专题4.4 平行四边形中的动点问题（压轴题专项讲练）-2024-2025学年八年级数学下册压轴题专项讲练系列（浙教版）

专题4.4 平行四边形中的动点问题 · 典例分析 【典例1】如图①，在中，．动点以每秒5个单位长度的速度从点出发沿运动，同时动点以每秒2个单位长度的速度从点出发沿运动，当点、点中有一点停止运动，另一点也同时停止运动．设点运动的时间为秒． （1）当点从向运动时，______，______； 当点从向运动时，______；（用含的代数式表示）． （2）当直线恰好平分的面积时，求的值． （3）如图②，点、分别为、的中点，当以、、、为顶点的四边形面积是面积的时，直接写出所有满足条件的的值． 【思路点拨】 本题考查了平行四边形的性质，一元一次方程的应用． （1）根据题意列出代数式即可； （2）当直线经过的中心点时，恰好直线恰好平分的面积，则，分两种情况讨论，列式计算即可求解； （3）分五种情况讨论，列式计算即可求解． 【解题过程】 （1）解：当点从向运动时，，，，； 当点从向运动时， ；（用含的代数式表示）． 故答案为：，，； （2）解：当直线经过的中心点时，恰好直线恰好平分的面积， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴或， 解得或； （3）解：设平行四边形的高为，则平行四边形的面积为， 当时，，， 由题意得，，解得； 当时，，， 由题意得，，解得（舍去）； 当时，，， 由题意得，，解得（舍去）； 当时，，， 由题意得，，解得（舍去）； 当时，，， 由题意得，，解得； 综上，的值为或． · 学霸必刷 1．（23-24八年级下·河南鹤壁·期末）如图所示，等边三角形的边长为10cm，射线，点E从点A出发沿射线：以的速度运动，同时点F从点B出发沿射线以的速度运动．设运动时间为，当以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为（    ） A．2或3 B．2或5 C．5或10 D．2或10 【思路点拨】 本题考查了平行四边形的判定．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想、数形结合思想与方程思想的应用．分别从当点在的左侧时与当点在的右侧时去分析，由当时，以、、、为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案． 【解题过程】 解：①当点在的左侧时，根据题意得： ， ， 则， ， 当时，四边形是平行四边形， 即， 解得：； ②当点在的右侧时，根据题意得： ， ， 则， ， 当时，四边形是平行四边形， 即， 解得：； 综上可得：当或时，以、、、为顶点四边形是平行四边形． 故选：D． 2．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线以每秒的速度运动．动点同时从点出发，在线段上以每秒的速度向点运动；当动点到达点时，动点也同时停止运动．设点的运动时间为秒，当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，的值为（   ） A．2或秒 B．秒 C．或秒 D．秒 【思路点拨】 本题主要考查了平行四边形的性质，一元一次方程的应用，分两种情况：①当四边形为平行四边形时，②当四边形为平行四边形时，分别结合平行四边形的性质，列出一元一次方程，解方程即可求解． 【解题过程】 解：∵，动点同时从点出发，在线段上以每秒的速度向终点运动， ∴运动时间为（秒）， ，的速度为每秒，到达的时间为（秒）， 当在点以及点的左边时，即时，， 当在的右边时，即时，， 以点、、、为顶点的四边形是平行四边形， ①当四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得：； ②当四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得， 综合上述，当或时，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形． 故选：C． 3．（23-24八年级下·陕西·阶段练习）如图，在平行四边形中，，，的平分线交于点F，点E是的中点，点P以每秒1的速度从点A出发，沿向点F运动；点Q同时以每秒2的速度从点C出发，沿向点B运动，点P运动到F点时停止运动，点Q也同时停止运动，当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，运动的时间为（    ） A．2 B．5 C．2或 D．5或 【思路点拨】 本题考查了平行四边形的性质，角平分线，一元一次方程的应用．熟练掌握平行四边形的性质，角平分线，一元一次方程的应用是解题的关键． 由平行四边形，是的平分线，可得，则，由题意得，点P运动到时间为，点Q运动到时间为，当时，，，则，，当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，，即，计算求解即可；当时，，，则，，当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，，即，计算求解即可． 【解题过程】 解：∵平行四边形，是的平分线， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴点P运动到时间为，点Q运动到时间为， 当时，，，则，， 当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，， ∴， 解得，， 当时，，，则，， 当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，， ∴， 解得，， 综上所述，当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，运动的时间为2或， 故选：C． 4．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）如图，在四边形中，，，，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以的速度由A向D运动，点Q以的速度由C向B运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒．当点P、Q与四边形的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时， ． 【思路点拨】 本题考查平行四边形的性质、解一元一次方程，设t秒后四边形是平行四边形，由题意得，，，由列方程求解即可；当四边形是平行四边形，由题意得，，，由或列方程求解即可． 【解题过程】 解：设t秒后四边形是平行四边形， 由题意得，，， 则， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴， 解得， 即秒时四边形是平行四边形； 当四边形是平行四边形， 则， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴， 解得， 当时，， 解得， ∴或2或4秒时，直线将四边形截出一个平行四边形， 故答案为：或2或4． 5．（23-24八年级下·河南周口·期末）如图，在中，，于点D，且，点 M以点 A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时点 P从点 B出发，沿方向匀速运动，速度为，过点 P 的直线，交于点Q，连接，设运动时间为，当t为 时，以P、Q、D、M为顶点的四边形是平行四边形． 【思路点拨】 本题考查了平行四边形的判定、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及分类讨论等知识；熟练掌握平行四边形的判定和等腰三角形的判定是解题的关键． 分两种情况：①当点在点的上方时，，，，得，由，当时，四边形是平行四边形，得出方程，解方程即可； ②当点在点的下方时，，，，得，由，当时，四边形是平行四边形，得出方程，解方程即可． 【解题过程】 解：如图1所示： ， ， ， ，即， ， ， ， ； 分两种情况： ①当点在点的上方时，如图2所示： 由题意得：，，， ， ， ， 当时，四边形是平行四边形， 即：当时，四边形是平行四边形， 解得：； ②当点在点的下方时，如图3所示： 根据题意得：，，， ， ， ， 当时，四边形是平行四边形， 即：当时，四边形是平行四边形， 解得：； 综上所述，当或时，以、、、为顶点的四边形为平行四边形； 故答案为：或． 6．（23-24八年级下·山东济南·期末）如图，等腰直角三角形中，，点从点开始沿边向点运动，过点作，，分别交，于，． （1）四边形的形状是______；若设，则四边形的面积可表示为______． （2）四边形的面积能为吗？如果能，请求出点与点之间的距离；如果不能，请说明理由． 【思路点拨】 此题考查了平行四边形的判定，等腰三角形的判定和性质，利用平方根解方程，正确理解平行四边形的判定定理及图形面积的求法是解题的关键． （1）根据两组对边分别平行证明四边形是平行四边形，利用等腰直角三角形的性质推出，根据面积和差计算求出四边形的面积； （2）利用（1）列方程求解即可． 【解题过程】 （1）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵等腰直角三角形中，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴ ∴四边形的面积为： ； （2）解：能等于． 设当平行四边形的面积为时，即， ∴， ， ∴ 解得：， 即P点与A点之间的距离为时，平行四边形的面积为． 7．（23-24八年级下·湖北荆门·期中）如图，在四边形中，，，，，，动点P从点A出发，以1cm/s的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿折线向终点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）用含t的式子表示______cm； （2）当t为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？ 【思路点拨】 本题考查平行四边形的性质，列代数式： （1）根据路程等于速度乘以时间，列出代数式即可； （2）分两种情况，结合平行四边形的性质，列出方程进行求解即可． 【解题过程】 （1）解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． （2）解：过点作，则：， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 当直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形时，分两种情况： ①当四边形为平行四边形时：则：， ∴， 解得：； ②当四边形为平行四边形时，则：， ∴， 解得：； 综上：或． 8．（23-24八年级下·河南洛阳·期中）如图，在中，，，，动点P从点A开始以的速度向点C运动，动点F从点B开始以的速度向点A运动，两点同时运动，同时停止，运动时间为． （1）过点P作交于点D，连接，求证：四边形是平行四边形． （2）当t为何值时，是等边三角形？ （3）当t为何值时，是直角三角形？请直接写出答案． 【思路点拨】 本题主要考查了平行四边形的判定，等边三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质： （1）先求出，进而求出，再求出得到，由此即可证明四边形是平行四边形； （2）先求出 ，则当时，是等边三角形，据此建立方程求解即； （3）分当时，当时，两种情况讨论求解即可． 【解题过程】 （1）证明：∵在中，，，， ∴， 由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，， ∴ ∴当时，是等边三角形， ∴， ∴， ∴当时，是等边三角形； （3）解：当时，则， ∴， ∴ ∴； 当时，则， ∴， ∴ ∴； 当或时，是直角三角形． 9．（23-24八年级下·河北承德·期末）如图，在四边形中，，，，．点从点出发，以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动．规定运动时间为秒，当其中一点到达终点时另一点也同时停止运动． （1） ____，____（分别用含有的式子表示）； （2）四边形可能是平行四边形吗？说明理由． （3）当四边形的面积是四边形面积的2倍时，求出的值． （4）当点与四边形的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，直接写出的值． 【思路点拨】 本题考查了列代数式、一元一次方程的应用、平行四边形的判定和性质，利用分类讨论思想是解决问题的关键． （1）根据路程等于速度乘以时间，即可求解； （2）根据平行四边形的性质进行判断即可； （3）设点到距离为，根据四边形的面积是四边形面积的2倍，可列方程，解方程即可得到答案； （4）分四种情况讨论，根据平行四边形对边相等，列出一元一次方程，解方程即可． 【解题过程】 （1）解：∵点以的速度由向运动，点以的速度由向运动， ∴，， ∴， 故答案为：，． （2）四边形不可能是平行四边形， 由题意可得，，若四边形是平行四边形，则， 但是， ∴四边形不可能是平行四边形 （3）解：设点到的距离为， ∵四边形的面积是四边形面积的2倍， ∴可得：， 解得：； （4）解：若四边形是平行四边形， ∴， ∴可得：， 解得：， 若四边形是平行四边形， ∴， ∴可得：， 解得：， 若四边形是平行四边形， ∴， ∴可得：， 解得：（不合题意，舍去）， 若四边形是平行四边形， ∴， ∴可得：， 解得：， 综上可得：当或3或5时，点、与四边形的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形． 10．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，在中，，，动点P从点A出发，以每秒的速度沿的边逆时针匀速运动；动点Q同时从点A出发，以每秒的速度沿的边顺时针匀速运动；设点P的运动时间为t秒． （1）当点P在上运动时，______cm（用含t的代数式表示）； （2）当______秒时，P，Q两点相遇； （3）是否存在t的值，使得以点A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）结合题意利用距离速度时间的关系式解答即可； （2）利用的代数式表示出点，移动的距离，再利用两点移动的距离之和为平行四边形的周长列方程解答即可； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当为平行四边形时，利用平行四边形的对边相等的性质列出关于的方程解答即可；②当为平行四边形时，利用同样的方法解答即可． 【解题过程】 （1）解：动点从点出发，以每秒的速度沿的边逆时针匀速运动， 点t秒运动的距离为， ， 当点在上运动时，， 故答案为：； （2）解：在中，，， 的周长为． 由题意得：点经过秒运动的距离为，点经过秒运动的距离为， ，两点相遇时，， ， ． 当秒时，，两点相遇． 故答案为：； （3）解：存在的值，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，的值为秒或秒．理由： ①当为平行四边形时，如图， 由题意得：，， 四边形为平行四边形， ， ， ． ②当为平行四边形时，如图， 由题意得：，， 四边形为平行四边形， ， ， ． 综上，存在的值，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，的值为秒或秒． 11．（23-24八年级下·河南开封·期中）如图，四边形中，，，，，动点从点出发，以每秒1个单位长的速度沿线段的方向向点运动，动点从点出发，以每秒2个单位长的速度沿射线的方向运动，点、分别从点、同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动．设运动的时间为（秒． （1）当时，的面积为______； （2）若四边形为平行四边形，求运动时间t； （3）是否存在t，使得以A、P、Q三点为顶点的三角形是以为底的等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，说明理由． 【思路点拨】 本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解决问题的关键是正确分类，列出方程求解． （1）作，，证明，从而求得，进而求得和的长，进一步求得结果； （2）由列出方程求得结果； （3）作于，于，以A、P、Q三点为顶点的三角形是以为底的等腰三角形，即， 据此求解即可． 【解题过程】 （1）如图1， 作于，作于， ， ， ， ，四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 当时，， ， ， 故答案为：； （2）， 当时，四边形是平行四边形， ， ； （3）如图，作于，于， 以A、P、Q三点为顶点的三角形是以为底的等腰三角形，即， ，， ， ， ， 12．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，对角线相交于点，，，．点从点出发沿方向以的速度匀速运动，到点时停止运动，连接并延长交于点．设运动时间为． （1）当为何值时，四边形是平行四边形？并说明理由； （2）当时，求四边形的面积． 【思路点拨】 （1）当运动的时间为时，，，因为四边形是平行四边形，所以，当时，四边形是平行四边形，可得关于的方程，解方程求出的值； （2）过点作于点，过点作于点，利用三角形的面积公式求出的长度，从而可求的面积，根据三角形中位线的性质可求出的长度，从而可求的面积，用的面积减去的面积即可得到四边形的面积． 【解题过程】 （1）解：当时，四边形是平行四边形， 理由如下： 四边形是平行四边形， ，，， ， 在和中，， ， ． ， ． ， ，即时， 四边形是平行四边形， 解得：； （2）解：如图所示，过点作于点，过点作于点， ，，， 在中，由勾股定理，得， 由三角形的面积公式，得， ， ， ， ， ， ， ， 当时，， ， ． 13．（24-25八年级上·山东潍坊·期末）如图，在四边形中，，，．点从点出发，以的速度向点运动，同时点从点出发，沿着射线以的速度向右运动，当动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动时间为．    （1）在点，运动过程中，___________，___________； （2）连接，，若与互相平分，求此时的值； （3）在点，运动过程中，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出此时的运动时间；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 （1）根据，，点从点出发，以的速度向点运动，同时点从点出发，沿着射线以的速度向右运动，列出代数式即可解决； （2）根据与互相平分，得四边形是平行四边形，所以，得，解方程即可解答； （3）有两种情况：点在线段上，点在线段的延长线上，根据平行四边形对边相等列出方程解答即可． 【解题过程】 （1）解：，点从点出发，以的速度向点运动， ， ， ，点从点出发，沿着射线以的速度向右运动， ， 故答案为：，； （2）解：若与互相平分，则是平行四边形， ， 即， 解得：； （3）解：存在，理由如下： 点在线段上， 当时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形， 此时，， 即， 解得； 点在线段的延长线上， 当时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形， 此时，， 即， 解得； 综上所述，存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，此时的运动时间为或． 14．（23-24八年级下·四川德阳·期中）已知，在四边形中，，，，． （1）如图1，求长． （2）如图2，点E在的延长线上，连接，若，且四边形的面积为9．求的长． （3）如图3，在（2）的条件下，动点P从点A出发沿以每秒0.5个单位长度的速度向终点D匀速运动，动点Q从点E出发以每秒3.5个单位长度的速度沿向终点B匀速运动．点P和点Q同时出发，当点Q到达终点停止运动时点P也随之停止运动，当运动时间t（秒）为何值时，以C、D、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形？ 【思路点拨】 此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，解本题的关键是熟练掌握平行四边形的性质与判定． （1）先证明四边形是平行四边形，再由平行四边形的性质可得结果； （2）过点D作，设，由勾股定理列出方程求解即可得出结论； （3）分为当点Q在线段上时及当点Q在线段上时两种情况进行讨论，再利用平行四边形的判定列出方程求解即可． 【解题过程】 （1）解：∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）如图2，过点D作，设， ∴， ∵的面积为9，， ∴， ∴， ∵中，， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴； （3）如图3，当点Q在线段上时， 由题意得：， ∵， ∴只要使，四边形是平行四边形， ∴ 解得：， 当点Q在线段上时， 由题意得：， ∵， ∴只要使，四边形是平行四边形， ∴， 解得：， 综上所述：或时，以C、D、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形． 15．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图四边形是平行四边形，点P为边上一动点，连接并延长交的延长线于点M，过M作，垂足是 N，连接，，设点 P 运动时间为t（s）解答下列问题： （1）若，，，点 P 从点A 出发沿方向运动速度为．当t为何值时，四边形是平行四边形？ （2）在（1）的条件下是否存在某一时刻t，使四边形是平行四边形？若存在求出相应的t的值；若不存在请说明理由． 【思路点拨】 本题考查平行四边形的性质及判定，勾股定理，运用反证法是解题的关键． （1）连接，，当时，可推出，得到，从而四边形是平行四边形，根据，，代入，即可求解； （2）根据已知条件得出，由四边形是平行四边形得到，假设四边形是平行四边形，则，得到四边形是平行四边形，从而得到，，根据得到得．另外若四边形是平行四边形，平行且等于，从而四边形是平行四边形，由（1）可得此时，与当时，四边形是平行四边形相矛盾，即四边形不是平行四边形． 【解题过程】 （1）解：连接，， ∵在中，， ∴， ∵ ∴当时，， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵，， ∴， 解得， ∴当时，四边形是平行四边形． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 假设四边形是平行四边形，则，， ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴ 又∵ ∴， 解得， ∴当时，四边形是平行四边形， 若四边形是平行四边形，则，， ∵ ∴平行且等于 ∴四边形是平行四边形， 由（1）可得此时， 与当时，四边形是平行四边形相矛盾， ∴四边形不是平行四边形． 16．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图，的顶点B与坐标原点重合，点C在x轴上，点A的坐标为，．动点P从点D出发沿以1个单位每秒的速度向终点A运动，同时点Q从点B出发，以3个单位每秒的速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为t秒（）． （1）求的长； （2）连结，是否存在t的值，使得与互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； （3）若点P关于直线对称的点恰好落在直线上，请直接写出点P的坐标． 【思路点拨】 （1）根据A的坐标求出，然后利用平行四边形的性质求解即可； （2）由与互相平分，可得四边形是平行四边形，则，可得关于t的方程，求解即可； （3）分Q在线段上和线段的延长线讨论即可． 【解题过程】 （1）解：∵点A的坐标为， ∴， ∵的顶点B与坐标原点重合， ∴； （2）解：如图，连接，， ∵与互相平分， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵的顶点B与坐标原点重合，点C在x轴上， ， ∴， ∵动点P从点D出发沿以1个单位每秒的速度向终点A运动，同时点Q从点B出发，以3个单位每秒的速度沿射线运动， ∴，， ∴， ∴， ∴存在，当时，与互相平分； （3）解：当分Q在线段上时，如图， ∵P，关于对称， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当Q在线段的延长线时，如图，过D作于Q， ∵P，关于对称， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，P的坐标为或． 17．（23-24八年级下·广东梅州·期末）已知在中，动点P在边上，以每秒的速度从点A向点D运动． （1）如图1，在运动过程中，若平分，且满足，求的度数． （2）在（1）的条件下，若，求的面积． （3）如图2，另一动点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在 间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时 Q点也停止），若，求当运动时间为多少秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． 【思路点拨】 （1）由平行线的性质和角平分线定义可得，则可得，再结合可得是等边三角形，进而可得． （2）作于H点，由平行四边形的性质可得，再根据等边三角形面积公式计算即可． （3）根据题意可得， P点从A点运动到D点停止时，Q点需往返运动2次．由四边形是平行四边形可得，因此．若以P、D、Q、B四点组成的四边形是平行四边形，则，设运动时间为t秒，分4种情况讨论：①，②，③，④，根据列方程，即可求出t的值． 【解题过程】 （1）∵四边形是平行四边形， ，， ， ∵平分， ， ， ， 又， ， ∴是等边三角形， ， ． （2）如图，作于H点， ∵四边形是平行四边形， ， ∵是等边三角形， ， ， ， ． （3）由题知P点从A点运动到D点需要，Q点从C点运动到B点需要，因此P点从A点运动到D点停止时，Q点需往返运动2次． ∵四边形是平行四边形， ∴， ， 若以P、D、Q、B四点组成的四边形是平行四边形，则． 设运动时间为t秒， ①当时，，， ， 此方程无解； ②当时，，， ， 解得； ③当时，，， ， 解得； ④当时，，， ， 解得． 综上，当运动时间为9.6秒或16秒或19.2秒时，以P、D、Q、B四点组成的四边形是平行四边形． 18．（23-24九年级下·广西梧州·阶段练习）如图，在平行四边形中，，，．动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为t秒．    （1）当点Q在线段延长线上时，用含t的代数式表示线段的长； （2）连结，是否存在t的值，使得与互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； （3）若点P关于直线对称的点恰好落在直线上，请求出t的值． 【思路点拨】 本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，掌握平行四边形的性质是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质及勾股定理即可解答． （2）连接、，根据题意得到四边形是平行四边形，，列式求解即可． （3）分两种情况∶①当点P关于直线对称的点恰好落在点A下方时；②当点P关于直线对称的点恰好落在点A上方时，根据平行四边形的性质即可解答 【解题过程】 （1）解： 四边形是平行四边形， ， ， ， 当点在线段延长线上时， （2）存在，理由如下： 如图1，连接、， 与互相平分，则四边形是平行四边形， ， ， 解得：， 当t的值为时；与互相平分； （3）分两种情况： ①当点P关于直线对称的点恰好落在点A下方时，如图2，    由对称的性质得：， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 即，解得：； ②当点P关于直线对称的点恰好落在点A上方时，如图3，    由对称的性质得：， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 即，解得：； 综上所述，t的值为2或8． 19．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，在四边形ABCD中，，，，，．动点M从点B出发沿边以速度向终点C运动；同时动点N从点D出发，以速度沿射线运动，当点M到达终点时，点N也随之停止运动，设点M运动的时间为． （1）当时，__________； （2）是否存在t的值，使得A，B，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； （3）若动点M关于直线对称的点恰好落在直线上，请直接写出t的值． 【思路点拨】 本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，轴对称的性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质是解决问题的关键． （1）当时，，可知为等边三角形，即可求得； （2）由题意可知，，，分两种情况：当时，点在点右侧，当时，点在点左侧，建立等式即可求解； （3）分两种情况：当对称点落在线段上时，当对称点落在线段的延长线上时，建立等式即可求解． 【解题过程】 （1）解：当时，， 又∵，， ∴为等边三角形， ∴， 故答案为：； （2）∵，， ∴， 过点作， ∵，，则，， ∴，四边形是矩形， ∴，则， ∴，则， 由题意可知，，， 当时，点在点右侧，则， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， 即：，解得：； 当时，点与点重合，符不符合题意； 当时，点在点左侧，则， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， 即：，解得：； 综上，当或时，使得A，B，M，N为顶点的四边形为平行四边形； （3）如图，当对称点落在线段上时，根据题意，得平分， 此时，由（2）可知， ∵，，平分， ∴， ∴，即：， 解得：； 如图，当对称点落在线段的延长线上时，根据题意，得的反向延长线平分，此时，由（2）可知， ∵，，平分， ∴，则， ∴， ∴为等边三角形， ∴，即：， 解得：， 综上，动点M关于直线对称的点恰好落在直线上时，或． 20．（23-24八年级下·河北保定·期中）如图，在平行四边形中，平分，交于点E，平分，交于点F． （1）若，，求的长； （2）求证：四边形为平行四边形； （3）若，，，动点P，Q分别从B，C两点同时出发，沿和各边运动，点P沿运动，点Q沿运动，点P的运动速度为1个单位长度/秒，点Q的运动速度是点P的2倍，点Q到达点C时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，直接写出t为何值时，四边形是平行四边形． 【思路点拨】 本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据角平分线的意义及平行四边形的性质可证，则，因此； （2）由等腰三角形的判定及平行四边形的性质可证，而，故得证； （3）、为边长为1的等边三角形， 则①当点P在上，点Q在上时，可得；②当点P在上，点Q在上时，可得，分别求解即可． 【解题过程】 （1）解：∵平分， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴，； （2）证明：∵平分， ∴与（1）同理可得． ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴四边形为平行四边形； （3）解：∵，，， ∴为边长为1的等边三角形，同理也为边长为1的等边三角形． ①当点P在上，点Q在上时，如图． 当时四边形为平行四边形， ∵，， ∴， ∴； 　　　 ②当点P在上，点Q在上时，如图． 当时， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， ∴此时四边形为平行四边形， ∴， ∴， 综上所述，t的值为或． 21．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，等边的边长为8，动点M从点B出发，沿的方向以的速度运动，动点N从点C出发，沿方向以的速度运动．    （1）若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点第一次相遇？ （2）若动点M、N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点即停止运动．那么运动到第几秒钟时，点A、M、N以及的边上一点D恰能构成一个平行四边形？请画出对应的图形，并求出时间t和的值． 【思路点拨】 （1）设经过t秒钟两点第一次相遇，然后根据点M运动的路程点N运动的路程列方程求解即可； （2）分四种情况进行讨论：当时，当时，当时，当时，分别画出图形进行求解即可． 【解题过程】 （1）解：设经过t秒钟两点第一次相遇，由题意得： ， 解得：， ∴经过秒钟两点第一次相遇； （2）解：①当时，点M、N、D的位置如图所示：    ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 即：，， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴； ②当时，此时A、M、N三点在同一直线上，不能构成平行四边形； ③时，点M、N、D的位置如图所示：    ∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴， 解得：， ， ∵，， ∴为等边三角形， ∴； ④当时，点M、N、D的位置如图所示：    ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 此时M、N重合，不能构成平行四边形． 综上分析可知：运动了秒或秒时，A、M、N、D四点能够成平行四边形，或． 22．（23-24八年级上·吉林·期末）如图，在中，为对角线，垂直平分分别交、于点E、F，交于点O． （1）试说明：； （2）试说明：； （3）如果在中，，，有两动点P、Q分别从B、D两点同时出发，沿和各边运动一周，即点P自B→A→E→B停止，点Q自D→F→C→D停止，点P运动的路程是m，点Q运动的路程是n，当四边形是平行四边形时，求m与n满足的数量关系．（画出示意图） 【思路点拨】 （1）根据证即可； （2）推出，根据平行四边形性质求出，推出，根据证即可； （3）求出的周长，分为三种情况，①当P在上，Q在上，②当P在上，Q在上，③当P在上，Q在上，每种情况都等于的周长． 【解题过程】 （1）解：四边形是平行四边形， ， ， 垂直平分， ， 在和中， ， （）， ； （2）解：四边形是平行四边形， ，， ， ， 在和中， ， ()； （3）解：垂直平分， ， ， ， ， 的周长是 ， 故的周长也是， ①当P在上，Q在上， ， ， 在和中 ， ()， ， ②当P在上，Q在上， ， ， ， ， 在和中 ， ()， ， ， ， ； ③当P在上，Q在上， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 在和中 ， ()， ， ； 综上所述：m与n满足的数量关系是． 23．（24-25八年级下·江西南昌·阶段练习）已知在平行四边形中，动点在边上，以每秒的速度从点向点运动． （1）如图1，在运动过程中，若，平分，求的度数． （2）如图3，连结并延长与的延长线交于点，平分交于点，当，时，求的长 （3）如图4，在（1）的条件下，连结并延长与的延长线交于点，若，求的面积． （4）如图2，另一动点在边上，以每秒的速度从点出发，在之间往返运动，，两点同时出发，当点到达点时停止运动同时点也停止，若，当运动时间为 秒时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形． 【思路点拨】 （1）根据平行四边形的性质、角平分线的定义得到，得到，证明是等边三角形，根据等边三角形的性质解答； （2）延长交于点，证明，可得，，再证明，得，然后利用线段的和差即可解决问题； （3）作，求出，根据三角形面积公式得到，得到答案； （4）分、、、四种情况，根据平行四边形的性质定理列方程，解方程得到答案． 【解题过程】 （1）解：∵四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ； （2）解：如图3，延长交于点， 四边形是平行四边形， ，， 平分， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 的长为； （3）解：如图2，作于， 是等边三角形， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ； （4）解：四边形是平行四边形， ， ， 要使四边形是平行四边形，则， 设运动时间为秒，根据题意可知：，， 分以下四种情况： ①当时，， ， 解得，不合题意； ②当时，， ， 解得，； ③当时，， ， 解得，； ④当时，， ， 解得，； 综上所述，当运动时间为秒或秒或秒时，，，四点组成的四边形是平行四边形； 故答案为：秒或秒或秒． 24．（23-24八年级下·四川成都·期末）平行四边形中，是对角线，过点作、的垂线，垂足点在边上，垂足点在延长线上，，，． （1）如图1，求的面积； （2）如图2，连接，点是的中点，求的长； （3）如图3，与交点为，，的两边，分别与，所在直线交于点、，绕点逆时针旋转，当点从点运动到点时，求线段中点的运动路径长． 【思路点拨】 （1）根据平行四边形的性质，易证是等腰直角三角形，得到，再结合三角形面积公式求解即可； （2）过点作于点，交于点，与延长线交于点，根据等腰直角三角形的性质，得到，，结合平行四边形的性质，易证是等腰直角三角形，得出，进而得到，证，得出，，再由勾股定理求出，即可得到的长； （3）延长、交于点，取、的中点、，连接，当点在点位置时，点与点重合，中点与中点重合，当点运动到点位置时，点与点重合，中点与中点重合，从而得出中点的运动路径长为的长，证明是等腰直角三角形，得到，再利用三角形中位线定理，求出的长，即可求解． 【解题过程】 （1）解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ； （2）解：如图2，过点作于点，交于点，与延长线交于点， 是等腰直角三角形， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， 在中，， ； （3）解：如图3，延长、交于点，取、的中点、，连接， ，， ， 当点在点位置时， ， 点与点重合，中点与中点重合， 当点运动到点位置时， ， 点与点重合，中点与中点重合， 中点的运动路径长为的长， ，， ， ， 是等腰直角三角形， 由（2）可知，， ， 、为、的中点， 是的中位线， ， 即线段中点的运动路径长为． 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.4 平行四边形中的动点问题 · 典例分析 【典例1】如图①，在中，．动点以每秒5个单位长度的速度从点出发沿运动，同时动点以每秒2个单位长度的速度从点出发沿运动，当点、点中有一点停止运动，另一点也同时停止运动．设点运动的时间为秒． （1）当点从向运动时，______，______； 当点从向运动时，______；（用含的代数式表示）． （2）当直线恰好平分的面积时，求的值． （3）如图②，点、分别为、的中点，当以、、、为顶点的四边形面积是面积的时，直接写出所有满足条件的的值． 【思路点拨】 本题考查了平行四边形的性质，一元一次方程的应用． （1）根据题意列出代数式即可； （2）当直线经过的中心点时，恰好直线恰好平分的面积，则，分两种情况讨论，列式计算即可求解； （3）分五种情况讨论，列式计算即可求解． 【解题过程】 （1）解：当点从向运动时，，，，； 当点从向运动时， ；（用含的代数式表示）． 故答案为：，，； （2）解：当直线经过的中心点时，恰好直线恰好平分的面积， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴或， 解得或； （3）解：设平行四边形的高为，则平行四边形的面积为， 当时，，， 由题意得，，解得； 当时，，， 由题意得，，解得（舍去）； 当时，，， 由题意得，，解得（舍去）； 当时，，， 由题意得，，解得（舍去）； 当时，，， 由题意得，，解得； 综上，的值为或． · 学霸必刷 1．（23-24八年级下·河南鹤壁·期末）如图所示，等边三角形的边长为10cm，射线，点E从点A出发沿射线：以的速度运动，同时点F从点B出发沿射线以的速度运动．设运动时间为，当以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为（    ） A．2或3 B．2或5 C．5或10 D．2或10 2．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线以每秒的速度运动．动点同时从点出发，在线段上以每秒的速度向点运动；当动点到达点时，动点也同时停止运动．设点的运动时间为秒，当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，的值为（   ） A．2或秒 B．秒 C．或秒 D．秒 3．（23-24八年级下·陕西·阶段练习）如图，在平行四边形中，，，的平分线交于点F，点E是的中点，点P以每秒1的速度从点A出发，沿向点F运动；点Q同时以每秒2的速度从点C出发，沿向点B运动，点P运动到F点时停止运动，点Q也同时停止运动，当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，运动的时间为（    ） A．2 B．5 C．2或 D．5或 4．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）如图，在四边形中，，，，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以的速度由A向D运动，点Q以的速度由C向B运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒．当点P、Q与四边形的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时， ． 5．（23-24八年级下·河南周口·期末）如图，在中，，于点D，且，点 M以点 A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时点 P从点 B出发，沿方向匀速运动，速度为，过点 P 的直线，交于点Q，连接，设运动时间为，当t为 时，以P、Q、D、M为顶点的四边形是平行四边形． 6．（23-24八年级下·山东济南·期末）如图，等腰直角三角形中，，点从点开始沿边向点运动，过点作，，分别交，于，． （1）四边形的形状是______；若设，则四边形的面积可表示为______． （2）四边形的面积能为吗？如果能，请求出点与点之间的距离；如果不能，请说明理由． 7．（23-24八年级下·湖北荆门·期中）如图，在四边形中，，，，，，动点P从点A出发，以1cm/s的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿折线向终点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）用含t的式子表示______cm； （2）当t为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？ 8．（23-24八年级下·河南洛阳·期中）如图，在中，，，，动点P从点A开始以的速度向点C运动，动点F从点B开始以的速度向点A运动，两点同时运动，同时停止，运动时间为． （1）过点P作交于点D，连接，求证：四边形是平行四边形． （2）当t为何值时，是等边三角形？ （3）当t为何值时，是直角三角形？请直接写出答案． 9．（23-24八年级下·河北承德·期末）如图，在四边形中，，，，．点从点出发，以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动．规定运动时间为秒，当其中一点到达终点时另一点也同时停止运动． （1） ____，____（分别用含有的式子表示）； （2）四边形可能是平行四边形吗？说明理由． （3）当四边形的面积是四边形面积的2倍时，求出的值． （4）当点与四边形的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，直接写出的值． 10．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，在中，，，动点P从点A出发，以每秒的速度沿的边逆时针匀速运动；动点Q同时从点A出发，以每秒的速度沿的边顺时针匀速运动；设点P的运动时间为t秒． （1）当点P在上运动时，______cm（用含t的代数式表示）； （2）当______秒时，P，Q两点相遇； （3）是否存在t的值，使得以点A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 11．（23-24八年级下·河南开封·期中）如图，四边形中，，，，，动点从点出发，以每秒1个单位长的速度沿线段的方向向点运动，动点从点出发，以每秒2个单位长的速度沿射线的方向运动，点、分别从点、同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动．设运动的时间为（秒． （1）当时，的面积为______； （2）若四边形为平行四边形，求运动时间t； （3）是否存在t，使得以A、P、Q三点为顶点的三角形是以为底的等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，说明理由． 12．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，对角线相交于点，，，．点从点出发沿方向以的速度匀速运动，到点时停止运动，连接并延长交于点．设运动时间为． （1）当为何值时，四边形是平行四边形？并说明理由； （2）当时，求四边形的面积． 13．（24-25八年级上·山东潍坊·期末）如图，在四边形中，，，．点从点出发，以的速度向点运动，同时点从点出发，沿着射线以的速度向右运动，当动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动时间为．    （1）在点，运动过程中，___________，___________； （2）连接，，若与互相平分，求此时的值； （3）在点，运动过程中，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出此时的运动时间；若不存在，请说明理由． 14．（23-24八年级下·四川德阳·期中）已知，在四边形中，，，，． （1）如图1，求长． （2）如图2，点E在的延长线上，连接，若，且四边形的面积为9．求的长． （3）如图3，在（2）的条件下，动点P从点A出发沿以每秒0.5个单位长度的速度向终点D匀速运动，动点Q从点E出发以每秒3.5个单位长度的速度沿向终点B匀速运动．点P和点Q同时出发，当点Q到达终点停止运动时点P也随之停止运动，当运动时间t（秒）为何值时，以C、D、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形？ 15．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图四边形是平行四边形，点P为边上一动点，连接并延长交的延长线于点M，过M作，垂足是 N，连接，，设点 P 运动时间为t（s）解答下列问题： （1）若，，，点 P 从点A 出发沿方向运动速度为．当t为何值时，四边形是平行四边形？ （2）在（1）的条件下是否存在某一时刻t，使四边形是平行四边形？若存在求出相应的t的值；若不存在请说明理由． 16．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图，的顶点B与坐标原点重合，点C在x轴上，点A的坐标为，．动点P从点D出发沿以1个单位每秒的速度向终点A运动，同时点Q从点B出发，以3个单位每秒的速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为t秒（）． （1）求的长； （2）连结，是否存在t的值，使得与互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； （3）若点P关于直线对称的点恰好落在直线上，请直接写出点P的坐标． 17．（23-24八年级下·广东梅州·期末）已知在中，动点P在边上，以每秒的速度从点A向点D运动． （1）如图1，在运动过程中，若平分，且满足，求的度数． （2）在（1）的条件下，若，求的面积． （3）如图2，另一动点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在 间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时 Q点也停止），若，求当运动时间为多少秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． 18．（23-24九年级下·广西梧州·阶段练习）如图，在平行四边形中，，，．动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为t秒．    （1）当点Q在线段延长线上时，用含t的代数式表示线段的长； （2）连结，是否存在t的值，使得与互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； （3）若点P关于直线对称的点恰好落在直线上，请求出t的值． 19．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，在四边形ABCD中，，，，，．动点M从点B出发沿边以速度向终点C运动；同时动点N从点D出发，以速度沿射线运动，当点M到达终点时，点N也随之停止运动，设点M运动的时间为． （1）当时，__________； （2）是否存在t的值，使得A，B，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； （3）若动点M关于直线对称的点恰好落在直线上，请直接写出t的值． 20．（23-24八年级下·河北保定·期中）如图，在平行四边形中，平分，交于点E，平分，交于点F． （1）若，，求的长； （2）求证：四边形为平行四边形； （3）若，，，动点P，Q分别从B，C两点同时出发，沿和各边运动，点P沿运动，点Q沿运动，点P的运动速度为1个单位长度/秒，点Q的运动速度是点P的2倍，点Q到达点C时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，直接写出t为何值时，四边形是平行四边形． 21．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，等边的边长为8，动点M从点B出发，沿的方向以的速度运动，动点N从点C出发，沿方向以的速度运动．    （1）若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点第一次相遇？ （2）若动点M、N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点即停止运动．那么运动到第几秒钟时，点A、M、N以及的边上一点D恰能构成一个平行四边形？请画出对应的图形，并求出时间t和的值． 22．（23-24八年级上·吉林·期末）如图，在中，为对角线，垂直平分分别交、于点E、F，交于点O． （1）试说明：； （2）试说明：； （3）如果在中，，，有两动点P、Q分别从B、D两点同时出发，沿和各边运动一周，即点P自B→A→E→B停止，点Q自D→F→C→D停止，点P运动的路程是m，点Q运动的路程是n，当四边形是平行四边形时，求m与n满足的数量关系．（画出示意图） 23．（24-25八年级下·江西南昌·阶段练习）已知在平行四边形中，动点在边上，以每秒的速度从点向点运动． （1）如图1，在运动过程中，若，平分，求的度数． （2）如图3，连结并延长与的延长线交于点，平分交于点，当，时，求的长 （3）如图4，在（1）的条件下，连结并延长与的延长线交于点，若，求的面积． （4）如图2，另一动点在边上，以每秒的速度从点出发，在之间往返运动，，两点同时出发，当点到达点时停止运动同时点也停止，若，当运动时间为 秒时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形． 24．（23-24八年级下·四川成都·期末）平行四边形中，是对角线，过点作、的垂线，垂足点在边上，垂足点在延长线上，，，． （1）如图1，求的面积； （2）如图2，连接，点是的中点，求的长； （3）如图3，与交点为，，的两边，分别与，所在直线交于点、，绕点逆时针旋转，当点从点运动到点时，求线段中点的运动路径长． 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $$