专题03 相交线与平行线（考题猜想，13大题型）-2024-2025学年六年级数学下学期期中考点大串讲（鲁教版2024）

专题03 相交线与平行线（13大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 与余角、补角有关的计算（高频） · 题型二 几何图形中的角度计算问题（高频） · 题型三 三线八角的识别（易错） · 题型四 证明两直线平行（高频） · 题型五 利用平行线的性质求解（高频） · 题型六 根据平行线的性质探究角的关系（压轴） · 题型七 根据平行线的性质求角的度数（重点） · 题型八 平行线的性质在生活中的应用（重点） · 题型九 根据平行线的性质与判定求角度（难点） · 题型十 根据平行线的性质与判定证明（难点） · 题型十一 与平行线有关的折叠问题（压轴） · 题型十二 与平行线有关的旋转问题（压轴）题型十三 与三角板有关的角度计算问题（压轴） 题型一 与余角、补角有关的计算（高频） 1．（23-24六年级下·山东东营·期末）如图，O为直线上一点，平分，，有下列四个结论：①；②若，则；③；④平分．其中正确的是（    ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 2．（23-24六年级下·山东泰安·期中）若与互为余角，与互为补角，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 ．（只填序号） 3．（23-24六年级下·山东烟台·期中）如图所示，已知O为上一点，与互补，射线OM，ON分别平分，若，试求：与的度数． 题型二 几何图形中的角度计算问题（高频） 4．（2024七年级上·全国·专题练习）已知，． (1)如图1，若，的度数是______； (2)如图2，若，的度数是______； (3)根据（1）（2）结果猜想与有怎样的关系？并根据图1说明理由； (4)如图2，若，则的度数是______，的度数是______． 5．（23-24六年级下·山东济南·期中）如图所示，是的平分线，是的平分线．    (1)如果，，那么是多少度？ (2)如果，，那么是多少度？ 6．（22-23六年级下·山东威海·期中）已知：直线与直线交于点O，过点O作． (1)如图1，为内的一条射线，若，判断与位置关系，并说明理由；    (2)如图2，若，求的度数；    (3)如图3，在（2）的条件下，过点O作，经过点O画直线，若射线平分，请直接写出图中与度数相等的角，并说明其中一种情况的理由．    题型三 三线八角的识别（易错） 7．（24-25七年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图所示，与相交于点A，与相交于点B，与相交于点C． (1)指出，被所截形成的同位角、内错角； (2)指出，被所截形成的内错角、同旁内角； (3)指出，被所截形成的内错角、同旁内角． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，根据汉字“士”中标注的角，回答下列问题： (1)与成同位角的是______； (2)与成内错角的是______； (3)图中有______对同旁内角，分别是______． 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线交于点G，交于点M． (1)图中有多少对对顶角？ (2)图中有多少对邻补角？ (3)图中有多少对同位角？ (4)图中有多少对同旁内角？ (5)写出图中的内错角． 题型四 证明两直线平行（高频） 10．（24-25七年级下·山东聊城·开学考试）如图，直线和被直线所截． (1)如图，平分，平分，则当与满足 时，； (2)如图，平分，平分，则当与满足 时，； (3)如图，平分，平分，则当与满足什么条件时，？请说明理由． 11．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，O是直线上的点，在同一直线上，且分别是和的平分线，，垂足为D． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，与是否平行？请说明理由． 题型五 利用平行线的性质求解（高频） 12．（21-22六年级下·山东威海·期末）如图，与的位置如图所示，，在同一条直线上，，连接．若，，，平分，求的度数    13．（21-22六年级下·山东淄博·期末）如图，已知，平分，平分，，，求的度数． 14．（21-22六年级下·山东济南·期末）已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请结合下图，探索这两个角之间的关系，并说明理由． (1)如图①，，，求证：； (2)如图②，，，直接写出与的关系是________； (3)有（1），（2）可得出结论，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角________； (4)若这两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的3倍少60°，则这两个角分别是多少度？ 题型六 根据平行线的性质探究角的关系（压轴） 15．（22-23六年级下·山东淄博·期末）如图1，，，，求的大小．小明的解题思路：过点P作，通过平行线的性质来求．    (1)按小明的解题思路，求度数； (2)如图2，已知直线，直线a，b分别与直线m，n相交于点B、D和点A、C．点P在线段BD上运动（不与B、D两点重合），记，，问与，之间有何数量关系？判断并说明理由． 16．（22-23六年级下·山东济南·期末）已知，点为平面内的一点，，垂足为． (1)问题呈现 如图1，，则　　； (2)问题迁移 如图2，点在的上方，请探究，之间的数量关系，并说明理由； (3)联想拓展 如图3，在（2）的条件下，已知，，请求出的度数．      17．（22-23七年级下·安徽淮北·期末）（1）如图1，，为平面内一点，，小颖认为若过点作，很容易说明和互余．请你帮小颖写出具体的思考过程．    （2）如图2，，点在射线上运动，当点运动到点与点之间时，试判断与，之间的数量关系，并说明理由；    （3）在（2）的条件下，当点在射线上的其他地方运动时（不与点重合），请直接写出与，之间的数量关系．    18．（22-23六年级下·山东济南·期中）（1）如图（1），，，．求的度数； （2）如图（2），，点在射线上运动，，， ①当点P在A、B两点之间时，之间有何数量关系并请说明理由 ②当点P在A、B两点外侧时（点P与点O不重合），请借助备用图画出图示，写出之间的数量关系并说明理由 题型七 根据平行线的性质求角的度数（重点） 19．（23-24六年级下·山东烟台·期末）已知，，平分交于点G． (1)如图1，，判断与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，，当时，求的度数． 20．（23-24六年级下·山东烟台·期末）【阅读材料】 在利用平行线的性质解答角的问题时，有时需要添加辅助线来帮助解答．辅助线的添加既可以产生新的条件，又能将题目中的原有条件联系在一起． 例：如图①，，M，N分别为直线上的点，E为之间一点，连接得到．请说明． 解：过点E作． 因为，所以． 因为，所以． 所以． 因为，所以． 【问题解决】 如图，，M，N分别为直线上的点． (1)如图②，E为之间一点，锐角和钝角的角平分线所在的直线交于点F，与交于点G． ①若，，求，的度数； ②若，，求的度数（用含的代数式表示）； (2)如图③，E，F均为之间的点，，请直接写出的度数． 21．（23-24六年级下·山东烟台·期末）【认识模型】 如图①，已知，我们发现．我们称这种模型为平行线的“猪脚模型”，我们怎么说明这个结论呢？ 张山同学：如图②，过点作，把分成与的和，然后分别说明，； 李思同学：如图③，过点作，则，再说明． 【探索模型】 （1）请按张山同学的思路，写出说明过程； （2）请按李思同学的思路，写出说明过程． 【应用模型】 （3）如图④，已知，平分，平分．若，请利用“猪脚模型”的结论，直接写出的度数______． 题型八 平行线的性质在生活中的应用（重点） 22．（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）2025年全国生态环境保护工作会议内容提倡绿色低碳发展机制，推进生态环境保护全民行动．骑自行车就是一种绿色环保的交通方式，如图所示是一辆自行车放在水平地面的简易示意图，其中A，B，D，C，M五点均在同一平面内，都与地面平行，，．当与平行时，的度数为多少？ 23．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图是一种躺椅及其侧面简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，当时，人躺着最舒服，求此时和的度数．请补充求解过程，并在括号内添上相应的理由． 解：因为扶手与底座都平行于地面，即， 因为（已知）． 所以（     ）． 因为______（平角的定义）， 又因为（已知）， 所以______（等式的基本性质）． 因为（已知）， 所以______（     ）． 所以______（平角的定义）． 24．（23-24七年级下·广西南宁·期中）阅读材料，解决问题： 【阅读材料】如图1，物理学光的反射现象中，把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角，且，这就是光的反射定律． （1）在图1中，证明； 【解决问题】根据光的反射定律，人们制造了潜望镜，如图2是潜望镜的工作原理示意图，，是平行放置的两面平面镜，是射入潜望镜的光线，是经平面镜两次反射后离开潜望镜的光线，由（1）可知，光线经过平面镜反射时，有，． （2）请问和有什么关系？并说明理由； （3）小明尝试制作一如示意图的简易潜望镜，但发现光线无法顺利通过，请思考应如何调整平面镜，的位置，并给出建议（合理即可）． 题型九 根据平行线的性质与判定求角度（难点） 25．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，解答下列问题： (1)如图①， ； (2)如图②，求的度数； (3)如图③，求的度数； (4)如图④，根据以上结论，试探究： ． (5) 26．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，已知，点分别在直线上，点在和之间． 【习题回顾】 （1）如图1，若，是的平分线，求的度数； 【变式思考】 （2）如图2，连接，求证：； 【深入探究】 （3）如图3，连接，若，，和的平分线交于点，求的度数． 27．（22-23七年级下·广东江门·阶段练习）（1）如图1，，求的度数． 解：过点E作． （已作）， （   ）． 又（已知）， ______________（平行关系的传递性）， （两直线平行，同旁内角互补）， （等式性质）， 即_______； （2）根据上述解题及作辅助线的方法，在图2中，，则_______； （3）根据（1）和（2）的规律，图3中，猜想：_______； （4）如图4，，在B，D两点的同一侧有共n个折点，则的度数为_______（用含n的代数式表示）． 28．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）如图1，，． (1)①如果，求的度数； ②设，，直接写出、之间的数量关系： 　； (2)如图2，、的角平分线交于点P，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； (3)在（2）的条件下，若，点E为射线上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接．已知，求的度数． 题型十 根据平行线的性质与判定证明（难点） 29．（24-25七年级下·山东聊城·阶段练习）已知分别是上的动点，也为一动点． (1)如图1，若，试说明：； (2)如图2，若，试说明：； (3)如图3，，移动、，使，若，则___________． 30．（24-25七年级下·广东广州·阶段练习）如图1，点F在线段上，点E在线段上，,． (1)试说明：； (2)如图2所示，延长到M，在,内部有一点P，连接．若，，求的度数． 31．（23-24六年级下·山东烟台·期末）如图，已知两条直线，被直线所截，分别交于点E，F，平分交于点M，且． (1)如图1，判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，点P是射线上一动点（不与点M，F重合），平分交于点N，设． ①若，则的度数为 ； ②求的度数．（结果用含α的代数式表示） 题型十一 与平行线有关的折叠问题（压轴） 32．（22-23七年级下·山东济南·期末）如图，将一纸条沿折痕折叠，时对应线段与相交于点则下列条件中，不足以证明的是（     ）    A． B． C． D． 33．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）如图，已知长方形纸片，点E和F分别在边和上，且，H和G分别是边和上的动点，现将点A，B，C，D分别沿，折叠至点N，M，P，K，若与分别在长方形的两侧，且，则的度数为 ． 34．（23-24七年级下·山东聊城·期末）【综合与实践】 学习了平行线的性质与判定之后，我们继续探究折纸中的平行线． (1)【知识初探】 如图1，长方形纸条中，，，，将纸条沿直线折叠，点A落在处，点D落在处，交于点G． ①若，求的度数． ②若，则__________（用含的式子表示）． (2)【类比再探】 如图2，在图1的基础上将对折，点C落在直线上的处．点B落在处，得到折痕，则折痕与有怎样的位置关系？说明理由． (3)【提升自我】 如图3，在图2的基础上，过点作的平行线，直接写出和的数量关系． 题型十二 与平行线有关的旋转问题（压轴） 35．（23-24六年级下·山东烟台·期末）如图，点A、B分别在直线上，，，平分，将射线绕点B以每秒的速度顺时针方向旋转，射线绕点A以每秒的速度顺时针方向应转，设旋转时间为，当与平行时，求旋转时间t的值． 36．（23-24七年级下·山东临沂·期末）学习完平行线后，小玲同学通过折纸，想出了过点画直线的平行线的方法，具体过程如下：图①～图④． (1)通过上述的折纸过程，图②的折痕与直线的位置关系是______； (2)如图④，由折纸过程可知与的位置关系是______，依据是______； (3)保持（2）中与的位置关系不变，将直线绕点旋转至如图⑤，当时，与平行吗？请说明理由． 题型十三 与三角板有关的角度计算问题（压轴） 37．（23-24七年级下·山东潍坊·期中）综合与实践： 借助一副三角板的不同摆放方式，研究并解决以下问题． (1)如图1， _____，利用一副三角板，我们还能画一些度数的角，请你再写出两个：_____，_____；（角的范围是，，，，除外） (2)如图2，若的度数比度数的2倍还多，求的度数； (3)将一副三角板如图3所示摆放，直线，如图4，现将三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒． ①当旋转到时，请直接写出t的值； ②在三角板绕点A旋转的同时，三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，若边与三角板的一条直角边（边，边）平行时，请直接写出t的值． 38．（23-24七年级下·山东临沂·期中）问题情境： 将一副三角板按如图所示的方式叠放在一起，当且点E在直线AC的上方时，解决下列问题（提示：，，）： 问题解决： (1)①若，则的度数为________； ②若，则的度数为________； (2)请猜想与的数量关系，并说明理由； (3)随着的度数的变化，边是否能与三角板的一边平行？若存在，请直接写出的度数的所有值及平行的边；若不存在，请说明理由． 39．（23-24七年级下·云南文山·阶段练习）小明对一副直角三角板在平行线间的位置进行研究，已知． (1)如图①，小明将含角的直角三角板中的点A落在直线上，若，则的度数为______； (2)如图②，小明将含角的直角三角板中的点D，F分别落在直线上，若平分，则是否平分？请说明理由． (3)小明将三角板与三角板按如图③所示方式摆放，点B与点F重合，求的度数． 40．（23-24七年级下·山东日照·期末）如图1，将一副三角板按图中所示位置摆放，点在直线上，且，与相交于点，其中，，，，． (1)求此时的度数； (2)如图2，若三角板绕点按顺时针方向旋转，当时，求此时的度数； (3)在（2）的条件下，三角板绕点按逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转的时间为秒，当时，在这个旋转过程中，是否还存在三角板的某一条边与平行的情况？若存在，请求出所有满足题意的值；若不存在，请说明理由． $$专题03 相交线与平行线（13大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 与余角、补角有关的计算（高频） · 题型二 几何图形中的角度计算问题（高频） · 题型三 三线八角的识别（易错） · 题型四 证明两直线平行（高频） · 题型五 利用平行线的性质求解（高频） · 题型六 根据平行线的性质探究角的关系（压轴） · 题型七 根据平行线的性质求角的度数（重点） · 题型八 平行线的性质在生活中的应用（重点） · 题型九 根据平行线的性质与判定求角度（难点） · 题型十 根据平行线的性质与判定证明（难点） · 题型十一 与平行线有关的折叠问题（压轴） · 题型十二 与平行线有关的旋转问题（压轴） · 题型十三 与三角板有关的角度计算问题（压轴） 题型一 与余角、补角有关的计算（高频） 1．（23-24六年级下·山东东营·期末）如图，O为直线上一点，平分，，有下列四个结论：①；②若，则；③；④平分．其中正确的是（    ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了余角和补角、角平分线的定义，找出角度之间的数量关系是解题关键．格局平角的性质可判断①结论；根据邻补角和角平分线的定义，可判断②结论；根据互余和角平分线的定义，可判断③结论；根据角平分线的定义可判断④结论． 【详解】解：， ，①结论正确； ， ， 平分， ，②结论正确； ，平分， ，， ， ， ，③结论正确； ，，且无法证明， 无法证明平分，④结论错误； 故选：B． 2．（23-24六年级下·山东泰安·期中）若与互为余角，与互为补角，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 ．（只填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查互余互补的定义，掌握在不同题型中的变式应用，每一问中的运算所用的运算方法是解题关键．根据互余的两角之和为，互补的两角之和为，即可求出有关的结论． 【详解】解：∵（1），（2）， ∴（2）−（1）得，， ∴①正确． （1）＋（2）得，， ∴②正确． （2）−（1）×2得，， ∴③正确． 由，， 得，， ∴， ∴④错误． 综上可知，正确的结论是①②③． 故答案为：①②③． 3．（23-24六年级下·山东烟台·期中）如图所示，已知O为上一点，与互补，射线OM，ON分别平分，若，试求：与的度数． 【答案】与的度数分别是和 【分析】本题考查了补角的定义，角平分线的定义，及角的运算．数形结合是解答本题的关键．设等于x度，则，根据与互补列方程求出x的值即可求解． 【详解】解：设等于x度， 平分， OM平分， ． 与互补， ， 解得：， 与互补， 因此，与的度数分别是和． 题型二 几何图形中的角度计算问题（高频） 4．（2024七年级上·全国·专题练习）已知，． (1)如图1，若，的度数是______； (2)如图2，若，的度数是______； (3)根据（1）（2）结果猜想与有怎样的关系？并根据图1说明理由； (4)如图2，若，则的度数是______，的度数是______． 【答案】(1) (2) (3)与互补，理由见解析 (4)， 【分析】本题主要考查了垂直的定义，角的和差， 余角的定义，周角的定义． （1）根据垂直的定义，可得出与的度数， 根据余角的定义， 得出， 再根据角的和差求出结果； （2）根据垂直的定义， 可得出与的度数，再结合角的和差，得到， 从而求出结果； （3）根据（1）（2）的结果，均得到，故猜想与的度数和为，再结合角的和差，可以验证自己的猜想是正确的； （4）根据比例分配关系，得出 计算即可得到结果． 【详解】（1）∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为： （2）∵，， ∴． ∴． 故答案为： （3）与互补． 理由如下：∵， ∴， ∴． ∵，所以， ∴， ∴．即与互补． 故答案为：与互补 （4）   由角的和差，得， 按比例分配，得，． 故答案为：， 5．（23-24六年级下·山东济南·期中）如图所示，是的平分线，是的平分线．    (1)如果，，那么是多少度？ (2)如果，，那么是多少度？ 【答案】(1) (2) 【分析】此题查了角平分线的定义，垂直的定义，角的计算，准确识图，理解角平分线的定义，垂直的定义，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． （1）由角平分线的定义得，，然后根据可得出答案； （2）根据是的平分线得，再根据得，进而根据是的平分线可得出的度数． 【详解】（1）∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∴ ； （2）∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵是的平分线， ∴． 6．（22-23六年级下·山东威海·期中）已知：直线与直线交于点O，过点O作． (1)如图1，为内的一条射线，若，判断与位置关系，并说明理由；    (2)如图2，若，求的度数；    (3)如图3，在（2）的条件下，过点O作，经过点O画直线，若射线平分，请直接写出图中与度数相等的角，并说明其中一种情况的理由．    【答案】(1)垂直，理由见解析 (2) (3)，，，，理由见解析 【分析】（1）先根据垂直的定义可得，再根据等量代换可得，从而可得，由此即可得； （2）先求出，再根据垂直的定义可得，然后根据即可得； （3）先求出，从而可得，再根据角平分线的定义可得，根据垂直的定义可得，从而可得，，由此即可得． 【详解】（1）解：与位置关系是垂直，理由如下： ∵， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴． （2）解：∵，且， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：由（2）知：， ， ， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴与度数相等的角是，，，． 【点睛】本题考查了垂直、对顶角相等、角平分线的定义等知识点，熟练掌握角的运算关系是解题关键． 题型三 三线八角的识别（易错） 7．（24-25七年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图所示，与相交于点A，与相交于点B，与相交于点C． (1)指出，被所截形成的同位角、内错角； (2)指出，被所截形成的内错角、同旁内角； (3)指出，被所截形成的内错角、同旁内角． 【答案】(1)同位角：和；内错角：和 (2)内错角：和，和；同旁内角：和，和 (3)内错角：和，和；同旁内角：和，和 【分析】此题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义，找准截线与被截线是解题的关键．两线被第三条直线所截，在截线的异旁，被截线的内部就是内错角，截线的同位置，被截线的同旁是同位角，截线同旁，被截线的内部就是同旁内角．依次判断即可． 【详解】（1），被所截形成的同位角：和；内错角：和 （2），被所截形成的内错角：和，和；同旁内角：和，和 （3），被所截形成的内错角：和，和；同旁内角：和，和 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，根据汉字“士”中标注的角，回答下列问题： (1)与成同位角的是______； (2)与成内错角的是______； (3)图中有______对同旁内角，分别是______． 【答案】(1) (2) (3)2，与与 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义． 根据同位角是两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角，可得答案；根据两个角位于截线的两侧，两条直线的中间的角是内错角，可得答案；根据同旁内角是两个角位于截线的同旁，两条直线的中间，可得答案． 【详解】（1）解：与成同位角的是， 故答案为：； （2）解：与成内错角的是， 故答案为：； （3）解：图中有2对同旁内角，分别是与与， 故答案为：2，与与． 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线交于点G，交于点M． (1)图中有多少对对顶角？ (2)图中有多少对邻补角？ (3)图中有多少对同位角？ (4)图中有多少对同旁内角？ (5)写出图中的内错角． 【答案】(1)图中有4对对顶角 (2)图中有12对邻补角 (3)图中有8对同位角 (4)图中有4对同旁内角 (5)和和和和和 【分析】此题考查的是同位角、内错角、同旁内角、对顶角、邻补角的概念，掌握其概念是解决此题的关键． （1）根据对顶角的概念即可得到答案；（2）根据邻补角的概念即可得到答案；（3）根据同位角的概念即可得到答案；（4）根据同旁内角的概念即可得到答案；（5）根据内错角的概念可得答案． 【详解】（1）解：图中4对对顶角与，与，与，与； （2）解：图中12对邻补角与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，与； （3）解：图中有8对同位角与，与，与，与，与，与，与，与； （4）解：图中有4对同旁内角与，与，与，与； （5）解：图中内错角有：和，和，和，和，和． 题型四 证明两直线平行（高频） 10．（24-25七年级下·山东聊城·开学考试）如图，直线和被直线所截． (1)如图，平分，平分，则当与满足 时，； (2)如图，平分，平分，则当与满足 时，； (3)如图，平分，平分，则当与满足什么条件时，？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，角平分线定义的应用，注意：平行线的判定是：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行． （1）根据角平分线定义得出，，时，求出，根据平行线的判定推出即可． （2）根据角平分线定义得出，，求出，根据平行线的判定推出即可． （3）根据角平分线定义得出，，求出，根据平行线的判定推出即可． 【详解】（1）解：当时，．理由如下： 平分，平分 ． ， ， ． （2）解：当时，．理由如下： 平分，平分， ． ， ， ． （3）解：当时，．理由如下： 平分，平分， ． ， ， ． 11．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，O是直线上的点，在同一直线上，且分别是和的平分线，，垂足为D． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，与是否平行？请说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定、角平分线的定义、垂直等知识，熟练掌握平行线的判定是解题关键． （1）根据角平分线的定义可得，从而可得，由此即可得； （2）先根据角的和差可得，从而可得，再根据平行线的判定即可得． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵分别是和的平分线， ∴． ∵， ∴，即， ∴． （2）解：，理由如下： 由（1）已得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型五 利用平行线的性质求解（高频） 12．（21-22六年级下·山东威海·期末）如图，与的位置如图所示，，在同一条直线上，，连接．若，，，平分，求的度数    【答案】 【分析】先根据平行线的性质求出，再由三角形内角和定理的度数，根据角平分线的定义求出的度数，最后根据三角形外角的性质可得，进而得出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理、平行线的性质、三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形的内角和定理，平行线的性质，三角形外角的性质，并能进行推理和计算． 13．（21-22六年级下·山东淄博·期末）如图，已知，平分，平分，，，求的度数． 【答案】55° 【分析】过点E作EFAB，由，再证得 EF，由平行线的性质得到∠FEB＝∠ABE，∠FED＝∠EDC，∠ABC＝∠BCD＝40°，∠BAD＝∠ADC＝70°，由角平分线的定义得到∠ABE＝∠CBE∠ABC＝20°，∠FED＝∠ADE＝∠EDC∠ADC＝35°，进而求得∠BED的度数． 【详解】解：过点E作EFAB， ∵， ∴ EF， ∴∠FEB＝∠ABE，∠FED＝∠EDC，∠ABC＝∠BCD＝40°，∠BAD＝∠ADC＝70°， ∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC， ∴∠ABE＝∠CBE∠ABC＝20°，∠FED＝∠ADE＝∠EDC∠ADC＝35°， ∴∠FEB＝∠ABE＝20°， ∴∠BED＝∠FEB＋∠FED＝55°． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 14．（21-22六年级下·山东济南·期末）已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请结合下图，探索这两个角之间的关系，并说明理由． (1)如图①，，，求证：； (2)如图②，，，直接写出与的关系是________； (3)有（1），（2）可得出结论，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角________； (4)若这两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的3倍少60°，则这两个角分别是多少度？ 【答案】(1)见解析 (2)互补 (3)相等或互补 (4)，或， 【分析】（1）根据两直线平行内错角相等即可推得∠1=∠2． （2）根据两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补可推得∠1与∠2的关系． （3）把（1）（2）两小题综合起来写出结论即可． （4）根据第（3）小题的结论，设其中一个角为xº，分两种情况列方程求出x的值，即可得到这两个角的度数． 【详解】（1）证明： ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）∵， ∴∠1=∠3． ∵， ∴∠3+∠2=180°， ∴∠1+∠2=180º， ∴∠1与∠2的关系是互补． 故答案为：互补 （3）由（1）（2）两个小题，可得结论：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补． 故答案为：相等或互补． （4）设其中一个角为，则另一个角为． 情况1：这两个角相等，则 x=3x-60， 解得，x=30， 则这两个角都为30°． 情况2：这两个角互补，则 x+(3x-60)=180， 解得x=60， 则3x-60=120， 则这两个角分别为60°和120°． 综上，这两个角的度数为30°，30°或60°，120°． 【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 题型六 根据平行线的性质探究角的关系（压轴） 15．（22-23六年级下·山东淄博·期末）如图1，，，，求的大小．小明的解题思路：过点P作，通过平行线的性质来求．    (1)按小明的解题思路，求度数； (2)如图2，已知直线，直线a，b分别与直线m，n相交于点B、D和点A、C．点P在线段BD上运动（不与B、D两点重合），记，，问与，之间有何数量关系？判断并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）利用平行线的判定和性质进行求解即可； （2）过P作交AC于E，利用平行线的判定和性质进行求解即可． 【详解】（1）解：过P作，如图：    所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以； （2），理由如下：过P作交AC于E，如图：    因为， 所以， 所以，， 所以． 【点睛】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是过拐点构造平行线． 16．（22-23六年级下·山东济南·期末）已知，点为平面内的一点，，垂足为． (1)问题呈现 如图1，，则　　； (2)问题迁移 如图2，点在的上方，请探究，之间的数量关系，并说明理由； (3)联想拓展 如图3，在（2）的条件下，已知，，请求出的度数．    【答案】(1)150； (2)，理由见解析； (3) 【分析】（1）过 作 , 根据平行线的性质得到 ，, 根据垂直的定义得到 , 于是得到结论； （2）过点 作 , 根据平行线的性质和垂直的定义即可得到结论； （3）过点 作 , 由 （2） 可知: , 根据平行线的性质得到 , 根据角的和差倍分即可得到结论； 【详解】（1）过作，   ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：150； （2）， 理由：过点作，   ，， ， ，， ． ， ， ； （3）过点作，    由（2）可知：， ，， ，， ，， ， 由（2）知，， ． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，正确地作出辅助线是解题的关键 17．（22-23七年级下·安徽淮北·期末）（1）如图1，，为平面内一点，，小颖认为若过点作，很容易说明和互余．请你帮小颖写出具体的思考过程．    （2）如图2，，点在射线上运动，当点运动到点与点之间时，试判断与，之间的数量关系，并说明理由；    （3）在（2）的条件下，当点在射线上的其他地方运动时（不与点重合），请直接写出与，之间的数量关系．    【答案】（1）见解析， （2）， （3）①当点在、两点之间时：；②当点在的延长线上时，． 【分析】（1）过点作，根据平行线的性质可得，再根据可得，进一步得到 ，可得和互余； （2）过点作，交于，根据平行线的性质可得，可得； （3）分两种情况：当点在、两点之间时；当点在的延长线上时；进行讨论可求与的数量关系． 【详解】解：（1）如图，过点作，则 ，    ， ， ， ， ， ， 和互余； （2），理由如下： 如图，过点作，交于，则，    ， ， ， ， ； （3）过点作，交于， ①当点在、两点之间时，如图，    由（2）知：，， ， ， ， ； ②当点在的延长线上时，如图，    由（2）知：，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了平平行线的判定与性质，余角和补角，垂线等，重点学会构造辅助线，将问题简易化是解题的关键，本题属于较为典型的题目． 18．（22-23六年级下·山东济南·期中）（1）如图（1），，，．求的度数； （2）如图（2），，点在射线上运动，，， ①当点P在A、B两点之间时，之间有何数量关系并请说明理由 ②当点P在A、B两点外侧时（点P与点O不重合），请借助备用图画出图示，写出之间的数量关系并说明理由 【答案】（1）； （2）①，理由见解析；②当点P在A上方时，，当P在B点下方时，，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用； （1）过作，构造同旁内角，通过平行线性质，可得． （2）①过作交于，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案； ②分两种情况：点在的延长线上和点在、两点之间，分别画出图形，根据平行线的性质得出，，即可得出结论． 【详解】（1）如图①，过作， ∵， ∴， ，， ，， ，， ； （2）①，理由如下： 如图②，过作交于， ∵， ∴， ，， ， 故答案为：； ②当点在的延长线上时，； 理由：如图③，过作交于， ∵， ∴， 又，， ，， ； 当点在、两点之间时，． 理由：如图④，过作交于， ∵， ∴， 又，， ，， ， 故答案为：或． 题型七 根据平行线的性质求角的度数（重点） 19．（23-24六年级下·山东烟台·期末）已知，，平分交于点G． (1)如图1，，判断与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，，当时，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定定理和性质是解题的关键． （1）根据同位角相等两直线平行证明，进而求出，再根据角平分线的性质即可证明； （2）根据题意得到，根据平行线的性质结合角平分线的定义求解即可． 【详解】（1）解：， 理由如下： ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ； （2）解： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ． 20．（23-24六年级下·山东烟台·期末）【阅读材料】 在利用平行线的性质解答角的问题时，有时需要添加辅助线来帮助解答．辅助线的添加既可以产生新的条件，又能将题目中的原有条件联系在一起． 例：如图①，，M，N分别为直线上的点，E为之间一点，连接得到．请说明． 解：过点E作． 因为，所以． 因为，所以． 所以． 因为，所以． 【问题解决】 如图，，M，N分别为直线上的点． (1)如图②，E为之间一点，锐角和钝角的角平分线所在的直线交于点F，与交于点G． ①若，，求，的度数； ②若，，求的度数（用含的代数式表示）； (2)如图③，E，F均为之间的点，，请直接写出的度数． 【答案】(1)①；；② (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定与性质，准确做出辅助线是解题关键 （1）如图，过点E作，根据平行线的判定与性质以及三角形内角和结合角平分线定义即可求出结果；过点E作，根据平行线的判定与性质以及三角形内角和结合角平分线定义即可求出结果； （2）过点作，过点F作，根据平行线的判定与性质以及三角形内角和即可求出结果； 【详解】（1）解：①如图，过点E作， ， ， ， ； ∵锐角和钝角的角平分线所在的直线交于点F ， ， ， ， ， ； ②如图，过点E作， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； （2）如图，过点作，过点F作， ， ， ，， ， ，， ， 21．（23-24六年级下·山东烟台·期末）【认识模型】 如图①，已知，我们发现．我们称这种模型为平行线的“猪脚模型”，我们怎么说明这个结论呢？ 张山同学：如图②，过点作，把分成与的和，然后分别说明，； 李思同学：如图③，过点作，则，再说明． 【探索模型】 （1）请按张山同学的思路，写出说明过程； （2）请按李思同学的思路，写出说明过程． 【应用模型】 （3）如图④，已知，平分，平分．若，请利用“猪脚模型”的结论，直接写出的度数______． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）． 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）过点作，利用平行线的性质证明即可； （2）过点作交的延长线于．利用平行线的性质证明即可； （3）由角平分线的定义得出，，设，，则，由题意得出，由平行线的性质得出，由平角的定义得出，计算即可得出答案． 【详解】解：（1）如图②中，过点作， 因为，， 所以， 所以， 所以． （2）如图③中，过点作交的延长线于． 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以． （3）如图④中， ∵平分，平分， ∴，， 设，，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 题型八 平行线的性质在生活中的应用（重点） 22．（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）2025年全国生态环境保护工作会议内容提倡绿色低碳发展机制，推进生态环境保护全民行动．骑自行车就是一种绿色环保的交通方式，如图所示是一辆自行车放在水平地面的简易示意图，其中A，B，D，C，M五点均在同一平面内，都与地面平行，，．当与平行时，的度数为多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据平行公理得到，则由平行线的性质可求出的度数，进而可得的度数，再由两直线平行，内错角相等即可得到答案． 【详解】解：∵都与地面平行， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 23．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图是一种躺椅及其侧面简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，当时，人躺着最舒服，求此时和的度数．请补充求解过程，并在括号内添上相应的理由． 解：因为扶手与底座都平行于地面，即， 因为（已知）． 所以（     ）． 因为______（平角的定义）， 又因为（已知）， 所以______（等式的基本性质）． 因为（已知）， 所以______（     ）． 所以______（平角的定义）． 【答案】两直线平行，同位角相等；；；；两直线平行，同位角相等； 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质完成证明过程，即可求解． 【详解】解：因为扶手与底座都平行于地面，即， 因为（已知）． 所以（两直线平行，同位角相等）． 因为 （平角的定义）， 又因为（已知）， 所以 （等式的基本性质）． 因为（已知）， 所以 （两直线平行，同位角相等）． 所以 （平角的定义）． 故答案为：两直线平行，同位角相等；；；；两直线平行，同位角相等；． 24．（23-24七年级下·广西南宁·期中）阅读材料，解决问题： 【阅读材料】如图1，物理学光的反射现象中，把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角，且，这就是光的反射定律． （1）在图1中，证明； 【解决问题】根据光的反射定律，人们制造了潜望镜，如图2是潜望镜的工作原理示意图，，是平行放置的两面平面镜，是射入潜望镜的光线，是经平面镜两次反射后离开潜望镜的光线，由（1）可知，光线经过平面镜反射时，有，． （2）请问和有什么关系？并说明理由； （3）小明尝试制作一如示意图的简易潜望镜，但发现光线无法顺利通过，请思考应如何调整平面镜，的位置，并给出建议（合理即可）． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）调整平面镜，使得两面镜子达到平行（合理即可） 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键． （1）根据等角的余角相等解答即可； （2）根据平行线的性质求解即可； （3）根据潜望镜的原理，平行线的性质进行分析即可． 【详解】（1）证明：， ，， ； （2），理由如下： ，，， ， ， ； （3）因为潜望镜它是根据光的折射，而潜望镜是要改变光的传播方向的，光线无法顺利通过，说明没有与光线平行，需要调整平面镜，的位置，使得两面镜子，达到平行（合理即可）． 题型九 根据平行线的性质与判定求角度（难点） 25．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，解答下列问题： (1)如图①， ； (2)如图②，求的度数； (3)如图③，求的度数； (4)如图④，根据以上结论，试探究： ． (5) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（）由平行线的性质即可求解； （）过点作，可得，再平行线的性质即可求解； （）过点作，可得，再根据平行线的性质及（）的结果即可求解； （）根据（）、（）、（）的结果找出规律即可求解； 本题考查了平行线的判定和性质，图形类规律变化问题，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即； （3）解：过点作， ∵， ∴， ∴， 由（）可得， ∴， 即 （4）解：由图①得， 由图②得， 由图③得， ， ∴， 故答案为：． 26．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，已知，点分别在直线上，点在和之间． 【习题回顾】 （1）如图1，若，是的平分线，求的度数； 【变式思考】 （2）如图2，连接，求证：； 【深入探究】 （3）如图3，连接，若，，和的平分线交于点，求的度数． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的判定与性质等知识． （1）根据平行线的性质得到，再根据角平分线的定义即可解答； （2）过点G作，则，根据平行线的性质得到，即可得出结论； （3）过点G作，过点P作，则，由平行线的性质推出，，得到，再根据角平分线的定义解答即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵平分， ∴； （2）如图，过点G作，则， ∴，， ∴； （3）如图，过点G作，过点P作，则， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴． 27．（22-23七年级下·广东江门·阶段练习）（1）如图1，，求的度数． 解：过点E作． （已作）， （   ）． 又（已知）， ______________（平行关系的传递性）， （两直线平行，同旁内角互补）， （等式性质）， 即_______； （2）根据上述解题及作辅助线的方法，在图2中，，则_______； （3）根据（1）和（2）的规律，图3中，猜想：_______； （4）如图4，，在B，D两点的同一侧有共n个折点，则的度数为_______（用含n的代数式表示）． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行公理的推论，图形类规律探索，熟练掌握“两直线平行，同旁内角互补”和“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”是解题关键． （1）根据平行公理的推论可得，再根据根据平行线的性质可得、，即可求得； （2）过点C作，过点D作，根据平行公理的推论可得，再根据根据平行线的性质可得，，，即可求得； （3）由（1）和（2）总结规律即可求解； （4）根据所得规律可直接求解． 【详解】（1）解：过点E作． （已作）， （两直线平行，同旁内角互补）． 又（已知）， （平行关系的传递性）， （两直线平行，同旁内角互补）， （等式性质）， 即； （2）如图，过点C作，过点D作， ∴， ∴，，， ∴， ∴； （3）解：由（1）可知在A，C两点的同一侧有1个折点，其； 由（2）可知在B，E两点的同一侧有2个折点，其； 因为B，F两点的同一侧有3个折点， 所以； （4）由（3）可知． 28．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）如图1，，． (1)①如果，求的度数； ②设，，直接写出、之间的数量关系： 　； (2)如图2，、的角平分线交于点P，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； (3)在（2）的条件下，若，点E为射线上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接．已知，求的度数． 【答案】(1)①°；② (2)不发生变化；，理由见详解 (3)当点F在点P的左侧时，；当点F在点P的右侧时， 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义： （1）过点作，则有，然后得到，，然后计算解题； 过点作，则有，，再根据直角得到结论； （2）由（1）可得，，然后根据角平分线的定义得到，，然后利用（1）的推导过程得到结论； （3）由（2）可得，，，然后分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况进行解题． 【详解】（1）解：过点作， ， ， ，， 又， ， ； 过点作， ， ， ，， 又， ， ， 故答案为：； （2）解：不发生变化；，理由为： 由可得，， 、的角平分线交于点， ，， ， 过作， ， ； （3）由（2）得，，， ， ， 过点作， ， ， ，， ， 当点在点的左侧时，如图， 则， ， ； 当点在点的右侧时，如图， 则， ， ． 综上所述，当点F在点P的左侧时，；当点F在点P的右侧时，． 题型十 根据平行线的性质与判定证明（难点） 29．（24-25七年级下·山东聊城·阶段练习）已知分别是上的动点，也为一动点． (1)如图1，若，试说明：； (2)如图2，若，试说明：； (3)如图3，，移动、，使，若，则___________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)2 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定定理与性质是解答此题的关键． （1）过作，由，得到，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，再由，等量代换就可得证； （2）过作，得到，然后推导，由此可得出结论； （3）由（1）中的结论，则有，利用平角定义表示出，即可得到结论． 【详解】（1）证明：过作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）证明：过作， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴； （3）解：过点作， 由（1）可得：，即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2． 30．（24-25七年级下·广东广州·阶段练习）如图1，点F在线段上，点E在线段上，,． (1)试说明：； (2)如图2所示，延长到M，在,内部有一点P，连接．若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质． （1）根据补角性质得出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出，证明，最后根据平行线的判定得出结果即可； （2）根据平行线的性质得出，根据，，得出，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：如图： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 31．（23-24六年级下·山东烟台·期末）如图，已知两条直线，被直线所截，分别交于点E，F，平分交于点M，且． (1)如图1，判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，点P是射线上一动点（不与点M，F重合），平分交于点N，设． ①若，则的度数为 ； ②求的度数．（结果用含α的代数式表示） 【答案】(1)，理由见解析 (2)①；②或 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质以及角平分的性质， 根据角平分线的性质得．结合题意得．即可判定； ①由（1）得，则，求得，结合角平分的性质得，．利用角之间的关系得即可； ②分两种情况：当点P在F的右侧时，可得，则．有角平分线的性质得，，则有；当点P在F的左侧时，则．由角平分的性质得，，那么， 即可． 【详解】（1）解：（1），理由如下： ∵平分交于点M， ∴． ∵， ∴． ∴． （2）①由（1）知，则， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，． ∴； ②当点P在F的右侧时， ∵，， ∴． ∴． ∵平分，平分， ∴，， ∴． 当点P在F的左侧时， ∵，， ∴． ∵平分，平分， ∴，． ∴ ． 题型十一 与平行线有关的折叠问题（压轴） 32．（22-23七年级下·山东济南·期末）如图，将一纸条沿折痕折叠，时对应线段与相交于点则下列条件中，不足以证明的是（     ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据翻折的性质和平行线的判定逐一进行判断即可． 【详解】解：A. ， ； B．由翻折可知：， ， ， ，故B选项不符合题意； C．由翻折可知：， ， ， ， ，故C选项不符合题意； ， ， ， 不平行，故D选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 33．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）如图，已知长方形纸片，点E和F分别在边和上，且，H和G分别是边和上的动点，现将点A，B，C，D分别沿，折叠至点N，M，P，K，若与分别在长方形的两侧，且，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查平行线的性质，图形的折叠； 分两种情况讨论：当在上方时，延长交于点Q，证明，则；当在下方时，延长交于点T，证明，则． 【详解】当在上方时，延长交于点Q，如图1， 由折叠可得：， ∵ ； 当在下方时，延长交于点T，如图1， 由折叠可得：， ∵ ∴ 故答案为：或． 34．（23-24七年级下·山东聊城·期末）【综合与实践】 学习了平行线的性质与判定之后，我们继续探究折纸中的平行线． (1)【知识初探】 如图1，长方形纸条中，，，，将纸条沿直线折叠，点A落在处，点D落在处，交于点G． ①若，求的度数． ②若，则__________（用含的式子表示）． (2)【类比再探】 如图2，在图1的基础上将对折，点C落在直线上的处．点B落在处，得到折痕，则折痕与有怎样的位置关系？说明理由． (3)【提升自我】 如图3，在图2的基础上，过点作的平行线，直接写出和的数量关系． 【答案】(1)①；②； (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了折叠的性质、平行线的判定与性质，熟练掌握折叠的性质和平行线的判定与性质是解题的关键． （1）①由题意得，则，由平行线的性质得，由平角的定义即可得出结果； ②由题意得，则，由平行线的性质得，由平角的定义即可得出结果； （2）由题意得，，，由平行线的性质得，推出，即可得出． （3）根据，，得出，根据平行线的性质得出，根据，可以得出结论． 【详解】（1）解：①由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴； ②由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 由题意得：，， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型十二 与平行线有关的旋转问题（压轴） 35．（23-24六年级下·山东烟台·期末）如图，点A、B分别在直线上，，，平分，将射线绕点B以每秒的速度顺时针方向旋转，射线绕点A以每秒的速度顺时针方向应转，设旋转时间为，当与平行时，求旋转时间t的值． 【答案】5或35 【分析】本题考查角平分线的定义、平行线的性质、解一元一次方程，分类讨论：当时，当时，当时，根据平行线的性质列方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 当时，，如图， 此时，，， ∵， ∴，即， 解得； 当时，，如图， 此时，，， ∵， ∴，即， 解得（舍）， 当时，，如图， 此时，，， ∵， ∴，即， 解得， 故当与平行时，旋转时间t的值为5或35． 36．（23-24七年级下·山东临沂·期末）学习完平行线后，小玲同学通过折纸，想出了过点画直线的平行线的方法，具体过程如下：图①～图④． (1)通过上述的折纸过程，图②的折痕与直线的位置关系是______； (2)如图④，由折纸过程可知与的位置关系是______，依据是______； (3)保持（2）中与的位置关系不变，将直线绕点旋转至如图⑤，当时，与平行吗？请说明理由． 【答案】(1)垂直 (2)，内错角相等，两直线平行 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质与判定，垂线的定义等等： （1）折叠的性质可得； （2）同理可得，由此可得，进而根据内错角相等，两直线平行得到； （3）根据平行线的性质得到，进而推出，由此可证明． 【详解】（1）解：如图②所示，由折叠的性质可得， ∴折痕与直线的位置关系是垂直； （2）解：如图③所示，同理可得， ∴如图④所示，， ∴（内错角相等，两直线平行）， （3）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 题型十三 与三角板有关的角度计算问题（压轴） 37．（23-24七年级下·山东潍坊·期中）综合与实践： 借助一副三角板的不同摆放方式，研究并解决以下问题． (1)如图1， _____，利用一副三角板，我们还能画一些度数的角，请你再写出两个：_____，_____；（角的范围是，，，，除外） (2)如图2，若的度数比度数的2倍还多，求的度数； (3)将一副三角板如图3所示摆放，直线，如图4，现将三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒． ①当旋转到时，请直接写出t的值； ②在三角板绕点A旋转的同时，三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，若边与三角板的一条直角边（边，边）平行时，请直接写出t的值． 【答案】(1)；，（答案不唯一）； (2)； (3)①；②10或40． 【分析】（1）由三角板的性质可得出，由三角板的度数求解即可． （2）由图可知，结合已知条件可求出． （3）①设直线与，分别交于P，Q，根据平行线的性质得到，再利用外角的性质求出，再除以速度可得时间； ②分，，表示出相应角，利用平行线的性质，三角形内角和与外角的性质得到方程，解之即可得到t值． 【详解】（1）解：， 例如：，， 故答案为：；，（答案不唯一） （2）由图可知：， ∴， 由∵， ∴， ∴ （3）①如图，， 设直线与，分别交于P，Q， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图，当时， 设直线与，分别交于P，Q， 此时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得：；    如图，当时， 延长，，分别与交于P，Q， 此时，，， ∴， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， 解得：；      综上：所有满足条件的t的值为10或40． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角板的特征，三角形内角和和外角的性质，解决本题的关键是找到相对应的情形，本题图形比较抽象，关键是准确画出图形，找到符合题意的情形，不要漏解． 38．（23-24七年级下·山东临沂·期中）问题情境： 将一副三角板按如图所示的方式叠放在一起，当且点E在直线AC的上方时，解决下列问题（提示：，，）： 问题解决： (1)①若，则的度数为________； ②若，则的度数为________； (2)请猜想与的数量关系，并说明理由； (3)随着的度数的变化，边是否能与三角板的一边平行？若存在，请直接写出的度数的所有值及平行的边；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)与互补，理由见解析 (3)存在，当时， 【分析】本题考查三角板中角度计算问题，平行线的性质，解题的关键是看懂图中相关角的和差关系． （1）根据角的和差关系求解； （2）根据，，可得，即； （3）当且点E在直线的上方时，只能是，根据平行线的性质可得． 【详解】（1）解：①若， 则， ； ②若，则， ， 故答案为：①；②； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：能，． 当且点E在直线的上方时，边只可能与三角板的边平行，即， 此时． 39．（23-24七年级下·云南文山·阶段练习）小明对一副直角三角板在平行线间的位置进行研究，已知． (1)如图①，小明将含角的直角三角板中的点A落在直线上，若，则的度数为______； (2)如图②，小明将含角的直角三角板中的点D，F分别落在直线上，若平分，则是否平分？请说明理由． (3)小明将三角板与三角板按如图③所示方式摆放，点B与点F重合，求的度数． 【答案】(1) (2)平分，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了三角板中角度计算问题、平行线的性质、角平分线性质、三角形内角和定理： （1）先根据角度求出角度和，然后根据两直线平行，内错角相等即可得到结果； （2）先根据角平分线的性质得到，再根据两直线平行，内错角相等，可得到，即可求得； （3）先作辅助线，根据三角尺得到角度，根据两直线平行，同旁内角互补可得到，再根据三角形内角和可求得结果； 准确找到各个角度是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴ 故答案为：； （2）解：平分，理由如下： ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即平分； （3）解：延长交于点G，如图所示： ， 由题可得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 40．（23-24七年级下·山东日照·期末）如图1，将一副三角板按图中所示位置摆放，点在直线上，且，与相交于点，其中，，，，． (1)求此时的度数； (2)如图2，若三角板绕点按顺时针方向旋转，当时，求此时的度数； (3)在（2）的条件下，三角板绕点按逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转的时间为秒，当时，在这个旋转过程中，是否还存在三角板的某一条边与平行的情况？若存在，请求出所有满足题意的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，的值为15秒或45秒或60秒 【分析】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的应用，熟练掌握平行线的性质，注意分情况讨论是解题的关键． （1）过G作，由平行线的性质得出，再由计算即可得出答案； （2）过F作．由平行线的性质得出，再由计算即可得出答案； （3）分三种情况：当时，当时，当时，分别利用平行线的性质建立方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，过G作， ，， ， ， ； （2）解：如图，F作， ，， ， ， ； （3）解：分三种情况： 当时，如图： ，， ， ， ， 解得； 当时，如图： ，， ， ， 解得； 当时，过F作， ，， ， ，， ； ， 解得； 综上，三角板旋转的时间为15秒或45秒或60秒时，存在三角板的某一条边与平行的情况． $$