精品解析：云南省保山市腾冲市第八中学2025届高三第二次全真模拟测试数学试题

腾冲市第八中学2025届高三第二次全真模拟测试 数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第4页至第6页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，且，则集合B可以是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知点P为椭圆上任意一点，直线与交于A，B两点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 某公司对其新推出的服务系统进行用户满意测评，收集了100位用户的评分数据，整理得如图所示的频率分布直方图.这组数据的平均数和中位数的大小关系为（ ） A. 平均数中位数 B. 平均数中位数 C. 平均数中位数 D. 不确定 6. 已知数列是等差数列，其前n项和为，若，，则数列中最小的项是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是偶函数，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 8. 在节目表演中为了增强舞台的亮度，且为了减弱演员面对强光的不适感，灯光设计人员巧妙地通过双曲线的光学性质，发散光线以保护演员的视力，如图，从双曲线右焦点发出的光线，其经过双曲线的反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.已知双曲线的离心率为，则当入射光线和反射光线互相垂直时，（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 已知抛物线，过焦点的直线与交于，两点，为坐标原点，则下列说法正确的有（ ） A. 弦的最小值为8 B. 弦的中点到准线的距离小于 C. 存在弦，使得的中点坐标为 D. 当时， 10. 已知函数，则（ ） A. 是偶函数 B. 是的一个周期 C. 的图象关于直线对称 D. 在区间上单调递减 11. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，角的始边与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于两点，则下列说法中，正确的是（ ） A. 在上的投影向量为 B. C. 若的长度为，则点的轨迹长度为 D. 设，则的最大值为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数则______. 13. 刘徽在《九章算术注》中首次明确提出了球缺和球分的概念，如图，球被平面截取，曲面部分为球冠，球冠与截面围成的部分为球缺，祖暅精确推导了球缺的体积计算公式为，其中是球的半径，是球缺的高（即球冠顶点到截面的距离）.连接球心与截面，与球冠围成的部分为球分.若一球缺的高为3，截面半径为，则它对应的球分的体积为__________. 14. 某研究性学习小组针对“使用大绿书的用户是否存在性别差异”，向个人进行调查.用表示所有调查对象构成的集合.以为样本空间建立古典概型，并定义一对分类变量和如下：对于中的每一名学生，，现得到下表： 是大绿书的用户 不是大绿书的用户 男性 女性 若根据的独立性检验认为（其中），则的最小值为__________.（参考公式：，其中） 四、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 小明同学用“五点法”作函数在某一周期内的图象时，列表并填入部分数据如下表： 0 0 0 2 （1）求的解析式，并说明函数的图象由的图象经过怎样的变换得到？ （2）解不等式. 16. 已知函数，. （1）求证：在处的切线与只有一个公共点； （2）设，请在以下三个函数：①；②；③中选择一个函数，使得该函数有最大值，并求出最大值. 17. 如图，已知三棱锥中，，且. （1）若，求证：； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 18. 某地区为了检测某种农业有机肥料的效果，农业专家播撒肥料到200块试验田中，一段时间后测量土地的某项肥力指标，按，，，，分组，绘制成如下频率分布直方图.试验后发现，产生土地肥力的为160块，其中该项指标不小于60的有110块.假设各块试验田播撒肥料后是否产生肥力相互独立. （1）填写下面的列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为播撒肥料试验田产生肥力与指标值不小于60有关； 指标值 合计 小于60 不小于60 产生肥力 未产生肥力 合计 （2）为了检验有机肥第二次播撒的有效性，对第一次播撒有机肥后没有产生肥力的试验田进行第二次播撒，结果又有20块试验田产生肥力.用频率估计概率，求一块试验田播撒2次有机肥料产生肥力的概率. 参考公式：（其中为样本容量） 参考数据： 0.100 0.050 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 19. 定义二元函数（，），同时满足：①；②；③三个条件. （1）求，的值； （2）求的解析式； （3）若，，.比较与0的大小关系，并说明理由. 附：参考公式；；；. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 腾冲市第八中学2025届高三第二次全真模拟测试 数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第4页至第6页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的除法运算及共轭复数概念即可求解. 【详解】解析：， 所以， 故选：C. 2. 已知集合，且，则集合B可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知有，再结合各项集合描述，解一元二次不等式、指数不等式、对数不等式求集合，即可得. 【详解】因为，所以，显然A中集合不合题意； B中集合为或，也不合题意， C中集合为，满足题意， D中集合为，不合题意. 故选：C 3. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用余弦定理求出的长度，再根据余弦定理求出的值. 【详解】在中，； 由余弦定理，解得. 再根据余弦定理，解得. 故选：. 4. 已知点P为椭圆上任意一点，直线与交于A，B两点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，结合椭圆焦半径的取值范围即可求解； 【详解】 ，即的圆心，半径为， 化为，可得直线l过定点， 椭圆方程中，，，，，则圆心为椭圆的右焦点， 线段为的直径(除去直线与圆M相交的直径）， 连接，因此， 点为椭圆上任意一点，则，， 即，所以， 故选：B. 5. 某公司对其新推出的服务系统进行用户满意测评，收集了100位用户的评分数据，整理得如图所示的频率分布直方图.这组数据的平均数和中位数的大小关系为（ ） A. 平均数中位数 B. 平均数中位数 C. 平均数中位数 D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据平均数和中位数在频率分布直方图中的意义进行理解判定. 【详解】平均数对样本中的极端值更加敏感，对于一个单峰的频率分布直方图来说，如果直方图在左边“拖尾”，平均数总是在“长尾巴”那边，则平均数小于中位数， 故选：A. 6. 已知数列是等差数列，其前n项和为，若，，则数列中最小的项是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由得到，由得到，即可求解； 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以公差， 故当时，，当时，， 所以当时，取得最小值，即中最小的项是， 故选：C. 7. 已知函数是偶函数，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】由偶函数的定义构造等式求解即可. 【详解】由题意可得， 即， 整理得，恒成立， 即， 易得：， 故选：D. 8. 在节目表演中为了增强舞台的亮度，且为了减弱演员面对强光的不适感，灯光设计人员巧妙地通过双曲线的光学性质，发散光线以保护演员的视力，如图，从双曲线右焦点发出的光线，其经过双曲线的反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.已知双曲线的离心率为，则当入射光线和反射光线互相垂直时，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据离心率为得到，，利用特殊值的思路，设双曲线的标准方程为，，，然后利用勾股定理列方程解得，最后求的余弦值即可. 【详解】因为，所以，，不妨设双曲线的标准方程为，设，则，所以，解得（已舍去），所以. 故选：A. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 已知抛物线，过焦点的直线与交于，两点，为坐标原点，则下列说法正确的有（ ） A. 弦的最小值为8 B. 弦的中点到准线的距离小于 C. 存在弦，使得的中点坐标为 D. 当时， 【答案】BD 【解析】 【分析】对A，举反例当焦点的直线与轴垂直时判断即可；对B，作出图形，由抛物线的性质可得B正确；对C，令，由抛物线焦点弦的性质可得，再结合中点坐标公式可验证C错误；对D，当时，可得，再取特殊值，计算可得D正确. 【详解】由题意知，焦点，准线方程为直线，令． 对于A，当过焦点的直线为时，设为上交点，易得，此时，故A错误； 对于B，设的中点为E，过分别作准线的垂线，垂足分别为，如图，则，而，所以，故B正确． 对于C，由抛物线的性质可知①． 若存在弦，使得中点的坐标为， 则，解得或，都不满足①式，故C错误． 对于D，当时，解得， 由对称性，不妨取，则，所以，故D正确． 故选：BD． 10. 已知函数，则（ ） A. 是偶函数 B. 是的一个周期 C. 的图象关于直线对称 D. 在区间上单调递减 【答案】AC 【解析】 【分析】化简函数解析式为，利用函数奇偶性的定义可判断A选项；利用函数周期性的定义可判断B选项；利用函数对称性的定义可判断C选项；利用函数的单调性与倒数的关系可判断D选项. 【详解】因为， 对任意的，，则恒成立，即函数的定义域为， 因为，所以是偶函数，A正确； 因为，则， 所以不是的周期，B错误； 因为， 所以的图象关于直线对称，C正确； 因为 ， 当时，则，所以，，，则， 故在区间上单调递增，D错误， 故选：AC. 11. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，角的始边与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于两点，则下列说法中，正确的是（ ） A. 在上的投影向量为 B. C. 若的长度为，则点的轨迹长度为 D. 设，则的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量投影的概念判断A；利用两点间距离结合倍角公式判断B；结合向量的运算，确定P点轨迹，可判断C；利用三角恒等变换结合三角函数性质可判断D. 【详解】由题意知， 则在上的投影向量为，故A正确； 因为，，所以 ，故B正确； 当的长度为时，，所以， 点轨迹是以为圆心，为半径的圆，长度为，故C错误； 由于，则， 则 ， 其最大值为，当时取等号，故D正确， 故选：ABD. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数则______. 【答案】 【解析】 【分析】结合对数的运算性质，根据题中分段函数解析式运算求解即可. 【详解】因为，且， 所以. 故答案为：. 13. 刘徽在《九章算术注》中首次明确提出了球缺和球分的概念，如图，球被平面截取，曲面部分为球冠，球冠与截面围成的部分为球缺，祖暅精确推导了球缺的体积计算公式为，其中是球的半径，是球缺的高（即球冠顶点到截面的距离）.连接球心与截面，与球冠围成的部分为球分.若一球缺的高为3，截面半径为，则它对应的球分的体积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的方程求解半径，再分别计算球缺体积、圆锥体积，最后将两者体积相加得到球分的体积. 【详解】由题可得，，解得， 则，，所以. 故答案为： 14. 某研究性学习小组针对“使用大绿书的用户是否存在性别差异”，向个人进行调查.用表示所有调查对象构成的集合.以为样本空间建立古典概型，并定义一对分类变量和如下：对于中的每一名学生，，现得到下表： 是大绿书的用户 不是大绿书的用户 男性 女性 若根据的独立性检验认为（其中），则的最小值为__________.（参考公式：，其中） 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意，由的公式代入计算，列出不等式，即可得到结果. 【详解】因为用大绿书APP的用户存在性别差异， 所以， 即，所以的最小值为3. 故答案为： 四、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 小明同学用“五点法”作函数在某一周期内的图象时，列表并填入部分数据如下表： 0 0 0 2 （1）求的解析式，并说明函数的图象由的图象经过怎样的变换得到？ （2）解不等式. 【答案】（1），先把函数的图象向左平移个单位，得到的图象；然后使曲线上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象. （2）. 【解析】 【分析】（1）由五点作图，构造等式，，求解即可，结合伸缩平移变换即可求解； （2）由余弦函数的单调性得到，即可求解. 【小问1详解】 由表格知，解得， 所以. 先把函数的图象向左平移个单位，得到的图象； 然后使曲线上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍， 得到函数的图象. 【小问2详解】 由（1）可得， 解得， 所以， 解得， 所以不等式的解集为. 16. 已知函数，. （1）求证：在处的切线与只有一个公共点； （2）设，请在以下三个函数：①；②；③中选择一个函数，使得该函数有最大值，并求出最大值. 【答案】（1） 对函数，， ，在处的切线方程为 设， ，易知在上单调递减，在上单调递增， ， ，当且仅当时，， 与只有一个公共点. （2） 只有选②，有最大值，最大值为。 【解析】 【分析】（1）求导确定切线方程，再构造函数，通过其零点个数，即可求证； （2）求导，通过函数单调性即可判断； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 若选①，则， 易知在上单调递增，无最大值； 若选②，则令，， 由，得； 由，得； 所以在上单调递增，在上单调递减，； 若选③，则令， 由，得； 由，得； 所以在上单调递减，在上单调递增， ，无最大值. 17. 如图，已知三棱锥中，，且. （1）若，求证：； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：因为， 所以，所以， 假设是的中点，连接，又， 则有，又，平面，平面， 所以平面， 又平面，所以； （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明平面，进而证得； （2）求出平面与平面的法向量，利用面面角的向量公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点分别做平面，垂足分别为， 连结，因为，则有， 所以，又，所以， 因为，平面，平面， 所以平面， 因为平面， 所以，同理， 所以， 又，所以， 所以，且，过点做平面， 如图所示，以为坐标原点，所在直线为轴，轴，轴， 如图建立空间直角坐标系，由题知， ， 所以， 设平面的法向量为，则，所以， 可取； 设平面的法向量为，则,所以， 可取， 设平面与平面的夹角为，所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 18. 某地区为了检测某种农业有机肥料的效果，农业专家播撒肥料到200块试验田中，一段时间后测量土地的某项肥力指标，按，，，，分组，绘制成如下频率分布直方图.试验后发现，产生土地肥力的为160块，其中该项指标不小于60的有110块.假设各块试验田播撒肥料后是否产生肥力相互独立. （1）填写下面的列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为播撒肥料试验田产生肥力与指标值不小于60有关； 指标值 合计 小于60 不小于60 产生肥力 未产生肥力 合计 （2）为了检验有机肥第二次播撒的有效性，对第一次播撒有机肥后没有产生肥力的试验田进行第二次播撒，结果又有20块试验田产生肥力.用频率估计概率，求一块试验田播撒2次有机肥料产生肥力的概率. 参考公式：（其中为样本容量） 参考数据： 0.100 0.050 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】（1）列联表如下： 指标值 指标值 产生肥力 50 110 未产生肥力 20 20 不能认为播撒肥料试验田产生肥力与指标值不小于60有关 （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图概率性质求解各组的块数，再求解卡方，判断与时的大小关系即可； （2）根据二次播撒后产生肥力的频数与总数的比值判断即可. 【小问1详解】 在指标内的有块， 同理：内的有25块，内的有35块，内的有100块， 内的有30块， 指标值 指标值 产生肥力 50 110 未产生肥力 20 20 ， 所以根据列联表及的独立性检验，不能认为播撒肥料试验田产生肥力与指标值不小于60有关. 【小问2详解】 由题意，第一次播撒后产生肥力的频数为160， 第一次播撒有机肥后没有产生肥力的试验田进行第二次播撒后产生肥力的频数为20， 则一块试验田播撒2次有机肥料产生肥力的频率为，以频率估计概率，这块试验田播撒2次有机肥料产生肥力的概率为. 19. 定义二元函数（，），同时满足：①；②；③三个条件. （1）求，的值； （2）求的解析式； （3）若，，.比较与0的大小关系，并说明理由. 附：参考公式；；；. 【答案】（1）， （2） （3） 当时，； 当时，； 当时，. 【解析】 【分析】（1）由题中给的三个条件逐步计算即可得到结果； （2）由条件①得；由条件②结合的结果即可得到； （3）由（2）得到的通项，由此得到，两边同乘后借助2倍角公式和参考公式整理等式.然后由三角函数的最小值对得到的最小值并求出取等号时的值，然后在讨论的不同取值得到不同的关系. 【小问1详解】 因为，由②得， 由①得，. 【小问2详解】 由①得：，，， 将上述等式相加，可得， 所以，也满足此式，故. 由②得，，，， 将上述等式相加，可得， 所以. 而也满足此式，故. 【小问3详解】 由（2）知， ， 所以 ， 当且仅当时，，上式取得等号， 即当时，均有， 所以当时，； 当时，； 当时，. 【点睛】关键点睛，本题是新定义题目，根据定义中的三个条件进行解题是第一个关键；在得到的式子后，要从给到的参考公式进行分析，然后得到等式两边同乘是第二个关键；三角函数的有界性是本题的第三个关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $