专题突破：立体几何初步重点题型突破（16大题型）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（湘教版2019必修第二册）

专题突破：立体几何初步重点题型突破 1.空间几何体的结构判断基本方法： ①定义法：紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定；②反例法：学会通过反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，设法举出一个反例即可. 2.斜二测画法： 在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段．平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半． 3．简单几何体的表面积和体积： （1）求解多面体的表面积，关键是找到其中的特征图形，如棱柱中的矩形，棱锥中的直角三角形，棱台中的直角梯形等，通过这些图形，找到几何元素间的关系，通过建立未知量与已知量间的关系进行求解； 求空间几何体体积的常用方法为公式法、割补法和等积变换法(等体积法)．①割补法：将这个几何体分割成几个柱体、锥体，分别求出柱体和锥体的体积，从而得出要求的几何体的体积. ②等积变换法：特别地，对于三棱锥，由于其任意一个面均可作为棱锥的底面，从而可选择更容易计算的方式来求体积；利用“等积性”还可求“点到面的距离”． （2）求旋转体的表面积问题应注意其侧面展开图的应用. 求旋转体体积的一般思路是理解旋转体的几何特征，确定得到计算体积所需要的几何量，求旋转体的体积常用公式法、分割法等，注意相关公式要牢记. （3）解决球的表面积、体积问题，关键是抓住“半径”，半径确定之后，根据相应公式计算即可． （4）有关组合体的表面积和体积问题的解题策略 ①弄清组合体是由哪几种“几何体”组合构成； ②弄清各组合体之间是怎样“组合”而成的； ③“组合体”组合后，是否有“公共”区域，特别是求表面积时，绝不能将两个组合体的表面积相加，一定要去掉公共部分或“隐藏部分”． 4.几何体与球的外接问题： 几何体的外接球问题关键是确定球心位置，主要方法有：(1)将几何体还原或补为正方体或长方体，进而确定球心；(2)几何体的外接球球心一定在过底面的外心与底面垂直的直线上；(3)球心到各顶点的距离都相等；(4)球心一定在外接球的直径上. 5 .几何体内切球问题 (1)正多面体存在内切球且正多面体的中心为内切球的球心；(2)求多面体内切球的半径，往往可用“等体积法”：V多＝S表·R内切；(3)正四面体内切球半径是高的，外接球半径是高的；(4)并非所有多面体都有内切球(或外接球). 6.棱切球问题： 有关棱切球的问题，要明确的是既然是棱切球，则球就会被几何体的表面所截，截面为球的“小圆”，而该“小圆”即为几何体表面的内切圆，抓住“小圆”圆心和球心即可解决问题． 7.多球的切接问题解题策略： (1)先确定多个小球的球心，彼此相邻两个小球球心间的距离即为两小球半径之和；(2)做题时要认真分析图形，并作出合适的截面图；(3)明确各个小球球心在该几何体内的位置关系，以此建立小球半径与原几何体之间的数量关系． 8.空间点、直线、平面位置关系的判定： (1)依据基本事实、定理、推论等判断，但是要注意定理等的适用前提条件；(2)根据题目条件，构造相应的几何体(长方体、正方体)模型来判断，常借助正方体、长方体为模型． 9.共点、共线、共面的证明： (1)证明四点共面的基本思路：一是直接证明，即利用基本事实或推论来直接证明；二是先由其中不共线的三点确定一个平面，再证第四个点也在这个平面内即可；(2)要证明点共线问题，关键是转化为证明点在直线上，也就是利用基本事实3，即证点在两个平面的交线上，本题即采用这种证法；或者选择其中两点确定一直线，然后证明另一点也在直线上；(3)证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上. 10.截面与截线问题： (1)作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出它们的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线． (2)作交线的方法有如下两种：①利用基本事实3作交线；②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线． 11.异面直线所成角： 求异面直线所成的角的三个步骤 一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角． 二证：证明作出的角是异面直线所成的角． 三求：解三角形，求出所作的角． 12.空间直线、平面的平行问题： （1）直线与平面平行的判定问题的解题策略：①主旨思想：“线线平行”→“线面平行”；②借助顶点、等分点等作出辅助线，在平面内解决线线平行问题；③再交代清楚哪条直线在平面外，哪条直线在平面内，严格依据判定定理进行即可． （2）直线与平面平行的性质定理问题的解题策略：①主旨思想“线面平行” →“线线平行”；②借助顶点、等分点等作出辅助线进而得到过原直线的一个“新平面”；③确定“新平面”与“原平面”的交线，则交线与原直线平行． （3）证明面面平行的常用方法 ①如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行． ②利用面面平行的判定定理． ③利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α，l⊥β⇒α∥β)． ④利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(α∥β，β∥γ⇒α∥γ)． （4）平面与平面平行的性质应用 ①两平面平行，分别构造与之相交的第三个平面，交线平行． ②两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行． 13. 空间直线、平面的垂直： （1）证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质． (2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．证明“线线垂直”问题一般都是通过“线面垂直”得到，即先证明“线面垂直”，再根据线面垂直的性质得到线线垂直． （3）判定面面垂直的方法： ①面面垂直的定义． ②面面垂直的判定定理． （4）面面垂直性质的应用 ①面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”． ②若两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面． 14.垂直、平行关系的相互转化： 15.直线与平面所成的角： (1)根据线面角的定义，作(找)出该角，再解三角形求出该角，步骤是作(找)⇒证⇒求(算)三步曲． (2)射影法：设斜线段AB在平面α内的射影为A′B′，AB与α所成角为θ，则cosθ＝；设△ABC在平面α内的射影三角形为△A′B′C′，平面ABC与α所成角为θ，则cosθ＝. 16.二面角：根据二面角的平面角的定义，先作出二面角的平面角，步骤是作(找)⇒证⇒求(算)三步曲． 17.距离问题： 空间立体几何中的距离包括点点距离、点线距离、点面距离、线线距离、线面距离、面面距离等. 在这些距离当中，点到平面的距离居核心地位. 线线距离、线面距离、面面距离都可以转化成点到平面的距离去求解. 求点面距的基本方法有：作垂线计算、等积法求解、向量法求解、平行转化法及比例转化法等. 题型一　空间几何体的结构判断 【例1】（多选）（2025高一·全国·专题练习）下列说法不正确的是（    ） A．有两个面互相平行，其余各面均是平行四边形的多面体是棱柱 B．用任意一个平面去截球得到的截面一定是一个圆面 C．侧面是全等的矩形的五棱柱一定是正五棱柱 D．过圆锥顶点的所有截面中，轴截面面积最大 【变式1-1】（多选）（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）下面关于空间几何体叙述正确的是（   ） A．正四棱柱都是长方体 B．两个面平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 C．棱台的侧面都是梯形 D．以等腰梯形的一条腰所在的直线为旋转轴旋转一周，形成的几何体是圆台 【变式1-2】（多选）（2025高三·全国·专题练习）下列说法中正确的是（   ） A．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥 B．长方体是直四棱柱 C．用一个平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分为圆台； D．球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面． 【变式1-3】（多选）（2025高三·全国·专题练习）[多选]下列说法正确的是（   ） A．圆柱的侧面展开图是一个矩形 B．圆锥过轴的截面是一个等腰三角形 C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥 D．圆台平行于底面的截面是圆面 题型二 斜二测画法及计算问题 【例2】（21-22高一下·安徽六安·期末）水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，则中边上的中线的长度为（    ）    A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高一下·河北邯郸·阶段练习）的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为（   ）    A． B．4 C． D．8 【变式2-2】（23-24高一下·河南郑州·阶段练习）如图所示，梯形 是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图， ， ，则平面图形中对角线的长度为（    ） A． B． C． D．5 【变式2-3】（21-22高一下·天津·阶段练习）利用斜二测画法画边长为的正方形的直观图，正确的是图中的（    ） A．   B．   C．   D．   题型三 点、线、面位置关系的判断 【例3】（22-23高一下·云南昭通·阶段练习）在棱长为2的正方体中，与交于点，则以下结论中正确的结论是（    ） （1）平面； （2）平面； （3）三棱锥的体积为； （4）与平面ABCD所成的角为45°． A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（2）（3） D．（1）（2）（4） 【变式3-1】（22-23高一下·云南昭通·阶段练习）如图，在正方体中，E、F分别为、的中点，则下列直线中与直线相交的是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【变式3-2】（2025·江西·一模）如图，正方体的棱长为1，，分别为，的中点，在上，且，平面与棱所在直线交于点，则（   ）    A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24高一下·江苏宿迁·阶段练习）如图，正方体的棱长为1，，，分别为的中点，则下列说法正确的是（    ） A．直线与直线AF垂直 B．直线与平面平行 C．平面截正方体所得的截面面积为 D．点与点到平面的距离相等 题型四 异面直线及其所成的角 【例4】（24-25高二上·上海闵行·期末）在正方体中，若点（异于点）是棱上一点，则满足和所成的角为45°的点有（   ） A．6个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式4-1】（2007·福建·高考真题）在正方体中，分别为、、、的中点，则异面直线与所成的角等于（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2022高二下·河北·学业考试）如图，在正方体中，E是棱的中点，则异面直线DE和所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25高一上·上海·期中）如图，已知分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点.    (1)求证：点在直线上； (2)求证：与是异面直线. 题型五 共点、共线、共面的判断与证明 【例5】（22-23高一下·山西大同·期中）如图所示，在空间四边形中，，分别为，的中点，，分别在，上，且，求证：    (1)，，，四点共面； (2)与的交点在直线上． 【变式5-1】（22-23高一下·河南开封·期末）如图，在正方体中，为棱的靠近上的三等分点.设与平面的交点为，则（    ）        A．三点共线，且 B．三点共线，且 C．三点不共线，且 D．三点不共线，且 【变式5-2】（23-24高一下·江苏·阶段练习）下列选项中，，，，分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在正方体中，点、分别是、的中点．求证：    (1)直线和在同一平面上； (2)直线、和交于一点． 题型六 直线与平面的平行、垂直 【例6】（2025高一下·全国·专题练习）如图①，平面四边形中，，，，将沿BC边折起如图②，使__________，点，分别为AC，AD中点.在题目横线上选择下述其中一个条件，然后解答此题.①；②AC为四面体外接球的直径；③平面. (1)证明：直线平面； (2)判断直线MN与平面的位置关系，并说明理由. 【变式6-1】（22-23高一下·云南昭通·阶段练习）如图，已知分别是空间四边形的边的中点，．求证： (1)四边形是菱形； (2)平面． 【变式6-2】（23-24高一下·贵州黔西·期末）如图，在正方体中． (1)求证：∥平面； (2)求证：平面． 【变式6-3】（23-24高一下·江苏·阶段练习）如图，在四棱锥中， 平面，点是的中点. (1)若底面是平行四边形，求证：平面； (2)若底面是菱形，证明：. 题型七 直线与平面所成的角 【例7】（24-25高一下·山东菏泽·阶段练习）如图，平面，分别为的中点. (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 【变式7-1】（24-25高二上·北京·阶段练习）将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则直线AB与平面BCD所成角的大小为 ；异面直线AC与BD所成角的大小为 ． 【变式7-2】（新疆维吾尔自治区2025届高三下学期普通高考第三次适应性检测数学试题）用一个平面截球O得到的曲面称为球冠，截面为球冠的底面，如图球冠的高大于球的半径，为底面圆心，是以为底，点S在球冠上的圆锥，若底面的半径是球的半径的倍，点A为底面圆周上一点，则与底面所成的角的大小为 ，圆锥的体积与球O的体积之比为 ．    【变式7-3】（23-24高一下·江苏常州·阶段练习）如图，四边形是矩形，，，平面，，.点为线段的中点. (1)求证：平面； (2)求和平面所成角的正弦值. 题型八 平面与平面的平行、垂直 【例8】（10-11高一上·陕西宝鸡·期末）如图，在中，，平面，分别是上的动点，且.    (1)求证：不论为何值，总有平面⊥平面； (2)若，求证：平面⊥平面. 【变式8-1】（2024高二下·安徽·学业考试）如图，四棱柱中，底面是菱形，底面，点为的中点.求证： (1)直线平面； (2)平面平面. 【变式8-2】（24-25高一下·全国·单元测试）如图，在直四棱柱中，底面是正方形，E，F，G分别是棱，，DA的中点．求证： (1)平面平面； (2)． 【变式8-3】（23-24高一下·内蒙古·期末）如图，在直角梯形中，已知，，，，E为对角线的中点，现将沿折起到的位置，使平面平面．求证： (1)直线平面； (2)平面平面． 题型九 二面角 【例9】（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）如图，圆柱中，是一条母线，是底面一条直径，C是的中点. (1)证明：平面平面； (2)若，求二面角的余弦值. 【变式9-1】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，已知四边形是正方形，平面．求： (1)二面角平面角的度数； (2)二面角平面角的度数． 【变式9-2】（23-24高一下·河南漯河·期中）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面.，为侧棱的中点. (1)证明：平面平面； (2)求二面角的正切值. 【变式9-3】（23-24高一下·青海·期末）如图，在四棱锥中，底面四边形是直角梯形，是的中点，． (1)证明：平面． (2)若，求二面角的正弦值． 题型十 几何体的面积计算 【例10】（24-25高一下·山东菏泽·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，底面，，点在棱上，平面． (1)试确定点的位置，并说明理由； (2)求四棱锥的表面积． 【变式10-1】（辽宁省大连市2024-2025学年高三下学期第一次模拟考试数学试卷）已知一个圆台的上下底面半径分别为3和4，母线长为，则该圆台的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】（2021·甘肃平凉·模拟预测）三棱锥的四个顶点均在同一球面上，其中平面，是正三角形，，则该球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】（23-24高一下·山东泰安·期中）如图，正方体中，，点分别是棱的中点. (1)根据多面体的结构特征，判断该几何体是哪种多面体，并结合该类多面体的定义给出证明； (2)求多面体的表面积和体积. 题型十一 几何体体积计算 【例11】（23-24高一下·福建厦门·期中）已知三棱柱中，侧棱垂直于底面，点D是AB的中点． (1)求证：平面； (2)若底面ABC为边长为2的正三角形，，求三棱锥体积． 【变式11-1】（24-25高二上·贵州·阶段练习）在长方体中，，与平面所成的角为，则四棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【变式11-2】（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知正三棱台的上底面边长，下底面边长，侧棱与底面所成角的正切值为3，则该三棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式11-3】（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）已知圆柱的下底面圆的内接正三角形的边长为3，为圆柱上底面圆上任意一点，若三棱锥的体积为，则圆柱的外接球的体积 ． 题型十二 根据几何体的面积、体积求其它量 【例12】（24-25高二上·浙江绍兴·期末）（如图甲）是一个水平放置的装有一定量水的四棱锥密闭容器（容器材料厚度不算），底面为平行四边形. 现将容器以棱为轴向左侧倾斜（如图乙），这时水面恰好经过，且分别为棱的中点，设棱锥的高为2，则图甲中，容器内的水面高度为 . 【变式12-1】（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）如图，一个高为2的长方体形状的容器内装有水，若保持容器底面的一条棱不动，将该容器的另一端抬起至水恰好不能流出容器，发现此时容器的底面中不被水浸到的面积为底面积的，则容器在原来位置时的水深为（    ） A． B． C． D． 【变式12-2】（2025高一·全国·专题练习）已知球的半径和圆锥的底面半径相等，且圆锥的侧面展开图是半圆.若球的表面积为，则圆锥的高为 . 【变式12-3】（24-25高一下·湖南常德·阶段练习）已知某种有盖的圆柱形容器的底面圆半径为，高为120，现有若干个半径为的实心球，则该圆柱形容器内最多可以放入 个这种实心球. 题型十三 距离的计算问题 【例13】（23-24高一下·内蒙古·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是菱形．，分别为的中点，且． (1)证明：． (2)若，求点到平面的距离． 【变式13-1】（2025高三·全国·专题练习）半径为cm的球被两个平行平面所截，两个截面圆的面积分别为cm2，cm2，则这两个平行平面的距离为（    ）cm. A．2 B．14 C．2或14 D．6或8 【变式13-2】（24-25高一下·全国·课后作业）已知在长方体中，棱，．求： (1)点到平面的距离； (2)到平面的距离． 【变式13-3】（24-25高一下·全国·课前预习）如图，在平行四边形中，，，为的中点，将沿直线折起到的位置，使平面平面． (1)证明：平面平面； (2)设为线段的中点，求点到平面的距离． 题型十四 几何体的截面、交线问题 【例14】（2025高一·全国·专题练习）正方体的棱长为2，平面截正方体内切球所得的截面面积为（    ） A． B． C． D． 【变式14-1】（2022·贵州毕节·三模）在长方体中，点，分别是棱，的中点，点为对角线，的交点，若平面平面，，且，则实数（    ） A． B． C． D． 【变式14-2】（24-25高三下·重庆南岸·阶段练习）如图，已知正方形的边长为4，点在边上且，将沿翻折到的位置，使得．空间四点的外接球为球，过点作球的截面，则截球所得截面面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式14-3】（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在正三棱柱中，，，，分别为棱，，的中点，过，，三点作正三棱柱的截面，则截面与侧面的交线长为 .    题型十五 几何体中的计算问题 【例15】（24-25高一下·全国·课后作业）如图给出两个几何体： (1)画出两个几何体的平面展开图； (2)图①是侧棱长为的正三棱锥，，过点作截面分别交BD，CD于点E，F，求截面三角形周长的最小值． 【变式15-1】（24-25高二上·安徽合肥·期中）如图，在长方体中，，若点在平面上运动，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式15-2】（24-25高三上·安徽阜阳·期末）如图，圆锥的底面半径为，高为，且该圆锥内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）的半径为1，则（    ）    A． B． C． D． 【变式15-3】（23-24高一下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）如图，在正方体中，，F为AD的中点，点E为的动点.若平面，求线段的长度.    题型十六 立体几何探索性问题 【例16】（21-22高一下·浙江宁波·期中）如图所示，在四棱锥中，在底面中，，E在棱PD上且. (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点N，使得平面平面？若存在，写出的值；若不存在，请说明理由. 【变式16-1】（24-25高一上·浙江杭州·阶段练习）在底面是菱形的四棱锥中，，， ，点E在PD上，且，平面平面． (1)证明：； (2)在棱PC上是否存在一点F，使平面？证明你的结论． 【变式16-2】（23-24高一下·江苏常州·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，底面是平行四边形，点为的中点，点分别在上，且平面平面． (1)求证：为线段中点； (2)若点在棱上，猜想：当为何值时，有平面平面，并证明你的猜想． 【变式16-3】（22-23高一下·云南昭通·期末）如图，在正三棱柱中，，点M为的中点. (1)求点A到平面的距离； (2)在棱上是否存在点Q，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题突破：立体几何初步重点题型突破 1.空间几何体的结构判断基本方法： ①定义法：紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定；②反例法：学会通过反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，设法举出一个反例即可. 2.斜二测画法： 在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段．平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半． 3．简单几何体的表面积和体积： （1）求解多面体的表面积，关键是找到其中的特征图形，如棱柱中的矩形，棱锥中的直角三角形，棱台中的直角梯形等，通过这些图形，找到几何元素间的关系，通过建立未知量与已知量间的关系进行求解； 求空间几何体体积的常用方法为公式法、割补法和等积变换法(等体积法)．①割补法：将这个几何体分割成几个柱体、锥体，分别求出柱体和锥体的体积，从而得出要求的几何体的体积. ②等积变换法：特别地，对于三棱锥，由于其任意一个面均可作为棱锥的底面，从而可选择更容易计算的方式来求体积；利用“等积性”还可求“点到面的距离”． （2）求旋转体的表面积问题应注意其侧面展开图的应用. 求旋转体体积的一般思路是理解旋转体的几何特征，确定得到计算体积所需要的几何量，求旋转体的体积常用公式法、分割法等，注意相关公式要牢记. （3）解决球的表面积、体积问题，关键是抓住“半径”，半径确定之后，根据相应公式计算即可． （4）有关组合体的表面积和体积问题的解题策略 ①弄清组合体是由哪几种“几何体”组合构成； ②弄清各组合体之间是怎样“组合”而成的； ③“组合体”组合后，是否有“公共”区域，特别是求表面积时，绝不能将两个组合体的表面积相加，一定要去掉公共部分或“隐藏部分”． 4.几何体与球的外接问题： 几何体的外接球问题关键是确定球心位置，主要方法有：(1)将几何体还原或补为正方体或长方体，进而确定球心；(2)几何体的外接球球心一定在过底面的外心与底面垂直的直线上；(3)球心到各顶点的距离都相等；(4)球心一定在外接球的直径上. 5 .几何体内切球问题 (1)正多面体存在内切球且正多面体的中心为内切球的球心；(2)求多面体内切球的半径，往往可用“等体积法”：V多＝S表·R内切；(3)正四面体内切球半径是高的，外接球半径是高的；(4)并非所有多面体都有内切球(或外接球). 6.棱切球问题： 有关棱切球的问题，要明确的是既然是棱切球，则球就会被几何体的表面所截，截面为球的“小圆”，而该“小圆”即为几何体表面的内切圆，抓住“小圆”圆心和球心即可解决问题． 7.多球的切接问题解题策略： (1)先确定多个小球的球心，彼此相邻两个小球球心间的距离即为两小球半径之和；(2)做题时要认真分析图形，并作出合适的截面图；(3)明确各个小球球心在该几何体内的位置关系，以此建立小球半径与原几何体之间的数量关系． 8.空间点、直线、平面位置关系的判定： (1)依据基本事实、定理、推论等判断，但是要注意定理等的适用前提条件；(2)根据题目条件，构造相应的几何体(长方体、正方体)模型来判断，常借助正方体、长方体为模型． 9.共点、共线、共面的证明： (1)证明四点共面的基本思路：一是直接证明，即利用基本事实或推论来直接证明；二是先由其中不共线的三点确定一个平面，再证第四个点也在这个平面内即可；(2)要证明点共线问题，关键是转化为证明点在直线上，也就是利用基本事实3，即证点在两个平面的交线上，本题即采用这种证法；或者选择其中两点确定一直线，然后证明另一点也在直线上；(3)证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上. 10.截面与截线问题： (1)作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出它们的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线． (2)作交线的方法有如下两种：①利用基本事实3作交线；②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线． 11.异面直线所成角： 求异面直线所成的角的三个步骤 一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角． 二证：证明作出的角是异面直线所成的角． 三求：解三角形，求出所作的角． 12.空间直线、平面的平行问题： （1）直线与平面平行的判定问题的解题策略：①主旨思想：“线线平行”→“线面平行”；②借助顶点、等分点等作出辅助线，在平面内解决线线平行问题；③再交代清楚哪条直线在平面外，哪条直线在平面内，严格依据判定定理进行即可． （2）直线与平面平行的性质定理问题的解题策略：①主旨思想“线面平行” →“线线平行”；②借助顶点、等分点等作出辅助线进而得到过原直线的一个“新平面”；③确定“新平面”与“原平面”的交线，则交线与原直线平行． （3）证明面面平行的常用方法 ①如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行． ②利用面面平行的判定定理． ③利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α，l⊥β⇒α∥β)． ④利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(α∥β，β∥γ⇒α∥γ)． （4）平面与平面平行的性质应用 ①两平面平行，分别构造与之相交的第三个平面，交线平行． ②两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行． 13. 空间直线、平面的垂直： （1）证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质． (2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．证明“线线垂直”问题一般都是通过“线面垂直”得到，即先证明“线面垂直”，再根据线面垂直的性质得到线线垂直． （3）判定面面垂直的方法： ①面面垂直的定义． ②面面垂直的判定定理． （4）面面垂直性质的应用 ①面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”． ②若两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面． 14.垂直、平行关系的相互转化： 15.直线与平面所成的角： (1)根据线面角的定义，作(找)出该角，再解三角形求出该角，步骤是作(找)⇒证⇒求(算)三步曲． (2)射影法：设斜线段AB在平面α内的射影为A′B′，AB与α所成角为θ，则cosθ＝；设△ABC在平面α内的射影三角形为△A′B′C′，平面ABC与α所成角为θ，则cosθ＝. 16.二面角：根据二面角的平面角的定义，先作出二面角的平面角，步骤是作(找)⇒证⇒求(算)三步曲． 17.距离问题： 空间立体几何中的距离包括点点距离、点线距离、点面距离、线线距离、线面距离、面面距离等. 在这些距离当中，点到平面的距离居核心地位. 线线距离、线面距离、面面距离都可以转化成点到平面的距离去求解. 求点面距的基本方法有：作垂线计算、等积法求解、向量法求解、平行转化法及比例转化法等. 题型一　空间几何体的结构判断 【例1】（多选）（2025高一·全国·专题练习）下列说法不正确的是（    ） A．有两个面互相平行，其余各面均是平行四边形的多面体是棱柱 B．用任意一个平面去截球得到的截面一定是一个圆面 C．侧面是全等的矩形的五棱柱一定是正五棱柱 D．过圆锥顶点的所有截面中，轴截面面积最大 【答案】ACD 【知识点】棱柱的结构特征和分类、圆锥中截面的有关计算、球的截面的性质及计算 【分析】根据棱柱的定义判断A，由球的性质判断B，由正五棱柱定义判断C，根据圆锥过顶点的截面的性质判断D． 【详解】如下图的多面体，有两个面互相平行，其余各面均是平行四边形的，但它不是棱柱，A错； 用任意一个平面去截球得到的截面一定是一个圆面，B正确； 侧面是全等的矩形的五棱柱的底面不一定是正五边形，C错； 过圆锥顶点的所有截面中，设两条母线的平角为，母线长为，则截面面积为， 当轴截面等腰三角形的顶角大于，截面中两条母线夹角为的截面面积最大，D错. 故选：ACD. 【变式1-1】（多选）（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）下面关于空间几何体叙述正确的是（   ） A．正四棱柱都是长方体 B．两个面平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 C．棱台的侧面都是梯形 D．以等腰梯形的一条腰所在的直线为旋转轴旋转一周，形成的几何体是圆台 【答案】AC 【知识点】棱柱的结构特征和分类、棱台的结构特征和分类、圆台的结构特征辨析 【分析】本题需要根据正四棱柱、长方体、棱柱、棱台、圆台的定义和性质，对每个选项逐一进行分析判断. 【详解】对于选项，正四棱柱是底面为正方形的直棱柱，而长方体是底面为矩形的直棱柱. 因为正方形是特殊的矩形，所以正四棱柱满足长方体的定义，正四棱柱都是长方体，选项正确. 对于选项，两个面平行，其余各面都是平行四边形的多面体不一定是棱柱. 比如两个底面全等的斜棱柱拼接在一起的多面体，虽然满足两个面平行，其余各面都是平行四边形，但它不是棱柱，选项错误. 对于选项，棱台是用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分. 棱台的各侧棱延长后交于一点，所以棱台的侧面都是梯形，选项正确. 对于选项，若以等腰梯形的一条斜腰所在的直线为旋转轴旋转一周，形成的几何体不是圆台，是一个圆锥和一个圆台并挖去一个圆锥的组合体.选项错误. 故选：AC. 【变式1-2】（多选）（2025高三·全国·专题练习）下列说法中正确的是（   ） A．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥 B．长方体是直四棱柱 C．用一个平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分为圆台； D．球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面． 【答案】BD 【知识点】棱柱的结构特征和分类、棱锥的结构特征和分类、圆台的结构特征辨析、球的结构特征辨析 【分析】根据正棱锥的概念判断A；根据直四棱柱的概念判断B；根据圆台的概念判断C；根据球的概念判断D. 【详解】对于A，各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，所以A错误； 对于B，易知长方体的侧棱和底面垂直，所以是直四棱柱，故B正确； 对于C，根据圆台的定义，用一个平行于底面的平面去截圆锥， 圆锥底面和截面之间的部分为圆台，故C错误； 对于D，球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面，故D正确． 故选：BD 【变式1-3】（多选）（2025高三·全国·专题练习）[多选]下列说法正确的是（   ） A．圆柱的侧面展开图是一个矩形 B．圆锥过轴的截面是一个等腰三角形 C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥 D．圆台平行于底面的截面是圆面 【答案】ABD 【知识点】圆柱的结构特征辨析、圆锥的结构特征辨析、圆台的结构特征辨析 【分析】根据空间几何体的结构特征判断即可. 【详解】圆柱的侧面展开图是一个矩形，A正确； 因为母线长相等，得到圆锥的轴截面是一个等腰三角形，B正确； 圆台平行于底面的截面是圆面，D正确； 直角三角形绕它的斜边旋转一周形成的曲面围成的几何体是两个圆锥的组合体， C不正确， 故选：ABD. 题型二 斜二测画法及计算问题 【例2】（21-22高一下·安徽六安·期末）水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，则中边上的中线的长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】斜二测法画平面图形的直观图、斜二测画法中有关量的计算 【分析】由斜二测画法规则知为直角三角形，且，，由勾股定理求出的长，即得答案. 【详解】解：由斜二测画法规则知， 即为直角三角形，其中， 所以， 边上的中线长度为. 故选：A. 【变式2-1】（24-25高一下·河北邯郸·阶段练习）的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为（   ）    A． B．4 C． D．8 【答案】B 【知识点】由直观图还原几何图形、斜二测画法中有关量的计算 【分析】将直观图还原为原图，然后即可求解. 【详解】将直观图还原为原图，如图所示，则是直角三角形，其中，，    故的面积为， 故选：B． 【变式2-2】（23-24高一下·河南郑州·阶段练习）如图所示，梯形 是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图， ， ，则平面图形中对角线的长度为（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【知识点】斜二测画法中有关量的计算、由直观图还原几何图形、斜二测法画平面图形的直观图 【分析】由直观图知原几何图形是直角梯形再结合勾股定理求出对角线即可. 【详解】由直观图知原几何图形是直角梯形，如图， 由斜二测法则知 ， ， 所以 ． 故选：A． 【变式2-3】（21-22高一下·天津·阶段练习）利用斜二测画法画边长为的正方形的直观图，正确的是图中的（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【知识点】斜二测法画平面图形的直观图 【分析】利用斜二测画法作出直观图，可得结果. 【详解】作出正方形的斜二测直观图如下图所示（单位：）：    故选：C. 题型三 点、线、面位置关系的判断 【例3】（22-23高一下·云南昭通·阶段练习）在棱长为2的正方体中，与交于点，则以下结论中正确的结论是（    ） （1）平面； （2）平面； （3）三棱锥的体积为； （4）与平面ABCD所成的角为45°． A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（2）（3） D．（1）（2）（4） 【答案】C 【知识点】锥体体积的有关计算、判断线面平行、证明线面垂直、求线面角 【分析】根据线面平行、线面垂直的判定定理可证得（1）（2）正确；利用三棱锥体积公式得到（3）正确，根据线面角定义和给定的长度关系得到（4）错误即可. 【详解】如图，我们连接，作出符合题意的正方体， 对于（1），，，四边形为平行四边形， ，又平面，平面， 平面，故（1）正确， 对于（2），四边形为正方形，； 平面，平面，； ，平面，平面，故（2）正确， 对于（3），，平面，， ，故（3）正确， 对于（4），平面，即为直线与平面所成角， ，，， ，即与平面所成的角不是，故（4）错误， 综上，正确结论为（1）（2）（3），故C正确. 故选：C. 【变式3-1】（22-23高一下·云南昭通·阶段练习）如图，在正方体中，E、F分别为、的中点，则下列直线中与直线相交的是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【知识点】空间中的线共点问题 【分析】先确定两直线共面，再确定不平行，根据共面直线的位置关系，不是平行就是相交. 【详解】 A选项，E、F分别为、的中点，所以，即，所以四点共面，因为，所以与相交，故A正确. B选项，因为平面，平面，所以与无交点，故B错误. C选项，因为平面，不过点，所以与异面，无交点，故C错误. D选项，因为平面，平面，所以与无交点，故D错误. 故选：A. 【变式3-2】（2025·江西·一模）如图，正方体的棱长为1，，分别为，的中点，在上，且，平面与棱所在直线交于点，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由平面的基本性质作截面图形、平面的基本性质的有关计算 【分析】根据正方体的性质可得平面与平面平行，利用面面平行的性质定理可得平面与它们的交线平行， 然后作平行线找到点的位置，利用三角形相似即可求出的值. 【详解】    在正方体中，根据正方体的性质可得平面与平面平行， 利用面面平行的性质定理可得平面与它们的交线平行， 所以过点作直线的平行线与延长线交于一点， 此交点即为平面与棱所在直线交点，连接，如图所示. 所以四边形是平行四边形，所以， 又，分别为，的中点，所以， 因为，所以，所以， 又因为，所以， 所以. 故选：. 【变式3-3】（23-24高一下·江苏宿迁·阶段练习）如图，正方体的棱长为1，，，分别为的中点，则下列说法正确的是（    ） A．直线与直线AF垂直 B．直线与平面平行 C．平面截正方体所得的截面面积为 D．点与点到平面的距离相等 【答案】B 【知识点】证明线面平行、点面距离的概念及性质、线面垂直证明线线垂直 【分析】对A：假设，再根据//，推出，再推出矛盾即可；对B：延拓平面，再根据线线平行，即可推出线面平行；对C：根据B中所得截面，再结合几何关系，求得截面面积即可；对D：判断不过中点，即可判断选项的正误. 【详解】对A：假设，因为//，则，； 因为为正方体，故面，又面，故，， 故，假设不成立，即与不垂直，故A错误； 对B：连接，如下所示： 因为分别为的中点，故//，又//，故//，故四点共面； 易知四边形为平行四边形，故//，又面，面，故//面，B正确； 对C：由B可知，平面截正方体所得截面为梯形； ，， 故梯形的面积为，故C错误； 对D：连接，记，若下所示： 若点与点到平面的距离相等，则过的中点，也即为的中点； 显然四边形为平行四边形，显然不为的中点，故不是中点， 则点与点到平面的距离不相等，故D错误； 故选：B. 题型四 异面直线及其所成的角 【例4】（24-25高二上·上海闵行·期末）在正方体中，若点（异于点）是棱上一点，则满足和所成的角为45°的点有（   ） A．6个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】将各个顶点分别与的连线与直线所成的角大于等于和小于两类；从而可知当点在上运动时都经历了从小于到大于的变化，从而得到结果. 【详解】如图，将正方体的各个顶点（除点外）分类，规定当顶点与的连线与直线所成的角大于等于时为一类，小于时为一类 显然与所成角的正切值为，故大于， 与所成角的为，大于， 与所成角的余弦值为，角大于， 与所成角的正切值为，小于， 当点从运动到时，角度从大于变化到小于，一定经过一个点满足； 依此类推，当点在上运动时， 都经历过角度从小于到大于的变化，故满足条件的点共有个. 故选： 【变式4-1】（2007·福建·高考真题）在正方体中，分别为、、、的中点，则异面直线与所成的角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】连接，异面直线与所成的角是或其补角，由正方体性质即可得结论. 【详解】如图，连接， 由题意， 所以异面直线与所成的角是或其补角， 由正方体性质知是等边三角形，， 所以异面直线与所成的角是. 故选：B. 【变式4-2】（2022高二下·河北·学业考试）如图，在正方体中，E是棱的中点，则异面直线DE和所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】设为的中点，连接，可证或其补角即为异面直线DE和所成的角，故可求它的余弦值. 【详解】 设为的中点，连接， 由正方体的性质可得则四边形为平行四边形， 故，而为所在棱的中点，故， 故，故或其补角即为异面直线DE和所成的角， 设正方体的棱长为2，则， 故，故异面直线DE和所成的角的余弦值为， 故选：C. 【变式4-3】（24-25高一上·上海·期中）如图，已知分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点.    (1)求证：点在直线上； (2)求证：与是异面直线. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】空间中的线共点问题、异面直线的判定 【分析】（1）通过证明在平面与平面的交线上，来证得在直线上. （2）利用反证法可证明与是异面直线. 【详解】（1）平面平面， 由于平面，平面， 所以，也即点在直线上. （2）假设与不是异面直线. 则与是共面直线，又在直线外， 则过与直线有唯一平面，所以可得平面， 这与在平面外矛盾，故与是异面直线. 题型五 共点、共线、共面的判断与证明 【例5】（22-23高一下·山西大同·期中）如图所示，在空间四边形中，，分别为，的中点，，分别在，上，且，求证：    (1)，，，四点共面； (2)与的交点在直线上． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】空间中的点（线）共面问题、空间中的线共点问题 【分析】（1）推导出，，从而，由此能证明，，，四点共面． （2）推导出，且，从而与必相交，设交点为，由此能证明与的交点在直线上． 【详解】（1）：：：，， ，分别为，的中点，，， ，，，四点共面． （2）、不是、的中点， ，且， 与必相交，设交点为， 平面，平面， 平面，且平面， 平面平面，， 与的交点在直线上． 【变式5-1】（22-23高一下·河南开封·期末）如图，在正方体中，为棱的靠近上的三等分点.设与平面的交点为，则（    ）        A．三点共线，且 B．三点共线，且 C．三点不共线，且 D．三点不共线，且 【答案】B 【知识点】空间中的点共线问题 【分析】连接，利用公理2可直接证得，并且由三角形相似得比例关系，从而求出结果. 【详解】连接连接，，    直线平面平面. 又平面，平面平面直线 ∴三点共线. . 故选：B. 【变式5-2】（23-24高一下·江苏·阶段练习）下列选项中，，，，分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】空间中的点（线）共面问题 【分析】利用空间中平行关系的转化可判断ABC正确，根据异面直线的定义可判断D错误. 【详解】在A图中，分别连接， 由正方体可得四边形为矩形，则， 因为为中点，故，则，所以四点共面. 在B图中，设为所在棱的中点，分别连接， 由A的讨论可得，故四点共面， 同理可得，故，同理可得， 故平面，平面，所以六点共面. 在C图中，由为中点可得，同理， 故，所以四点共面. 在D图中，为异面直线，四点不共面. 故选：D. 【变式5-3】（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在正方体中，点、分别是、的中点．求证：    (1)直线和在同一平面上； (2)直线、和交于一点． 【答案】(1)证明见详解； (2)证明见详解. 【知识点】空间中的点（线）共面问题、空间中的线共点问题 【分析】（1）连结，根据点分别是的中点，利用平行关系的传递性得到∥即可; （2）易得与相交，设交点为P，则能得到平面，平面，结合平面平面，即可得证； 【详解】（1）如图，连结.    ∵点分别是的中点，∴. ∵四边形为平行四边形，∴， ∴， ∴四点共面，即和共面． （2）证明：正方体中， ∵点分别是的中点，∴且 ∵四边形为平行四边形，∴，且 ∴∥且 ∴与相交，设交点为P， ∵，平面，∴平面； 又∵，平面，∴平面， ∵平面平面，∴， ∴三线交于点P. 题型六 直线与平面的平行、垂直 【例6】（2025高一下·全国·专题练习）如图①，平面四边形中，，，，将沿BC边折起如图②，使__________，点，分别为AC，AD中点.在题目横线上选择下述其中一个条件，然后解答此题.①；②AC为四面体外接球的直径；③平面. (1)证明：直线平面； (2)判断直线MN与平面的位置关系，并说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)平面，理由见解析 【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）运用中位线性质，结合线面平行判定定理证明即可； （2）结合条件及线面垂直的判定定理，可得平面，进而证得平面. 【详解】（1）分别为中点，. 又平面，平面，直线平面. （2）直线平面，理由如下： 选①，，在中，，，则， 又，，则， 又，，平面， 平面，， 又，，平面， 平面，又分别为的中点， ，则平面. 选②，为四面体外接球的直径， 则，，又，， 平面，平面， 分别为AC，AD的中点， ，则平面. 选③，平面，平面，， 又，，平面，平面， 分别为的中点，，则平面. 【变式6-1】（22-23高一下·云南昭通·阶段练习）如图，已知分别是空间四边形的边的中点，．求证： (1)四边形是菱形； (2)平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】平面的基本性质及辨析、证明线面平行 【分析】（1）利用中位线定理得到，，进而证明平行四边形，再结合给定条件得到，证明菱形即可. （2）利用中位线定理得到，再利用线面平行的判定定理求解即可. 【详解】（1）由题意得分别是空间四边形的边的中点， 则是的中位线，是的中位线， 由中位线定理得，且， 同理可得，，因为，所以， 因为，，所以，故四边形为平行四边形， 因为，所以四边形是菱形． （2）由上问得，而平面，且平面， 得到平面，故平面． 【变式6-2】（23-24高一下·贵州黔西·期末）如图，在正方体中． (1)求证：∥平面； (2)求证：平面． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【知识点】线面垂直证明线线垂直、证明线面垂直、证明线面平行 【分析】（1）根据题意可得∥，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）连接，可得，，结合线面垂直的判定定理分析证明. 【详解】（1）因为为正方体，则∥，且， 可知为平行四边形，则∥， 且平面，平面，所以∥平面. （2）连接， 因为为正方形，则， 又因为平面，平面，则， 且，平面， 可得平面， 由平面，可得， 同理可得：， 且，平面， 所以平面. 【变式6-3】（23-24高一下·江苏·阶段练习）如图，在四棱锥中， 平面，点是的中点. (1)若底面是平行四边形，求证：平面； (2)若底面是菱形，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】线面垂直证明线线垂直、证明线面垂直、证明线面平行 【分析】（1）连结交于点，连接，证明，由线线平行证线面平行即得； （2）先证，再证，得平面，即得. 【详解】（1） 如图，连结交于点，连接. 因是平行四边形，则为的中点，又因为的中点，故. 又因为面，面，所以平面； （2）因是菱形，则， 又平面，平面，则， 因平面，则平面， 又平面，故. 题型七 直线与平面所成的角 【例7】（24-25高一下·山东菏泽·阶段练习）如图，平面，分别为的中点. (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【知识点】证明线面平行、求线面角 【分析】（1）由平行的传递性得到，即可求证； （2）连接，则由已知可证得平面，从而得为和平面所成的角，然后在Rt中求解. 【详解】（1）∵分别为的中点， ∴ ． 又∵， ∴． 又不在平面内，在平面内， ∴平面． （2）连接. 为的中点，且. 平面平面， ∴， ∵， ∴， ∵，平面， 平面， ∵平面， 由（1）有， 又四边形为平行四边形， ∴， ∵，平面. 平面. 为和平面所成的角. 由得， 在Rt中，， 和平面所成角的正弦值为. 【变式7-1】（24-25高二上·北京·阶段练习）将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则直线AB与平面BCD所成角的大小为 ；异面直线AC与BD所成角的大小为 ． 【答案】 【知识点】求异面直线所成的角、求线面角、面面垂直证线面垂直 【分析】由线面角定义确定线面角并求解，再根据异面直线所成角的定义求异面直线所成的角． 【详解】如图，是原正方形对角线交点，则， 是二面角的平面角， 又二面角是直二面角，即平面平面，它们的交线是，平面， 所以平面，是直线与平面所成的角，， 所以直线与平面所成的角是， 又由，平面，得平面，而平面， 所以，所以异面直线AC与BD所成角的大小为， 故答案为：；． 【变式7-2】（新疆维吾尔自治区2025届高三下学期普通高考第三次适应性检测数学试题）用一个平面截球O得到的曲面称为球冠，截面为球冠的底面，如图球冠的高大于球的半径，为底面圆心，是以为底，点S在球冠上的圆锥，若底面的半径是球的半径的倍，点A为底面圆周上一点，则与底面所成的角的大小为 ，圆锥的体积与球O的体积之比为 ．    【答案】 / /0.28125 【知识点】锥体体积的有关计算、球的体积的有关计算 【分析】假设球的半径为R，依题意，通过勾股定理可求出的长，进而可知的长，进而可求与底面所成的角的正切值，进而可求角；分别算出圆锥的体积与球O的体积即可计算其比值. 【详解】设球的半径为R，则，， ， ，所以. 故答案为：； 【变式7-3】（23-24高一下·江苏常州·阶段练习）如图，四边形是矩形，，，平面，，.点为线段的中点. (1)求证：平面； (2)求和平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、求线面角 【分析】（1）连接交于，证明，根据线面平行判定定理证明结论； （2）根据线面垂直判定定理证明平面，结合线面角定义确定和平面所成的角，解三角形求解即可. 【详解】（1）连接交于，连接，因为为、的中点， 所以为的中位线； 所以，而平面，平面， 故平面；                                             （2）因为平面，平面，所以， 又由，而，平面， 故平面； 故即为和平面所成的角. 由已知，，， 在直角三角形中，可得， 所以和平面所成角的正弦值为. 题型八 平面与平面的平行、垂直 【例8】（10-11高一上·陕西宝鸡·期末）如图，在中，，平面，分别是上的动点，且.    (1)求证：不论为何值，总有平面⊥平面； (2)若，求证：平面⊥平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】线面垂直证明线线垂直、证明面面垂直、证明线面垂直 【分析】（1）由题意可证平面.再结合即可求证； （2）由（1）可得，即可得平面，进而求证. 【详解】（1）平面，平面， ，又且平面， ∴平面.                   又， ∴不论为何值，恒有， 平面，又在平面内， ∴不论为何值，恒有平面⊥平面. （2）由（1）知平面，平面，， 又且平面 , 平面，又在平面内， 平面⊥平面 【变式8-1】（2024高二下·安徽·学业考试）如图，四棱柱中，底面是菱形，底面，点为的中点.求证： (1)直线平面； (2)平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】证明面面垂直、证明线面平行 【分析】（1）设，连接，可证，故由线面平行的判定定理可得平面. （2）由线面垂直的判定定理可证平面，故可得平面平面. 【详解】（1） 设，连接， ∵底面是菱形，∴为的中点， 又∵是的中点，∴， 又平面，平面，∴直线平面. （2）∵底面是菱形，∴. 又平面，平面，∴. 又，平面，平面， ∴平面，∵平面，∴平面平面. 【变式8-2】（24-25高一下·全国·单元测试）如图，在直四棱柱中，底面是正方形，E，F，G分别是棱，，DA的中点．求证： (1)平面平面； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】证明面面平行、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）根据平行四边形的性质及线面平行的判定定理得平面，又平面，最后利用面面平行的判定定理证明即可； （2）先根据线面垂直的判定定理得平面，再根据线面垂直的性质定理证明即可. 【详解】（1），F分别是和的中点，且． 四边形是平行四边形，． 又平面，平面，平面． 是的中位线，． 又平面，平面，平面． 又，平面平面． （2）连接BD，，底面是正方形，． ，，平面． 平面，． 【变式8-3】（23-24高一下·内蒙古·期末）如图，在直角梯形中，已知，，，，E为对角线的中点，现将沿折起到的位置，使平面平面．求证： (1)直线平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】证明线面垂直、证明面面垂直、面面垂直证线面垂直 【分析】（1）由已知为中点，可得，利用面面垂直的性质定理即可证明； （2）由已知，可得平面，则，又得，则平面，利用面面垂直的判定得证. 【详解】（1）因为平面平面，且平面平面， 又，则，且为中点，所以， 又平面，所以平面； （2）在直角梯形中， ，， 则， 又，则， 又，所以， 在折后的几何体中，， 因平面平面，平面平面， 又平面， 所以平面， 又平面，则， 又，即，则， 又，平面，平面， 则平面， 又平面， 所以平面平面. 题型九 二面角 【例9】（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）如图，圆柱中，是一条母线，是底面一条直径，C是的中点. (1)证明：平面平面； (2)若，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】线面垂直证明线线垂直、求二面角、证明面面垂直 【分析】（1）先由线面垂直的性质可得，然后由直径所对的圆周角等于可得，进而由线面垂直的判定定理可得平面，从而面面垂直的判定定理得证平面平面. （2）设，作,垂足于，并求的长度，进而由可得，易知是二面角的平面角，从而用余弦定理即可即可求解. 【详解】（1）证明：因为是一条母线，所以平面，而平面，则， 因为是底面一条直径，C是的中点，所以，即， 又平面且， 所以平面，而平面，则平面平面. （2）设，则，. 取的中点，则，， 作，垂足于，则，即， 进而，所以. 因为分别是的中点，连接， 所以，又，. 由，可知，是二面角的平面角. 所以. 故二面角的余弦值为. 【变式9-1】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，已知四边形是正方形，平面．求： (1)二面角平面角的度数； (2)二面角平面角的度数． 【答案】(1)90° (2)45°． 【知识点】求二面角 【分析】（1）（2）利用二面角的定义找到二面角，再求解角度即可. 【详解】（1）平面，面， ，， 为二面角的平面角． 四边形是正方形，， 二面角平面角的度数为90°． （2）平面，面， ，． 为二面角的平面角． 四边形为正方形，． 即二面角平面角的度数为45°． 【变式9-2】（23-24高一下·河南漯河·期中）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面.，为侧棱的中点. (1)证明：平面平面； (2)求二面角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】求二面角、证明面面垂直 【分析】（1）通过线面垂直证明面面垂直可得结论. （2）通过构造辅助线找到二面角的平面角，在直角三角形中利用锐角三角函数可得结果. 【详解】（1）∵平面，平面，∴. ∵,平面，平面， ∴平面， ∵平面，∴平面平面. （2） 取中点，连接，过点作于点，连接. ∵点分别为的中点，∴，， ∴平面， ∵平面，平面，∴， ∵，平面，平面， ∴平面， ∵平面，∴， ∴为二面角的平面角， 在直角梯形中，. ∵，∴， ∴，即二面角的正切值为. 【变式9-3】（23-24高一下·青海·期末）如图，在四棱锥中，底面四边形是直角梯形，是的中点，． (1)证明：平面． (2)若，求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面垂直、求二面角 【分析】（1）连接，通过四边形是正方形，得到，进而可求证； （2）作，垂足为，连接.先证明平面，得到是二面角的平面角，在判断四棱锥为正四棱锥，求得，再由余弦定理即可求解. 【详解】（1）证明：连接． 因为是的中点，所以． 分因为，且，所以四边形是正方形， 则． 因为平面，且， 所以平面． （2）解： 作，垂足为，连接. 由（1）可知平面．又平面，所以． 因为平面，且，所以平面． 因为平面，所以，则是二面角的平面角． 记，连接，则是的中点． 因为，且是的中点，所以． 因为平面，且平面，所以． 连接．因为平面，且，所以平面， 则四棱锥为正四棱锥，故． 因为的面积， 即， 所以． 同理可得． 在中，由余弦定理可得， 则，即二面角的正弦值为 题型十 几何体的面积计算 【例10】（24-25高一下·山东菏泽·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，底面，，点在棱上，平面． (1)试确定点的位置，并说明理由； (2)求四棱锥的表面积． 【答案】(1)点为的中点，理由见解析； (2) 【知识点】棱锥表面积的有关计算、补全线面平行的条件 【分析】（1）连接，然后由线面平行性质可得答案； （2）分别计算各个面的表面积可得答案. 【详解】（1）点为的中点．理由如下：如图，连接．设， 则点O为的中点，连接．∵ 平面，平面， 平面平面，∴ ． 在中，∵ O为的中点，∴为的中位线， ∴ 点为的中点． （2）⊥底面，又底面是边长为1的正方形， ∴，因为底面，又平面， 则，即直角三角形，又， 则， 则，又， 则为直角三角形，则. 综上四棱锥的表面积为. 【变式10-1】（辽宁省大连市2024-2025学年高三下学期第一次模拟考试数学试卷）已知一个圆台的上下底面半径分别为3和4，母线长为，则该圆台的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】圆台表面积的有关计算 【分析】利用圆台的侧面积公式可得答案. 【详解】圆台的侧面积为. 故选：B． 【变式10-2】（2021·甘肃平凉·模拟预测）三棱锥的四个顶点均在同一球面上，其中平面，是正三角形，，则该球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】找到三棱锥的外接球的球心，在三角形中求得球半径，从而求得表面积. 【详解】取的外接圆圆心为，过点作底面， 为三棱锥外接球球心，设该球半径为， 由平面，则，连接、、， 由是正三角形，，故， 由，，则， 故有， 故该球的表面积. 故选：D. 【变式10-3】（23-24高一下·山东泰安·期中）如图，正方体中，，点分别是棱的中点. (1)根据多面体的结构特征，判断该几何体是哪种多面体，并结合该类多面体的定义给出证明； (2)求多面体的表面积和体积. 【答案】(1)几何体是三棱台，证明见解析 (2)表面积为，体积为 【知识点】空间中的线共点问题、台体体积的有关计算、棱台表面积的有关计算、棱台的结构特征和分类 【分析】（1）根据基本事实证明三线共点，从而得几何体是三棱锥，结合三棱台的定义即可判断； （2）依次求出三棱台的各个面的面积即可求得表面积，再求出三棱台的高，结合台体体积公式求解即可. 【详解】（1）几何体是三棱台，证明如下： 因为点分别是棱的中点，连接，所以， 且，因此四边形是梯形. 延长相交于点，因为，平面， 所以平面， 又因为平面，所以平面. 因为平面平面，所以， 所以直线相交于同一个点. 所以几何体是三棱锥， 由于平面平面，因为用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥， 底面和截面之间那部分多面体叫做棱台.所以几何体是三棱台. （2）因为，所以， 在等腰梯形中，，高， 所以. 又因为，， 所以三棱台的表面积是. 因为三棱台的高， 所以棱台的体积 . 题型十一 几何体体积计算 【例11】（23-24高一下·福建厦门·期中）已知三棱柱中，侧棱垂直于底面，点D是AB的中点． (1)求证：平面； (2)若底面ABC为边长为2的正三角形，，求三棱锥体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面垂直、证明线面平行、锥体体积的有关计算 【分析】（1）连接交于点，连接，只要证明即可； （2）求出面，得到是棱锥的高，利用棱锥的体积公式解答即可. 【详解】（1）连接交于点，连接， 四边形是矩形， 为的中点，又是的中点， ，又平面平面, 平面； （2）是的中点， ， 又平面平面, 平面, 平面, 则是三棱锥的高, 又 . 【变式11-1】（24-25高二上·贵州·阶段练习）在长方体中，，与平面所成的角为，则四棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】锥体体积的有关计算、由线面角的大小求长度 【分析】结合长方体性质，利用线面角的定义，从而得到角与边之间的关系，然后利用棱锥的体积公式即可求得结果． 【详解】    在长方体中， 利用长方体的性质可知，平面， 则与平面所成的角为，从而， 因为平面，平面，所以， 在直角中，根据，，可得， 再由勾股定理，可以确定， 利用长方体的性质可知， 平面， 所以该四棱锥的体积为， 故选：B． 【变式11-2】（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知正三棱台的上底面边长，下底面边长，侧棱与底面所成角的正切值为3，则该三棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】台体体积的有关计算、求线面角 【分析】将正三棱台补成正三棱锥，得到即为棱与底面所成的角，再由棱台的体积公式求解即可. 【详解】如图，将正三棱台补成正三棱锥， 则与平面所成角即为与平面所成角， 设点在平面上的射影为，在平面上的射影为， 则为的中心，为的中心， 则即为棱与底面所成的角，而， 设的高为，由等面积公式得， 解得，由等边三角形的性质得， 同理可得，故， 故， 所以棱台的高，因为正三棱台的上底面边长， 下底面边长，所以， 同理可得， 则上，下底面的面积分别为和， 则棱台的体积，故B正确. 故选：B 【变式11-3】（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）已知圆柱的下底面圆的内接正三角形的边长为3，为圆柱上底面圆上任意一点，若三棱锥的体积为，则圆柱的外接球的体积 ． 【答案】/ 【知识点】球的截面的性质及计算、锥体体积的有关计算、球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据给定条件，由正三角形性质求出圆柱底面圆半径，利用锥体体积公式求出圆柱的高，再利用圆柱及外接球的结构特征求出球半径即可. 【详解】由圆的内接正的边长为3，得圆的半径， ，三棱锥的高即圆柱的高， 由，解得，圆柱的两底面圆是其外接球的两个截面小圆， 由这两个截面小圆平行且全等，得该球球心到截面小圆距离，则球半径， 所以圆柱的外接球的体积为. 故答案为： 题型十二 根据几何体的面积、体积求其它量 【例12】（24-25高二上·浙江绍兴·期末）（如图甲）是一个水平放置的装有一定量水的四棱锥密闭容器（容器材料厚度不算），底面为平行四边形. 现将容器以棱为轴向左侧倾斜（如图乙），这时水面恰好经过，且分别为棱的中点，设棱锥的高为2，则图甲中，容器内的水面高度为 . 【答案】 【知识点】锥体体积的有关计算、柱体体积的有关计算 【分析】将四棱锥补成平行六面体，利用棱柱和棱锥的体积公式逐项分析即可. 【详解】如图将四棱锥补成平行六面体，设平行四面体的体积为， 根据分别为棱的中点，设棱锥高为，体积为， 则，而三棱柱与平行六面体的高相同， 则， 根据四棱锥与平行六面体底和高均相同，则，则 易知， 则， 图甲中上方的小四棱锥高为,则，则， 故图甲中的水面高度为. 故答案为： 【变式12-1】（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）如图，一个高为2的长方体形状的容器内装有水，若保持容器底面的一条棱不动，将该容器的另一端抬起至水恰好不能流出容器，发现此时容器的底面中不被水浸到的面积为底面积的，则容器在原来位置时的水深为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】柱体体积的有关计算 【分析】根据几何体的体积关系，化归转化，即可求解. 【详解】设该长方体的底面矩形的长为，宽为，又高为2， 所以根据题意可得水的体积为： ， 解得：. 故选：D. 【变式12-2】（2025高一·全国·专题练习）已知球的半径和圆锥的底面半径相等，且圆锥的侧面展开图是半圆.若球的表面积为，则圆锥的高为 . 【答案】 【知识点】圆锥的展开图及最短距离问题、圆锥表面积的有关计算、球的表面积的有关计算 【分析】设球的半径和圆锥的底面半径为，利用球的表面积公式列方程求，设圆锥的母线长为，高为，结合圆心角与弧长和半径的关系列方程可得，由此可求. 【详解】设球的半径和圆锥的底面半径为， 则球的表面积为，解得. 设圆锥的母线长为，高为， 因为圆锥的侧面展开图是半圆，所以， 故，所以， 故答案为：. 【变式12-3】（24-25高一下·湖南常德·阶段练习）已知某种有盖的圆柱形容器的底面圆半径为，高为120，现有若干个半径为的实心球，则该圆柱形容器内最多可以放入 个这种实心球. 【答案】59 【知识点】多面体与球体内切外接问题 【分析】分析第1个实心球上的点与第2个实心球上的点到该圆柱形容器下底面的最大距离，依次叠放，找出规律得到每多放一个球，最上面的球上的点到该圆柱形容器下底面的最大距离加2，即可得到答案. 【详解】图，将第1个实心球靠近该圆柱形容器侧面放置， 球上的点到该圆柱形容器下底面的最大距离为.    将第2个实心球也㰆近该圆柱形容器侧面放置，过点作垂直于该圆柱形容器的母线，垂足为， 过点作垂直于该圆柱形容器下底面，垂足为，设， ， 球上的点到该圆柱形容器下底面的最大距离为. 同理可得球上的点到该圆柱形容器下底面的最大距离为.由此规律可得， 每多放一个球，最上面的球上的点到该圆柱形容器下底面的最大距离加2. 因为， 所以该圆柱形容器内最多可以放入59个这种实心球. 故答案为：59 【点睛】关键点点睛：根据图象球上的点到该圆柱形容器下底面的最大距离为， 每多放一个球，最上面的球上的点到该圆柱形容器下底面的最大距离加2. 题型十三 距离的计算问题 【例13】（23-24高一下·内蒙古·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是菱形．，分别为的中点，且． (1)证明：． (2)若，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】线面垂直证明线线垂直、求点面距离 【分析】（1）连接，根据线面垂直的判定定理可得平面，从而得证； （2）先求得，进而求得，利用等体积法可求得点到平面的距离. 【详解】（1）连接． 因为底面是菱形，分别为的中点， 所以，，所以． 又，，所以平面． 因为平面，所以． （2）因为，是的中点，所以． 又，，所以平面． 由题意得是边长为2的等边三角形，且为的中点， 所以， 又，所以． 在中，可得，， 所以． 设点到平面的距离为，则． 因为，所以，解得． 所以点到平面的距离为. 【变式13-1】（2025高三·全国·专题练习）半径为cm的球被两个平行平面所截，两个截面圆的面积分别为cm2，cm2，则这两个平行平面的距离为（    ）cm. A．2 B．14 C．2或14 D．6或8 【答案】C 【知识点】球的截面的性质及计算 【分析】由截面圆的面积得到截面圆的半径，然后根据求得截面到圆心的距离，再按两截面在圆心的同侧和异侧求解即可. 【详解】设两个截面圆的半径分别为、，球心到截面的距离分别为、，球的半径为. 由，得cm，cm， 由，得cm，cm， 如图所示， 当球的球心在两个平行平面的外侧时， 这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之差， 即cm. 如图所示， 当球的球心在两个平行平面之间时， 这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之和，即cm. 故选：C. 【变式13-2】（24-25高一下·全国·课后作业）已知在长方体中，棱，．求： (1)点到平面的距离； (2)到平面的距离． 【答案】(1) (2)． 【知识点】证明线面垂直、求点面距离 【分析】（1）先应用线面垂直判定定理得出平面，再应用三角形计算求解点到平面距离即可； （2）先应用线面平行判定定理得出平面，结合（1）得出点到平面距离即可. 【详解】（1）如图，过点作于点． 由题意知平面，且平面，． 平面，平面，线段的长即为所求． 在中，， 点到平面的距离为． （2），且平面，平面， 平面．点到平面的距离即为所求， 直线到平面的距离为． 【变式13-3】（24-25高一下·全国·课前预习）如图，在平行四边形中，，，为的中点，将沿直线折起到的位置，使平面平面． (1)证明：平面平面； (2)设为线段的中点，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【知识点】面面垂直证线面垂直、证明面面垂直、求点面距离 【分析】（1）由面面垂直的性质定理得到平面，再由面面垂直的判定定理证明即可； （2）则，则，故平面，点到平面的距离为FG，由余弦定理计算即可. 【详解】（1）证明：因为，E为AB的中点，则． 又，则为正三角形，所以． 因为，，则． 从而，即． 因为平面平面，平面平面，平面，所以平面． 由平面，得平面平面． （2）取的中点，连接． 因为为PC的中点，则，且， 所以平面，所以点到平面的距离为FG． 在中，，， 则，即，所以， 即点到平面的距离为． 题型十四 几何体的截面、交线问题 【例14】（2025高一·全国·专题练习）正方体的棱长为2，平面截正方体内切球所得的截面面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】球的截面的性质及计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据正方体和球的结构特征，判断出是正三角形，求出利用等体积法求得到平面的距离，进而求得O到平面的距离，求得截面半径，求得面积即可． 【详解】由题意得正方体的中心是内切球球心， 设为O，O到平面的距离为d，设A到平面的距离为， 因为正方体的棱长为2， 所以由勾股定理得，同理可得， 则，故是等边三角形， 得到，则，如图，连接， 易得，，由勾股定理得，则， 因为，所以， 所以， 则， 而由题意得正方体内切球半径，正方体内切球被平面所截， 得到的截面是一个圆半径为r的圆， 由勾股定理得， 由圆的面积公式得面积为，故C正确. 故选：C 【变式14-1】（2022·贵州毕节·三模）在长方体中，点，分别是棱，的中点，点为对角线，的交点，若平面平面，，且，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】空间中的点（线）共面问题、由平面的基本性质作截面图形、平面的基本性质的有关计算 【分析】延长交的延长线于，利用平面的基本性质可得直线即为直线，然后利用正方体的性质可得，即得. 【详解】延长交的延长线于，连接交于， ∵平面，平面，平面平面， ∴，故直线即为直线， 取的中点，连接，又点，分别是棱，的中点， ∴， ∴，， ∴，即. 故选：B. 【变式14-2】（24-25高三下·重庆南岸·阶段练习）如图，已知正方形的边长为4，点在边上且，将沿翻折到的位置，使得．空间四点的外接球为球，过点作球的截面，则截球所得截面面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】球的截面的性质及计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据给定条件，确定球心的位置并求出球半径，再利用圆的截面性质求出截面面积最小值. 【详解】如图，取的中点为， 由正方形的边长为4，得， 因此为四面体的外接球球心，外接球半径， 设球心到平面的距离为，截面圆的半径为， 则有，即， 当截面时，最大，此时截面面积最小，且， 在中，，，． 由余弦定理可得，． 此时，所以截面面积最小值为. 故选：C 【变式14-3】（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在正三棱柱中，，，，分别为棱，，的中点，过，，三点作正三棱柱的截面，则截面与侧面的交线长为 .    【答案】 【知识点】由平面的基本性质作截面图形、平面的基本性质的有关计算 【分析】延长交的延长线于，连接交于，连接，则截面与侧面的交线，再结合数量关系求解即可. 【详解】如图，延长交的延长线于，连接交于，连接.    因为面，，所以面，又面，所以面， 所以为截面与侧面的交线. 取中点，连接，则，且, 易知，所以，所以为的中点， 所以，则. 故答案为：. 题型十五 几何体中的计算问题 【例15】（24-25高一下·全国·课后作业）如图给出两个几何体： (1)画出两个几何体的平面展开图； (2)图①是侧棱长为的正三棱锥，，过点作截面分别交BD，CD于点E，F，求截面三角形周长的最小值． 【答案】(1)答案见解析 (2)6． 【知识点】棱锥的展开图、棱锥中截面的有关计算 【分析】（1）作出展开图即可. （2）沿着侧棱DA把正三棱锥展开在一个平面内，利用两点间线段最短可求截面周长的最小值． 【详解】（1）展开图如下图所示．    （2）将三棱锥沿侧棱DA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图， 线段的长为所求周长的最小值，取的中点，则， 又，可求得，则，即截面三角形周长的最小值为6．    【变式15-1】（24-25高二上·安徽合肥·期中）如图，在长方体中，，若点在平面上运动，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】棱柱的结构特征和分类、棱柱的展开图及最短距离问题 【分析】根据长方体的对称性有，即可确定最小值. 【详解】由长方体的结构特征知，关于面对称的点为， 所以， 当且仅当共线时，取等号. 故选：C 【变式15-2】（24-25高三上·安徽阜阳·期末）如图，圆锥的底面半径为，高为，且该圆锥内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）的半径为1，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】多面体与球体内切外接问题 【分析】画出轴截面，根据列方程求解即可. 【详解】画出圆锥的轴截面如图    设内切球的球心为，半径为， 则，， 所以， 又， 即， 解得， 故选：B. 【变式15-3】（23-24高一下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）如图，在正方体中，，F为AD的中点，点E为的动点.若平面，求线段的长度.    【答案】 【知识点】由线面平行求线段长度、由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 【分析】根据线面平行得出线线平行，再结合中点得出线段长度即可. 【详解】因为平面, 平面,平面平面， 所以, 又因为F为的中点，所以是的中点， . 题型十六 立体几何探索性问题 【例16】（21-22高一下·浙江宁波·期中）如图所示，在四棱锥中，在底面中，，E在棱PD上且. (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点N，使得平面平面？若存在，写出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【知识点】证明线面平行、证明面面平行 【分析】（1）由线面平行判断定理可以得证； （2）存在，点为上靠近的三等分点时，即时， 分别证得平面和平面，由面面平行判定定理可证得结论. 【详解】（1）因为，所以，所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2） 存在，且当点为上靠近点三等分点时，即时，平面平面. 下面给出证明： 因为，所以，， 又因为点为上靠近点三等分点，所以， 所以， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为面，面， 所以面， 因为E在棱PD上且，即， 又因为， 所以， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面，， 所以平面平面. 【变式16-1】（24-25高一上·浙江杭州·阶段练习）在底面是菱形的四棱锥中，，， ，点E在PD上，且，平面平面． (1)证明：； (2)在棱PC上是否存在一点F，使平面？证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，证明见解析. 【知识点】证明线面平行、证明面面平行、面面平行证明线面平行、线面平行的性质 【分析】（1）利用线面平行的判断、性质推理得证. （2）取PE的中点M，利用线面平行的判定、面面平行的判定、性质推理得解. 【详解】（1）由四边形为菱形，得， 又平面，平面PCD，则平面， 又平面，平面平面，则，所以． （2）存在．当F是PC的中点时，平面， 如图，取PE的中点M，连接FM，得，又平面，平面，于是平面， 由M为PE的中点，，得，E是MD的中点， 连接BM，BD，设，由四边形是菱形，得O为BD的中点， 则，又平面，平面，于是平面， 又，平面，则平面平面， 又平面，所以平面. 【变式16-2】（23-24高一下·江苏常州·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，底面是平行四边形，点为的中点，点分别在上，且平面平面． (1)求证：为线段中点； (2)若点在棱上，猜想：当为何值时，有平面平面，并证明你的猜想． 【答案】(1)证明见解析 (2)当时，有平面平面 【知识点】证明面面垂直、面面平行证明线线平行 【分析】（1）根据面面平行的性质定理证得，由此证得为线段中点. （2）当为中点时，由面面垂直上可得平面，进而可得平面，可得结论. 【详解】（1）依题意平面平面， 由于平面平面，平面平面， 所以，由于底面是平行四边形，点为的中点， 所以为线段中点. （2）存在，，即为中点时，平面平面， 证明如下：连接交于点，连接． 因为，所以四边形为平行四边形， 所以是的中点．又因为为中点，所以． 因为为等边三角形，点为的中点，所以， 因为平面平面，平面平面， 所以平面，又，所以平面， 又平面，所以平面平面． 当时，有平面平面． 【变式16-3】（22-23高一下·云南昭通·期末）如图，在正三棱柱中，，点M为的中点. (1)求点A到平面的距离； (2)在棱上是否存在点Q，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【知识点】证明线面垂直、补全线面垂直的条件、求点面距离、面面垂直证线面垂直 【分析】（1）利用等体积法即可求解； （2）在平面内过点A作，交于点Q，由面面垂直的性质定理可得平面，由题意得，根据相似三角形的性质即可求解. 【详解】（1）因为三棱柱是正三棱柱， 所以平面，所以， 又因为M是的中点，所以， 因为，平面， 所以平面，又平面， 所以， 点M为的中点，所以，， 所以， ， 设点A到平面的距离为h，则， 所以，解得， 所以点A到平面的距离为. （2）由（1）可知平面， 因为平面，则平面平面， 在中作边上的高，的延长线交于点Q，即有， 平面平面，平面， 因此平面， 于是点Q即为所要找的点， 在和中，，即， 所以，因此， 即有，于是，所以. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$