P，如图所示，点P即为所求． $$