专题07 相交线与平行线（考点清单，2考点13题型+命题预测）-2024-2025学年六年级数学下学期期中考点大串讲（鲁教版2024）

清单07 相交线与平行线 （2个考点梳理+13种题型解读+提升训练+命题预测） 清单01 相交线及所形成的角 直线的位置关系：在同一平面内不重合的两条直线之间的位置关系只有两种：相交或平行. 概念 性质 余角 如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角. 同角（等角）的余角相等 补角 如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角. 同角（等角）的补角相等 对顶角 一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角. 对顶角相等. 邻补角 如果两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角. 邻补角互补. 垂线定义：当两条相交直线所成的四个角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足. 垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 垂线段的定义：如图，点P为直线外一点,PO⊥m，垂足为0，称PO为点P到直线m的垂线段. 垂线段最短定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简称垂线段最短.如图，点P与直线m上的各点连线中，线段PO最短. 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离. 清单02 平行线的性质与判定 1.同位角、内错角、同旁内角 角的名称 位置特征 基本图形 图形结构特征 同位角 在截线的同侧，在被截两条直线同侧 形如字母“F” 内错角 在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间 形如字母“Z” 同旁内角 在截线的同侧，在被截两条直线之间 形如字母“U” 解题大招： 同位角 内错角 同旁内角 2. 平行线 平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“∥”表示.如图，直线AB与CD平行，记作;AB∥CD，读作：AB平行于CD. 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 平行公理的前提条件：经过直线外一点. 平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行. 平行线的判定 判定方法1 判定方法2 判定方法3 两条直线平行的判定 同位角相等，两直线平行 内错角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行 图示 符号语言 ∵∠1＝∠2∴AB∥CD ∵∠1＝∠2∴AB∥CD ∵∠1+∠2=180°∴AB∥CD 平行线的性质： 性质1 性质2 性质3 两条直线平行的性质 两直线平行，同位角相等 两直线平行，内错角相等 两直线平行，同旁内角互补 图示 符号语言 ∵AB∥CD∴∠1＝∠2 ∵AB∥CD∴∠1＝∠2 ∵AB∥CD∴∠1+∠2=180° 【注意】在两直线平行的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的结论.这是平行线特有的性质不要一提同位角或内错角就认为它们相等，一提同旁内角就认为互补，若没有两直线平行的条件，这些是不成立的. 【考点题型一】求一个角的余角、补角（） 1．（23-24六年级下·山东威海·期中）的补角为，则它的角度为(　　) A． B． C． D． 2．（23-24六年级下·山东济宁·期末）如图，，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·山东临沂·期末）一个角的补角比这个角的4倍大，则这个角等于（    ） A． B． C． D． 【考点题型二】指出现实问题后的数学依据（） 4．（23-24六年级下·山东济南·期末）如图，直线公路l沿线有A，B，C三个连锁超市（超市内商品和物价相同），三个超市到村庄M分别有三条公路，住在村庄M的居民总是选择最近的路线去A超市购物，其中蕴含的数学道理是（   ） A．两点之间，线段最短 B．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 5．（23-24六年级下·山东淄博·期末）如图，量得直线l外一点P到l的距离的长为，点A是直线l上的一点，那么线段的长不可能是（    ） A． B． C． D． 6．（2025七年级下·全国·专题练习）一辆汽车在路段上由点A向点B行驶，M，N分别是位于公路两侧的两所学校（如下图）． (1)汽车在该路段上行驶时，噪声会对两所学校教学都造成影响．当汽车行驶到何处时，分别对两所学校的影响最大？在图上标出； (2)当汽车由点A向点B行驶时，在哪一段上噪声对两所学校的影响逐渐增大？在哪一段上噪声对两所学校的影响逐渐减小？在哪一段上噪声对学校M的影响逐渐减小而对学校N的影响逐渐增大（用文字表述，不需说明理由） 【考点题型三】识别相交线中有关的角（） 7．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，下列结论正确的是（　　） A．与是对顶角 B．与是同位角 C．与是同旁内角 D．与是同位角 8．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）如图，直线，被直线和所截，则下列说法错误的是（    ） A．与是同位角 B．与是内错角 C．与是同旁内角 D．，，互为邻补角 9．（22-23六年级下·全国·单元测试）如图，直线a、b分别与直线m、n相交，图中与∠1是同位角的角有（   ）个．    A．1 B．2 C．3 D．4 【考点题型四】利用对顶角、邻补角的性质求解（） 10．（22-23六年级下·山东烟台·期末）如图，直线相交于点，若，则的度数为 ．    11．（23-24七年级下·广东珠海·期中）如图，已知直线，相交于点O，平分，，则的度数是 ． 12．（22-23六年级下·山东青岛·期末）如图，直线与相交于点O，平分，．已知，求的度数．    【考点题型五】几何图形中的角度计算（） 13．（24-25七年级上·河南南阳·期末）已知：如图，直线、相交于点，，，过点作，则的度数为 ． 14．（22-23六年级下·山东泰安·期末）如图，已知，，，则 （填度数）．    15．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）已知直线与相交于点O， 且平分，于点O． (1)如图①， 若平分， 求的度数； (2)如图②，若，求的度数． 16．（23-24六年级下·山东淄博·期末）如图，直线，相交于点O，，且平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数（用含α的代数式表示）． 【考点题型六】画平行线、垂线（） 17．（23-24六年级下·山东烟台·期末）如图，在的网格中，线段的端点都在格点（网格中横线与竖线的交点）上．在图中分别画线段（线段的端点都在格点上），使得 (1)，垂足为P； (2)． 18．（22-23六年级下·山东东营·期中）如图，已知直线l和直线外三点A，B，C，按下列要求画图： (1)画射线，画直线；（只画图，不写作法不写结论） (2)画点A到l的垂线段，垂足为D；（只画图，不写作法不写结论） (3)过点B作直线l的平行直线m；（只画图，不写作法不写结论） (4)在直线l上确定出点，使得最小，理由是＿＿＿＿ 【考点题型七】理解相交线、平行线的相关概念（） 19．（20-21六年级下·山东威海·期末）下列说法正确的是（　　） A．有无数条直线与已知直线平行 B．同位角相等 C．两点之间，垂线最短 D．在同一平面内，两条不相交的线段是平行线段 20．（20-21七年级上·四川眉山·期末）已知直线a，b，c是同一平面内的三条不同直线，下面四个结论： ①若则；②若则；③若则；④若且与相交，则与相交，其中，结论正确的是（　） A．①② B．③④ C．①②③ D．②③④ 21．（21-22七年级下·北京·期中）下列说法中，正确的有(   ) ①若， ，则； ②若与相交，与相交，则与相交； ③相等的角是对顶角； ④过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 22．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法：①连接一点与直线上各点的线段中，垂线段最短；②直线，相交于点O，若，则；③相等的角是对顶角；④过直线l外一点P作于点Q，则线段的长度是点P到直线l的距离，正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 23．（2025六年级下·山东·专题练习）已知，，是三条直线，下列结论正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【考点题型八】添加一个条件证明两直线平行（） 24．（23-24六年级下·山东泰安·期末）如图，下列条件中，能判定的条件个数有（    ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 25．（23-24六年级下·山东东营·期末）如图，已知四边形，点在的延长线上，连接，，下列说法中正确的是（　　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 26．（23-24六年级下·山东济宁·期末）如图，点E在的延长线上，给出下列条件： （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6），能判断出的条件有 ．（填序号） 【考点题型九】补全平行线判定的证明过程（） 27．（23-24六年级下·山东淄博·期中）如图，已知，．求证：．     证明：∵（已知）， （　　）， ∴（　　）． 又∵　　（已知）， ∴（平角的定义）． ∴（　　）． 28．（22-23六年级下·山东东营·期末）已知：如图，，，试说明：． 解：， （    ）， （已知） 由等式的性质得： ， 即　 　， （    ）， （    ） 29．（22-23六年级下·山东泰安·期中）如图，根据条件完成填空． ①______（已知） （    ） ②______（已知） （    ） （已知） ______（    ） ④（已知） ____________ 【考点题型十】证明两直线平行（） 30．（23-24六年级下·山东泰安·期中）如图所示，已知，垂足为，，垂足为，．试说明直线与平行． 31．（21-22六年级下·山东东营·期末）如图，∠AED＝40°，∠1＝20°，EF平分∠AED，则EF∥BD吗？请说明理由． 【考点题型十一】利用平行线的性质求解（） 32．（20-21七年级下·山东聊城·期末）如图，CD//AB，∠DCB＝70°，∠CBF＝20°，∠EFB＝130°． （1）直线EF与AB有怎样的位置关系？说明理由； （2）若∠CEF＝68°，则∠ACB的度数是多少？ 33．（21-22六年级下·山东威海·期末）如图，与的位置如图所示，，在同一条直线上，，连接．若，，，平分，求的度数    34．（22-23六年级下·山东烟台·期末）如图1是一张长方形纸片，将该纸片沿折叠得到图2．    (1)若，求的度数； (2)若，则的度数为_______（直接写出结果）． 35．（21-22六年级下·山东济南·期中）已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请结合图形回答下列问题：    (1)如图①，，，直接写出与的关系__________________； (2)如图②，，，猜想与的关系，并说明理由； (3)由（1）（2），我们可以得出结论：一个角的两边与另一个角的分别平行，那么这两个角__________________； (4)应用：两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的3倍少，求出这两个角的度数分别是多少度？ 【考点题型十二】平行线的性质与判定综合（） 36．（23-24六年级上·山东淄博·期末）如图，，． (1)已知，求的度数； (2)求证：． 37．（23-24六年级下·山东烟台·期末）如图，已知． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 38．（23-24六年级下·山东烟台·期末）如图，已知两条直线，被直线所截，分别交于点E，F，平分交于点M，且． (1)如图1，判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，点P是射线上一动点（不与点M，F重合），平分交于点N，设． ①若，则的度数为 ； ②求的度数．（结果用含α的代数式表示） 36．（23-24六年级上·山东淄博·期末）如图，，． (1)已知，求的度数； (2)求证：． 37．（23-24六年级下·山东烟台·期末）如图，已知． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 38．（23-24六年级下·山东烟台·期末）如图，已知两条直线，被直线所截，分别交于点E，F，平分交于点M，且． (1)如图1，判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，点P是射线上一动点（不与点M，F重合），平分交于点N，设． ①若，则的度数为 ； ②求的度数．（结果用含α的代数式表示） 【考点题型十三】通过添加辅助线探究平行线之间的角度关系（） 39．（23-24六年级下·山东烟台·期末）已知直线，点为平面上一点，连接与．    (1)如图①，点在直线、之间，说明：； (2)如图②，点在直线、之间，与的平分线相交于点，利用（1）中的结论，写出与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图③，点落在与外，与的角平分线相交于点，（2）中与之间的数量关系是否仍然成立？并说明理由． 40．（23-24六年级下·山东烟台·期末）【认识模型】 如图①，已知，我们发现．我们称这种模型为平行线的“猪脚模型”，我们怎么说明这个结论呢？ 张山同学：如图②，过点作，把分成与的和，然后分别说明，； 李思同学：如图③，过点作，则，再说明． 【探索模型】 （1）请按张山同学的思路，写出说明过程； （2）请按李思同学的思路，写出说明过程． 【应用模型】 （3）如图④，已知，平分，平分．若，请利用“猪脚模型”的结论，直接写出的度数______． 41．（23-24七年级下·河南周口·期中）【模型发现】某校数学研讨会的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系．    （1）如图1，，是，之间的一点，连接，，试说明：； 【灵活运用】 （2）如图2，，，是，之间的两点，当时，请找出和之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，，，，均是，之间的点，如果，直接写出的度数． 【命题预测】 1．（23-24六年级下·山东烟台·期末）已知图①～④， 在上述四个图中，与是同位角的有（    ） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．①③ 2．（23-24六年级下·山东烟台·期末）一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后的方向与原来的方向相反，那么两次拐弯的角度可能是是（    ） A．第一次右拐，第二次左拐 B．第一次左拐，第二次右拐 C．第一次左拐，第二次左拐 D．第一次右拐，第二次右拐 3．（23-24六年级下·山东济南·期末）下列说法：①连接C，D两点的线段叫做C，D之间的距离；②，则C为中点；③n边形最多可以分成个三角形；④两点之间一条直线最短；⑤在同一平面内，过直线a外一点M且平行于直线a的直线只有一条，正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（23-24六年级下·山东烟台·期末）如图，，于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24六年级下·山东烟台·期末）将一副三角板如图摆放，发现，根据图中现有的角，说明其理由是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．同旁内角相等，两直线平行 C．同位角互补，两直线平行 D．内错角相等，两直线平行 6．（23-24六年级下·山东威海·期末）如图，已知，下列条件：①；②；③；④．其中能判断的有（     ）个        A．1 B．2 C．3 D．4 7．（23-24六年级下·山东东营·阶段练习）将一副三角板按如图所示的方式放置，有下列结论：；如果，那么；如果，那么；其中正确的有（   ）． A． B． C．3 D． 8．（23-24六年级下·山东东营·期末）抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一，明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上，如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：，，则的度数为 ． 9．（23-24六年级下·山东烟台·期末）若与互补，与互余，则 ． 10．（23-24六年级下·山东烟台·期末）已知和互余，且比大，那么的补角度数为 ． 11．（23-24六年级下·山东济南·期末）如图，将一副三角板摆放在一组平行线内，，则的度数为 ． 12．（23-24六年级下·山东泰安·期末）已知：直线，点A，B分别是a，b上的点，是a，b之间的一条折线段，且，Q是a，b之间且在折线段左侧的一点，如图，若的一边与的夹角为，另一边与平行，请直接写出，，之间满足的数量关系是 ． 13．（23-24六年级下·山东济南·期末）如图，，相交于点，，．    (1)与平行吗？请说明理由； (2)若，求的度数． 14．（23-24六年级下·山东泰安·期末）如图，点在的一边上，过点的直线，平分，于点．    (1)若，求的度数； (2)平分吗？为什么？ 15．（23-24六年级下·山东泰安·期末）已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请结合下图，探索这两个角之间的关系，并说明理由． (1)如图①，，问：与相等吗？为什么？ (2)如图②，，问：与互补吗？为什么？ (3)经过上述探索与推理，我们可得出结论，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角____________； (4)若这两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的3倍少，则这两个角分别是多少度？ 16．（23-24六年级下·山东威海·期末）【知识链接】 ①三角形三个角的和是． ②如图，光线照射一个平面镜后被反射，反射光线为，则． 【课本问题】 （1）如图，一束平行光线，照射一个平面镜后被反射，写出反射光线与平行的理由； 【问题改编】 （2）如图，，是两个镜面平行的平面镜，光线照射到镜面上，反射光线经镜面反射后的光线为．与平行吗？为什么？ （3）如图，，是两个镜面垂直的平面镜，光线射在镜面上，反射光线经镜面反射后的光线为．与是否平行？为什么？ 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单07 相交线与平行线 （2个考点梳理+13种题型解读+提升训练+命题预测） 清单01 相交线及所形成的角 直线的位置关系：在同一平面内不重合的两条直线之间的位置关系只有两种：相交或平行. 概念 性质 余角 如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角. 同角（等角）的余角相等 补角 如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角. 同角（等角）的补角相等 对顶角 一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角. 对顶角相等. 邻补角 如果两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角. 邻补角互补. 垂线定义：当两条相交直线所成的四个角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足. 垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 垂线段的定义：如图，点P为直线外一点,PO⊥m，垂足为0，称PO为点P到直线m的垂线段. 垂线段最短定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简称垂线段最短.如图，点P与直线m上的各点连线中，线段PO最短. 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离. 清单02 平行线的性质与判定 1.同位角、内错角、同旁内角 角的名称 位置特征 基本图形 图形结构特征 同位角 在截线的同侧，在被截两条直线同侧 形如字母“F” 内错角 在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间 形如字母“Z” 同旁内角 在截线的同侧，在被截两条直线之间 形如字母“U” 解题大招： 同位角 内错角 同旁内角 2. 平行线 平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“∥”表示.如图，直线AB与CD平行，记作;AB∥CD，读作：AB平行于CD. 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 平行公理的前提条件：经过直线外一点. 平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行. 平行线的判定 判定方法1 判定方法2 判定方法3 两条直线平行的判定 同位角相等，两直线平行 内错角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行 图示 符号语言 ∵∠1＝∠2∴AB∥CD ∵∠1＝∠2∴AB∥CD ∵∠1+∠2=180°∴AB∥CD 平行线的性质： 性质1 性质2 性质3 两条直线平行的性质 两直线平行，同位角相等 两直线平行，内错角相等 两直线平行，同旁内角互补 图示 符号语言 ∵AB∥CD∴∠1＝∠2 ∵AB∥CD∴∠1＝∠2 ∵AB∥CD∴∠1+∠2=180° 【注意】在两直线平行的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的结论.这是平行线特有的性质不要一提同位角或内错角就认为它们相等，一提同旁内角就认为互补，若没有两直线平行的条件，这些是不成立的. 【考点题型一】求一个角的余角、补角（） 1．（23-24六年级下·山东威海·期中）的补角为，则它的角度为(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了补角，角度制的转化，两角互补和为，先求出，再化单位为度，即可得出答案． 【详解】解：∵的补角为， ∴ 故选：D． 2．（23-24六年级下·山东济宁·期末）如图，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了余角和补角，角的和差，熟练掌握余角的定义是解题的关键．根据题意求出，即可求解． 【详解】解： ，， ， ， 故选：D． 3．（23-24七年级上·山东临沂·期末）一个角的补角比这个角的4倍大，则这个角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了补角，理解题意掌握补角的定义是解题的关键，运用了方程思想． 根据题意设这个角度数为，它的补角为，再根据这个角的补角比这个角的倍大列出方程即可求解． 【详解】解：设这个角的度数为，它的补角为， ， 解得：， ∴这个角等于． 故选：B． 【考点题型二】指出现实问题后的数学依据（） 4．（23-24六年级下·山东济南·期末）如图，直线公路l沿线有A，B，C三个连锁超市（超市内商品和物价相同），三个超市到村庄M分别有三条公路，住在村庄M的居民总是选择最近的路线去A超市购物，其中蕴含的数学道理是（   ） A．两点之间，线段最短 B．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】B 【分析】此题考查了垂线段最短，熟练掌握其性质是解题的关键． 根据垂线段最短，直线和线段的性质即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短可知住在村庄的居民选择路线去超市购物最近． 故选：B． 5．（23-24六年级下·山东淄博·期末）如图，量得直线l外一点P到l的距离的长为，点A是直线l上的一点，那么线段的长不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂线段最短的性质和点到直线的距离的概念，熟练掌握点到直线的距离的概念是解题的关键． 从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短，据此可得结论． 【详解】解：直线l外一点P到l的距离的长为，点A是直线l上的一点， ∴线段的长最短等于， 故不可能是． 故选：A． 6．（2025七年级下·全国·专题练习）一辆汽车在路段上由点A向点B行驶，M，N分别是位于公路两侧的两所学校（如下图）． (1)汽车在该路段上行驶时，噪声会对两所学校教学都造成影响．当汽车行驶到何处时，分别对两所学校的影响最大？在图上标出； (2)当汽车由点A向点B行驶时，在哪一段上噪声对两所学校的影响逐渐增大？在哪一段上噪声对两所学校的影响逐渐减小？在哪一段上噪声对学校M的影响逐渐减小而对学校N的影响逐渐增大（用文字表述，不需说明理由）？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了垂线段最短、点到直线的距离，熟练掌握垂线段最短是解题关键． （1）汽车离学校越近，其对学校的影响越大，根据垂线段最短即可得； （2）根据汽车离两所学校的远近、垂线段最短进行分析即可得． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，过点作于点． 因为汽车离学校越近，其对学校的影响越大， 所以由垂线段最短可知，当汽车行驶到点处时，对学校的影响最大；当汽车行驶到点处时，对学校的影响最大． （2）解：如图，因为当汽车由点向点行驶时，汽车离两所学校都越来越近；当汽车由点向点行驶时，汽车离两所学校都越来越远；当汽车由点向点行驶时，汽车离学校越来越远，而离学校越来越近， 所以当汽车由点向点行驶时，对两所学校的影响逐渐增大；当汽车由点向点行驶时，对两所学校的影响逐渐减小；当汽车由点向点行驶时，对学校的影响逐渐减小而对学校的影响逐渐增大． 【考点题型三】识别相交线中有关的角（） 7．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，下列结论正确的是（　　） A．与是对顶角 B．与是同位角 C．与是同旁内角 D．与是同位角 【答案】B 【分析】本题考查同位角同旁内角、对顶角，熟练掌握各角的定义是解题的关键． 根据同位角、同旁内角、对顶角的定义进行判断． 【详解】A、与没有公共顶点，且两边也不存在反向延长线的关系，所以不是对顶角，故本选项错误，不符合题意； B、与是、被所截，在截线同旁，且在被截线、同一侧的角，所以是同位角，故本选项正确，符合题意； C、与是是、被所截，形成的内错角，故本选项错误，不符合题意； D、与没有处在两条被截线之间，故本选项错误，不符合题意； 故选：B． 8．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）如图，直线，被直线和所截，则下列说法错误的是（    ） A．与是同位角 B．与是内错角 C．与是同旁内角 D．，，互为邻补角 【答案】D 【分析】本题考查的是同位角，同旁内角，内错角以及邻补角的定义，掌握相关概念是解题的关键． 【详解】解：A． 与是同位角，选项正确，不符合题意；     B． 与是内错角，选项正确，不符合题意；     C． 与是同旁内角，选项正确，不符合题意；         D． ，，不互为邻补角，选项错误，符合题意．     故选：D． 9．（22-23六年级下·全国·单元测试）如图，直线a、b分别与直线m、n相交，图中与∠1是同位角的角有（   ）个．    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据同位角的定义，即可求解． 【详解】解：如图，    图中与∠1是同位角为，有2个． 故选：B 【点睛】本题主要考查了同位角的定义，熟练掌握两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁、被截两直线的同一方，我们把这种位置关系的角称为同位角是解题的关键． 【考点题型四】利用对顶角、邻补角的性质求解（） 10．（22-23六年级下·山东烟台·期末）如图，直线相交于点，若，则的度数为 ．    【答案】/度 【分析】根据对顶角相等求出，再根据互为邻补角的两个角的和等于列式计算即可得解． 【详解】解：，对顶角相等， ， 与互为邻补角， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了对顶角相等的性质，邻补角的定义，熟记概念与性质并准确识图是解题的关键． 11．（23-24七年级下·广东珠海·期中）如图，已知直线，相交于点O，平分，，则的度数是 ． 【答案】60 【分析】本题考查角的和差，涉及角平分线的性质、对顶角、邻补角等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 由邻补角定义解得，再由角平分线的性质解得，由对顶角相等求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵平分， ∴ ∴． 故答案为：60． 12．（22-23六年级下·山东青岛·期末）如图，直线与相交于点O，平分，．已知，求的度数．    【答案】 【分析】根据和，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴可设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴． ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，垂线的定义，对顶角相等，有关角平分线的计算，数形结合是解题的关键． 【考点题型五】几何图形中的角度计算（） 13．（24-25七年级上·河南南阳·期末）已知：如图，直线、相交于点，，，过点作，则的度数为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了垂线以及邻补角．先利用已知结合平角的定义得出的度数，再利用垂线的定义结合互余的定义分析得出答案，能够正确得出的度数是解题关键． 【详解】解：，， ， ， ， ． 故答案为：． 14．（22-23六年级下·山东泰安·期末）如图，已知，，，则 （填度数）．    【答案】/52度 【分析】直接利用垂直的定义结合已知得出的度数，进而得出答案． 【详解】∵， ∴ ∵ ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了角的计算，垂直的定义，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 15．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）已知直线与相交于点O， 且平分，于点O． (1)如图①， 若平分， 求的度数； (2)如图②，若，求的度数． 【答案】(1) (2)75 【分析】本题主要考查了垂线、角平分线的定义、角的计算、一元一次方程的应用等知识点，掌握角平分线的定义并由平角定义列出关于的方程成为解题的关键． （1）由角平分线定义得到，然后进行计算即可解答； （2）设，由条件得到，求出x的值即可解答． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴， ∴， ∴． （2）解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，解得：． ∴． 16．（23-24六年级下·山东淄博·期末）如图，直线，相交于点O，，且平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数（用含α的代数式表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查与角平分线相关的角的计算，垂直的定义，掌握角的和差运算、角平分线定义和垂超拔定义是解题的关键． （1）先求出，根据角平分线定义求出，根据对顶角相等求出，求出，即可得出答案； （2）先求出，根据角平分线定义求出，根据对顶角相等求出，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵直线，相交于点O， ∴， ∵， ∴； 又∵平分， ∴， ∴（对顶角相等）； ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵直线，相交于点O， ∴， ∵， ∴； 又∵平分， ∴， ∴（对顶角相等）； ∵， ∴， ∴， ∴； 【考点题型六】画平行线、垂线（） 17．（23-24六年级下·山东烟台·期末）如图，在的网格中，线段的端点都在格点（网格中横线与竖线的交点）上．在图中分别画线段（线段的端点都在格点上），使得 (1)，垂足为P； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了格点作图： （1）根据网格的特点和垂线的定义作图即可； （2）根据网格的特点和平行线的定义作图即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求． 18．（22-23六年级下·山东东营·期中）如图，已知直线l和直线外三点A，B，C，按下列要求画图： (1)画射线，画直线；（只画图，不写作法不写结论） (2)画点A到l的垂线段，垂足为D；（只画图，不写作法不写结论） (3)过点B作直线l的平行直线m；（只画图，不写作法不写结论） (4)在直线l上确定出点，使得最小，理由是＿＿＿＿ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题考查画射线、直线、平行线、垂线、线段，两点之间线段最短． （1）以点C为端点作射线，过点B、C作直线即可； （2）过点A作直线l的垂线，垂足为D，连接点A与垂足D即可； （3）根据“一放、二靠、三推、四画”的步骤作直线m即可； （4）根据两点之间线段最短，连接交直线l于E即可． 【详解】（1）解 ∶如图所示，射线，直线即为所求； （2）解 ∶ 如图所示，线段即为所求； （3）解：如图，直线m即为所求； （4）解：如图，点E即为所求．理由是，两点之间线段最短． 【考点题型七】理解相交线、平行线的相关概念（） 19．（20-21六年级下·山东威海·期末）下列说法正确的是（　　） A．有无数条直线与已知直线平行 B．同位角相等 C．两点之间，垂线最短 D．在同一平面内，两条不相交的线段是平行线段 【答案】A 【分析】根据平行线的性质与判定，线段的性质，同位角，内错角，同旁内角，平行线，逐项判定可求解． 【详解】解：有无数条直线与已知直线平行，故A选项符合题意； 只有在两条被截直线平行的时候，所形成的同位角相等，故B选项不符合题意； 两点之间，线段最短，故C选项不符合题意； 在同一平面内，两条不相交的直线是平行线，故D选项不符合题意， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质与判定，线段的性质等有关性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键． 20．（20-21七年级上·四川眉山·期末）已知直线a，b，c是同一平面内的三条不同直线，下面四个结论： ①若则；②若则；③若则；④若且与相交，则与相交，其中，结论正确的是（　） A．①② B．③④ C．①②③ D．②③④ 【答案】A 【分析】根据平行公理及其推论：在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行进行分析即可求解． 【详解】①根据“同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”判定：若则；故说法正确； ②若则，故说法正确； ③根据“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”判定：若则；说法错误； ④若且与相交，则与不一定相交，故说法错误 故正确的有：①② 故选：A 【点睛】本题主要考查平行公理及其推论，解题的关键是熟练掌握同一平面内两直线的位置关系． 21．（21-22七年级下·北京·期中）下列说法中，正确的有(   ) ①若， ，则； ②若与相交，与相交，则与相交； ③相等的角是对顶角； ④过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】C 【分析】根据平行公理的推论可判断①；根据直线的位置关系可判断②；根据对顶角的定义可判断③；根据平行公理可判断④． 【详解】解：根据平行线公理及推论可知，①正确； 若a与c相交，b与c相交，则a与b可能相交或平行，②错误； 对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，③错误； 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，④错误． 故正确的有1个， 故选：C． 【点睛】本题考查平行公理及其推论、两直线的位置关系质，对顶角的性质，熟练掌握图形的性质是解答本题的关键． 22．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法：①连接一点与直线上各点的线段中，垂线段最短；②直线，相交于点O，若，则；③相等的角是对顶角；④过直线l外一点P作于点Q，则线段的长度是点P到直线l的距离，正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂线段的性质，点到直线的距离，对顶角定义，解题的关键是理解相关定义．根据垂线段定义，垂线段性质，点到直线的距离，逐项进行判断即可． 【详解】解：连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短，①说法错误； 当两条直线相交所构成的四个角中有一个角为时，这两条直线互相垂直，②说法正确； 对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，③说法错误； 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离，④说法正确． 综上分析可知：说法正确的有2个． 故选B 23．（2025六年级下·山东·专题练习）已知，，是三条直线，下列结论正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线以及垂线的有关性质，熟练掌握它们的基本性质是解题的关键． 根据平行线以及垂直的有关性质逐项判断即可． 【详解】解：A、若，，则，由平行线的性质可得，故该选项正确，符合题意； B、若在同一平面内，，，则，故该选项错误，不符合题意； C、若，，则，故该选项错误，不符合题意； D、若，，则，故该选项错误，不符合题意． 故选：A． 【考点题型八】添加一个条件证明两直线平行（） 24．（23-24六年级下·山东泰安·期末）如图，下列条件中，能判定的条件个数有（    ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题考查平行线的判定，根据平行线的判定定理依次判断，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键 【详解】解：∵，∴，故A不符合题意； ∵，∴，故B符合题意； ∵，∴，故C不符合题意； ∵，∴，故符合题意； 故选：B 25．（23-24六年级下·山东东营·期末）如图，已知四边形，点在的延长线上，连接，，下列说法中正确的是（　　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的证明，熟练掌握平行线的证明方法是解题的关键．根据“内错角相等，两直线平行”，“同旁内角互补，两直线平行”，“同位角相等，两直线平行”一一判断即可． 【详解】A、由，可知，故A错误； B、由，可知，故B错误； C、由，可知，故C正确； D、由，可知，故D错误． 故选：C． 26．（23-24六年级下·山东济宁·期末）如图，点E在的延长线上，给出下列条件： （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6），能判断出的条件有 ．（填序号） 【答案】（2）（4）（5） 【分析】本题主要考查了平行线的判定．根据平行线的判定定理，逐项判断即可求解． 【详解】解：（1），则； （2），则； （3），则； （4），则； （5），则； （6），则， 所以能判断出的条件有（2）（4）（5）． 故答案为：（2）（4）（5） 【考点题型九】补全平行线判定的证明过程（） 27．（23-24六年级下·山东淄博·期中）如图，已知，．求证：．      证明：∵（已知）， （　　）， ∴（　　）． 又∵　　（已知）， ∴（平角的定义）． ∴（　　）． 【答案】对顶角相等； 等量代换， ，同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，对顶角的性质等知识，先利用对顶角的性质求出，结合，可得，最后根据“同旁内角互补，两直线平行”即可得证． 【详解】证明：∵（已知）， （对顶角相等）， ∴（等量代换）． 又∵（已知）， ∴（平角的定义）． ∴（同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：对顶角相等； 等量代换， ，同旁内角互补，两直线平行． 28．（22-23六年级下·山东东营·期末）已知：如图，，，试说明：．    解：， （    ）， （已知） 由等式的性质得： ， 即　 　， （    ）， （    ） 【答案】同角的补角相等；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等 【分析】根据同角的补角相等可得，再利用平行线的判定与性质即可说明理由． 【详解】解：， ， （同角的补角相等）， （已知）， 由等式的性质得： ， 即， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）． 故答案为：同角的补角相等；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是准确区分平行线的判定与性质，并熟练运用． 29．（22-23六年级下·山东泰安·期中）如图，根据条件完成填空． ①______（已知） （    ） ②______（已知） （    ） （已知） ______（    ） ④（已知） ____________ 【答案】①，内错角相等，两直线平行；②，同位角相等，两直线平行；③，同旁内角互补，两直线平行；④， 【分析】本题主要考查了平行线的判定．根据平行线的判定定理，即可求解． 【详解】解：①（已知） （内错角相等，两直线平行） 故答案为：，内错角相等，两直线平行； ②（已知） （同位角相等，两直线平行） 故答案为：，同位角相等，两直线平行； （已知） （同旁内角互补，两直线平行） 故答案为：，同旁内角互补，两直线平行； ④（已知） ． 故答案为：， 【考点题型十】证明两直线平行（） 30．（23-24六年级下·山东泰安·期中）如图所示，已知，垂足为，，垂足为，．试说明直线与平行． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线的判定，垂直的定义，等角的余角相等． 由，得到，，进而得到，从而得证． 【详解】解：∵，（已知）， ∴，（垂直定义） 即，， 又∵（已知）， ∴（等角的余角相等）， ∴（同位角相等，两直线平行）． 31．（21-22六年级下·山东东营·期末）如图，∠AED＝40°，∠1＝20°，EF平分∠AED，则EF∥BD吗？请说明理由． 【答案】EF∥BD，见解析 【分析】根据EF平分∠AED可求得∠2=20°，即∠2=∠1，再根据内错角相等两直线平行即可求证． 【详解】解：EF∥BD．理由如下： ∵EF平分∠AED， ∴∠AEF＝∠2． ∵∠AED＝40°， ∴∠2＝20°． 又∵∠1＝20°， ∴∠1＝∠2． ∴EF∥BD． 【点睛】本题考查了平行的判定，掌握内错角相等两直线平行是解答本题的关键． 【考点题型十一】利用平行线的性质求解（） 32．（20-21七年级下·山东聊城·期末）如图，CD//AB，∠DCB＝70°，∠CBF＝20°，∠EFB＝130°． （1）直线EF与AB有怎样的位置关系？说明理由； （2）若∠CEF＝68°，则∠ACB的度数是多少？ 【答案】（1）平行，理由见解析；（2）42゜ 【分析】（1）由题意推出∠DCB=∠ABC=70°，结合∠CBF=20°，推出∠CBF=50°，即可推出EF∥AB； （2）根据（1）推出的结论，推出EF∥CD，既而推出∠ECD=112°，根据∠DCB=70°，即可推出∠ACB的度数． 【详解】解：（1）EF和AB的关系为平行关系．理由如下： ∵CD∥AB，∠DCB=70°， ∴∠DCB=∠ABC=70°， ∵∠CBF=20°， ∴∠ABF=∠ABC∠CBF=50°， ∵∠EFB=130°， ∴∠ABF+∠EFB=50°+130°=180°， ∴EF∥AB； （2）∵EF∥AB，CD∥AB， ∴EF∥CD， ∵∠CEF=68°， ∴∠ECD=112°， ∵∠DCB=70°， ∴∠ACB=∠ECD∠DCB， ∴∠ACB=42°． 【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质定理，关键在于（1）求出∠ABC的度数，（2）熟练运用已知和已证的结论，推出∠ECD=112°，熟练运用平行线的判定定理和性质定理． 33．（21-22六年级下·山东威海·期末）如图，与的位置如图所示，，在同一条直线上，，连接．若，，，平分，求的度数    【答案】 【分析】先根据平行线的性质求出，再由三角形内角和定理的度数，根据角平分线的定义求出的度数，最后根据三角形外角的性质可得，进而得出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理、平行线的性质、三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形的内角和定理，平行线的性质，三角形外角的性质，并能进行推理和计算． 34．（22-23六年级下·山东烟台·期末）如图1是一张长方形纸片，将该纸片沿折叠得到图2．    (1)若，求的度数； (2)若，则的度数为_______（直接写出结果）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据平行线的性质得出，，求出的度数，最后根据进行计算即可得到答案； （2）先根据平行线的性质得出，，求出的度数，最后根据进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：如图1，   ，， ， 如图2，   ，， ， ， ； （2）解：如图1，   ，， ， 如图2，   ，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补，是解题的关键． 35．（21-22六年级下·山东济南·期中）已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请结合图形回答下列问题：    (1)如图①，，，直接写出与的关系__________________； (2)如图②，，，猜想与的关系，并说明理由； (3)由（1）（2），我们可以得出结论：一个角的两边与另一个角的分别平行，那么这两个角__________________； (4)应用：两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的3倍少，求出这两个角的度数分别是多少度？ 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)相等或互补 (4)这两个角的度数分别为，，或， 【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等，即可作答； （2）根据两直线平行，内错角相，同旁内角互补，即可作答； （3）根据（1）、（2）结论直接归纳即可； （4）①当两角相等时，设一个角为，另一个角为，可得方程，解方程即可求解；②当两角互补时，设一个角为，另一个角为，可得方程，解方程即可求解． 【详解】（1）∵，， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）， 证明：， ， ， ， ； （3）根据（1）、（2）的结果可知：一个角的两边与另一个角的分别平行，那么这两个角相等或互补， 故答案为：相等或互补； （4）①当两角相等时，设一个角为，另一个角为， ， ， ②当两角互补时，设一个角为，另一个角为， ， ， ． 综上所述：这两个角的度数分别为，，或，． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，掌握两直线平行，内错角相，同旁内角互补，是解答本题的关键． 【考点题型十二】平行线的性质与判定综合（） 36．（23-24六年级上·山东淄博·期末）如图，，． (1)已知，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟记内错角相等两直线平行、两直线平行内错角相等及两直线平行同位角相等是解决问题的关键． （1）由得到，根据两直线平行内错角相等即可得到答案； （2）由（1）中结论，结合，由两直线平行同位角相等得到，等量代换即可得到答案． 【详解】（1）解： ， ， ； （2）证明：由（1）知， ， ， ． 37．（23-24六年级下·山东烟台·期末）如图，已知． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定定理和性质定理，综合运用定理是解答此题的关键． （1）利用对顶角的性质可得，由，可得，利用“同旁内角互补，两直线平行”可得； （2）由，易得，由平行线的判定定理和性质定理易得结果． 【详解】（1）解：， 理由： ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． （2）解：由（1）可知：， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 38．（23-24六年级下·山东烟台·期末）如图，已知两条直线，被直线所截，分别交于点E，F，平分交于点M，且． (1)如图1，判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，点P是射线上一动点（不与点M，F重合），平分交于点N，设． ①若，则的度数为 ； ②求的度数．（结果用含α的代数式表示） 【答案】(1)，理由见解析 (2)①；②或 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质以及角平分的性质， 根据角平分线的性质得．结合题意得．即可判定； ①由（1）得，则，求得，结合角平分的性质得，．利用角之间的关系得即可； ②分两种情况：当点P在F的右侧时，可得，则．有角平分线的性质得，，则有；当点P在F的左侧时，则．由角平分的性质得，，那么， 即可． 【详解】（1）解：（1），理由如下： ∵平分交于点M， ∴． ∵， ∴． ∴． （2）①由（1）知，则， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，． ∴； ②当点P在F的右侧时， ∵，， ∴． ∴． ∵平分，平分， ∴，， ∴． 当点P在F的左侧时， ∵，， ∴． ∵平分，平分， ∴，． ∴ ． 36．（23-24六年级上·山东淄博·期末）如图，，． (1)已知，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟记内错角相等两直线平行、两直线平行内错角相等及两直线平行同位角相等是解决问题的关键． （1）由得到，根据两直线平行内错角相等即可得到答案； （2）由（1）中结论，结合，由两直线平行同位角相等得到，等量代换即可得到答案． 【详解】（1）解： ， ， ； （2）证明：由（1）知， ， ， ． 37．（23-24六年级下·山东烟台·期末）如图，已知． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定定理和性质定理，综合运用定理是解答此题的关键． （1）利用对顶角的性质可得，由，可得，利用“同旁内角互补，两直线平行”可得； （2）由，易得，由平行线的判定定理和性质定理易得结果． 【详解】（1）解：， 理由： ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． （2）解：由（1）可知：， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 38．（23-24六年级下·山东烟台·期末）如图，已知两条直线，被直线所截，分别交于点E，F，平分交于点M，且． (1)如图1，判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，点P是射线上一动点（不与点M，F重合），平分交于点N，设． ①若，则的度数为 ； ②求的度数．（结果用含α的代数式表示） 【答案】(1)，理由见解析 (2)①；②或 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质以及角平分的性质， 根据角平分线的性质得．结合题意得．即可判定； ①由（1）得，则，求得，结合角平分的性质得，．利用角之间的关系得即可； ②分两种情况：当点P在F的右侧时，可得，则．有角平分线的性质得，，则有；当点P在F的左侧时，则．由角平分的性质得，，那么， 即可． 【详解】（1）解：（1），理由如下： ∵平分交于点M， ∴． ∵， ∴． ∴． （2）①由（1）知，则， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，． ∴； ②当点P在F的右侧时， ∵，， ∴． ∴． ∵平分，平分， ∴，， ∴． 当点P在F的左侧时， ∵，， ∴． ∵平分，平分， ∴，． ∴ ． 【考点题型十三】通过添加辅助线探究平行线之间的角度关系（） 39．（23-24六年级下·山东烟台·期末）已知直线，点为平面上一点，连接与．    (1)如图①，点在直线、之间，说明：； (2)如图②，点在直线、之间，与的平分线相交于点，利用（1）中的结论，写出与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图③，点落在与外，与的角平分线相交于点，（2）中与之间的数量关系是否仍然成立？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)；理由见解析 (3)成立；理由见解析 【分析】本题主要考查平行的性质，角之间的关系，角平分线的性质，熟练掌握平行的性质是解题的关键． （1）过点P作，根据平行的性质得到，即可证明结论； （2）根据，分别平分，，得到即可证明． （3）分别过点P，Q作，根据平行的性质得到，角平分线的性质得到，即可得到答案． 【详解】（1）说明：过点P作， ， ， ， ， ， ， ；    （2）解： 说明：由（1）知，， ，分别平分，， ，， ， 即； （3）解：成立 说明：分别过点P，Q作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又 与的角平分线相交于点Q， ，， ， 即．    40．（23-24六年级下·山东烟台·期末）【认识模型】 如图①，已知，我们发现．我们称这种模型为平行线的“猪脚模型”，我们怎么说明这个结论呢？ 张山同学：如图②，过点作，把分成与的和，然后分别说明，； 李思同学：如图③，过点作，则，再说明． 【探索模型】 （1）请按张山同学的思路，写出说明过程； （2）请按李思同学的思路，写出说明过程． 【应用模型】 （3）如图④，已知，平分，平分．若，请利用“猪脚模型”的结论，直接写出的度数______． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）． 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）过点作，利用平行线的性质证明即可； （2）过点作交的延长线于．利用平行线的性质证明即可； （3）由角平分线的定义得出，，设，，则，由题意得出，由平行线的性质得出，由平角的定义得出，计算即可得出答案． 【详解】解：（1）如图②中，过点作， 因为，， 所以， 所以， 所以． （2）如图③中，过点作交的延长线于． 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以． （3）如图④中， ∵平分，平分， ∴，， 设，，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 41．（23-24七年级下·河南周口·期中）【模型发现】某校数学研讨会的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系．    （1）如图1，，是，之间的一点，连接，，试说明：； 【灵活运用】 （2）如图2，，，是，之间的两点，当时，请找出和之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，，，，均是，之间的点，如果，直接写出的度数． 【答案】（1）见解析；（2）；理由见解析；（3）． 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质． （1）过作，则，由平行线的性质可得、，再根据角的和差以及等量代换即可解答； （2）过M作，过N作，则，得到，，，由可得，计算得到； （3）作，，，由推出，即，由，推出，据此即可解答． 【详解】（1）证明：如图（1）过作，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：；理由如下： 如图（2）：过M作，过N作，    ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴， 整理得， ∴， ∴； （3）解：． 作，，，    ∵， ∴， ∴，，，， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴，即． 【命题预测】 1．（23-24六年级下·山东烟台·期末）已知图①～④， 在上述四个图中，与是同位角的有（    ） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．①③ 【答案】D 【分析】本题主要考查了同位角的定义．根据同位角的定义“两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两条线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样的角叫做同位角”进行判断即可． 【详解】解：图①③中，∠1与∠2是同位角； 故选：D． 2．（23-24六年级下·山东烟台·期末）一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后的方向与原来的方向相反，那么两次拐弯的角度可能是是（    ） A．第一次右拐，第二次左拐 B．第一次左拐，第二次右拐 C．第一次左拐，第二次左拐 D．第一次右拐，第二次右拐 【答案】C 【分析】此题主要考查了平行线的性质．两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行，据此判断即可． 【详解】解：因为两次拐弯后，按原来的相反方向前进， 所以两次拐弯的方向相同，形成的角是同旁内角，且互补． 故选：C． 3．（23-24六年级下·山东济南·期末）下列说法：①连接C，D两点的线段叫做C，D之间的距离；②，则C为中点；③n边形最多可以分成个三角形；④两点之间一条直线最短；⑤在同一平面内，过直线a外一点M且平行于直线a的直线只有一条，正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了多边形的对角线，线段的性质，两点之间的距离以及平行线的判定与性质，能熟记知识点是解此题的关键． ①根据两点之间的距离的定义判断即可；②根据线段的中点的定义判断即可；③根据多边形的对角线的定义判断即可；④根据线段的性质判断即可；⑤根据平行线的判定方法判断即可． 【详解】解：连接、两点的线段的长度叫两点之间的距离，故①说法错误； 若，说明点位于线段上的任意点，故②说法错误； 过边形的一个顶点作对角线，可把这个边形分成个三角形，故③说法错误． 两点之间，线段最短，故④说法错误； 根据“在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”可得，在同一平面内，过直线a外一点且平行于直线的直线只有一条，故⑤说法正确． 所以正确的个数有1个． 故选：A． 4．（23-24六年级下·山东烟台·期末）如图，，于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质和判定是解题的关键；过点作，根据平行线的判定和性质求解即可； 【详解】解：过点作 ， ， 故选：A 5．（23-24六年级下·山东烟台·期末）将一副三角板如图摆放，发现，根据图中现有的角，说明其理由是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．同旁内角相等，两直线平行 C．同位角互补，两直线平行 D．内错角相等，两直线平行 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．根据平行线的判定定理求解判断即可． 【详解】解：，， ， （内错角相等，两直线平行） 故选：D 6．（23-24六年级下·山东威海·期末）如图，已知，下列条件：①；②；③；④．其中能判断的有（     ）个        A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定及性质，根据平行线的判定方法逐项分析即可．正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行． 【详解】解：∵， ∴， ①∵，则， ∴，故符合题意； ②，无法判断，故不符合题意； ③∵，， ∴， ∴，故符合题意； ④，无法判断，故不符合题意； 综上，①③都能判定， 故选：B． 7．（23-24六年级下·山东东营·阶段练习）将一副三角板按如图所示的方式放置，有下列结论：；如果，那么；如果，那么；其中正确的有（   ）． A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．利用等式的性质可得，即可判断①；再根据内错角相等，两直线平行即可判断②；再根据两直线平行，内错角相等即可判断③；然后利用角的和差关系可得：，即可判断④． 【详解】解：， ， ， 故①正确； 当时， ， ， ， 故②正确； 当时，， ， ， 故③正确； ， ， ， ， 故④不正确； 所以，上列结论，其中正确的有①②③， 故选：C 8．（23-24六年级下·山东东营·期末）抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一，明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上，如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：，，则的度数为 ． 【答案】/122度 【分析】本题考查平行线的性质及平行公理的推论．过点作，进而得到，由平行线的性质求，继而得到，再根据两直线平行，同旁内角互补进行求解即可．解题的关键是掌握：两直线平行，同旁内角互补． 【详解】解：过点作， ∵， ∴ ∴， ∵ ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 9．（23-24六年级下·山东烟台·期末）若与互补，与互余，则 ． 【答案】/90度 【分析】本题考查了余角和补角．根据余角和补角的概念，先分别表示出∠2、∠3，再相减化简即可得出答案． 【详解】解： 与互补， ， 与互余， ， ． 故答案为：90°． 10．（23-24六年级下·山东烟台·期末）已知和互余，且比大，那么的补角度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求角的余角和补角，根据和互余，且比大得出，从而得出和的度数，即可得解． 【详解】解：∵和互余， ∴， ∵比大， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的补角度数为：， 故答案为：． 11．（23-24六年级下·山东济南·期末）如图，将一副三角板摆放在一组平行线内，，则的度数为 ． 【答案】/15度 【分析】本题考查平行线的性质．由平行线的性质推出，即可求出． 【详解】解：，， ， ∵， ， ． 故答案为：． 12．（23-24六年级下·山东泰安·期末）已知：直线，点A，B分别是a，b上的点，是a，b之间的一条折线段，且，Q是a，b之间且在折线段左侧的一点，如图，若的一边与的夹角为，另一边与平行，请直接写出，，之间满足的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，先过点Q作，得出，再结合，得出，即可作答． 【详解】解：如图：过点Q作 ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为： 13．（23-24六年级下·山东济南·期末）如图，，相交于点，，．    (1)与平行吗？请说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)平行，理由见解析 (2) 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）根据平行线的判定与性质求解即可； （2）根据平行线的性质及邻补角定义求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ， ， ， ∴； （2）解：∵，， ， ． 14．（23-24六年级下·山东泰安·期末）如图，点在的一边上，过点的直线，平分，于点．    (1)若，求的度数； (2)平分吗？为什么？ 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查平行线的性质、垂线， 解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． （1）根据平行线的性质和角平分线的性质，可以求得的度数； （2）根据角平分线的性质、平角的定义可以求得和的关系，从而可以证明结论成立． 【详解】（1）解：∵直线,平分,, ∴, ∴, ∴, ∴, ∴； （2）解:平分，理由如下， ∵平分, ,, ∴, ∴, ∴, ∴平分． 15．（23-24六年级下·山东泰安·期末）已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请结合下图，探索这两个角之间的关系，并说明理由． (1)如图①，，问：与相等吗？为什么？ (2)如图②，，问：与互补吗？为什么？ (3)经过上述探索与推理，我们可得出结论，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角____________； (4)若这两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的3倍少，则这两个角分别是多少度？ 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)相等或互补 (4)，或者，． 【分析】此题考查了平行线的性质，涉及了一元一次方程的求解，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质求解即可； （2）根据平行线的性质求解即可； （3）结合已知条件以及（1）（2）的结论求解即可； （4）设一个角的度数为x，则另一个角的度数为，根据（3）的结论分两种情况，列方程求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵（已知） ∴（两直线平行，内错角相等） ∵（已知） ∴（两直线平行，内错角相等） ∴（等量代换） （2）．理由如下： ∵（已知） ∴（两直线平行，内错角相等） ∵（已知） ∴（两直线平行，同旁内角互补） ∴（等量代换） （3）由（1）（2）可知我们可得出结论，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补， 故答案为：相等或互补． （4）设一个角的度数为x，则另一个角的度数为，分两种情况： ①当，解得， 则这两个角的度数分别为，； ②当，解得， 则这两个角的度数分别为， 综上，这两个角的度数分别为，或者，． 16．（23-24六年级下·山东威海·期末）【知识链接】 ①三角形三个角的和是． ②如图，光线照射一个平面镜后被反射，反射光线为，则． 【课本问题】 （1）如图，一束平行光线，照射一个平面镜后被反射，写出反射光线与平行的理由； 【问题改编】 （2）如图，，是两个镜面平行的平面镜，光线照射到镜面上，反射光线经镜面反射后的光线为．与平行吗？为什么？ （3）如图，，是两个镜面垂直的平面镜，光线射在镜面上，反射光线经镜面反射后的光线为．与是否平行？为什么？ 【答案】（1）见解析；（2）平行；见解析；（3）平行；见解析； 【分析】本题考查了平行线的性质与判定； （1）根据平行线的性质可得，根据已知可得，，则，即可得证； （2）根据平行线的性质以及得出-，-，根据平行线的性质可得，则，即可得证； （3）同（2）得-，-，根据 ，得出 ，即可得证． 【详解】解：（1）如图， ， ． ，， ． ． （2）平行 如图， ， ， -． 同理-． ， ． ． ． （3）平行． 如图， ， -． 同理-． ， ． ， ． -- - - ． ． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$