河北省保定市2024-2025学年九年级下学期中考一模数学试题

2024-2025学年河北省保定市九年级下学期中考一模 数学试题 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.下列五边形具有稳定性的图形是（ ） A. B. C. D. 2.下列运算错误的是（ ） A. B. C. D. 3.如图是一个由8个相同的正方体组成的立体图形，它的三视图中是中心对称图形的是（ ） A.主视图 B.左视图 C.俯视图 D.以上说法都不对 4.如图，，含30°的三角板（）的点E，G分别在AB，CD上.已知，则（ ） A.31° B.30° C.29° D.28° 5.2024年11月8日，歼35A与歼20S中国双隐身战机同台亮相珠海航展.歼35A是一款中型隐身多任务战斗机，它的隐身性能世界第一，飞行速度也非常快，最大飞行速度为2.2马赫.马赫是描述速度的物理量，1马赫约为340米/秒.歼35A的最大飞行速度用科学记数法可表示为（ ） A.米/秒 B.米/秒 C.748米/秒 D.米/秒 6.如图，A，B，C是圆O上的三点，已知，那么的度数为（ ） A.60° B.61° C.68° D.69° 7.已知一元二次方程，则下列判断正确的是（ ） A.无实数根 B.有两个相等的实数根 C.两根和等于 D.两根积等于3 8.菱形中，，，E是AD中点，F是BD上的动点，则周长的最小值是（ ） A.9 B.8 C. D. 9.如图，把正六边形放置在平面直角坐标系上使点O与原点重合，点A在x轴负半轴.点P，Q分别是BC，OA上的点，满足.已知，，那么点P的坐标是（ ） A. B. C. D. 10.如图，一个厚度2cm，宽度AB可以任意调节的长方体盒子，里面装有一定量水，随着AB的变化，水面高度也发生变化.设，水面高度为，则y随x变化的函数图象是如图所示的曲线，它与直线只有一个公共点R.则盒子里水的体积是（ ） A. B. C. D. 11.如图，这是物理学中的小孔成像，AB是物体，遮挡板MN上的小孔抽象成点O，AB透过小孔在光屏PQ上成的像是倒立放大的实像CD，和成位似图形，位似中心为点O，遮挡板MN和光屏PQ的水平距离为8cm，，此时，像CD的长为12，为了使像CD的长度变成AB的3倍，在物体AB和屏幕PQ位置不变的情况下，可以将遮挡板MN（ ） A.水平向右移动1cm B.水平向左移动1cm C.水平向右移动1.5cm D.水平向左移动1.5cm 12.在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，每次向上平移2个单位长度或向右平移1个单位长度.例如：平移一次后点P的坐标为或；再如：平移两次后点P的坐标为或或.点P从点O出发经过n次平移后，到达直线上的点Q，且平移的路径长不小于50，不超过56，则n的值是（ ） A.50或56 B.40或46 C.38或44 D.39或42 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分. 13.计算的结果为__________. 14.某知名品牌男运动鞋专卖店，老板统计了一周内5种型号不同鞋码男运动鞋的销售量如下表： 鞋码 40 41 42 43 44 45 平均每天销售量/双 4 12 20 12 8 4 则这一周销售不同鞋码男运动鞋的中位数是__________. 15.如图，平行四边形中，，，对角线，沿BE折叠，点C落在AB上点F处，折痕BE交AC于点H，连接EF交AC于点G.则的面积是__________. 16.在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点.已知二次函数的图象上有且只有一个完美点，且当时，函数的最小值为，最大值为1，则m的取值范围是__________. 三、解答题：本题共8小题，共64分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题8分） 数学老师为了优化同学们的运算思维，提高数学运算能力，复习有理数综合运算时，布置了一道有意思的计算题：请用不同解法计算. 刘聪和他的小伙伴选择常规解法：；张明开动脑筋，经过观察算式特点，和同学们深入分析，探究，又找到了下面这种解法： 原式的倒数. 所以，原式. （1）请比较刘聪和张明两位同学的解法，你喜欢哪位同学的解法？为什么？ （2）请选择你喜欢的解法计算：. 18.（本小题8分） 甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示，面积分别，（m为正整数）. （1）写出与的大小关系：__________.（填“＞”“＜”或“＝”）； （2）若，求满足这个不等式的的最大值； （3）设有4块长方形甲，3块长方形乙，以及两块面积分别为，的矩形恰好拼成一个矩形图案，如图所示.问：是否存在，使得，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 19.（本小题8分） 2024年6月5日是第53个世界环境日，今年的主题是“全面推进美丽中国建设”，旨在深入学习宣传贯彻习近平生态文明思想，引导全社会牢固树立并践行绿水青山就是金山银山的理念.为了庆祝第53个世界环境日，学校举办环境保护知识竞赛活动，竞赛内容分“自然环境保护”，“地球生物保护”，“人类环境保护”，“生态环境保护”四个项目，如表是小亮和小彬的各项成绩：（百分制） 项目 自然环境保护 自然环境保护 自然环境保护 自然环境保护 小亮 95 90 85 90 小彬 80 90 100 90 （1）计算小亮与小彬的四个项目的平均成绩： （2）若“自然环境保护”、“地球生物保护”、“人类环境保护”、“生态环境保护”四个项目按2：1：4：3确定综合成绩，则小亮和小彬谁的综合成绩高？请通过计算说明理由. 20.（本小题8分） “工欲善其事，必先利其器”，如图所示的是钓鱼爱好者的神器“晴雨伞”，对称轴是垂直于地面的支杆AD，用绳子拉直AC后系在树干PQ上的点E处（），C，E在一条直线上，通过调节点E的高度可控制“晴雨伞”的开合，“晴雨伞”，于点O，支杆AD与树干PQ的横向距离. （1）天晴时打开“晴雨伞”，若，求遮阳宽度BC； （2）下雨时收拢“晴雨伞”，使由120°减少到106°，求点E下降的高度.（结果精确到0.01m，参考数据：，，，） 21.（本小题8分） 剪纸是一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的艺术享受，剪纸内容多，寓意广，生活气息浓厚.某商家在春节前夕购进甲、乙两种剪纸装饰套装共60套进行销售，已知购进3套甲种剪纸和2套乙种剪纸共需230元，购进2套甲种剪纸和3套乙种剪纸共需220元. （1）求这两种剪纸购进时的单价分别为多少元？ （2）设购进甲种剪纸装饰x套（），购买甲、乙两种剪纸装饰共花费y元，求y与x之间的函数关系式； （3）在（2）的条件下，若甲种剪纸的售价为65元/套，乙种剪纸的售价为50元/套.该商家计划购进这批剪纸装饰所花的总费用不超过2800元，要使这批剪纸装饰全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润. 22.（本小题8分） 如图1，消防人员在进行救援火灾演练，发现在距离失火大楼2米的A位置向上面喷水，水流刚好在窗上沿B处达到最高点后进入失火房间.已知消防人员所在的消防车上A点距离地面2米，窗上沿B距离地面14米. （1）如图2，以消防员脚下地面O为原点，建立平面直角坐标系，使水流线正好在一个平面上，求水流抛物线的解析式： （2）实际操作中发现，失火中心点在房间内与窗上沿B水平距离0.6米处，且比窗上沿B低2米的位置，问消防员怎样移动消防设施，可以使水流刚好落在失火中心？（不计其他因素，请设计两种移动方案.参考数据：，结果精确到0.1米） 23.（本小题8分） 如图是放于水平桌面上的带底座的鱼缸，其主体部分的纵截面是弓形AMB，开口部分AB与桌面平行，将一玻璃棒斜放进鱼缸（鱼缸内无水），使玻璃棒底端恰在弧AMB的中点M处，发现，将玻璃棒竖立起来（）时，测得. （1）求的度数，并求AB的长； （2）求弧AMB的长； （3）若向鱼缸内加水，使水面的宽度为48cm，求鱼缸内水的深度. 24.（本小题8分） 如图1，在中，，，，动点P和Q分别从点A和点C同时出发，点P沿着方向以每秒1cm的速度运动，点Q沿着的路线以每秒2cm的速度运动，点P运动的时间为ts，连接PQ，在PQ的右侧（下方）以PQ为斜边构造等腰直角三角形PQD. （1）AB的长为__________； （2）如图2，当点D和点C重合时，求AP的长； （3）①在图3中尺规作图，作的平分线和BC边相交于点E；（保留作图痕迹，不写作图过程）②当点D在射线AE上时，求t的值； （4）如图4，当点D恰好落在BC边上时，直接写出t的值和点D在内部的时长. 答案和解析 1.【答案】D 【解析】本题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，解题的关键是理解只要图形由三角形构成，也 具有稳定性.根据三角形具有稳定性，进行解答即可. 【详解】解：根据三角形具有稳定性，只要图形由三角形构成，也具有稳定性，只有D选项中的图形都是由三角形构成. 故选：D 2.【答案】A 【解析】本题主要考查了同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方的逆用，单项式乘单项式，积的乘 方的逆用，负整数指数幂等知识点，熟练掌握幂的运算法则及整式的运算法则是解题的关键. 按照同底数幂的除法法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方的逆用、单项式乘单项式法则、积的乘方的逆 用逐项分析判断即可. 【详解】解：A.，原计算错误，故选项A符合题意； B.，计算正确，故选项B不符合题意； C.，计算正确，故选项C不符合题意； D.，计算正确，故选项D不符合题意； 故选：A. 3.【答案】C 【解析】本题考查了简单组合体的三视图，中心对称图形的定义，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的 关键； 从正面看得到的视图是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图，根据中心 对称图形的定义，即可求解； 【详解】解：主视图如图所示， 不是中心对称图形；左视图如图所示， 不是中心对称图形；俯视图如图所示， 是中心对称图形. 故选：C 4.【答案】C 【解析】本题主要考查了平行线性质的应用根据平行线的性质求角的度数，三角板中角度计算问题等 知识点，熟练掌握平行线的性质是解题的关键. 【解析】本题主要考查了平行线性质的应用（根据平行线的性质求角的度数），三角板中角度计算问题等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题的关键. 由两直线平行同旁内角互补可得，即，进而可得，由此即可求出的度数. 【详解】解：，， 即：， ， 故选：C. 5.【答案】A 【解析】本题考查科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键； 根据科学记数法的表示方法，即可求解. 【详解】解：根据题意，可得（米/秒），， 故选：A 6.【答案】D 【解析】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握圆周角定理是解题关键.连接OB，先根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理可得的度数，再根据圆周角定理即可得. 【详解】解：如图，连接OB， ，，， ， 由圆周角定理得：， 故选：D. 7.【答案】D 【解析】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，韦达定理，熟练掌握一元二次方程的根的判别式是解题的关键； 根据一元二次方程的根的判别式，判断A选项和B选项，利用韦达定理，判断C和D选项，即可求解； 【详解】解：已知一元二次方程， ，故有两个不等的实数根， ，； 故选：D 8.【答案】D 【解析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，轴对称最短路径问题，解决本题的关键是掌握菱形的性质； 根据菱形的性质得到，，，根据勾股定理求出AC，根据线段垂直平分线的性质，勾股定理定理计算即可； 【详解】如图，连接CE，交BD于点F，连接AF， 四边形是菱形，， ，，， 由勾股定理得：，， 是AD中点，， ，，，. 根据两点之间，线段最短可知此时的周长最小， 的周长的最小值， ，为等边三角形， 为AD中点，为直角三角形， 在中，由勾股定理得：， 的周长的最小值； 故选：D 9.【答案】C 【解析】过点B作轴于点H，连接BE，过点P作于点F，则，，由，可得，，，由正六边形的性质可得，，，进而可得，，，设点的坐标为，则，，即，设点的坐标为，则， ，由此即可求出点的坐标. 【详解】解：如图，过点作轴于点，连接BE，过点作于点， ，， ，，，， ， 六边形是正六边形， ，，， ， ，， 设点B的坐标为，则： . ， ， 设点P的坐标为， 则：， ， ， 即：点P的坐标为， 故选：C. 10.【答案】D 【解析】本题主要考查了实际问题与反比例函数，一元二次方程根的判别式（根据一元二次方程根的情况求参数），求反比例函数解析式等知识点，依题意得出是解题的关键. 设长方体盒子中水的体积为，依题意得，即，将曲线与直线相联立，得，整理得，由于该曲线与直线只有一个公共点，因而可得，由此即可求出的值. 【详解】解：设长方体盒子中水的体积为， 依题意得：，即：， 将曲线与直线相联立，得：， 整理，得：， 该曲线与直线只有一个公共点， ，， 长方体盒子中水的体积为， 故选：D. 11.【答案】B 【解析】本题考查位似图形的应用，过点作于点，延长EO交CD于点，根据位似图形的性质推出，分别求出遮挡板MN水平移动前后OE的长，再进行比较即可.掌握位似图形的性质是解题的关键. 【详解】解：过点O作于点E，延长EO交CD于点Q， 和成位似图形，位似中心为点O，，， 、OF分别为和对应边AB、CD上的高，， 和成位似图形，，， ，即，， ， 像CD的长度变成AB的3倍，在物体AB和屏幕PQ位置不变的情况下， 设，则，， 又，即，，此时， ，可以将遮挡板MN水平向左移动1cm. 故选：B. 12.【答案】D 【解析】本题考查了坐标与图形变化平移，一次函数图象上点的坐标特征，读懂题目信息并理解点P的坐标的横坐标与纵坐标的意义是解题的关键； 根据点的坐标变化规律，可知点从点出发经过次，平移后，到达直线上的点，点的坐标为，再根据平移的路径长不小于50，不超过56，列不等式组求解； 【详解】解：平移1次后点的坐标为或， 设，所在的直线解析式为， 将点坐标代入得：， 直线解析式为：； 平移两次后点的坐标为或或，且3点共线， 设和所在的直线解析式为， 将点坐标代入得：， 直线解析式为：； 平移3次后点的坐标为或或或，且4点共线， 设，，和所在的直线解析式为， 将点坐标代入得：， 直线解析式为：； 平移后解析式的值不变，常数项为2n， 平移次时，直线解析式为：，如图所示， 设点从点出发经过次平移后，到达直线上的点， 根据题意，可得，解得：， 点的坐标为，平移的路程长， 平移的路径长不小于50，不超过56， ，，点的坐标为正整数， 是3的倍数，可以取39、42， 故选：D. 13.【答案】 【解析】本题考查积的乘方，熟练掌握积的乘方运算法则是解题的关键；根据积的乘方运算法则计算即可求解； 【详解】解：； 故答案为：. 14.【答案】42 【解析】本题考查了中位数，根据给定个数据，按从小到大（或从大到小）排序，如果为奇数，位于中间的那个数就是中位数；如果为偶数，位于中间两个数的平均数就是中位数.据此求解即可. 【详解】解：一周一共销售双， 按照从小到大排序，中位数是第30和31个数的平均数， 又，， 中位数为， 故答案为：42. 15.【答案】 【解析】本题考查折叠的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键； 根据题意，先求出AC的长度，再判定四边形是菱形，然后判定和，利用相似三角形的性质求得EG和GH的长度，即可求解； 【详解】解：，， 是平行四边形，， ， 沿BE折叠，点C落在AB上点F处，折痕BE交AC于点H， ，，， 平行四边形中，， ，， ，， 四边形是菱形；，，. 平行四边形中，， ，， ，， ，， ，， ，，， ； 故答案为： 16.【答案】 【解析】由完美点的概念可得：，即，由只有一个完美点可得判别式，得方程根为2，从而求得，，所以得出函数解析式，由此解析式可求得此抛物线的顶点坐标以及与坐标轴的交点坐标，根据函数值，可求得的取值范围. 【详解】由题意可得，，即 图象上有且只有一个完美点， ，则， 方程根为， ，，， 函数 该二次函数顶点坐标为，与轴交点为， 根据对称规律，点也是该二次函数图象上的点， 在左侧，随的增大而增大； 在右侧，随的增大而减小； 且当时，函数的最小值为，最大值为1， 则 故答案为：. 17.【答案】【小题1】解：喜欢张明的解法. 理由如下：观察两人的解题过程可知，张明的解题过程简单，且省去了通分计算，比较简便，所以更喜欢张明的解法； 【小题2】解：原式的倒数 ， . 【解析】1.本题主要考查了有理数的乘法分配律：根据解答过程可知张明的解题过程简单，且省去了通分计算，比较简便，则更喜欢张明的解法； 2.仿照题意计算原式的倒数，先把除法变成乘法，再利用乘法分配律求出的值，进而求出的值的倒数即可得到答案. 18.【答案】【小题1】> 【小题2】解：，， ，，解得：， 的最大值为1013； 【小题3】解：不存在， 理由如下：如图所示， ， ， ， ， 整理得：，解得： 为正整数，不存在使得. 【解析】1. 把和分别用含的代数式表示出来，再求它们的差得到根据是正整数可得，所以可知； 【详解】解：， ， 是正整数，，，，， 故答案为：>； 2.根据，可得：，解不等式求出从而得到的最大值为1013； 3.根据得到关于的方程，求解得出， 因为正整数，所以不存在这样的值. 19.【答案】【小题1】解：小亮四个项目的平均成绩（分）， 小彬四个项目的平均成绩（分）； 【小题2】解：小彬的综合成绩高，理由如下： 小亮的综合成绩（分）， 小彬的综合成绩（分）， ，小彬的综合成绩高， 答：小彬的综合成绩高. 【解析】1.本题主要考查了算术平均数（求一组数据的平均数），加权平均数（求加权平均数）等知识点，熟练掌握算术平均数，加权平均数的定义和计算方法是解题的关键：1、算术平均数：一般地，对于个数，，，…，，我们把叫做这个数的算术平均数，简称平均数，即：平均数；2、加权平均数：当一组数据中有数据重复出现时，如在n个数据中，出现次，出现次，……，出现次（这里），那么这个数据的平均数可表示为，这个平均数也叫做加权平均数，其中，，…，分别叫做，，…，的权；3、两者之间的联系：①加权平均数实际上是算术平均数的另一种表现形式；②若各个数据的权相同，则加权平均数就是算术平均数，因而可以看出算术平均数实质上是加权平均数的一种特例：③算术平均数是用一组数据的和除以数据的个数来计算的；加权平均数在计算上与算术平均数有所不同是因为在实际问题中数据的“重要程度”未必相同，即各个数据的“权”未必相同. 根据平均数的定义和计算方法进行计算即可： 2.根据加权平均数的定义和计算方法进行计算即可. 20.【答案】【小题1】解：由对称性可知，， 在中，， ，，， 答：遮阳宽度BC为3.46m； 【小题2】解：如图，过点E作于点F，， ，，， ，， 在中，， 当时，， 当时，， 点下降的高度为， 答：点E下降的高度为0.53m. 【解析】1.本题考查解直角三角形的应用和锐角三角函数的定义，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键. 在中利用锐角三角函数的定义求出OC的长即可解答； 2.过点E作于点F，得，再在中锐角三角函数的定义可得，最后求出和时，AF的长即可解答. 21.【答案】【小题1】解：设则甲种剪纸装饰套装单价为m元，乙种剪纸装饰套装单价为n元， 根据题意，得，解得， 答：甲种剪纸装饰套装单价为50元，乙种剪纸装饰套装单价为40元. 【小题2】解：由题可知，购进甲种剪纸套，则购进乙种剪纸套， 根据题意，得，即， 与之间的函数关系式为. 【小题3】解：设甲，乙两种剪纸装饰获得的利润为元， 根据题意，得，即， ，随的增大而增大， 该商家计划购进这批剪纸装饰所花的总费用不超过2800元， ，即， 解得，， 为非负整数，当时，取最大值，（元）， 此时套， 答：购进甲种剪纸40套，乙种剪纸20套时，所获利润最大，最大利润为800元. 【解析】1.本题考查一次函数的应用，二元一次方程组的应用，熟练掌握一次函数图象性质是解题的关键. 设则甲种剪纸装饰套装单价为m元，乙种剪纸装饰套装单价为n元，根据购进3套甲种剪纸和2套乙种剪纸共需230元，购进2套甲种剪纸和3套乙种剪纸共需220元，列方程组，解方程组即可； 2.购进甲种剪纸套，则购进乙种剪纸套，总费用元为甲乙种剪纸装饰套装费用的和列出一次函数即可； 3.设甲，乙两种剪纸装饰获得的利润为元，甲种剪纸装饰套装利润为元，乙种剪纸装饰套装利润为元，则，即，根据一次函数的性质求解即可. 22.【答案】【小题1】解：由题意知，， 设水流抛物线的解析式为， 代入，得，解得， 水流抛物线的解析式是 【小题2】解：由题意知，失火中心点坐标是. 方案一：水流抛物线的解析式是， 当时，， 即抛物线向下平移（米）.抛物线正好经过失火中心； 方案二：水流拋物线的解析式是， 当时，， 解得，（舍去），， 即抛物线向左平移（米），抛物线正好经过失火中心. 所以消防员把喷水头向下平移0.9米，或向左平移0.2米，可以使水流刚好落在失火中心. 【解析】1.本题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数表达式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键.根据待定系数法求抛物线解析式； 2.把和代入函数解析式，分别求解对应的值和值，即可求解： 23.【答案】【小题1】如图，设圆心为O，连接OA，OB，BM. 在弧AMB的中点M处，，， ，. 是等边三角形，， ，，， . 【小题2】 解：如图，，， ，， 优弧对的圆心角240°，， 弧AMB的长为. 【小题3】 解：根据题意，得，，. 当圆心O在AB的下方时，； 当圆心O在AB的上方时，. 故水深18cm或32cm. 【解析】1.设圆心为O，连接OA，OB，BM.根据垂径定理及其推论，特殊角的三角函数，求的度数，AB的长即可. 2.根据求得，得到优弧对的圆心角240°，利用弧长公式求弧AMB的长即可. 3.分圆心O在AB的上方和下方两种情形求解即可. 24.【答案】【小题1】10cm 【小题2】解：当点D和点C重合时， 如图1，，，， 则由题意可得，所以，解得：，； 【小题3】 解：①如图2所示，线段AE即为所求. ②当点D在射线AE上时，根据对称性，可知，， ，，，解得：； 【小题4】解：当点D恰好落在BC边上时，过点Q作，垂足为点E，如图3. ，， ，， 设，则，. ，， ，， ，. 由，得，， 解得，. 将代入，得，解得：. 如图4，当点落在AB上时，，，，. ，，解得：. 所以点D在内部的时长为，综上，的值为，. 【解析】1.根据勾股定理计算即可求解； 【详解】解：，，， ， 故答案为：10cm； 2.当点D和点C重合时，根据，求得t的值，进而求解AP的值， 3.①根据题意，作图即可，②当点D在射线AE上时，根据对称性，可知，进而求解t的值， 4.当点恰好落在BC边上时，过点作，判定，，当点落在AB上时，进而求解的值； 学科网（北京）股份有限公司 $$