精品解析：湖北省省仙桃市田家炳实验高级中学2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题

实验高中2025年春季学期期中考试 高一数学试题 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项是正确的） 1. 已知命题，或，则为（ ） A ，且 B. ，且 C. ，或 D. ，或 2. （ ） A. B. C. D. 3. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 4. （    ） A B. C. D. 5. 函数最小正周期是（ ）. A. B. C. D. 6. 要得到的图象，只需将的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 7. 已知向量，满足，，，夹角为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数满足，将函数图象向左平移个单位后其图象关于y轴对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题有2个或3个选项是正确的） 9. (多选)若函数对任意有，则 等于（ ） A. －3 B. －1 C. 0 D. 3 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若向量，共线，则A，B，C，D必在同一条直线上 B. 若A，B，C为平面内任意三点，则 C. 若点G为的重心，则 D. 若向量，满足，且，方向相同，则 11. 在中，在边上，，是的中点，则（ ） A. B. C D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知向量，向量在向量方向上的投影向量的模长为，写出一个满足条件的向量________． 13. 已知，且的坐标所表示的点在第四象限，则x的取值范围是________． 14. 在中，满足，则 _______ 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答必须写出文字说明、推理过程等） 15. 如图，在中，上有一点（点P不与点A、B重合），设，，（，），求证：，且. 16. 已知， （1）若，求的值； （2）若，求大小； （3）若，求的大小. 17. 已知函数，且函数的最小正周期为. （1）求的解析式，并求出的单调递增区间； （2）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，求函数的最大值及取得最大值时x的取值集合. 18. 已知函数（，），的部分图象如图所示，，Q分别为该图象的最高点和最低点，点的坐标为． （1）求的最小正周期及的值； （2）若点的坐标为，且，求A的值． 19. 如图示，是以为直径的圆的下半圆弧上的一动点（异于、两点），、分别为、在过点的直线上的射影（、在直线的上方），记，，向量∥直线． （1）若，求面积的最大值及取得最大值时的值； （2）若，用表示向量、在向量方向上的投影之和的绝对值，试问、满足什么条件时，有最大值？ （3）若，，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 实验高中2025年春季学期期中考试 高一数学试题 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项是正确的） 1. 已知命题，或，则为（ ） A. ，且 B. ，且 C. ，或 D. ，或 【答案】B 【解析】 【分析】由全称量词命题的否定可得出结论. 【详解】命题是全称命题，因为命题，或， 所以，且. 故选：B. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的加减法即可得到答案. 【详解】. 故选：C. 3. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正切函数性质，求函数最小正周期. 【详解】由正切型函数的性质，知的最小正周期. 故选：C 4. （    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦的差角公式即可求解. 【详解】， 故选：B 5. 函数的最小正周期是（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简，根据正弦型函数的周期公式求解即可. 【详解】由题意，， 所以的最小正周期是. 故选：A. 6. 要得到的图象，只需将的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的图象变换，可得答案. 【详解】因为，所以为了得到的图象， 只需将函数的图象向左平移个单位长度. 故选：C. 7. 已知向量，满足，，，夹角为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由投影向量计算公式，可得答案. 【详解】在上的投影向量. 故选：C. 8. 已知函数满足，将函数图象向左平移个单位后其图象关于y轴对称，则最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据，求得，再根据，确定函数的解析式，并求得平移后的解析式，最后根据函数的对称性，确定的最小值. 【详解】因为，所以，即，， 又因为，所以当时，，所以，将其图象向左平移个单位后， 所得函数， 因为函数的图象关于y轴对称， 所以，，即，， 当时，，所以的最小值为. 故选:A. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题有2个或3个选项是正确的） 9. (多选)若函数对任意有，则 等于（ ） A. －3 B. －1 C. 0 D. 3 【答案】AD 【解析】 【分析】由，得到函数的图象关于直线对称，结合三角函数对称轴的性质，即可求解. 【详解】由函数对任意x都有， 可得函数的图象关于直线对称， 所以当时，函数取值最大值或最小值，即. 故选：AD 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若向量，共线，则A，B，C，D必在同一条直线上 B. 若A，B，C为平面内任意三点，则 C. 若点G为的重心，则 D. 若向量，满足，且，方向相同，则 【答案】BC 【解析】 【分析】由向量共线的定义判断A，由向量运算性质判断D，由三角形重心的性质可判断C，对于D，由向量无法比较大小即可判断. 【详解】对于A，若向量，共线，只需两个向量方向相同或相反即可，则A，B，C，D不必在同一直线上，故A项错误； 对于B，由向量线性运算性质知，故B项正确； 对于C，由平面向量中三角形重心的性质，可得C项正确； 对于D，由于向量间无法比较大小，故D项错误. 故选：BC. 11. 在中，在边上，，是的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据向量的线性运算判断各选项的准确性. 【详解】如图： 对A：，故A错误； 对B：，故B错误； 对C：，故C正确； 对D：，故D正确. 故选：CD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知向量，向量在向量方向上的投影向量的模长为，写出一个满足条件的向量________． 【答案】或（答案不唯一，写出任意一个即可） 【解析】 【分析】利用投影向量的定义求解. 【详解】设，则根据条件有，即. 从而只要满足或即可. 故答案为：或（答案不唯一，写出任意一个即可）. 13. 已知，且的坐标所表示的点在第四象限，则x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正交分解与坐标表示的关系求解. 【详解】由题可得， 因为的坐标所表示的点在第四象限， 所以解得， 故答案为: . 14. 在中，满足，则 _______ 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式化简可得，由此可求得，进而可得. 【详解】∵， ∴由，得， ∴，则， ∴， ∴， ∵， ∴取，得，从而. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答必须写出文字说明、推理过程等） 15. 如图，在中，上有一点（点P不与点A、B重合），设，，（，），求证：，且. 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】利用平面向量的运算法计算得，结合与共线，得，化简再依据、不共线解得.最后利用平面向量的运算得，∴即可得证. 【详解】证明：由题易得，，. ∵与共线，存在实数，使得， 即. ∵、不共线， ∴ 消去得. ∵， ∴. 16. 已知， （1）若，求的值； （2）若，求大小； （3）若，求的大小. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用数量积的定义求解； （2）由条件求得，再利用向量夹角公式求解； （3）由条件得，从而可求得，再利用向量夹角公式求解. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 由，得， 即，得，则， 则， . 【小问3详解】 由，得，即， 即，得，则， ， ， . 17. 已知函数，且函数的最小正周期为. （1）求的解析式，并求出的单调递增区间； （2）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，求函数的最大值及取得最大值时x的取值集合. 【答案】（1），; （2），. 【解析】 【分析】（1）利用正弦，余弦的二倍角公式及辅助角公式变形，再结合周期公式求出的值，利用正弦函数的性质求出单调递增区间； （2）根据平移关系求出的解析式，结合函数的最值和角的关系求解即可. 小问1详解】 由函数的最小正周期为,则， 故， 令，解得， 故的单调递增区间为. 【小问2详解】 ， 则的最大值为， 此时有，即， 故，解得， 所以当取得最大值时的取值集合为. 18. 已知函数（，），的部分图象如图所示，，Q分别为该图象的最高点和最低点，点的坐标为． （1）求的最小正周期及的值； （2）若点的坐标为，且，求A的值． 【答案】（1）6， （2）3 【解析】 【分析】（1）由三角函数的周期公式求解最小正周期；由为函数图象的最高点，列式求得； （2）过点Q作于点S，由题意可得，即可求解. 小问1详解】 函数的最小正周期， 由为函数图象的最高点，得，， 解得，， 而，所以. 小问2详解】 过点Q作于点S， ∵，，∴， ∵，∴， ∵，，Q分别为该图象的最高点和最低点，∴， ∴. 19. 如图示，是以为直径的圆的下半圆弧上的一动点（异于、两点），、分别为、在过点的直线上的射影（、在直线的上方），记，，向量∥直线． （1）若，求面积的最大值及取得最大值时的值； （2）若，用表示向量、在向量方向上的投影之和的绝对值，试问、满足什么条件时，有最大值？ （3）若，，，求的值． 【答案】（1）时，； （2）时，的最大值等于2 （3）4 【解析】 【分析】（1）先由直径所对的圆周角为直角得到三角形的形状，再利用三角函数的定义和面积公式进行求解； （2）利用平面向量的数量积的几何意义进行化简可得，再求最值即可； （3）先由直角三角形中的三角函数定义求得相关边长，再由三角恒等变换进行求解. 【小问1详解】 由为直径得圆周角， ， ， 所以当，即时，． 【小问2详解】 由与相似得，又， 所以， 所以当时，的最大值等于2 【小问3详解】 由相似三角形得，由直角三角形得， 所以 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$