信息必刷卷03（广东省卷专用）-2025年中考数学考前信息必刷卷

绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷 数 学（广东专用） 考情速递 中考·新动向：①全省统一命题趋势：笔试由省级统一命题，各市组织实施。这意味着全省中考数学试卷的难度和题型将趋于一致，有助于提高考试的公平性和科学性。②核心素养导向：考试内容严格依据《课程方案和标准》命题，全面推进基于核心素养的考试，以必备知识、关键能力、学科素养、核心价值观为考试内容。数学考试将更加注重考查学生的逻辑思维、数学应用、创新意识等核心素养，而不仅仅是对知识点的机械记忆。 中考·新考法：①跨学科融合：数学与其他学科的融合将成为新的考法之一。例如，数学与物理、化学等学科的结合，通过实际问题考查学生运用数学知识解决跨学科问题的能力。②情境化试题：创设真实而丰富的情境，如生活实际、社会发展、科技创新等情境，让学生在具体情境中运用数学知识解决问题。③开放性试题：增加开放性试题的比例，这类试题往往有多种解法或答案，旨在考查学生的创新思维和发散思维能力。 中考·新情境：①社会热点情境：结合当前的社会热点问题，如人工智能、大数据、新能源等，设计数学试题。②传统文化情境：融入中国传统文化元素，如古代数学成就、传统工艺中的数学原理等，让学生在了解传统文化的同时，感受数学的魅力。③跨学科情境：创设跨学科的情境，如数学与艺术、数学与体育等，让学生在不同学科的交叉点上运用数学知识。 命题·大预测：①基础性与综合性并重：试卷将保持一定比例的基础性试题，考查学生对数学基础知识和基本技能的掌握。同时，综合性试题的比例将有所增加，这类试题将涉及多个知识点和数学思想方法，要求学生具备较强的综合运用能力。②强调数学应用：应用性试题将继续成为中考数学的重点，考查学生将数学知识应用于实际问题的能力。试题情境将更加贴近生活实际和社会发展，要求学生能够运用数学思维和方法解决现实生活中的问题。③突出创新性：为了适应新时代对创新人才的需求，中考数学命题将更加注重考查学生的创新意识和创新能力。试题将呈现一定的新颖性，如新的题型、新的情境、新的考查方式等，鼓励学生突破传统思维，勇于创新。④加强学科内知识的融合：数学学科内的各知识点之间的融合将更加紧密，如代数与几何的结合、函数与方程的联系等。试题将通过不同的知识点之间的交叉和联系，考查学生对数学知识的整体把握和灵活运用能力。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列各数中，与2025互为相反数的是（    ） A． B． C． D．2025 2．剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．下面的成语中，按照事件发生的可能性大小，从高到低排列正确的是（　　） ①十拿九稳 ②凤毛麟角 ③海枯石烂 ④万无一失 A．①②③④ B．④①②③ C．③④①② D．②③④① 4．数轴是认识数形结合的重要工具．如图，完整的数轴上有，两点，分别表示和，且点在点左侧，则的值可以是（      ） A． B． C． D． 5．如图，一束光从点出发，经过平面镜反射后，沿与平行的射线射出（此时有），若测得，则等于（    ） A．50° B．60° C．70° D．80° 6．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 7．我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨，每人四梨多十二，每人六梨恰齐足，”其大意：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨，每人分4个梨，多12个梨：每人分6个梨，恰好分完．”设梨有x个，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 8．是一款基于混合专家架构的大语言模型，它的参数量巨大，截止2025年1月，的参数量已经高达6710亿，将6710亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 9．如图是某台阶的一部分，每一级台阶的宽度和高度之比为，在如图所示的平面直角坐标系中，点的坐标是，若直线同时经过点A，B，C，D，E，则与的乘积为（    ）    A． B．3 C． D．5 10．如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，经过，，，四点，，，则圆心点的坐标是（   ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．分解因式： 12．已知闭合电路的电压为定值，电流I（单位：A ）与电路的电阻R单位：Ω）是反比例函数关系，根据表格 则 ． 10 2.4 2 1.2 a 50 60 100 13．如图，将面积为7的正方形和面积为9的正方形分别绕原点O顺时针旋转，使，落在数轴上，点A，D在数轴上对应的数字分别为a，b，则 ．    14．如图，在中，，将以为轴旋转一周，得到的圆锥侧面积是 ． 15．如图，菱形的边长为，点在轴的负半轴上，抛物线过点．若，则 ． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．计算：． 17．如图，．    (1)请用直尺和圆规完成以下基本作图：在射线上截取，作的平分线，交于点，连接；（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：四边形是菱形． 18．【阅读理解】已知，求的值． 解：由已知可得，则， ．① ，② ． （1）第②步运用了______公式；（A．平方差    B．完全平方） 【类比探究】 （2）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知，求的值． 19．2025年春节档电影市场火爆，类型丰富多样，某影院针对观看《哪吒之魔童问海》《唐探1900》《封神第二部：战火西岐》《射雕英雄传：侠之大者》这四部热门春节档电影的观众展开调查，以了是相关统计信息： 电影名称 观影人数 观影人数占比 《哪吒之魔童闹海》 280人 《唐探1900》 240人 《射雕英雄传：侠之大者》 人 《封神第二部：战火西岐》 120人 根据以上信息，完成下列问题： (1)此次参与调查的观众总人数为 人， ， ． (2)如果根据上面的数据制作成扇形统计图，求《唐探1900》对应的扇形圆心角度数． (3)假设有甲、乙两位观众准备从这四部电影中随机选择一部观看，且两人选择相互独立．用、、、分别表示《哪吒之魔童闹海》《唐探1900》《封神第二部：战火西岐》《射雕英雄传：侠之大者》四部电影，请用列表法或树状图求出两人选择同一部电影的概率． 20．五一节前，某商店拟用元的总价购进两种品牌的电风扇进行销售，为更好的销售，每种品牌电风扇都至少购进1台．已知购进3台A种品牌电风扇所需费用与购进2台B种品牌电风扇所需费用相同，购进1台A种品牌电风扇与2台B种品牌电风扇共需费用元． (1)求A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是多少元？ (2)销售时，该商店将A种品牌电风扇定价为元/台，B种品牌电风扇定价为元/台，为能在销售完这两种电风扇后获得最大的利润，该商店应采用哪种进货方案？ 21．如图，一个书架上放着个完全一样的长方体档案盒，其中左边个档案盒紧贴书架内侧竖放，右边一个档案盒自然向左斜放，档案盒的顶点在书架底部，顶点靠在书架右侧，顶点靠在档案盒上，若书架内侧长为，，档案盒长度．（参考数据：，，） (1)求的长度； (2)求每一个档案盒的厚度； (3)求出该书架中最多能放几个这样的档案盒． 22．（1）课本再现：如图1，是的两条切线，切点分别为A，B．则图中的与，与有什么关系？请说明理由． （2）知识应用：如图2，分别与相切于点A、B、C，且，连接，延长交于点M，交于点E，过点M作交于N． ①求证：是的切线； ②当时，求的半径及图中阴影部分的面积． ． 23．小红在学习了三角形的相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，如图，在中，，，点D，E分别在边上（不同时在点A），连接． (1)问题解决：如图1，当点D，E分别与点B，C重合时，将线段绕点E顺时针旋转90°，得到线段，连接与的位置关系是_________，数量关系是________． (2)问题探究：如图2，当点D，E不与点B，C重合时，将线段绕点E顺时针旋转90°，得到线段，连接与的位置关系是怎样的？请说明理由． (3)拓展延伸：如图3，当点E不与点C重合，且D为的中点时，将线段绕点E顺时针旋转，得到线段，点G是点C关于直线的对称点，若点G，D，F在一条直线上，求的值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考考前信息必刷卷（广东专用） 数学·参考答案 一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D B A A A B B B B 二、填空题：本大题共4小题，每小题2分，共8分，请把答案直接填写在横线上 11． 12．12 13． 14． 15． 三、解答题:本大题有8个小题,共62分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（7分） 【答案】0 【解析】解：原式 ......（4分） ......（6分） ．......（7分） 17．（7分） （1）如图即为所求；   ......（3分） （2）， ，......（4分） 平分． ， ， ，......（5分） 又， ，......（6分） 又， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是菱形．......（7分） 18．（7分）解：（1）B......（3分） （2）由已知可得，则，......（4分） ∴，即，......（6分） ∵， ∴......（7分） 19．（9分）（1）800；；160． ......（3分） （2）解：由（1）可知《唐探1900》的观影人数占比为，......（4分） 因此《唐探1900》对应的扇形圆心角度数为．......（6分） （3）解：根据题意，列表如下， ......（7分） 由表格可知，共16种等可能的结果，其中甲、乙两位观众选到同一部电影的结果有4种，......（8分） 两人选择同一部电影的概率．......（9分） 20．（9分）（1）设A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是x元、y元，......（1分） 由题意得：，......（2分） 解得：， ∴A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是元、元；......（3分） （2）设购进A种品牌的电风扇a台，购进B种品牌的电风扇b台， 由题意得：，......（4分） 其正整数解为： 或或......（6分） 当时，利润（元）， 当时，利润（元）， 当时，利润（元），......（7分） ∵， ∴当时，利润最大，......（8分） 答：为能在销售完这两种电风扇后获得最大的利润，该商店应采用购进A种品牌的电风扇7台，购进B种品牌的电风扇2台．......（9分） 21.（9分）（1）解：在中，，， ，......（1分） 长度约为；......（2分） （2）如图，由题意得：， ， ， ，......（3分） 设每一个档案盒的厚度为， 在中，， ......（4分）， 由题意得：，......（5分） ， 即每一个档案盒的厚度为；......（6分） （3） （个），......（8分） 该书架中最多能放个这样的档案盒．......（9分） 22．（13分）解：（1）；理由如下：......（1分） 如图1，连接和， ∵和是的两条切线， ∴，......（2分） 在和中， ， ∴，......（3分） ∴；......（4分） （2）①证明：∵分别与相切于点A、B、C， ∴分别平分，......（5分） 又∵， ∴， ∴，......（6分） ∴． ∴，......（7分） 又∵， ∴，......（8分） 又∵经过半径的外端点M， ∴是的切线．......（9分） ②解：连接， ∵是的切线， ∴，......（10分） ∵， ∴，......（11分） ∵， ∴，......（12分） 即的半径为． ∴， 综上所述：的半径为，图中阴影部分的面积是．......（13分） 23．（14分）（1）平行；相等；......（2分） （2），理由如下：......（3分） 证明：如图2，过作交的延长线于点， 则， ，， ， 是等腰直角三角形，......（4分） ，， 由旋转的性质得：，， ， ，......（5分） 即， ，......（6分） ， ， ；......（7分） （3）解：如图3，连接、，过作于点，延长交于点， 则， 由（2）可知， ，，......（8分） 为的中点， ， ， ，......（9分） 点是点关于直线的对称点， ， ， 四边形是平行四边形，......（10分） ，， 平行四边形是正方形， ，，，......（11分） ， ， ，， ， 由旋转的性质得：，， ， ，......（12分） ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ，......（13分） ， ， ．......（14分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷 数 学（广东专用） 考情速递 中考·新动向：①全省统一命题趋势：笔试由省级统一命题，各市组织实施。这意味着全省中考数学试卷的难度和题型将趋于一致，有助于提高考试的公平性和科学性。②核心素养导向：考试内容严格依据《课程方案和标准》命题，全面推进基于核心素养的考试，以必备知识、关键能力、学科素养、核心价值观为考试内容。数学考试将更加注重考查学生的逻辑思维、数学应用、创新意识等核心素养，而不仅仅是对知识点的机械记忆。 中考·新考法：①跨学科融合：数学与其他学科的融合将成为新的考法之一。例如，数学与物理、化学等学科的结合，通过实际问题考查学生运用数学知识解决跨学科问题的能力。②情境化试题：创设真实而丰富的情境，如生活实际、社会发展、科技创新等情境，让学生在具体情境中运用数学知识解决问题。③开放性试题：增加开放性试题的比例，这类试题往往有多种解法或答案，旨在考查学生的创新思维和发散思维能力。 中考·新情境：①社会热点情境：结合当前的社会热点问题，如人工智能、大数据、新能源等，设计数学试题。②传统文化情境：融入中国传统文化元素，如古代数学成就、传统工艺中的数学原理等，让学生在了解传统文化的同时，感受数学的魅力。③跨学科情境：创设跨学科的情境，如数学与艺术、数学与体育等，让学生在不同学科的交叉点上运用数学知识。 命题·大预测：①基础性与综合性并重：试卷将保持一定比例的基础性试题，考查学生对数学基础知识和基本技能的掌握。同时，综合性试题的比例将有所增加，这类试题将涉及多个知识点和数学思想方法，要求学生具备较强的综合运用能力。②强调数学应用：应用性试题将继续成为中考数学的重点，考查学生将数学知识应用于实际问题的能力。试题情境将更加贴近生活实际和社会发展，要求学生能够运用数学思维和方法解决现实生活中的问题。③突出创新性：为了适应新时代对创新人才的需求，中考数学命题将更加注重考查学生的创新意识和创新能力。试题将呈现一定的新颖性，如新的题型、新的情境、新的考查方式等，鼓励学生突破传统思维，勇于创新。④加强学科内知识的融合：数学学科内的各知识点之间的融合将更加紧密，如代数与几何的结合、函数与方程的联系等。试题将通过不同的知识点之间的交叉和联系，考查学生对数学知识的整体把握和灵活运用能力。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列各数中，与2025互为相反数的是（    ） A． B． C． D．2025 【答案】A 【分析】本题主要考查了相反数的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据只有符号不同的两个数互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：与2025互为相反数的是， 故选：A． 2．剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形与中心对称图形；一个图形绕着某固定点旋转后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据这两个概念判断即可． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 3．下面的成语中，按照事件发生的可能性大小，从高到低排列正确的是（　　） ①十拿九稳 ②凤毛麟角 ③海枯石烂 ④万无一失 A．①②③④ B．④①②③ C．③④①② D．②③④① 【答案】B 【分析】本题考查可能性的实际应用，万无一失是百分百，所以可能性最大，海枯石烂是全部没有了，可能性为0，所以是最小，十拿九稳是指，所以应该是第二，凤毛麟角是有一些，应该是第三。据此解答即可． 【详解】解：①十拿九稳是指， ②凤毛麟角是有一些，但不多， ③海枯石烂是全部没有了，可能性为0， ④万无一失是百分百， 则按照事件发生的可能性大小，从高到低排列正确的是④①②③， 故选：B． 4．数轴是认识数形结合的重要工具．如图，完整的数轴上有，两点，分别表示和，且点在点左侧，则的值可以是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据数轴比较有理数的大小，解一元一次不等式．根据数轴得出，解不等式求出的取值范围，即可解答． 【详解】解：由数轴可知， 解得：， ∴的值可以是， 故选：A． 5．如图，一束光从点出发，经过平面镜反射后，沿与平行的射线射出（此时有），若测得，则等于（    ） A．50° B．60° C．70° D．80° 【答案】A 【分析】先根据“两直线平行，同旁内角互补”推知∠FDC=80°，然后结合平角的定义和已知求得∠2的度数,继而根据∠A=∠3-∠2即可得出答案． 【详解】解：∵DE∥CF，， ∴∠FDC =180°-∠3=80°， ∵∠1=∠2， ∴∠1=∠2=（180°-80°）=50°， ∴∠A=∠3-∠2=100°-50°=50°． 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形外角的性质，掌握平行线的性质是本题的关键． 6．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查同底数幂的乘法、幂的乘方和同类项，根据同底数幂的乘法、幂的乘方可判断A项和D项，根据合并同类项的法则可以判断B项和C项． 【详解】解：，故A正确； 不能合并为，故B错误； ，故C错误； ，故D错误；． 故选A． 7．我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨，每人四梨多十二，每人六梨恰齐足，”其大意：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨，每人分4个梨，多12个梨：每人分6个梨，恰好分完．”设梨有x个，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，理解题意，找到等量关系是解题关键．根据孩童人数不变列方程即可． 【详解】解：由题意可列方程． 故选B． 8．是一款基于混合专家架构的大语言模型，它的参数量巨大，截止2025年1月，的参数量已经高达6710亿，将6710亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据科学记数法的方法进行解题即可．本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，为正整数，确定a与n的值是解题的关键． 【详解】解：依题意，6710亿， 故选：B 9．如图是某台阶的一部分，每一级台阶的宽度和高度之比为，在如图所示的平面直角坐标系中，点的坐标是，若直线同时经过点A，B，C，D，E，则与的乘积为（    ）    A． B．3 C． D．5 【答案】B 【分析】根据题意可求出，然后利用待定系数法求出直线的解析式，进而可得答案. 【详解】解：∵每一级台阶的宽度和高度之比为，点的坐标是， ∴， ∴， ∵直线同时经过点A，B，C，D，E， ∴，解得， ∴； 故选：B.    【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，正确理解题意、求出一次函数的解析式是解题的关键. 10．如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，经过，，，四点，，，则圆心点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理的推论，圆内接四边形的性质，勾股定理和含度的直角三角形的性质，熟练掌握这些性质和定理是解题的关键．利用圆内接四边形的性质得到，再根据圆周角定理的推论得到为的直径，则点为的中点，接着利用含度的直角三角形三边的关系得到，，所以，，然后利用线段的中点坐标公式得到点坐标． 【详解】解：∵四边形为圆的内接四边形， ∴， ∴， ∵， ∴为的直径， ∴点为的中点， ∵在中，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴，， ∴点坐标为， 即， 故选：B． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．分解因式： 【答案】 【分析】此题考查了因式分解，利用平方差公式进行分解即可 【详解】解： 故答案为： 12．已知闭合电路的电压为定值，电流I（单位：A ）与电路的电阻R单位：Ω）是反比例函数关系，根据表格 则 ． 10 2.4 2 1.2 a 50 60 100 【答案】12 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，关键是求出函数解析式．设该反比函数解析式为，根据当时， ，可得该反比函数解析式为 ，再把代入，即可求出电流． 【详解】解：设该反比函数解析式为，由题意得：当时， ， 则， 解得：， ∴该反比函数解析式为， 当 时，， 故答案为：12． 13．如图，将面积为7的正方形和面积为9的正方形分别绕原点O顺时针旋转，使，落在数轴上，点A，D在数轴上对应的数字分别为a，b，则 ．    【答案】 【分析】分别求出两个正方形的边长，从而得到a，b的值，代入计算即可． 【详解】∵正方形的面积为7，正方形的面积为9 ∴， 即， ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查算术平方根的意义，在数轴上表示实数，正确求出算术平方根是解题的关键． 14．如图，在中，，将以为轴旋转一周，得到的圆锥侧面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，圆锥的计算；得到几何体的组成是解决本题的突破点；圆锥的侧面积底面半径×母线长． 先利用勾股定理求出的长，然后根据圆锥侧面积公式求解即可． 【详解】解：在中，， ， 边所在的直线为轴，将旋转一周得到的圆锥侧面积是， 故答案为： 15．如图，菱形的边长为，点在轴的负半轴上，抛物线过点．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和菱形的性质，过点作轴交轴于点，求出点的坐标，代入即可求解，求出点的坐标是解题的关键． 【详解】过点作轴交轴于点， ∵菱形的边长为， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 把代入， ∴， ∴， 故答案为： 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．计算：． 【答案】0 【分析】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算．先计算零次幂、负整数指数幂、算术平方根和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减． 【详解】解：原式 ． 17．如图，．    (1)请用直尺和圆规完成以下基本作图：在射线上截取，作的平分线，交于点，连接；（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图、菱形的判定等知识点，正确运用尺规作出图形以及掌握菱形的判定定理是解题的关键． （1）根据尺规作图和题目要求作图即可； （2）先根据平行线的性质、等腰三角形的判定、平行四边形的判定定理说明四边形是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形即可解答． 【详解】（1）如图即为所求；    （2）， ， 平分． ， ， ， 又， ， 又， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是菱形． 18．【阅读理解】已知，求的值． 解：由已知可得，则， ．① ，② ． （1）第②步运用了______公式；（A．平方差    B．完全平方） 【类比探究】 （2）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知，求的值． 【答案】（1）B；（2） 【分析】本题考查了完全平方公式在分式中的应用，注意计算的准确性即可．（1）根据解题步骤即可求解；（2）由题意得，推出，根据即可求解； 【详解】解：（1）第②步运用了完全平方公式， 故答案为：B （2）由已知可得，则， ∴，即， ∵， ∴ 19．2025年春节档电影市场火爆，类型丰富多样，某影院针对观看《哪吒之魔童问海》《唐探1900》《封神第二部：战火西岐》《射雕英雄传：侠之大者》这四部热门春节档电影的观众展开调查，以了是相关统计信息： 电影名称 观影人数 观影人数占比 《哪吒之魔童闹海》 280人 《唐探1900》 240人 《射雕英雄传：侠之大者》 人 《封神第二部：战火西岐》 120人 根据以上信息，完成下列问题： (1)此次参与调查的观众总人数为 人， ， ． (2)如果根据上面的数据制作成扇形统计图，求《唐探1900》对应的扇形圆心角度数． (3)假设有甲、乙两位观众准备从这四部电影中随机选择一部观看，且两人选择相互独立．用、、、分别表示《哪吒之魔童闹海》《唐探1900》《封神第二部：战火西岐》《射雕英雄传：侠之大者》四部电影，请用列表法或树状图求出两人选择同一部电影的概率． 【答案】(1)800；； (2) (3) 【分析】本题考查了样本的相关计算，扇形统计图的圆心角，用列表法或树状图法求概率，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据题意选择《哪吒之魔童闹海》或《封神第二部：战火西岐》的数据，利用总人数等于观影人数除以观影人数占比计算，得到总人数，然后由总人数即可算得、的值； （2）由（1）可知《唐探1900》的观影人数占比为，根据扇形圆心角度数等于计算即可； （3）列出表格得出甲、乙两位观众选到同一部电影的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意，参与调查的观众总人数为（人）； ； ； 故答案为：800；；160． （2）解：由（1）可知《唐探1900》的观影人数占比为， 因此《唐探1900》对应的扇形圆心角度数为． （3）解：根据题意，列表如下， 由表格可知，共16种等可能的结果，其中甲、乙两位观众选到同一部电影的结果有4种， 两人选择同一部电影的概率． 20．五一节前，某商店拟用元的总价购进两种品牌的电风扇进行销售，为更好的销售，每种品牌电风扇都至少购进1台．已知购进3台A种品牌电风扇所需费用与购进2台B种品牌电风扇所需费用相同，购进1台A种品牌电风扇与2台B种品牌电风扇共需费用元． (1)求A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是多少元？ (2)销售时，该商店将A种品牌电风扇定价为元/台，B种品牌电风扇定价为元/台，为能在销售完这两种电风扇后获得最大的利润，该商店应采用哪种进货方案？ 【答案】(1)A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是元、元． (2)采用购进A种品牌的电风扇7台，购进B种品牌的电风扇2台． 【分析】（1）设A种品牌电风扇每台进价x元，B种品牌电风扇每台进价y元，根据题意即可列出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y即可． （2）设购进A品牌电风扇a台，B品牌电风扇b台，根据题意可列等式，由a和b都为整数即可求出a和b的值的几种可能，然后分别算出每一种情况的利润进行比较即可． 【详解】（1）设A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是x元、y元， 由题意得：， 解得：， ∴A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是元、元； （2）设购进A种品牌的电风扇a台，购进B种品牌的电风扇b台， 由题意得：， 其正整数解为： 或或 当时，利润（元）， 当时，利润（元）， 当时，利润（元）， ∵， ∴当时，利润最大， 答：为能在销售完这两种电风扇后获得最大的利润，该商店应采用购进A种品牌的电风扇7台，购进B种品牌的电风扇2台． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，根据题意找出等量关系列出等式是解答本题的关键． 21．如图，一个书架上放着个完全一样的长方体档案盒，其中左边个档案盒紧贴书架内侧竖放，右边一个档案盒自然向左斜放，档案盒的顶点在书架底部，顶点靠在书架右侧，顶点靠在档案盒上，若书架内侧长为，，档案盒长度．（参考数据：，，） (1)求的长度； (2)求每一个档案盒的厚度； (3)求出该书架中最多能放几个这样的档案盒． 【答案】(1) (2) (3)该书架中最多能放个这样的档案盒 【分析】本题考查了三角函数的应用，解题的关键是理解题意． （1）根据，即可求解； （2），则，推出，设每一个档案盒的厚度为，则，根据“书架内侧长为”，列方程即可求解； （3）用书架的总长度除以每一个档案盒的厚度即可求解． 【详解】（1）解：在中，，， ， 长度约为； （2）如图，由题意得：， ， ， ， 设每一个档案盒的厚度为， 在中，， ， 由题意得：， ， 即每一个档案盒的厚度为； （3） （个）， 该书架中最多能放个这样的档案盒． 22．（1）课本再现：如图1，是的两条切线，切点分别为A，B．则图中的与，与有什么关系？请说明理由． （2）知识应用：如图2，分别与相切于点A、B、C，且，连接，延长交于点M，交于点E，过点M作交于N． ①求证：是的切线； ②当时，求的半径及图中阴影部分的面积． ． 【答案】（1）；理由见解析；（2）①见解析；②半径为， 【分析】本题主要考查圆的切线的证明、扇形的面积计算等，解题的关键在于熟练掌握圆的知识点，切线的证明与性质，圆中的相关面积计算等． （1）.连接和，根据切线的性质，可得，即可得出结论； （2）①根据题意求证，即可得出，即可得出答案； ②根据，求出的长，再用三角形面积减去扇形面积即可得出答案． 【详解】解：（1）；理由如下： 如图1，连接和， ∵和是的两条切线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）①证明：∵分别与相切于点A、B、C， ∴分别平分， 又∵， ∴， ∴， ∴． ∴， 又∵， ∴， 又∵经过半径的外端点M， ∴是的切线． ②解：连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即的半径为． ∴， 综上所述：的半径为，图中阴影部分的面积是． 23．小红在学习了三角形的相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，如图，在中，，，点D，E分别在边上（不同时在点A），连接． (1)问题解决：如图1，当点D，E分别与点B，C重合时，将线段绕点E顺时针旋转90°，得到线段，连接与的位置关系是_________，数量关系是________． (2)问题探究：如图2，当点D，E不与点B，C重合时，将线段绕点E顺时针旋转90°，得到线段，连接与的位置关系是怎样的？请说明理由． (3)拓展延伸：如图3，当点E不与点C重合，且D为的中点时，将线段绕点E顺时针旋转，得到线段，点G是点C关于直线的对称点，若点G，D，F在一条直线上，求的值． 【答案】(1)平行；相等 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）先证，再证，则四边形是平行四边形，即可得出结论； （2）过作交的延长线于点，证明，得，则，即可得出结论； （3）连接、，过作于点，延长交于点，证四边形是正方形，得，，，再证，得，然后证是等腰直角三角形，得，进而得，即可解决问题． 【详解】（1）解：由旋转的性质得：，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， 故答案为：平行；相等； （2），理由如下： 证明：如图2，过作交的延长线于点， 则， ，， ， 是等腰直角三角形， ，， 由旋转的性质得：，， ， ， 即， ， ， ， ； （3）解：如图3，连接、，过作于点，延长交于点， 则， 由（2）可知， ，， 为的中点， ， ， ， 点是点关于直线的对称点， ， ， 四边形是平行四边形， ，， 平行四边形是正方形， ，，， ， ， ，， ， 由旋转的性质得：，， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是几何变换综合题目，考查了旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、正方形的判定与性质、轴对称的性质、平行线的判定与性质等知识，本题综合性强，熟练掌握旋转的性质和平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$