精品解析：内蒙古自治区巴彦淖尔市临河区 第四中学2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024—2025学年第一学期初三数学期中学情监测试卷 满分100分，时间90分钟 一、选择题(1~6题每题2分，7~10题每题3分，共24分) 1. 生活中有许多对称美的图形，下列是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为（ ） A. B. C. D. 3. 关于的一元二次方程的一个根为0，则的值为（　　） A. B. 1 C. 1或 D. 4. 如图，将三角形绕点A逆时针旋转得到三角形，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点、、在上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 下列诗句表述的是随机事件的是（ ） A. 离离原上草，一岁一枯荣 B. 东边日出西边雨，道是无晴却有晴 C. 会当凌绝顶，一览众山小 D. 危楼高百尺，手可摘星辰 7. 函数与函数在同一坐标系中的图像可能是（ ） A. B. C. D. 8. 从地面竖直向上抛出一小球，根据物理学规律，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是，则小球运动中的最大高度是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点D，交于点C，以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点E，交于点F，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象交矩形的边于点交边于点，且，若四边形的面积为12，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 12 二、填空题(本题共6个小题，每小题3分，共18分) 11. 一个不透明的口袋中装有红、白两种颜色的球共个，它们除颜色外其它完全相同．通过多次摸球试验发现，摸到红球的频率稳定在附近，则白球有______个． 12. 如图，把分成相等的六段弧，依次连接各分点得到正六边形ABCDEF，如果的周长为，那么该正六边形的边长是______． 13. 的两根分别为、，则________． 14. 用一个半径为10的半圆，围成一个圆锥的侧面，该圆锥的底面圆的半径为______________． 15. 如图，点、分别在正方形的边，上，且，把顺时针旋转一定角度后得到．若，，则正方形的边长为______． 16. 二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④无实数根，其中正确的结论有________ 三、解答题(共7小题，共计58分) 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 3月14日是国际数学日．某校在“国际数学日”当天举行了丰富多彩的数学活动，其中游戏类活动有：．数字猜谜；．数独；．魔方；．24点游戏；．数字华容道．该校为了解学生对这五类数学游戏的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示． 根据上述信息，解决下列问题． （1）本次调查总人数为______人，并补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； （2）若该校有3000名学生，请估计该校参加魔方游戏的学生人数； （3）该校从类中挑选出2名男生和2名女生，计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市青少年魔方比赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 19. 正方形网格中(网格中的每个小正方形边长是1)，的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题： （1）作出绕点逆时针旋转的； （2）作出关于原点成中心对称的； （3）在轴上找一点使得最小，则点坐标为 ． 20. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点． （1）求反比例函数的表达式及点的坐标； （2）观察函数图象，直接写出不等式的解集； （3）连接，，求的面积． 21. 解决问题：邓州公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售500个，9月份销售720个，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，经市场预测，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 22. 如图，以四边形ABCD的对角线BD为直径作圆，圆心为O，圆O过A、C两点，过点A作的延长线于点E，已知DA平分． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径和AD的长． 23. 综合与探究 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，且，E是线段上的一个动点，过点E作直线垂直于x轴交直线和抛物线分别于点D、F． （1）求抛物线的解析式； （2）设点E的横坐标为m，当m为何值时，线段有最大值，并写出最大值为多少； （3）点P是直线上的一个动点，若使三角形是等腰三角形，求出点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第一学期初三数学期中学情监测试卷 满分100分，时间90分钟 一、选择题(1~6题每题2分，7~10题每题3分，共24分) 1. 生活中有许多对称美的图形，下列是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形定义：把图形沿某点旋转得到的新图形与原图形重合的图形叫中心对称图形，轴对称图形定义：把一个图形沿某条直线对折两边完全重合的图形叫轴对称图形，逐个判断即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， A选项图形即是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意， B选项图形即是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意， C选项图形即是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意， D选项图形是中心对称图形但不是轴对称图形，符合题意， 故选：D； 【点睛】本题考查中心对称图形定义：把图形沿某点旋转得到的新图形与原图形重合的图形叫中心对称图形，轴对称图形定义：把一个图形沿某条直线对折两边完全重合的图形叫轴对称图形． 2. 将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，规则是：左加右减，上加下减；根据平移规则即可求得平移后的函数解析式． 【详解】解：由题意，得：， 即； 故选：B． 3. 关于的一元二次方程的一个根为0，则的值为（　　） A. B. 1 C. 1或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义及一元二次方程的解：根据一元二次方程的解及一元二次方程的定义即可求出的值． 【详解】解：当时，， 解得， 因为，， 所以． 故选：A． 4. 如图，将三角形绕点A逆时针旋转得到三角形，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由旋转的性质得到，再根据角的和差关系进行计算，则可求出答案．本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是本题的关键． 【详解】解：由旋转的性质得， ∵， ∴． 故选：C． 5. 如图，点、、在上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，根据圆周角定理，求出的度数，等边对等角求出的度数即可． 【详解】解：∵点、、在上，， ∴，， ∴； 故选B． 6. 下列诗句表述的是随机事件的是（ ） A. 离离原上草，一岁一枯荣 B. 东边日出西边雨，道是无晴却有晴 C. 会当凌绝顶，一览众山小 D. 危楼高百尺，手可摘星辰 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了随机事件，解答本题的关键是掌握随机事件的定义．根据在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件进行分析即可． 【详解】解：A. 离离原上草，一岁一枯荣，是必然事件，故该选项不符合题意； B. 东边日出西边雨，道是无晴却有晴，是随机事件，故该选项符合题意； C. 会当凌绝顶，一览众山小，是必然事件，故该选项不符合题意； D. 危楼高百尺，手可摘星辰，是不可能事件，故该选项不符合题意； 故选：B． 7. 函数与函数在同一坐标系中的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数与一次函数的图像，先根据一次函数可知，直线经过点，故选项B、D不符合题意，然后由A、C选项可知，的符号，从而选出答案． 【详解】解：函数的图像经过点， 选项B、选项D不符合题意； 由A、C选项可知：， 反比例函数的图像在第一、三象限， 故选项A符合题意，选项C不符合题意； 故选：A． 8. 从地面竖直向上抛出一小球，根据物理学规律，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是，则小球运动中的最大高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用．先将二次函数一般式化为顶点式，再根据二次函数性质即可求解． 【详解】解：， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为45， ∴小球运动中的最大高度是． 故选：C． 9. 如图，在中，，以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点D，交于点C，以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点E，交于点F，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查扇形面积的计算及勾股定理，将不规则图形的面积转化为规则图形的面积来进行求解．先根据直角三角形中的勾股定理求得，再将求不规则的阴影部分面积转化为求规则图形的面积：，将相关量代入求解即可． 【详解】解：根据题意可知，则， 设，， ， ，即， ， 故选：D． 10. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象交矩形的边于点交边于点，且，若四边形的面积为12，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的系数的几何意义．连接，由矩形的性质和已知条件得出的面积的面积四边形的面积，再求出的面积，即可得出的值． 【详解】解：连接，如图所示： 四边形是矩形， ，的面积的面积， 、在反比例函数的图象上， 的面积的面积， 的面积的面积四边形的面积， ， 的面积的面积， ． 故选：C． 二、填空题(本题共6个小题，每小题3分，共18分) 11. 一个不透明的口袋中装有红、白两种颜色的球共个，它们除颜色外其它完全相同．通过多次摸球试验发现，摸到红球的频率稳定在附近，则白球有______个． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，熟知大量反复试验下频率的稳定值即为概率值是解题的关键．根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值可知摸到红球的概率为，由此根据概率计算公式建立方程求解即可． 【详解】解：∵摸到红球的频率稳定在附近， ∴估计摸到红球的概率为， ∴红球有（个）， ∴白球有（个）； 故答案为：． 12. 如图，把分成相等的六段弧，依次连接各分点得到正六边形ABCDEF，如果的周长为，那么该正六边形的边长是______． 【答案】6 【解析】 【分析】如图，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，证明△AOB、△BOC、△DOC、△EOD、△EOF、△AOF都是等边三角形，再求出圆的半径即可． 【详解】解：如图，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF． ∵正六边形ABCDEF， ∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOF＝∠FOA＝60°， ∴△AOB、△BOC、△DOC、△EOD、△EOF、△AOF都是等边三角形， ∵的周长为， ∴的半径为， 正六边形的边长是6； 【点睛】本题考查正多边形与圆的关系、等边三角形的判定和性质等知识，明确正六边形的边长和半径相等是解题的关键． 13. 的两根分别为、，则________． 【答案】 【解析】 【分析】依据题意，由根与系数的关系得，，，再由进而代入可以得解． 【详解】解：由题意，根据根与系数的关系可得， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查根与系数的关系，解题时要熟练掌握并理解是关键． 14. 用一个半径为10的半圆，围成一个圆锥的侧面，该圆锥的底面圆的半径为______________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了圆锥的计算，需要掌握弧长计算公式以及圆周长计算公式．解答此类试题时注意：锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．设圆锥的底面圆的半径为，根据半圆的弧长等于圆锥底面周长，列出方程求解即可． 【详解】解：半径为10的半圆的弧长为：， 围成的圆锥的底面圆的周长为， 设圆锥的底面圆的半径为， 则， 解得， 故答案为：5 15. 如图，点、分别在正方形的边，上，且，把顺时针旋转一定角度后得到．若，，则正方形的边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形全等和旋转问题，正方形的性质，解一元二次方程，熟练掌握全等三角形的判定与性质，旋转的性质是解题的关键，根据旋转的性质可得到，再根据题意易证，得到，从而可得到的长度，设正方形的边长为，进而在中，勾股定理解方程，即可求解． 【详解】解：∵把顺时针旋转一定角度后得到， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∴， 设正方形的边长为，则， 在中， ∴ 解得：或（舍去） 故答案为：． 16. 二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④无实数根，其中正确的结论有________ 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数是常数，与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y轴的交点可以对①进行判断；根据抛物线与x轴的交点情况可对②进行判断；时，，可对③进行判断；根据抛物线与直线无交点，可对④进行判断. 【详解】解：①∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴，故①正确； ②∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，即，故②正确； ③∵抛物线的对称轴为直线，根据抛物线与x轴的一个交点是， ∴抛物线与x轴的另一个交点为. ∴时，，即， ∵， ∴，故③错误； ④∵抛物线开口向下，顶点为， ∴函数有最大值n， ∴抛物线与直线无交点. ∴一元二次方程无实数根. 故④正确， 故答案为：①②④． 三、解答题(共7小题，共计58分) 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：原方程可化为： ∴，或， ∴，； 【小问2详解】 解：原方程可化为：， ∴或， ∴，． 【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，正确计算是解题的关键． 18. 3月14日是国际数学日．某校在“国际数学日”当天举行了丰富多彩的数学活动，其中游戏类活动有：．数字猜谜；．数独；．魔方；．24点游戏；．数字华容道．该校为了解学生对这五类数学游戏的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示． 根据上述信息，解决下列问题． （1）本次调查总人数为______人，并补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； （2）若该校有3000名学生，请估计该校参加魔方游戏的学生人数； （3）该校从类中挑选出2名男生和2名女生，计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市青少年魔方比赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 【答案】（1）， 补全条形统计图如下： （2）估计该校参加魔方游戏的学生人数为人 （3）恰好抽到1名男生和1名女生的概率为 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图相关联，用样本估计总体，画树状图法求概率，掌握相关知识点是解题关键． （1）根据选择B类的学生人数和所占百分比，求出调查总人数，再求出选择D类的学生人数，补全条形统计图即可； （2）用学校人数乘以选择C类的学生人数的占比，即可求解； （3）利用画树状图法求解即可． 【小问1详解】 解：本次调查总人数为（人）， 选择D类的学生人数为（人）， 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计该校参加魔方游戏的学生人数约为人； 【小问3详解】 解：画树状图如下图： 由树状图可知，共有种情况，其中恰好抽到1名男生和1名女生的情况有种， 恰好抽到1名男生和1名女生的概率为． 19. 正方形网格中(网格中的每个小正方形边长是1)，的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题： （1）作出绕点逆时针旋转的； （2）作出关于原点成中心对称的； （3）在轴上找一点使得最小，则点坐标为 ． 【答案】（1）解：如图，△AB1C1即为所作 （2） 解：即为所作 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查作图----旋转变换，一次函数的图象与性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识 （1）作出的对应点即可； （2）作出的对应点即可； （3）作点C关于x轴在对称点，连接交x轴于点P，求出直线的解析式，求出与的交点坐标即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：作点C关于x轴在对称点，连接交x轴于点P，如图， 设直线的解析式为， 把代入得， ， 解得，， 所以，直线的解析式为， 令，得， ∴， 故答案为：． 20. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点． （1）求反比例函数的表达式及点的坐标； （2）观察函数图象，直接写出不等式的解集； （3）连接，，求的面积． 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． （1）把代入即可求出反比例函数解析式，再由反比例函数解析式求出B点坐标； （2）根据函数图象即可求解； （3）把A、B坐标代入，即可求出一次函数解析式，求出点D坐标，由计算即可求解． 【小问1详解】 解：将代入得， ， ， 将代入， 得， ， ； 【小问2详解】 由图象可知当时，的取值范围为或； 【小问3详解】 将，分别代入， 得， ， ， 令，则， 解得：， ． 21. 解决问题：邓州公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售500个，9月份销售720个，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，经市场预测，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为 （2）该品牌头盔的实际售价应定为50元/个 【解析】 【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据“该品牌头盔7月份销售500个，9月份销售720个，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同”列一元二次方程求解即可； （2）设该品牌头盔的实际售价为y元/个，根据月销售利润每个头盔的利润月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可求出答案． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 由题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 解：设该品牌头盔的实际售价应定为y元/个， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴， 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个． 22. 如图，以四边形ABCD的对角线BD为直径作圆，圆心为O，圆O过A、C两点，过点A作的延长线于点E，已知DA平分． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径和AD的长． 【答案】（1） 证明：如下图，连接OA， ∵， ∴． ∵DA平分， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵OA是半径， ∴是切线； （2）5， 【解析】 【分析】（1）连接OA，根据已知条件证明即可解决问题； （2）取CD中点F，连接OF，根据垂径定理可得，所以四边形AEFO是矩形，利用勾股定理即可求出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如上图，取CD中点F，连接OF， ∴于点F， ∴四边形AEFO是矩形． ∵， ∴． 在Rt△OFD中，， ∴， 在Rt△AED中， ，， ∴， ∴的长是． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，解决本题的关键是掌握切线的判定与性质． 23. 综合与探究 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，且，E是线段上的一个动点，过点E作直线垂直于x轴交直线和抛物线分别于点D、F． （1）求抛物线的解析式； （2）设点E的横坐标为m，当m为何值时，线段有最大值，并写出最大值为多少； （3）点P是直线上的一个动点，若使三角形是等腰三角形，求出点P的坐标． 【答案】（1）； （2）当时，有最大值，且最大值为4． （3）点P的坐标为或或或． 【解析】 【分析】（1）根据，，运用待定系数法即可求解； （2）根据，，求出直线的解析式，根据点的横坐标为，可用含的式子表示点的坐标，由此可得的长关于的二次函数，根据最值的计算方法即可求解； （3）根据题意可求出的长，根据等腰三角形的性质，分类讨论：当、和时，分别列式计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为， ∴， ∵， ∴，则， 把，代入二次函数解析式得， ， 解得，， ∴二次函数解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）可知，二次函数解析式为，且，， ∴设直线所在直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵点E的横坐标为m，直线垂直于x轴交直线和抛物线分别于点D、F， ∴点D、F的横坐标为m， ∴，， ∴， ∴当时，有最大值，且最大值为4； 【小问3详解】 解：∵二次函数的图象与x轴交于A，B两点，且， ∴令时，，则，， ∴，且， 在，，，， 设，分三种情况： 当时，即， ∴， 解得， ∴或； 当时，即， ∴， 解得(舍去)，， ∴， 当时，即， ∴， 解得， ， 综上，点P的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，等腰三角形性质等知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $