专题11.3 不等式（组）与方程（组）的综合（压轴题专项讲练）-2024-2025学年七年级数学下册压轴题专项讲练系列（苏科版2024）

专题11.3 不等式（组）与方程（组）的综合 · 典例分析 【典例1】使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”． 例：已知方程与不等式，当时同时成立，则称“”是方程与不等式的“理想解”． （1）已知①；②；③，试判断方程：的解是否为它与①②③中某个不等式的“理想解”； （2）若是方程与不等式的“理想解”，求的取值范围； （3）当关于x的方程与关于x的不等式的理想解为整数，且关于x的不等式组恰有7个整数解，若，，求的值． 【思路点拨】 （1）先求出方程的解为，再判断是哪些不等式的解便可得出结论； （2）把代入得与的关系式，再代入不等式组求得的取值范围，进而求得结果； （3）先根据关于x的不等式组恰有7个整数解，得出，再根据关于x的方程与关于x的不等式的理想解为整数，得出或或4，根据，，得出，再代入m的值，求出结果即可． 【解题过程】 （1）解： 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：，即方程的解为， 当时，，不满足； 当时，，不满足； 当时，，满足； ∴方程的解是的“理想解”； （2）解：把代入得， ∴， 把代入不等式组得， 解得，， ∴， ∴ ∵， ∴； （3）解：由方程得：， 解不等式组得：， ∵关于x的不等式组恰有7个整数解， ∴， 解得：， ∵关于x的方程与关于x的不等式的理想解为整数， ∴为整数，且为到7之间的整数， ∴或或4， ∵，， ∴， ∴ ， 当时，， 当时，， 当时，， 综上分析可知：M的值为19或或26． · 学霸必刷 1．（23-24八年级·全国·假期作业）若关于的方程的解为自然数，且关于的不等式组无解，则符合条件的整数的值的和为 （   ） A．5 B．2 C．4 D．6 2．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）关于的方程的解是非负整数，且关于的不等式组有且仅有3个整数解，则满足条件的所有整数的和为（   ） A．8 B．12 C．15 D．18 3．（23-24七年级下·四川乐山·期末）已知关于x，y的方程组的解都为整数，且关于x的不等式组，恰有3个整数解，则所有满足条件的整数a的和为（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 4．（23-24七年级下·重庆渝中·期中）若m使得关于x的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数m有（    ）个 A．6 B．5 C．4 D．3 5．（2023七年级下·全国·专题练习）若存在一个整数m，使得关于x，y的方程组的解满足，且让不等式只有3个整数解，则满足条件的所有整数m的和是（　　） A．12 B．6 C． D． 6．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于，的二元一次方程组的解均为正数，且不等式组的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）已知关于x，y的方程组，其中，给出下列结论：①是方程组的解；②当时，x，y的值互为相反数；③若，则；④的最大值为，其中正确的是（    ） A．①②③ B．①④ C．②③④ D．②④ 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）整数m满足关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，则关于的不等式组的整数解有 个． 9．（23-24八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）若关于的一元一次不等式组的解集是，且关于的方程有正整数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 10．（24-25八年级上·重庆·期中）若使得关于的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数之和是 ． 11．（23-24七年级下·重庆·期末）若关于的不等式组有且只有个奇数解，且关于的方程解为整数．则符合条件的所有整数的和为 ． 12．（24-25七年级下·全国·单元测试）如果关于的不等式组有解，且关于的方程有正整数解，那么符合条件的所有整数的和为 ． 13．（24-25七年级下·全国·单元测试）若整数a使得关于x的不等式组有且仅有6个整数解，且使关于y的一元一次方程的解满足，则所有满足条件的整数a的值之和为 ． 14．（24-25八年级上·重庆巴南·阶段练习）若方程组中未知数x、y满足，关于x的不等式组有且只有3个整数解，则所有满足条件的整数a的和为 ． 15．（23-24七年级下·河南驻马店·阶段练习）关于x的不等式组，至少有4个整数解，且关于x，y的方程组的解中，x的解为整数，那么满足条件的整数a的值为 ． 16．（23-24六年级下·上海浦东新·期末）若整数使关于的不等式组至少有4个整数解，且使关于的方程组的解为正整数，那么所有满足条件的整数的和是 ． 17．（23-24七年级下·江西新余·期末）若关于x的不等式有且只有3个整数解，且关于x，y方程组的解为整数，则满足条件的整数a的值为 ． 18．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）已知关于、的二元一次方程组． （1）若方程组的解、互为相反数．求的值； （2）若方程组的解满足，求的取值范围． 19．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）已知x、y满足． （1）用含有x的代数式表示y； （2）当时，求x的取值范围； （3）当x、y满足，且时，求m的取值范围． 20．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）已知方程组中x为非正数，y为负数． （1）求a的取值范围； （2）化简：； （3）在（1）的范围中，当a为何整数时，不等式的解集为 21．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“完美解”. （1）已知①，②，则方程的解是不等式 （填序号）的“完美解”； （2）若是方程组与不等式的一组“完美解”，求a的取值范围； （3）若是方程与不等式组的“完美解”，求的取值范围. 22．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）若一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称此一元一次方程为该不等式组的子集方程． （1）给出下列方程： ①； ②； ③． 其中为不等式组的子集方程的是 　　（填序号）； （2）已知关于的不等式组． ①若方程是该不等式组的子集方程，求的取值范围； ②若方程，都不是该不等式组的子集方程，则的取值范围是 　　． 23．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于的二元一次方程组的解满足且． （1）若关于x的不等式组无解，求所有符合条件的整数a的值； （2）若有解，求所有符合条件的整数a的和． 24．（23-24七年级下·江西南昌·期末）已知关于，的方程组． （1）若该方程组的解满足，求的值； （2）若该方程组的解满足，均为正数，求的取值范围； （3）在（2）的条件下，若不等式的解为，求的整数值． 25．（23-24七年级下·山西朔州·阶段练习）已知关于的方程组， （1）若该方程组的解与方程组的解相同，求的值． （2）若方程组的解满足，且满足，求的最小整数值． （3）当时，要使得方程组的解满足，求的取值范围． 26．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）已知关于的不等式组． （1）当时，求该不等式组的解集． （2）若该不等式组有且只有个整数解，求的所有整数解的和． （3）在（）的条件下，已知关于的方程组的解满足不等式，求的取值范围． 27．（23-24七年级下·四川宜宾·期中）对、定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：．已知． （1）求的值； （2）若关于的不等式，恰好有个整数解，求的取值范围． 28．（23-24七年级下·山西吕梁·阶段练习）对实数x，y，我们定义一种新运算：（其中a，b为常数）．例如：，．已知，． （1）a＝ ，b＝ ． （2）已知x，y为非负整数，求关于x，y的方程的解． （3）若关于x，y的方程组的解满足，且m为非负整数，求m的值． （4）若关于x的不等式恰好有3个正整数解，求n的取值范围． 29．（23-24七年级下·广东广州·期末）定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． （1）是方程和下列不等式______的“梦想解”：（填序号） ， ， ； （2）若关于的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”，且为整数，求的值． （3）若关于的方程和关于的不等式组有“梦想解”，且所有整数“梦想解”的和为，试求的取值范围． 30．（24-25七年级下·全国·期末）如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程为不等式组的关联方程． （1）在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是______；（填序号） （2）若不等式组的一个关联方程的解是整数，且这个关联方程是，求常数的值； （3）①解两个方程：和；②是否存在整数，使得方程和都是关于的不等式组的关联方程？若存在，直接写出所有符合条件的整数的值；若不存在，请说明理由． 第 1 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11.3 不等式（组）与方程（组）的综合 · 典例分析 【典例1】使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”． 例：已知方程与不等式，当时同时成立，则称“”是方程与不等式的“理想解”． （1）已知①；②；③，试判断方程：的解是否为它与①②③中某个不等式的“理想解”； （2）若是方程与不等式的“理想解”，求的取值范围； （3）当关于x的方程与关于x的不等式的理想解为整数，且关于x的不等式组恰有7个整数解，若，，求的值． 【思路点拨】 （1）先求出方程的解为，再判断是哪些不等式的解便可得出结论； （2）把代入得与的关系式，再代入不等式组求得的取值范围，进而求得结果； （3）先根据关于x的不等式组恰有7个整数解，得出，再根据关于x的方程与关于x的不等式的理想解为整数，得出或或4，根据，，得出，再代入m的值，求出结果即可． 【解题过程】 （1）解： 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：，即方程的解为， 当时，，不满足； 当时，，不满足； 当时，，满足； ∴方程的解是的“理想解”； （2）解：把代入得， ∴， 把代入不等式组得， 解得，， ∴， ∴ ∵， ∴； （3）解：由方程得：， 解不等式组得：， ∵关于x的不等式组恰有7个整数解， ∴， 解得：， ∵关于x的方程与关于x的不等式的理想解为整数， ∴为整数，且为到7之间的整数， ∴或或4， ∵，， ∴， ∴ ， 当时，， 当时，， 当时，， 综上分析可知：M的值为19或或26． · 学霸必刷 1．（23-24八年级·全国·假期作业）若关于的方程的解为自然数，且关于的不等式组无解，则符合条件的整数的值的和为 （   ） A．5 B．2 C．4 D．6 【思路点拨】 本题考查了一元一次方程的整数解、一元一次不等式组的解集，熟练掌握解一元一次方程，学会根据不等式组的解的情况求参数是解题的关键．先求出的解为，从而推出，再整理不等式组为，结合不等式组无解得到，最后利用整数的值以及是自然数的条件即可解答． 【解题过程】 解：由，解得， 方程的解为自然数， ， 解得：， 把整理得：， 不等式组无解， ， ，即整数， 是自然数， 或， 则符合条件的整数的值的和为． 故选：C． 2．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）关于的方程的解是非负整数，且关于的不等式组有且仅有3个整数解，则满足条件的所有整数的和为（   ） A．8 B．12 C．15 D．18 【思路点拨】 本题主要考查了一元一次不等式组的整数解及一元一次方程的解，熟知解一元一次不等式组及解一元一次方程的步骤是解题的关键． 先根据所给方程的解为非负整数，得出的取值范围，再结合所给不等式组的整数解只有3个即可解决问题． 【解题过程】 解：由方程得：， ∵关于的方程的解是非负整数， ∴， 解得， 解不等式组得：， ∵此不等式组有且仅有3个整数解， ∴， 解得：， ∴， ∵关于的方程的解是非负整数，， ∴符合条件的所有整数的和是：， 故选：A． 3．（23-24七年级下·四川乐山·期末）已知关于x，y的方程组的解都为整数，且关于x的不等式组，恰有3个整数解，则所有满足条件的整数a的和为（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 【思路点拨】 本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式组的能力，解题的关键是根据题意得出关于a的不等式组．根据不等式组求出a的范围，然后再根据方程组求出a的取值，从而确定的a的可能值即可得出答案． 【解题过程】 解：解方程组得：， ∵方程组的解为整数， ∴、、， 解得：或0或1或或3或， 解不等式组，得：， ∵不等式组有且仅有3个整数解，即整数解为：， ∴， 解得：，满足条件的整数a有1、2、3、4， 综上所述：满足条件的整数a的值是1、3， ∴所有满足条件的整数a的值之和是． 故选：D． 4．（23-24七年级下·重庆渝中·期中）若m使得关于x的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数m有（    ）个 A．6 B．5 C．4 D．3 【思路点拨】 本题主要考查了不等式组和方程组相结合的问题，先求出不等式组两个不等式的解集，再根据不等式组至少有两个整数解得到；再利用加减消元法得到，则，据此求出即可得到答案． 【解题过程】 解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组至少2个整数解， ∴， ∴； 得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴满足条件的整数m有3、4、5、6、7，共5个， 故选：B． 5．（2023七年级下·全国·专题练习）若存在一个整数m，使得关于x，y的方程组的解满足，且让不等式只有3个整数解，则满足条件的所有整数m的和是（　　） A．12 B．6 C． D． 【思路点拨】 根据方程组的解的情况，以及不等式组的解集情况，求出的取值范围，再进行求解即可． 【解题过程】 解：， ，得：， 解得， ，得：， 解得， ∵， ∴， 解得， 解不等式，得：， 解不等式，得：， ∵不等式组只有3个整数解， ∴， 解得， ∴， ∴符合条件的整数m的值的和为， 故选：D． 6．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于，的二元一次方程组的解均为正数，且不等式组的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题主要考查了已知二元一次方程组的解的情况求参数，由一元一次不等式组的解集求参数等知识点，熟练掌握二元一次方程组及一元一次不等式组的解法是解题的关键． 解二元一次方程组，得，由“方程组的解均为正数”可得，解得；解不等式组，由得，由得，由“不等式组的解集为”可得，解得；综合以上，于是得解． 【解题过程】 解：， ，得：， 系数化为，得：， 将代入，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 二元一次方程组的解为， 关于，的二元一次方程组的解均为正数， ， 解得：； ， 整理，得： 由得：， 由得：， 不等式组的解集为， ， 解得：； 综上，的取值范围是：， 故选：． 7．（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）已知关于x，y的方程组，其中，给出下列结论：①是方程组的解；②当时，x，y的值互为相反数；③若，则；④的最大值为，其中正确的是（    ） A．①②③ B．①④ C．②③④ D．②④ 【思路点拨】 先利用加减消元法求出，即可判断①②；根据推出，则即可判断③；先推出，再结合a的取值范围即可判断④． 【解题过程】 解：， 用得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为， 把代入，解得， 把代入，解得， 不符合题意，故①错误； ②当时，因为，得， 所以x，y的值互为相反数，故②正确； ∵，， 则， ∴， ∴，故③错误； ∵, ∴， ∵， ∴， ∴S的最大值为，故④正确； 故选：D． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）整数m满足关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，则关于的不等式组的整数解有 个． 【思路点拨】 本题主要考查了解二元一次方程组、解不等式组，求不等式的整数解等知识点，先解二元一次方程组，根据解是正整数列出一元一次不等式组，解关于m的不等式，进而根据是正整数的条件求得的范围，解一元一次不等式组，根据不等式组的解集可得出整数解． 【解题过程】 解：解方程组，得． 二元一次方程组解是正整数， ， 解得 或6， 当时，， 当时，不符合题意，舍去； ． 由不等式组得 ， 关于的不等式组有5和6一共2个整数解． 故答案为：2． 9．（23-24八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）若关于的一元一次不等式组的解集是，且关于的方程有正整数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 【思路点拨】 先求出不等式组中每个不等式的解集，再根据关于x的一元一次不等式组的解集是，可以求得k的取值范围，再求出关于y的方程的解，然后根据关于y的方程有正整数解，即可求出k的值，从而可以解答本题． 【解题过程】 解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∵关于x的一元一次不等式组的解集是， ∴， 由方程可得， ∵关于y的方程有正整数解， ∴或或， ∴． 故答案为：3． 10．（24-25八年级上·重庆·期中）若使得关于的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数之和是 ． 【思路点拨】 本题主要考查了不等式组和方程组相结合的问题，先求出不等式组两个不等式的解集，再根据不等式组至少有两个整数解得到；再利用加减消元法得到，则，据此求出即可得到答案． 【解题过程】 解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组至少2个整数解， ∴， ∴； 得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴满足条件的整数m有3、4、5、6、7， ∴满足条件的整数之和是， 故答案为：． 11．（23-24七年级下·重庆·期末）若关于的不等式组有且只有个奇数解，且关于的方程解为整数．则符合条件的所有整数的和为 ． 【思路点拨】 本题考查了根据不等式组的解的情况求参数，一元一次方程的解，解不等式组得，由不等式组的解的情况得，即得，再由一元一次方程得，根据方程的解为整数可得或或，再把整数的值相加即可求解，根据不等式组确定出的取值范围是解题的关键． 【解题过程】 解：， 由得，， 由得，， ∴， ∵不等式组有且只有个奇数解， ∴， 即， 解得， 由方程得，， ∵方程的解为整数， ∴或或， ∴符合条件的所有整数的和， 故答案为：． 12．（24-25七年级下·全国·单元测试）如果关于的不等式组有解，且关于的方程有正整数解，那么符合条件的所有整数的和为 ． 【思路点拨】 本题考查了不等式组的解，已知一元一次方程解的情况求参数，掌握不等式组的解集由所构成的几个不等式解集的公共部分组成是解题关键． 先解方程，再根据不等式组有解求出的取值范围，然后根据方程有正整数解得出，将的取值代入，找出符合条件的值，并相加即可得出答案． 【解题过程】 解：解不等式，得． 解不等式，得． 该不等式组有解， ， 解得． 整理方程，得． 方程有正整数解， ，解得， ． 当时，解得； 当时，解得； 当时，解得； 当时，解得，不符合题意，舍去； 符合条件的所有整数的和为． 故答案为：． 13．（24-25七年级下·全国·单元测试）若整数a使得关于x的不等式组有且仅有6个整数解，且使关于y的一元一次方程的解满足，则所有满足条件的整数a的值之和为 ． 【思路点拨】 本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式组和不等式组的整数解等知识点，能根据不等式组的解集及整数解的个数求出的取值范围是解此题的关键． 先求出不等式组的解集，根据不等式组的整数解的个数求出的范围，求出方程的解，根据求出的范围，求出公共部分，再求出的整数解，最后求出答案即可． 【解题过程】 解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集是， ∵a为整数，不等式组有且仅有6个整数解， ， 解得：， 解方程得：， ， ， 解得：， ∵a为整数， ∴a为16或17， ， 故答案为：33． 14．（24-25八年级上·重庆巴南·阶段练习）若方程组中未知数x、y满足，关于x的不等式组有且只有3个整数解，则所有满足条件的整数a的和为 ． 【思路点拨】 本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解，解二元一次方程组等知识点，能求出a的整数解是解此题的关键． 先根据方程组得出，然后求出不等式组的解集，根据不等式组有且只有3个整数解确定，得到整数a为，，求和即可． 【解题过程】 解：关于x，y的方程组 得 ∵， ∴， ∴， 关于x的不等式组， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为， ∵关于x的不等式组有且只有3个整数解， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴整数a为，，其和为， 故答案为：． 15．（23-24七年级下·河南驻马店·阶段练习）关于x的不等式组，至少有4个整数解，且关于x，y的方程组的解中，x的解为整数，那么满足条件的整数a的值为 ． 【思路点拨】 本题主要考查了解一元一次不等式组、解二元一次方程组，根据不等式组求出的范围，然后根据关于的方程组的解为整数得到即可解答． 【解题过程】 解：， 解不等式①得， 解不等式②得，， 不等式组至少有4个整数解， ∴， ∴， 解方程组， 得：，解得， 将代入④得：，解得 方程组的解为：， 关于的方程组的解为整数， ，解得：， 当时，，符合题意； 所有满足条件的整数的值为． 故答案为：． 16．（23-24六年级下·上海浦东新·期末）若整数使关于的不等式组至少有4个整数解，且使关于的方程组的解为正整数，那么所有满足条件的整数的和是 ． 【思路点拨】 根据不等式组求出的范围，然后根据关于的方程组的解为正整数得到或，从而即可得到所有满足条件的整数的和． 【解题过程】 解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ， ， ， 不等式组至少有4个整数解， ， 解得：， 解方程组， 得：， ， 将代入②得：， 方程组的解为：， 关于的方程组的解为正整数， 或， 或， 所有满足条件的整数的和是：， 故答案为：． 17．（23-24七年级下·江西新余·期末）若关于x的不等式有且只有3个整数解，且关于x，y方程组的解为整数，则满足条件的整数a的值为 ． 【思路点拨】 本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程组．根据不等式组求出的范围，然后根据关于的方程组的解为整数，列式计算，据此求解即可． 【解题过程】 解：， 解不等式得，， 解不等式得，， 不等式组只有3个整数解， ∴， ∴， 解方程组， 得：，解得， 将代入④得：，解得 方程组的解为：， ∵， ∴， 关于的方程组的解为整数， 或或或或或， 或或或或， 当时，不是整数，不符合题意； 当时，是整数，符合题意； 当时，不是整数，不符合题意； 当时，是整数，符合题意； 当时，是整数，符合题意； 所有满足条件的整数的值为4或1或0， 故答案为：4或1或0． 18．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）已知关于、的二元一次方程组． （1）若方程组的解、互为相反数．求的值； （2）若方程组的解满足，求的取值范围． 【思路点拨】 本题考查的是解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，解二元一次方程组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）将两个方程相加可得，由相反数的性质知，据此可得关于的方程，解之可得； （2）将两个方程相加可得，即，结合题意得出的不等式组，解之可得． 【解题过程】 （1）解： 得：， 、互为相反数， ， 则， ， 解得； （2） 得：，即， ， ， 解得：． 19．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）已知x、y满足． （1）用含有x的代数式表示y； （2）当时，求x的取值范围； （3）当x、y满足，且时，求m的取值范围． 【思路点拨】 本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程，解一元一次不等式．能正确解方程组或不等式组是解此题的关键． （1）把含x的项迁移到等式的右边，化y的系数为1即可； （2）建立起关于x的不等式，求解即可； （3）先构造方程组，用含有m的代数式分别表示x，y，后建立不等式组求解即可． 【解题过程】 （1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 解得：； （3）解：联立方程组， 解得， ∵，， ∴， ∴， ∴的取值范围是． 20．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）已知方程组中x为非正数，y为负数． （1）求a的取值范围； （2）化简：； （3）在（1）的范围中，当a为何整数时，不等式的解集为 【思路点拨】 （1）先求出方程组的解，即可得出不等式组，求出不等式组的解集即可； （2）根据，再化简绝对值即可； （3）根据不等式的解集求出的范围，即可得出答案． 【解题过程】 （1）解：解方程组得：， 方程组中为非正数，为负数， ， 解得：， 即的取值范围是； （2）解：∵， ∴， ∴, ∴ ； （3）解：， ∴， 要使不等式的解集为， 必须， 解得：， ，为整数， ， 所以当为时，不等式的解集为． 21．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“完美解”. （1）已知①，②，则方程的解是不等式 （填序号）的“完美解”； （2）若是方程组与不等式的一组“完美解”，求a的取值范围； （3）若是方程与不等式组的“完美解”，求的取值范围. 【思路点拨】 本题主要考查了一元一次不等式组，二元一次方程组等知识，正确理解“完美解”的含义，是解答本题的关键． （1）根据“完美解”的定义代入计算即可判断； （2）将上述两个方程相加可得：，再根据“完美解”得出关于a的一元一次不等式，解不等式即可求解； （3）根据题意可得，即可得，，问题随之得解． 【解题过程】 （1）解：由，得：， ①，则方程的解不是不等式①的“完美解”； ②，则方程的解是不等式②的“完美解”； （2）解：， 将上述两个方程相加可得：， 即有， ∵是方程组与不等式的一组“完美解”， ∴， 解得：， （3）解：根据题意有：， 解得：，， ∴， 即的取值范围为：． 22．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）若一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称此一元一次方程为该不等式组的子集方程． （1）给出下列方程： ①； ②； ③． 其中为不等式组的子集方程的是 　　（填序号）； （2）已知关于的不等式组． ①若方程是该不等式组的子集方程，求的取值范围； ②若方程，都不是该不等式组的子集方程，则的取值范围是 　　． 【思路点拨】 本题考查的是解一元一次不等式组，解一元一次方程，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）分别求出每个方程的解和不等式组的解集，根据新定义求解即可得出答案； （2）①解不等式组及一元一次方程，根据子集方程的概念列出关于的不等式组，解之可得答案；②根据子集方程的概念可得答案． 【解题过程】 （1）解：①的解为， ②的解为， ③的解为， 由得， 由得：， 所以不等式组的解集为， 其中是不等式组的解的有，， 所以为不等式组的子集方程的是②③， 故答案为：②③； （2）①由得：， 由得：， 解方程得， 由题意知，， 解得； ②方程，都不是该不等式组的子集方程， 或，即， 故答案为：或． 23．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于的二元一次方程组的解满足且． （1）若关于x的不等式组无解，求所有符合条件的整数a的值； （2）若有解，求所有符合条件的整数a的和． 【思路点拨】 本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，解一元一次不等式等知识点，能求出a的取值范围是解此题的关键． （1）先求出方程组和不等式的解集，再求出a的范围，最后得出答案即可； （2）先求出方程组和不等式的解集，再求出a的范围得出所有符合条件的整数a，最后得出答案即可． 【解题过程】 （1）解：解方程组得：， 关于x、y的二元一次方程组的解满足且， ， 解得：， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 关于x的不等式组无解， ， 解得：， 即， ∴所有符合条件的整数a的值有1，2，3，4； （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组有解， ， 即， 所有符合条件的整数a有：1，2，3，4，5， ， 所有符合条件的整数a的和为15． 24．（23-24七年级下·江西南昌·期末）已知关于，的方程组． （1）若该方程组的解满足，求的值； （2）若该方程组的解满足，均为正数，求的取值范围； （3）在（2）的条件下，若不等式的解为，求的整数值． 【思路点拨】 本题考查了解二元一次方程组、解一元一次不等式组，熟练掌握计算方法是解此题的关键． （1）由加减消元法解二元一次方程组得出，结合题意得出，计算即可得解； （2）利用加减消元法得出，结合题意得出，解不等式组即可得出答案； （3）根据题意得出，求解并结合（2）得出，即可得解． 【解题过程】 （1）解：， 由得：， ∴， ∵该方程组的解满足， ∴， ∴； （2）解：， 由得：， 解得：， 将代入②得：， 解得：， ∴原方程组的解为， ∵该方程组的解满足，均为正数， ∴， 解得：； （3）解：∵， ∴， ∵不等式的解为， ∴， 解得：， 由（2）可得， ∴， ∴的整数值为或． 25．（23-24七年级下·山西朔州·阶段练习）已知关于的方程组， （1）若该方程组的解与方程组的解相同，求的值． （2）若方程组的解满足，且满足，求的最小整数值． （3）当时，要使得方程组的解满足，求的取值范围． 【思路点拨】 本题考查二元一次方程组的解，一元一次方程的解，解不等式． （1）利用加减消元法求得的解，再代入，求解即可； （2）将代入，利用加减消元法求得，再根据，解不等式，即可求解； （3）根据题意原方程组可化为，解得，再代入求解即可． 【解题过程】 （1）解：解方程组， 将得③， ②得④， 得， ∴， 把代入①得， ∴， ∴方程组的解为， 将代入得 ∴； （2）解：∵， ∴原方程组可化为， 得． ∵方程组的解满足， ∴， ∴， ∴的最小整数值为3； （3）解：当时，原方程组可化为， 解得， ∵， ∴， 解得， ∴的取值范围是． 26．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）已知关于的不等式组． （1）当时，求该不等式组的解集． （2）若该不等式组有且只有个整数解，求的所有整数解的和． （3）在（）的条件下，已知关于的方程组的解满足不等式，求的取值范围． 【思路点拨】 （1）把代入不等式组，解不等式组即可求解； （2）求出不等式组的解集，根据不等式组解集的情况求出的取值范围，得到的整数解，相加即可求出的值； （3）求出方程组的解，把方程组的解和的值代入不等式，解不等式即可求解； 本题考查了解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，解二元一次方程组，掌握解一元一次不等式组和二元一次方程组是解题的关键． 【解题过程】 （1）解：当时，不等式组为， 由得，， 由得，， ∴不等式组的解集为； （2）解：， 由得，， 由得，， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有且只有个整数解， ∴， 即， 解得， ∴的整数解为，，， ∴； （3）解：， 方程组化简得，， 得，， 解得， 把代入得，， ∴， ∴方程组的解为， 把，代入不等式得，， 解得． 27．（23-24七年级下·四川宜宾·期中）对、定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：．已知． （1）求的值； （2）若关于的不等式，恰好有个整数解，求的取值范围． 【思路点拨】 （1）根据新运算法则及，可得方程组，解方程即可求解； （2）由（1）可得，即可由不等式组得到，求得不等式组的解集为，再根据不等式组恰好有个整数解，可得，解不等式即可求解； 本题考查了解二元一次方程组以及一元一次不等式组的整数解，读懂题意，理解新定义运算是解题的关键． 【解题过程】 （1）解：∵， ∴， 方程组化简得，， 解得， ∴，； （2）解：∵，， ∴， ∴不等式组为， 化简得， 由得，， 由得，， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组恰好有个整数解， ∴，即， 解得． 28．（23-24七年级下·山西吕梁·阶段练习）对实数x，y，我们定义一种新运算：（其中a，b为常数）．例如：，．已知，． （1）a＝ ，b＝ ． （2）已知x，y为非负整数，求关于x，y的方程的解． （3）若关于x，y的方程组的解满足，且m为非负整数，求m的值． （4）若关于x的不等式恰好有3个正整数解，求n的取值范围． 【思路点拨】 （1）根据题目定义的新运算，结合，即可得出答案； （2）根据（1）中求解的a、b的值，结合、x，y为非负整数即可解出答案； （3）根据得出，将其两式相加，结合即可得到m的取值范围，再结合m为非负整数即可求解； （4）根据求解得到x的取值范围，再根据恰好有3个正整数解即可得到n的范围； 【解题过程】 （1）解：， 解得：； （2）解：由（1）知，， 则． ∵x，y为非负整数， ∴或． （3）解：依题意， ①＋②化简得． ∵，即 解得． 又∵m为非负整数， ∴m的值为0或1或2． （4）解：依题意得，解得． ∵此不等式有3个正整数解， ∴， 解得． 29．（23-24七年级下·广东广州·期末）定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． （1）是方程和下列不等式______的“梦想解”：（填序号） ， ， ； （2）若关于的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”，且为整数，求的值． （3）若关于的方程和关于的不等式组有“梦想解”，且所有整数“梦想解”的和为，试求的取值范围． 【思路点拨】 本题考查了解一元一次方程和一元一次不等式，解二元一次方程组和一元一次不等式组，理解“梦想解”的定义是解题的关键． （1）分别把代入每个不等式，判断是否是不等式的解即可； （2）求出方程组的解，代入不等式组，再解不等式组求出的取值范围，最后结合为整数即可求解， （3）求出方程的解为，不等式组的解集为，由所有整数“梦想解”的和为可得，解得． 【解题过程】 （1）解：把代入不等式得，左边， ∴不是不等式的解； 把代入不等式得，左边， ∴不是不等式的解； 把代入不等式得，左边， ∴是不等式的解； 故答案为：； （2）解：解方程组得， ∵二元一次方程组和不等式组有“梦想解”， ∴是不等式组的解， 把代入不等式组得，， 解不等式组得， ∵为整数， ∴或； （3）解：由方程得，， 解不等式组得：， ∵所有整数“梦想解”的和为， ∴整数“梦想解”为1、2、3、4或0、1、2、3、4， ∵关于的方程和关于的不等式组有“梦想解”， ∴，解得∶． 综上，． 30．（24-25七年级下·全国·期末）如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程为不等式组的关联方程． （1）在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是______；（填序号） （2）若不等式组的一个关联方程的解是整数，且这个关联方程是，求常数的值； （3）①解两个方程：和；②是否存在整数，使得方程和都是关于的不等式组的关联方程？若存在，直接写出所有符合条件的整数的值；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 本题考查一元一次方程、一元一次不等式组的解． （1）分别求出方程①②③的解，再求出不等式组的解集，根据“关联方程”的定义进行判断即可； （2）先求出不等式组的解集，再根据不等式组的一个关联方程的解是整数，进而求出m的值即可； （3）①根据一元一次方程的解法解这两个方程即可； ②求出不等式组的解集，根据“关联方程”的定义得出关于m的不等式组，解不等式组即可得出结论． 【解题过程】 （1）解：方程①的解为； 方程②的解为； 方程③的解为； 不等式组的解集为， ∵， ∴不等式组的关联方程是方程③， 故答案为：③； （2）解：解不等式组，得， 因此不等式组的整数解为． 将代入关联方程0， 得； （3）解：①， 解得； ， 解得； ②不存在．理由如下： 解不等式组， 得， 假如方程和都是关于的不等式组的关联方程， 则且． 解得：且 ∴不等式组无解， 不存在整数，使得方程和都是关于的不等式组的关联方程． 第 1 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 $$