精品解析：广东省肇庆市华赋实验学校2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024-2025学年第一学期九年级期中质量检测数学试题 （满分为120分，考试用时120分钟） 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的答案写在答题卡． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别；一个图形绕着某固定点旋转180度后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据这两个概念判断即可． 【详解】解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意； B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意， 故选：A． 2. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的识别，只含有一个未知数，且含未知数的项的最高次数为2的整式方程，是一元二次方程，进行判断即可． 【详解】解：A、是二元一次方程，不符合题意； B、当时，不是一元二次方程，不符合题意； C、是分式方程，不符合题意； D、是一元二次方程，符合题意； 故选D． 3. 函数的图像的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，根据的顶点为：，进行判断即可． 【详解】解：函数的图像的顶点坐标是； 故选：B． 4. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，需注意二次项系数不为零，根据一元二次方程根的判别式，方程有两个不相等的实数根时，判别式大于零，且二次项系数不为零． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 其中，，， ∴， 解得， 又∵， ∴且． 故选：D． 5. 将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是， 故选：A． 6. 如图，点A，B，C都在上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，圆的性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，圆的性质，三角形内角和定理是解题的关键． 由，可得，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 7. 若是一元二次方程的两根，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，利用根与系数的关系即可求出两根之和． 【详解】解：是一元二次方程的两根， ∴． 故选：D． 8. 对于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象开口向下 B. 图象的对称轴是直线 C. 图象有最高点 D. 时，随的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质逐一判断即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴抛物线开口向上，该选项说法错误，不合题意； 、∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的对称轴为直线，该选项说法错误，不合题意； 、∵抛物线开口向上， ∴抛物线有最低点，该选项说法错误，不合题意； 、∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴时，随的增大而增大，该选项说法正确，符合题意； 故选：． 9. 某厂1月印科技书籍40万册，第一季度共印140万册，问2月、3月平均每月增长率是多少？设平均增长率为，则列出下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设2，3月份平均每月的增长率是x，那么可以用x表示2，3月份的印刷科技书籍，然后根据题意可列出方程为． 【详解】如果设2，3月份平均每月的增长率是x， 那么可以用x表示2，3月份的印刷科技书籍分别是40（1+x）、40（1+x）2， 然后根据题意可列出方程为：40+40（1+x）+40（1+x）2=140． 故选C． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量得出是解题关键． 10. 已知二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④中，其中正确结论的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次函数图象与系数的关系，根据抛物线开口方向，对称轴的位置，与轴交点个数判断即可． 【详解】解：①由图可知，图象开口向上，得；当时，；进而推断出，那么①错误，不符合题意． ②由图可知，二次函数与轴有两个交点，故，那么②正确，符合题意． ③由图可知，当时，，那么③错误，不符合题意． ④由图可知，对称轴，结合得，那么④正确，符合题意． 综上：正确的有②④，共2个． 故选：C． 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知关于的方程的一个根是，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据题意将代入原方程，得出关于的一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：∵关于的方程的一个根是， ∴ 解得：， 故答案为：． 12. 如果点和点关于原点对称，则点的坐标为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查点的对称性，点关于原点对称的点的坐标特征是：横、纵坐标均互为相反数，熟记关于原点对称的点的坐标特征是解决问题的关键． 【详解】解：若点与点关于原点对称，则点的坐标为， 故答案为：． 13. 如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，由旋转的性质得到，则． 【详解】解：∵将绕点按逆时针方向旋转后得到， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 若二次函数（a、b、c为常数）的图像如图所示，则关于x的不等式的解集为_______________． 【答案】或##或 【解析】 【分析】本题考查了利用二次函数图象解不等式，数形结合是解答本题的关键．直接根据图象写出答案即可． 【详解】解：由图象可知，当时，． 故答案为：或． 15. 若点，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线，根据时，随的增大而增大，即可得出答案． 【详解】解：， 图象的开口向上，对称轴是直线， 关于直线的对称点是， ，且随的增大而增大， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键： （1）利用直接开平方法解方程； （2）利用因式分解法解方程. 【小问1详解】 解： ∴ ∴ ∴ ∴ 【小问2详解】 . 17. 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，ABC的三个顶点的坐标分别为A(2，5)，B(1，1)，C(4，3)． （1）画出ABC关于原点O成中心对称的图形A1B1C1． （2）求A1B1C1的面积． 【答案】（1）如图，△A1B1C1即为所求； （2）5． 【解析】 【分析】（1）利用中心对称的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可； （2）利用分割法把三角形面积看成矩形面积减去周围三个三角形面积求解即可． 【详解】（1）略 （2）＝3×4﹣×1×4﹣×2×2﹣×2×3＝5． 【点睛】此题考查了中心对称图形的性质和作图，三角形面积的求法，解题的关键是熟练掌握中心对称图形的性质和作图，三角形面积的求法． 18. 如图，是的直径，弦于点E，，．求的半径． 【答案】的半径是5． 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，连接， 设半径为，由垂径定理可得，由勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：设圆的半径是r， 连接，如图： ∵弦于点E， ∴ ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴的半径是5． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 已知关于x的方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是，求m的值及方程的另一个根． 【答案】（1） 证明：， 无论m为何实数，方程总有两个不相等的实数根． （2）另一个根为2，． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的情况以及二元一次方程的解，解决此题的关键是熟练掌握掌握二元一次方程的解法． （1）方程总有两个实数根，可得到，算出结果即可． （2）已知一个根是，把这个根代入求出m，进而得到原方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：将代入方程得， 解得， 原方程为， ， 另一个根为2，． 20. 已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，求： （1）点A、B、C的坐标； （2）的面积． 【答案】（1）；； （2）6 【解析】 【分析】（1）根据题意得出求出图象与x轴以及y轴交点坐标； （2）根据A，B，C的坐标求出，长，即可求出的值． 【小问1详解】 解：令，则， ∴； 令，则， 解得：，， ∴；． 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了求二次函数与坐标轴的交点坐标，三角形面积的计算，解题的关键熟练进行计算． 21. 如图，△ABD、△AEC都是等边三角形，连接BE，DC交于O (1)求证：BE=DC ． (2) 求∠DOB度数 【答案】 （1）证明：∵在等边△ABD中，有AD=AB，∠DAB=60°， 在等边△AEC中，有AC=AE，∠EAC=60°， ∴∠DAB=∠EAC， ∴∠DAC=∠BAE， 在△DAC和△BAE中， ∴△DAC≌△BAE（SAS）， ∴DC=BE； （2）60度 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质和SAS证明△DAC≌△BAE即可； （2）如图，由（1）的结论可得∠ADC=∠ABE，再在△ADH和△OBH中利用三角形的内角和定理即可求出结果. 【详解】（1）略 （2）如图， ∵△DAC≌△BAE， ∴∠ADC=∠ABE， 又∵∠AHD=∠OHB， ∴∠DOB=∠DAB=60°. 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质，属于常考题型，灵活应用全等三角形的判定和性质是解题的关键. 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 某商品店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是5元，调查发现销售单价是12元时，月销售量30件．而销售单价上涨1元月销售量就减少2件． （1）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰好为240元？ （2）每件玩具的售价定为多少元时可是月销售利润最大？最大的月利润为多少元？ 【答案】（1）售价定为15元或17元时，利润为240元 （2）定价为16元时，利润最大，最大利润为242元 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是分析题意，找到关键描述语，求出函数的解析式，用到的知识点是二次函数的性质和解一元二次方程． （1）根据题意列方程即可得到结论； （2）把化成顶点式，求得当时，y有最大值，求出最大值即可． 【小问1详解】 解：设每件玩具的售价定为x元，月销售利润恰好为240元， 由题意得，， 解得：，或， 答：售价定为15元或17元时，利润为240元； 【小问2详解】 解：设每件玩具的售价定为x元时可是月销售利润最大，销售利润为y， 由题意得，， 即：， ， 定价为16元时，利润最大，最大利润为242元． 23. 如图所示，抛物线与x轴相交于与y轴相交于点，点M为抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标； （2）如图2，若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，过点N作x轴的垂线，垂足为D，并与直线交于点Q，连接．求面积的最大值及此时点N的坐标． （3）若点P在y轴上，为等腰三角形，请直接写出P点的坐标。 【答案】（1）， （2）面积的最大值为， （3）存在，点的坐标为或或或 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，二次函数的性质等，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会分类讨论； （1）把点、点和点的坐标代入抛物线解析式，求出，b，即可； （2）由（1）可得到直线的解析式，设点，则，进而表达三角形的面积，利用二次函数的最值问题可得； （3）设点坐标为，，，分为①当时，②当时，③当时，分别求解即可； 【小问1详解】 解：把点和点，点 代入抛物线， 则， 解得， ∴抛物线的解析式为：； 故； 【小问2详解】 由（1）知抛物线的顶点为， 设直线的解析式为令，将代入， 得，解得， ∴直线的解析式为：， 设点，则 ∴ ∴面积， ∵， ∴当时，面积的最大值为． 此时； 【小问3详解】 设点坐标为， ∵， ∴，， ①当时，即， ∴， 解得(不合题意，舍去)， ∴点的坐标为； ②当时，即， ∴， 解得(不合题意，舍去)， ∴点的坐标为或； ③当时，即， ∴， 解得， ∴点的坐标为； 综上，存在，点的坐标为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期九年级期中质量检测数学试题 （满分为120分，考试用时120分钟） 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的答案写在答题卡． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的图像的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 4. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 且 5. 将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点A，B，C都在上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 若是一元二次方程的两根，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 2 8. 对于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象开口向下 B. 图象的对称轴是直线 C. 图象有最高点 D. 时，随的增大而增大 9. 某厂1月印科技书籍40万册，第一季度共印140万册，问2月、3月平均每月增长率是多少？设平均增长率为，则列出下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④中，其中正确结论的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知关于的方程的一个根是，则的值为_______． 12. 如果点和点关于原点对称，则点的坐标为____． 13. 如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是______． 14. 若二次函数（a、b、c为常数）的图像如图所示，则关于x的不等式的解集为_______________． 15. 若点，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是__________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，ABC的三个顶点的坐标分别为A(2，5)，B(1，1)，C(4，3)． （1）画出ABC关于原点O成中心对称的图形A1B1C1． （2）求A1B1C1的面积． 18. 如图，是的直径，弦于点E，，．求的半径． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 已知关于x的方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是，求m的值及方程的另一个根． 20. 已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，求： （1）点A、B、C的坐标； （2）的面积． 21. 如图，△ABD、△AEC都是等边三角形，连接BE，DC交于O (1)求证：BE=DC ． (2) 求∠DOB度数 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 某商品店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是5元，调查发现销售单价是12元时，月销售量30件．而销售单价上涨1元月销售量就减少2件． （1）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰好为240元？ （2）每件玩具的售价定为多少元时可是月销售利润最大？最大的月利润为多少元？ 23. 如图所示，抛物线与x轴相交于与y轴相交于点，点M为抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标； （2）如图2，若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，过点N作x轴的垂线，垂足为D，并与直线交于点Q，连接．求面积的最大值及此时点N的坐标． （3）若点P在y轴上，为等腰三角形，请直接写出P点的坐标。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $