辽宁省沈阳市私立联合体2024-2025学年八年级下学期段考数学试卷（一）

2024-2025学年辽宁省沈阳市私立联合体八年级（下）段考数学试卷（一） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列式子中是一元一次不等式的是(    ) A. B. C. D. 2.下列变形过程正确的是(    ) A. 由，得 B. 由，得 C. 由，得 D. 由，得 3.等腰三角形的一边为4，另一边为9，则这个三角形的周长为(    ) A. 17 B. 22 C. 13 D. 17或22 4.不等式的解集在数轴上表示正确的是(    ) A. B. C. D. 5.如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且点B，E，C在同一直线上时，电线杆工程人员这种操作方法的依据是(    ) A. 等角对等边 B. 等腰三角形三线合一的性质 C. 两点之间线段最短 D. 垂线段最短 6.下列说法中，错误的是(    ) A. 不等式的整数解有无数多个 B. 不等式的负整数解是有限个 C. 是不等式的一个解 D. 不等式的解集是 7.一艘轮船由海平面上A地出发向南偏东的方向行驶100海里到达B地，再由B地向北偏东的方向行驶100海里到C地，则A，C两地相距(    ) A. 100海里 B. 每里 C. 70海里 D. 60海里 8.如图，在中，，按下列步骤作图： ①分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N； ②作直线MN，与边AB相交于点D，连结 下列说法不一定正确的是(    ) A. B. C. D. 9.某商场促销，真真将促销信息告诉了同学小明，现假设某一商品的定价为x元，小明根据信息列出了不等式，那么真真告诉小明的信息是(    ) A. 买两件该商品可减150元，再打八折，最后不超过1200元 B. 买两件该商品可打八折，再减150元，最后不超过1200元 C. 买两件该商品可打八折，再减150元，最后不到1200元 D. 买两件该商品可减150元，再打八折，最后不到1200元 10.下列说法中，正确的结论有个. ①在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上； ②三角形三条边的垂直平分线的交点到这个三角形三个顶点的距离相等； ③“对顶角相等”的逆命题是真命题； ④反证法证明“一个三角形中最小角不大于”应先假设这个三角形中最小角大于 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.x的2倍与13的差大于7，用不等式表示为______. 12.如图，在中，，BD平分，，点E是BC边上的一个动点，则线段DE的最小值为______. 13.对于任意实数a，b，定义关于的一种运算如下：aⓇ，例如5Ⓡ，5Ⓡ若Ⓡ，则x的取值范围是______. 14.如图，在中，，D为AB上一点.若，，，则CB的长为______. 15.如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧交AB，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，作射线BD交边AC于点当是等腰三角形时，的度数为______ 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题10分 解不等式：； 不等式的解集为，求a的值. 17.本小题8分 如图，已知，求作BC边上的高保留作图痕迹，不写作法； 在的中，，，，求的面积. 18.本小题8分 为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神，某校开展班级篮球赛.比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场扣1分，八年一班在12场比赛中总积分不低于27分，求该班至少胜多少场？ 19.本小题8分 如图，在中，BD，CE相交于点O，，且求证：点O在线段BC的垂直平分线上； 若中的条件改为，那么结论还成立吗？请说明理由. 20.本小题8分 如图，一次函数图象与x轴交于点A，一次函数图象与x轴交于点，两函数图象交于点 求一次函数的表达式； 下列说法正确的有______填序号； ①关于x的不等式的解集是； ②当时，一次函数值的取值范围是； ③关于x的方程的解是； ④关于x的不等式的解集是 观察图象，请直接写出不等式的解集. 21.本小题8分 某文体书店销售A，B两种跳绳，购买2条A种跳绳和3条B种跳绳共计35元，购买6条A种跳绳和4条B种跳绳共计80元. 求A种跳绳和B种跳绳每条的价钱； 现该文体书店对A，B两种跳绳开展促销活动，活动方案如下两种促销方案不能同时使用： 方案 内容 促销方案一 买一条A种跳绳，赠送一条B种跳绳 促销方案二 买A种或B种跳绳都打八折 某校为了准备跳绳比赛，计划购买A，B两种跳绳，且B种跳绳比A种跳绳多买20条.请根据购买A种跳绳的条数x的不同范围，说明该校选择哪种促销方案更合适. 22.本小题12分 在中，，点D在BC边上，点E在AB边上，且 若DE垂直平分AB，求的度数； 若，求证：； 若，当是以ED，EB为腰的等腰三角形时，求AC的长. 23.本小题13分 【概念学习】 对于平面直角坐标系中的图形K和图形W，给出如下定义：R，S分别为图形K和图形W上任意一点，将R，S两点间距离的最小值称为图形K和图形W之间的“关联距离”，记作例如，如图1，点与y轴之间的“关联距离”轴 【理解概念】 如图1，点在边长为5的正方形OABC内，则正方形______； 【深入探索】 如图2，一次函数图象与y轴交于点E，与x轴交于点F，若点和一次函数的图象之间的“关联距离”直线，求m的值； 如图3，在等边中，点A的坐标是，点B，C在y轴上，点H是x轴上一点，若，请直接写出点H的坐标. 【拓展延伸】 在中，，，，当时，对于每一个n，若和一次函数是常数，的图象之间的“关联距离”直线，请直接写出k的取值范围. 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：依次分析每个选项是否符合一元一次不等式的定义判断如下： A、，因为是分式，所以该不等式不是整式不等式，不满足一元一次不等式的定义，不符合题意； B、，含有一个未知数x，未知数的次数是1，并且是用大于号连接的整式不等式，符合一元一次不等式的定义，符合题意； C、是等式，不是不等式，不符合题意； D、中未知数x的最高次数是2，不是1，不满足一元一次不等式的定义，不符合题意． 故选： 依次分析每个选项是否符合一元一次不等式的定义，即含有一个未知数，未知数的次数是1，且用不等号连接的整式不等式． 本题考查一元一次不等式的概念，解题的关键是准确掌握一元一次不等式的定义并据此对每个选项进行判断． 2.【答案】C  【解析】解：， ， 选项A不符合题意； ，， ， 选项B不符合题意； ， ， 选项C符合题意； 由，得， 选项D不符合题意． 故选： 根据不等式的性质，逐项判断即可． 此题主要考查了不等式的性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘或除以同一个负数，不等号的方向改变． 3.【答案】B  【解析】解：当腰长为4时，则三角形的三边长为：4、4、9； ，不能构成三角形； 因此这个等腰三角形的腰长为9，则其周长 故选： 本题可先根据三角形三边关系，确定等腰三角形的腰和底的长，然后再计算三角形的周长． 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；对于已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 4.【答案】A  【解析】解：， 解得， 故选： 根据解不等式的方法，可得答案． 本题考查了在数轴上表示不等式的解集，不等式的解集在数轴上表示出来向右画；<，向左画 5.【答案】B  【解析】解：工程人员这种操作方法的依据是：等腰三角形“三线合一”， 故选： 根据等腰三角形的性质即可得到结论． 本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 6.【答案】C  【解析】A、不等式的整数解有无数个，故不符合题意； B、不等式的负整数解有，，，，共4个，是有限个，故不符合题意； C、不等式的解集是，不是它的一个解，故符合题意； D、不等式的解集是，故不符合题意． 故选： 根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据不等式的解集确定其整数解即可． 本题主要考查对解一元一次不等式，不等式的性质，不等式的解集，一元一次不等式的整数解等知识点的理解和掌握，能根据不等式的性质求出不等式的解集和理解不等式的解的含义是解此题的关键． 7.【答案】A  【解析】解：如图，连接AC， 点B在点A的南偏东方向，点C在点B的北偏东方向， ，， ， 海里， 为等边三角形， 海里， 故选： 先求得，然后可判断为等边三角形，从而可求得AC的长． 本题主要考查解直角三角形的应用-方向角问题、等边三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握等边三角形的性质． 8.【答案】C  【解析】解：由作图可知，MN垂直平分线段BC， ，， ，， ， ， ， ， 故选项A，B，D正确， 根据题意不能证明， 故选： 利用线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理一一判断即可． 本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 9.【答案】D  【解析】解：由关系式可知： ， 由，得出两件商品减150元，以及由得出买两件打8折， 故可以理解为：买两件等值的商品可减150元，再打8折，最后不到1200元． 故选： 根据，可以理解为买两件减150元，再打8折得出总价小于1200元． 此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据已知得出最后打8折是解题关键． 10.【答案】C  【解析】解：①在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，说法正确； ②三角形三条边的垂直平分线的交点到这个三角形三个顶点的距离相等，说法正确； ③“对顶角相等”的逆命题是如果两个角相等，则这两个角为对顶角，此命题为假命题，本小题说法错误； ④反证法证明“一个三角形中最小角不大于”先应假设这个三角形中最小角大于，说法正确； 故选： 根据角平分线的性质，垂直平分线的性质、命题及逆命题的判断、反证法判断即可． 本题主要考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质、命题及逆命题的判断、反证法，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 11.【答案】  【解析】解：根据题意，x的2倍与13的差大于7，可列不等式为， 故答案为： 根据不等式的意义解答即可． 本题考查了不等式，熟练掌握不等式的意义是解题的关键． 12.【答案】2  【解析】解： 点E是BC边上的一个动点， 当时，线段DE有最小值， 如图，过D作于点， ，BD平分， ，即线段DE的最小值为2， 故答案为： 当时，DE最小，过D作，由角平分线的性质可求得，则可中求得答案． 本题主要考查角平分线的性质，确定出线段DE最小值时的位置是解题的关键． 13.【答案】  【解析】解：Ⓡ， Ⓡ， ， ， 故答案为： 利用新定义的规定得到关于x的不等式，解不等式即可得出结论． 本题主要考查了一元一次方程的解法，一元一次不等式的解法，本题是新定义型，正确理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键． 14.【答案】  【解析】解：如图，过点C作于点E， 则， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 过点C作于点E，由等腰三角形的性质得，则；在中，由勾股定理求得，再在中，由勾股定理即可求得 本题主要考查了等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，解决问题的关键是熟练掌握等腰三角形三线合一的性质，角对的直角边等于斜边的一半，勾股定理解三角形． 15.【答案】36或  【解析】解：连接DM、DN， 由作图得：，， 在和中， ， ≌， ， ， ， 是等腰三角形有三种情况： ①， 则， 又与矛盾， 此情况不成立； ②， ， 设， 则，， ， ， 解得，即； ③， 则， 设，，， ， ， 解得，即； 综上，或 故答案为：36或 连接DM、DN，证明≌，根据全等三角形的性质可得，是等腰三角形分三种情况考虑：①，②，③，结合、、之间的数量关系，利用一元一次方程求解即可． 本题考查的知识点是全等三角形的判定与性质、等边对等角、几何图形中的角度计算、一元一次方程的实际应用，解题关键是分类讨论考虑当是等腰三角形的三种情况． 16.【答案】；     【解析】解：， ， ， ； ， ， ， 由题意可得： ， 先去分母，再去括号，再进行移项和合并同类项，最后将系数化为1即可得解； 先移项和合并同类项，将系数化为1得出不等式的解，再由该不等式的解集为，可推得，求解即可． 本题考查的知识点是解一元一次不等式，一元一次不等式的解集，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式． 17.【答案】见详解；     【解析】解：延长BC，过点A做BC的垂线，AD即为BC边上的高， ， 又， ， ， 的面积为 延长BC，过点A做BC的垂线即可； 根据含30度角的直角三角形的性质，可得，再根据面积公式即可求解． 本题考查了作垂线，含30度角的直角三角形的性质，掌握作垂线的方法和含30度角的直角三角形的性质是解题的关键． 18.【答案】该班至少胜10场．  【解析】解：八年一班在12场比赛中总积分不低于27分，设该班胜x场，则负场， 则， 解得， 是正整数， 的最小值为10， 答：该班至少胜10场． 设该班胜x场，则负场，根据题意列出不等式即可求解． 本题考查了一元一次不等式的应用，根据题意找到不等量关系是解题的关键． 19.【答案】见解析；   结论还成立；理由见解析．  【解析】证明：，，， ， ， ， 点O在线段BC的垂直平分线上； 解：结论还成立；理由如下： ， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ， ， 点O在线段BC的垂直平分线上． 先证明，可得，所以，即可证明； 由题意易得≌，可得，，求得，即可证明． 本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，熟练掌握全等三角形的性质和判定和垂直平分线的性质是解题的关键． 20.【答案】；   ①③④；  或  【解析】解：一次函数图象与x轴交于点A，一次函数图象与x轴交于点，两函数图象交于点， 一次函数图象经过点， ， ， 一次函数图象经过点和， ， 解得， 一次函数； 由图象可得： ①关于x的不等式的解集是，说法正确； ②令，则， 当时，一次函数值的取值范围是，原说法错误； ③关于x的方程的解是，说法正确； ④关于x的不等式的解集是，说法正确． 综上，正确的说法是①③④； 故答案为：①③④； ， 或， 观察图象，的解集为， 的解集为， 综上，的解集为或 先求得，再利用待定系数法求解即可； 利用数形结合，即可求解； 转化为或，观察图象，数形结合，即可求解． 本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与一元一次不等式，熟练掌握以上知识点是关键． 21.【答案】A种跳绳每条10元，B种跳绳每条5元；   促销方案见解析．  【解析】解：设A种跳绳每条x元，B种跳绳每条y元， 根据题意得：， 解得 种跳绳每条10元，B种跳绳每条5元， 答：A种跳绳每条10元，B种跳绳每条5元． 促销方案一的花费：元， 促销方案二的花费：元， 当， 解得， 当， 整理得，， 解得 当， 整理得，， 解得， 所以当时，该校选择促销方案一和二同样合适， 当时，该校选择促销方案二更合适， 当时，该校选择促销方案一更合适． 设A种跳绳每条x元，B种跳绳每条y元，根据已知条件列出方程组求出两种跳绳的单价； 分别计算两种促销方案的花费，通过比较花费来确定合适的方案． 本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意列出方程组和不等式来求解． 22.【答案】；   见解析；    【解析】解：在中，，垂直平分AB， ， 即是等腰三角形， 是角平分线， ， ， ； 证明：，， ， ， ， ， ， 如图1，过点A作于点M， 是等腰三角形，AM是中线， ， 在和中， ， ≌， ， ； 解：当时，得图中角之间的关系如图2，过点A作交BC的延长线于点F， ， ，，， 由勾股定理得： 由垂直平分线性质推得，再由等腰三角形的三线合一得，结合求得后即可得的度数； 先结合图中角的关系推得，过点A作于点M，由三线合一得，再证≌，根据全等三角形的性质即可得证； 过点A作交BC的延长线于点F，理清图中各角的数量关系，再结合勾股定理即可得解． 本题属于三角形综合题，主要考查的知识点是垂直平分线性质、等腰三角形的判定、三线合一、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解题关键是熟练掌握三线合一． 23.【答案】2；   m的值为或；   H的坐标为，，；理由见解答过程；   k的取值范围为且；理由见解答过程．  【解析】解：与边长为5的正方形OABC的边上的点的最小距离为2， 根据“关联距离”的定义得：正方形， 故答案为：2； 根据题意得点在直线l即上， 过点G作，，连接GE、GO、GF，如图所示： ， 当时，，当时，， ，， ， ， ，， 解得：， ； 当时， 解得： ，结合图形得： 点与点G关于点C对称， ， ； 综上可得或， 即m的值为或； 的坐标为或或；理由如下： 分三种情况讨论： 当H在A右侧时，如图3： ， ， 的坐标是， 的坐标是； 当H在线段OA上时，过H作于D，如图4： ， ， 是等边三角形，， ， ， 的坐标是， ， 的坐标是； 当H在BC左侧时，如图5： ， ， ； 综上所述，H的坐标为或或； 的取值范围为且；理由如下： 当时，， 直线过定点， 当时，，，， 当时，，，， 做出相应图形为： 当时，平移到， 把代入得：， 解得， 把代入得：， 解得， 直线 结合图形得， 且 根据“关联距离”的定义求解即可； 根据题意得点在直线l即上，过点G作，，连接GE、GO、GF，结合图形，利用勾股定理及等面积法求解即可得出结果； 分三种情况画出图形：当H在A右侧时，当H在线段OA上时，当H在BC左侧时，作出相应图形求解即可； 根据题意得出直线过定点，作出，确定当时，平移到，然后结合图形即可求解． 本题属于一次函数综合题，主要考查一次函数的综合应用，涉及新定义，等边三角形，平行四边形等知识，解题的关键是分类讨论思想和数形结合思想的应用． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$