精品解析：内蒙古巴彦淖尔市乌拉特前旗第三中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

前旗三中2024-2025学年度第一学期期中检测试卷 初三年级数学试题 一．选择题（每题3分，共30分） 1. 关于x的方程（m﹣1）x2+2mx﹣3＝0是一元二次方程，则m的取值是（　　） A. 任意实数 B. m≠1 C. m≠﹣1 D. m＞1 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 已知△ABC∽△DEF，△ABC的面积为1，△DEF的面积为4，则△ABC与△DEF的周长之比为(　　) A. 1∶2 B. 1∶4 C. 2∶1 D. 4∶1 4. 若两个连续整数的积是56，则它们的和为（ ） A. 11 B. 15 C. ﹣15 D. ±15 5. 将函数的图像经过下列哪种平移，可得到函数的图像（ ） A. 先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B. 先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C. 先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D. 先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 6. 如图，身高为1.6m的吴格霆想测量学校旗杆的高度，当她站在C处时，她头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AC＝2.0m，BC＝8.0m，则旗杆的高度是（ ） A. 6.4m B. 7.0m C. 8.0m D. 9.0m 7. 关于x的一元二次方程 有两个实数根，那么实数k的取值范围是（ ） A. k≤1 B. k＜1且 k≠0 C. k≤1且 k≠0 D. k≥1 8. 如图，已知DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式错误的是( ) A. B. C. D. 9. 某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件182万个．若该厂八、九月份平均每月生产零件的增长率均为x，则下面所列方程正确的是( ) A. B. C. D. 10. 如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），有下列结论：①2a+b=0，②abc＞0；③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，④当y＜0时，﹣2＜x＜4，其中正确的是（　　） A. ②③ B. ①③ C. ①③④ D. ①②③④ 二．填空题（每题2分，共16分） 11. 若二次函数的图象经过点（3,6），则________ 12. m是方程2x2+3x﹣1＝0的根，则式子4m2+6m+2018的值为_____． 13. 某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x﹣1.5x2，该型号飞机着陆后滑行_m才能停下来． 14. 若方程的两根为， ， 则 的值为________． 15. 如图所示，为了测量操场上的树高，小明拿来一面小镜子，平放在离树根部的地面上，然后他沿着树根和镜子所在直线后退，当他退了时，正好在镜中看见树的顶端．若小明的目高为，则树的高度是________． 16. 某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了1640张相片．如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为________． 17. 如图是抛物线y＝ax2+bx+c的图象的一部分，请你根据图象写出方程ax2+bx+c＝0的两根是_____． 18. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+c（a≠0）的图象过正方形ABOC的三个顶点A，B，C，则ac的值是________． 三．简答题（共54分） 19. 解下列方程： （1）． （2） 20. 如图，、交于点E，，且平分． （1）求证：； （2）若，求的长． 21. 如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，延长AB至点E，使，连接DE，分别交BC，AC交于点F，G． (1)求证：； (2)若，，求FG的长． 22. 商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若某天该商品每件降价3元，当天可盈利多少元？ （2）设每件商品降价x元，在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？ 23. 有一长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为），围成中间隔着一道篱笆的长方形花圃，花圃的宽为，面积为． （1）求S关于x的函数解析式； （2）如果要围成面积为的花圃，的长是多少m？ （3）能围成面积比更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由． 24. 如图，已知抛物线经过点三点． （1）求抛物线的解析式； （2）点M是线段上的点（不与B、C重合），过M作轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示的长； （3）在（2）的条件下，连接，是否存在m，使的面积最大？若存在，求m的值和的面积；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 前旗三中2024-2025学年度第一学期期中检测试卷 初三年级数学试题 一．选择题（每题3分，共30分） 1. 关于x的方程（m﹣1）x2+2mx﹣3＝0是一元二次方程，则m的取值是（　　） A. 任意实数 B. m≠1 C. m≠﹣1 D. m＞1 【答案】B 【解析】 【分析】本题根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足二次项系数不为0，所以m－1≠0，即可求得m的值． 【详解】根据一元二次方程的定义得：m－1≠0，即m≠1， 故答案为B. 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握该定义是本题解题的关键. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据抛物线的顶点坐标是，即可求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：C． 3. 已知△ABC∽△DEF，△ABC的面积为1，△DEF的面积为4，则△ABC与△DEF的周长之比为(　　) A. 1∶2 B. 1∶4 C. 2∶1 D. 4∶1 【答案】A 【解析】 【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方求解． 【详解】解：∵△ABC∽△DEF， ∴△ABC的面积与△DEF的面积比是△ABC与△DEF的周长之比的平方， 而△ABC的面积为1，△DEF的面积为4， ∴△ABC与△DEF的周长之比＝1：2． 故选A． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．熟练掌握性质是本题的解题关键. 4. 若两个连续整数的积是56，则它们的和为（ ） A. 11 B. 15 C. ﹣15 D. ±15 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用. 设这两个连续整数中较小的一个是为x，则较大的是x+1．根据两个连续整数的积是x（x+1），根据关键描述语“两个连续整数的积是56”，即可列出方程求得x的值，进而求得这两个数的和． 【详解】解：设这两个连续整数为x，x+1． 则x（x+1）=56， 解之得，x=7或x=-8， 则x+1=8或-7， 则它们的和为±15． 故选D． 5. 将函数的图像经过下列哪种平移，可得到函数的图像（ ） A. 先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B. 先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C. 先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D. 先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，解题的关键是熟知二次函数图象平移的规律，即“左加右减，上加下减”．根据“左加右减，上加下减”即可． 【详解】解：函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位即可得到函数的图象， 故选：C． 6. 如图，身高为1.6m的吴格霆想测量学校旗杆的高度，当她站在C处时，她头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AC＝2.0m，BC＝8.0m，则旗杆的高度是（ ） A. 6.4m B. 7.0m C. 8.0m D. 9.0m 【答案】C 【解析】 【分析】因为人和旗杆均垂直于地面，所以构成相似三角形，利用比例求解即可； 【详解】设旗杆高度为h，由题意得：＝，解得：h＝8． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，准确分析计算是解题的关键． 7. 关于x的一元二次方程 有两个实数根，那么实数k的取值范围是（ ） A. k≤1 B. k＜1且 k≠0 C. k≤1且 k≠0 D. k≥1 【答案】C 【解析】 【分析】若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式△＝b2﹣4ac≥0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．还要注意二次项系数不为0． 【详解】∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有两个实数根，∴根的判别式△＝b2﹣4ac＝4﹣4k≥0，且k≠0． 即k≤1且k≠0． 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件． 8. 如图，已知DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式错误的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A．∵DE∥BC， 所以A选项的比例式正确； B． 即所以B选项的比例式正确； C． 所以C选项的比例式错误； D． 即所以D选项的比例式错误． 故选C． 9. 某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件182万个．若该厂八、九月份平均每月生产零件的增长率均为x，则下面所列方程正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意知，八月份平均每月生产零件为万个，九月份平均每月生产零件为万个，依题意得，，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，八月份平均每月生产零件为万个，九月份平均每月生产零件为万个， 依题意得，， 故答案为：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键在于根据题意正确的列等式方程． 10. 如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），有下列结论：①2a+b=0，②abc＞0；③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，④当y＜0时，﹣2＜x＜4，其中正确的是（　　） A. ②③ B. ①③ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系一一判断即可． 【详解】①∵抛物线的对称轴x=﹣=1， ∴b=﹣2a，即2a+b=0，故此结论正确； ②∵由图可知a＜0、c＞0， ∴b=﹣2a＞0， 则abc＜0，故此结论错误； ③由图象可知该抛物线与直线y=3只有唯一交点A（1，3）， ∴方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，此结论正确； ④抛物线与x轴的交点为（4，0）且抛物线的对称轴为x=1， 则抛物线与x轴的另一交点为（﹣2，0）， ∴当y＜0时，x＜﹣2或x＞4，此结论错误； 综上所述：①③正确， 故选B． 【点睛】本题考查二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用函数图象解决问题. 二．填空题（每题2分，共16分） 11. 若二次函数的图象经过点（3,6），则________ 【答案】. 【解析】 【详解】试题分析：根据点在抛物线上点的坐标满足方程的关系，由二次函数的图象经过点（3,6）得：． 12. m是方程2x2+3x﹣1＝0的根，则式子4m2+6m+2018的值为_____． 【答案】2020 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=m代入已知方程后即可求得所求代数式的值． 【详解】把x=m代入2x2+3x﹣1=0，得：2m2+3m﹣1=0，则2m2+3m=1． 所以4m2+6m+2018=2（2m2+3m）+2018=2+2018=2020． 故答案为2020． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立． 13. 某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x﹣1.5x2，该型号飞机着陆后滑行_m才能停下来． 【答案】600 【解析】 【详解】解：∵﹣1.5＜0， ∴函数有最大值． ∴， 即飞机着陆后滑行600米才能停止， 故答案为：600． 14. 若方程的两根为， ， 则 的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则．直接根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵方程的两根为，， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图所示，为了测量操场上的树高，小明拿来一面小镜子，平放在离树根部的地面上，然后他沿着树根和镜子所在直线后退，当他退了时，正好在镜中看见树的顶端．若小明的目高为，则树的高度是________． 【答案】 【解析】 【分析】入射角等于反射角，两个直角相等，那么图中的两个三角形相似，利用对应边成比例可求得树高． 【详解】∵∠ABC=∠DBE，∠ACB=∠DEB， ∴△ABC∽△DBE， ∴BC:BE=AC:DE， 4:12=1.6:DE， ∴DE=4.8m. 故答案为4.8m. 【点睛】考查相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键. 16. 某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了1640张相片．如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为________． 【答案】x（x-1）=1640 【解析】 【详解】试题分析:每人要赠送（x﹣1）张相片,有x个人,所以全班共送:（x﹣1）x=1640． 故答案是（x﹣1）x=1640． 考点:列一元二次方程． 17. 如图是抛物线y＝ax2+bx+c的图象的一部分，请你根据图象写出方程ax2+bx+c＝0的两根是_____． 【答案】x1＝﹣3，x2＝1 【解析】 【分析】根据二次函数的对称性即可求出抛物线与x轴的另一个交点横坐标，即求出方程ax2+bx+c＝0的另一个根. 【详解】∵由图可知，抛物线与x轴的一个交点坐标为（-3，0），对称轴为直线x=-1， ∴设抛物线与x轴的另一交点为（x，0），则，解得x=1， ∴方程ax 2+bx+c=0的两根是x1=-3，x2=1． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，对于二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），其对称轴是直线：；若抛物线与x轴的两个交点是A(x1，0)，B(x2，0)，则抛物线的对称轴是：. 18. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+c（a≠0）的图象过正方形ABOC的三个顶点A，B，C，则ac的值是________． 【答案】－2． 【解析】 【分析】设正方形的对角线OA长为2m，根据正方形的性质则可得出B、C坐标，代入二次函数y=ax2+c中，即可求出a和c，从而求积． 【详解】设正方形的对角线OA长为2m，则B（﹣m，m），C（m，m），A（0，2m）； 把A，C的坐标代入解析式可得：c=2m①，am2+c=m②， ①代入②得：am2+2m=m， 解得：a=-， 则ac=-2m=-2． 考点：二次函数综合题． 三．简答题（共54分） 19. 解下列方程： （1）． （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握运算方法是解题的关键． （1）根据配方法解一元二次方程； （2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴或， 解得：． 20. 如图，、交于点E，，且平分． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形相似的判定和性质，等腰三角形性质，角的平分线，熟练掌握相似的判定和性质是解题的关键． （1）先证明，结合即可得证． （2）根据，得到，结合，代入解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 解得． 21. 如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，延长AB至点E，使，连接DE，分别交BC，AC交于点F，G． (1)求证：； (2)若，，求FG的长． 【答案】 (1)证明：四边形ABCD是平行四边形， ，， ， ∴， ∵BE=AB，AE=AB+BE， ， ， ； (2)FG=2. 【解析】 【分析】(1)由平行四边形的性质可得，，进而得，根据相似三角形的性质即可求得答案； (2)由平行四边形的性质可得，进而可得，根据相似三角形的性质即可求得答案. 【详解】(1)略 (2)四边形ABCD是平行四边形， ， ， ，即， 解得，． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键. 22. 商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若某天该商品每件降价3元，当天可盈利多少元？ （2）设每件商品降价x元，在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？ 【答案】（1）当天可盈利1692元 （2）每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，一元二次方程的应用等知识点．熟练掌握总利润，每件利润，件数的关系，正确列出式子，列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据“盈利单件利润销售数量”即可得出结论； （2）根据“盈利单件利润销售数量”即可列出关于 x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再根据尽快减少库存即可确定x的值． 【小问1详解】 解：某天该商品每件降价3元，则每件商品盈利为：元，销售数量件， 当天可盈利（元） 答：当天可盈利1692元； 【小问2详解】 解：根据题意得， 整理，得 解得， 为了尽快减少库存， 答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元. 23. 有一长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为），围成中间隔着一道篱笆的长方形花圃，花圃的宽为，面积为． （1）求S关于x的函数解析式； （2）如果要围成面积为的花圃，的长是多少m？ （3）能围成面积比更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）花圃的长为 （3）能；围法：花圃的长为，宽为，这时有最大面积 【解析】 【分析】（1）可先用篱笆的长表示出的长，然后根据矩形的面积长宽，得出S与x的函数关系式即可； （2）根据（1）的函数关系式，将代入其中，求出x的值即可． （3）可根据（1）中函数的性质和自变量的取值范围得出符合条件的方案． 【小问1详解】 解：由题可知，花圃的宽为，则为，面积， ∵，墙的最大可用长度a为， ∴， 解得：， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：将代入得：， 化简得：， 解得， ∵， 不合题意，舍去， 答：花圃的宽为； 【小问3详解】 解： 对称轴为，在对称轴右侧，y随x的增大而减小， 当时，S有最大值， 此时， 故能围成面积比45平方米更大的花圃 围法： (米)，即花圃的长为，宽为，这时有最大面积． 【点睛】本题考查了一元二次方程，二次函数的综合应用，根据已知条件列出二次函数式是解题的关键．要注意题中自变量的取值范围不要丢掉． 24. 如图，已知抛物线经过点三点． （1）求抛物线的解析式； （2）点M是线段上的点（不与B、C重合），过M作轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示的长； （3）在（2）的条件下，连接，是否存在m，使的面积最大？若存在，求m的值和的面积；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，当时，△BNC的面积最大为 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）用，即可得出结果； （3）根据的面积等于，列出二次函数解析式，求值即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点三点， ∴设抛物线的解析式为， 把代入得：， ∴， ∴抛物线的解析式：； 【小问2详解】 设直线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴， 又∵轴， ∴， ∴； 【小问3详解】 存在， ， ∴当最大时，的面积最大， ∵， 当时，有最大值为， 所以当时，的面积最大为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $