精品解析：浙江省绍兴市2025届高三下学期4月高考科目适应性考试数学试题

浙江省高考科目考试绍兴市适应性试卷 数学试题 （2025年4月） 一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 直线被圆截得的弦长为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 3. 将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则可以是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则（ ） A. 当时，是偶函数，且在区间上单调递增 B. 当时，是奇函数，且在区间上单调递减 C. 当时，是偶函数，且在区间上单调递减 D. 当时，是奇函数，且在区间上单调递增 5. 已知双曲线的左焦点为，点在的右支上，且，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 10 D. 14 二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 6. 已知数列满足，则（ ） A. 数列为递增数列 B. C. D. 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 7. 设点在“笑口”型曲线上，则的最小值为__________. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 8. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）记的两个零点分别为，求曲线在点处的切线方程. 9. 某科技公司招聘技术岗位人员一名.经初选，现有来自国内三所高校的10名应届毕业生进入后面试环节.其中校和校各4名，校2名，10名面试者随机抽取1，2，3，...10号的面试序号. （1）若来自校的4名毕业生的面试序号分别为，且，来自校的4名毕业生的面试序号分别为，且，来自校的2名毕业生的面试序号分别为，，且. （i）求概率； （ii）记随机变量，求的均值. （2）经面试，第位面试者的面试得分为，且他们的面试得分各不相等，公司最终录用得分最高者.为提高今后面试效率，现人事部门设计了以下面试录用新规则：，且，集合中的最小元素为，最终录用第位面试者.如果以新规则面试这10名毕业生，证明：面试得分第一､二（按得分从高到低排）的两名毕业生之一被录用的概率不小于0.59. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省高考科目考试绍兴市适应性试卷 数学试题 （2025年4月） 一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用交集概念进行求解. 【详解】. 故选：A 2. 直线被圆截得的弦长为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先得到圆心坐标与半径，即可求出圆心到直线的距离，再由勾股定理计算可得. 【详解】圆的圆心为，半径， 又圆心到直线的距离， 所以弦长为. 故选：B 3. 将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化简，再得到平移后的解析式，即可得到，，逐个检验即可得出答案. 【详解】因为， 将函数的图象向左平移个单位后得到函数， 所以，则，， ，，当时，，时，， 故选：A. 4. 已知函数，则（ ） A. 当时，是偶函数，且在区间上单调递增 B. 当时，是奇函数，且在区间上单调递减 C. 当时，是偶函数，且在区间上单调递减 D. 当时，是奇函数，且在区间上单调递增 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数奇偶性和单调性的判断方法，针对不同的取值，对函数进行分析，即可判断和选择. 【详解】对AB：当时，，其定义域为，，故为偶函数； 又，当时，令， 因为在单调递增，在单调递增，故在单调递增， 故在单调递减，故AB都错误； 对CD：当时，，其定义域为，，故为奇函数； 又，当时，均为减函数，故为上的减函数， 故为上的增函数，故C错误，D正确. 故选：D. 5. 已知双曲线的左焦点为，点在的右支上，且，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 10 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的定义，将与进行转化，再结合三角形三边关系求出的最小值． 【详解】对于双曲线，根据双曲线的标准方程（），可得，．则．  设双曲线的右焦点为，由双曲线的定义可知，点在双曲线的右支上，则，即； 同理，点在双曲线的右支上，则，即． 所以．  根据三角形三边关系，，当且仅当，，三点共线时，等号成立． 又，则，即． 所以的最小值为10．  故选：C． 二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 6. 已知数列满足，则（ ） A. 数列为递增数列 B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A选项：构造函数，求导判断其单调递增．由算出，得．假设，可推出，再构造，求导判断其单调性，得出，所以数列递增． 对于B选项：由A选项分析知，所以不存在使． 对于C选项：要证，构造，多次求导判断单调性，得出，从而证明不等式成立． 对于D选项：由C，取倒数后构造数列，再用累加法求和计算证明即可. 【详解】设，对其求导可得． 因为恒成立，所以在上单调递增． 已知，则，依次有，, ，设，，对求导得． 当时，，所以，在上单调递减． 则，即，所以为递增数列，A选项正确．  由上述分析可知，所以不存在，使得，B选项错误．  要证，即证． 设，，对求导得． 令，求导得，当时，， 所以在上单调递减．则， 所以在上单调递增． 所以，即， 所以，，C选项正确. 由选项C知，移项可得， 两边同时乘以得. 两边同时取倒数得，移项可得. 因为，所以，即. 利用累加法： . 已知，则，所以，两边同时取倒数得， 移项可得，选项D正确. 故选：ACD. 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 7. 设点在“笑口”型曲线上，则的最小值为__________. 【答案】##-0.125 【解析】 【分析】分和两种情况去绝对值化简，利用二次函数求最值即可 【详解】当时，，即，平方得，即， 此时 ，. 当时，，即，平方得，即， 此时 ， 综上，的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查含绝对值的曲线方程，解题的关键是去绝对值，得到不含绝对值的曲线方程. 本题中将获得的新曲线方程代入，消元后可得到所求的最小值. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 8. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）记的两个零点分别为，求曲线在点处的切线方程. 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数求出单调区间. （2）由（1）的信息，结合零点存在性定理确定的值，再利用导数的几何意义求出切线方程. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得， 当时，；当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 由（1）知，， 因此函数有两个零点，且，即， 则所求切线的切点坐标为，斜率，切线方程为 所以曲线在点处的切线方程为. 9. 某科技公司招聘技术岗位人员一名.经初选，现有来自国内三所高校的10名应届毕业生进入后面试环节.其中校和校各4名，校2名，10名面试者随机抽取1，2，3，...10号的面试序号. （1）若来自校的4名毕业生的面试序号分别为，且，来自校的4名毕业生的面试序号分别为，且，来自校的2名毕业生的面试序号分别为，，且. （i）求概率； （ii）记随机变量，求的均值. （2）经面试，第位面试者的面试得分为，且他们的面试得分各不相等，公司最终录用得分最高者.为提高今后面试效率，现人事部门设计了以下面试录用新规则：，且，集合中的最小元素为，最终录用第位面试者.如果以新规则面试这10名毕业生，证明：面试得分第一､二（按得分从高到低排）的两名毕业生之一被录用的概率不小于0.59. 【答案】（1）（i）；（ii） （2） ①第一种情况，录用了面试得分第一的人. 若面试得分第一的人在第位，要使得其被录用，则在他前面的个人中的最高分必然在前3位， 其他个人可以任意排列，在得分第一后面的个人任意排列，这种情况的概率为： . ②第二种情况，录用了面试得分第二的人. 若面试得分第一的人在前三位，则第二的人在第10位，其他人任意排列， 这种情况的概率为. 若面试得分第一的人不在前二位，那么他一定在第二的人后面，第二的人在第位， 同样在他前面的个人中的最高分必然在前3位，其他个人可以任意排列， 在得分第二后面的（含第一）个人任意排列，这种情况的概率为： 综上，面试得分第一､二的两名毕业生之一被录用的概率为： 【解析】 【分析】（1）根据题意，直接求解即可；先求得的取值，再根据期望计算公式，直接计算即可； （2）分别计算录用面试第一名，和第二名的概率，即可证明. 【小问1详解】 （i）， （ii）的可能取值为，则， 所以 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $