精品解析：江西省新余市渝水区北京师范大学新余附属学校2024-2025学年八年级上学期11月期中考试数学试题

2024-2025学年上学期初二期中考试数学试卷 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列城市的地铁图标中，不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即得答案. 【详解】解：A．是轴对称图形，故本选项不合题意； B．是轴对称图形，故本选项不合题意； C．是轴对称图形，故本选项不合题意； D．不是轴对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，注意：将一个图形沿某条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形. 2. 若正边形每个内角为120°，则这个边形对角线一共有（ ）条． A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】多边形的每一个内角都等于120°，则每个外角是60°，而任何多边形的外角是360°，则求得多边形的边数；再根据多边形一个顶点出发的对角线条数为，即可求得对角线的条数． 【详解】解：∵多边形的每一个内角都等于120°， ∴每个外角是60度， 则多边形的边数为360°÷60°=6， 则该多边形有6个顶点， 则此多边形从一个顶点出发的对角线共有6-3=3条． ∴这个多边形的对角线有（6×3）=9条， 故选B． 【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理，已知外角求边数的这种方法是需要熟记的内容．同时考查了多边形的边数与对角线的条数的关系． 3. 若点与点关于轴对称，则（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. -7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称与坐标变化的知识，关键在于掌握关于轴对称的点的坐标规律：关于轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数． 利用关于轴对称的点的坐标规律可知：与4互为相反数，等于3，即可求得的值． 【详解】点与点关于轴对称． ，． ． 故选：A． 4. 如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定方法，逐项判断即可求解． 【详解】解：根据题意得：，， A．若添加，满足边角边，能判定，故该选项不符合题意； B．若添加，满足斜边直角边对应相等，能判定，故该选项不符合题意； C．若添加，满足边边角，不能判定，故该选项符合题意； D．若添加，满足边边边，能判定，故该选项不符合题意； 故选：C． 5. 如图，已知P是△ABC内任一点， AB＝12，BC＝10，AC＝6，则 PA+PB+PC的值一定大于（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 28 【答案】A 【解析】 【分析】在三个三角形中分别利用三边关系列出三个不等式，相加后根据不等式的性质即可得到正确的结论. 【详解】解：如图所示，在△ABP中，AP+ BP> AB， 同理: BP + PC > BC，AP+ PC > AC， 以上三式左右两边分别相加得到: 2(PA+ PB+ PC)> AB+ BC+ AC, 即PA+ PB+ PC>(AB+ BC+ AC)， ∴PA+ PB+ PC>×（12+10+6）=14， 即PA+ PB+ PC>14 故选A. 【点睛】本题主要考查的是三角形的三边关系，在三个三角形中分别利用三边关系列出三个不等式，相加后即可得到正确的结论; 6. 如图，在中，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，下面说法正确的是（　　） ①的面积的面积；②；③；④． A. ①②③④ B. ①②③ C. ②④ D. ①③ 【答案】B 【解析】 【分析】根据等底等高的三角形的面积相等即可判断①，根据三角形内角和定理求出 根据三角形的外角性质即可推出②，根据三角形内角和定理求出 根据角平分线定义即可判断③，根据等腰三角形的判定判断④即可． 本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线、中线、高，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 【详解】解：∵是中线， ∴， ∴的面积的面积，故①符合题意； ∵是角平分线， ∴， ∵为高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴，故②符合题意； ∵为高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 即，故③符合题意； 根据已知条件不能推出，即不能推出，故④不符合题意； 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 自行车的主框架采用了三角形结构，这样设计的依据是三角形具有______． 【答案】稳定性 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键；因此此题可直接根据题意进行求解． 【详解】解：自行车的主框架采用了三角形结构，这样设计的依据是三角形具有稳定性； 故答案为：稳定性． 8. 已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形三边关系，分腰长为和两种情况，依据三角形三边关系，分类讨论即可得到答案． 【详解】解：当腰长为时，，三角形不存在； 当腰长为时，符合三角形两边之和大于第三边，所以这个三角形的周长为；   故答案为： ． 9. 如图，______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理，如图，连连接，记、的交点为， 先证明，再利用三角形的内角和定理可得答案．作出合适的辅助线构建三角形是解本题的关键． 【详解】解：如图，连接，记、的交点为， ，，， ， ， ， 故答案为：． 10. 如图，在中，已知点D、E、F分别为边、、的中点，且的面积是4，则的面积是______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的面积公式：底高．依据三角形的面积公式及点D、E、F分别为边、、的中点，推出，从而求得的面积． 【详解】解：设以为底边的高为， 则， 点D、E、F分别为边、、的中点， ， 同理可得，，，， ， ． 故答案为：1． 11. 如图，在锐角三角形中，，的面积为7，平分，若M，N分别是，上的动点，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查角平分线的轴对称性、最短路径问题，先过C作于H，根据角平分线的轴对称性，可作N关于对称点，连接，则，由得当C、M、共线且时，取等号，此时值最小，最小值为的值，利用三角形的面积公式求得，进而可求解． 【详解】解：∵平分，如图，过C作于H，作N关于对称点， ∴在上， 连接，则，当C、M、共线且时，取等号，此时值最小，最小值为的值， ∵在锐角三角形中，，的面积为7， ∴， ∴ ， 即的最小值为， 故答案为：． 12. 如图，已知，点P是射线上一动点（P不与B重合），当______时，以A、O、B中的其中两点和P点为顶点的三角形是等腰三角形． 【答案】或或 【解析】 【分析】根据三角形的定义分以点为顶点的等腰三角形和以点为顶点的等腰三角形两种情况，再分别根据等腰三角形与等边三角形的判定、三角形的内角和定理即可得． 【详解】， ， 由题意，分以下两种情况： （1）以点为顶点的等腰三角形， ①当时，是等腰三角形， 则， 点P是射线上一动点， 此时点P与点B重合，不符题意，舍去； ②当时，是等腰三角形， 则； ③当时，是等腰三角形， 则； （2）以点为顶点的等腰三角形， ， 当是等腰三角形时，一定是等边三角形， ， ； 综上，符合条件的的度数为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形与等边三角形的判定、三角形的内角和定理，依据题意，正确分情况讨论是解题关键． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 已知：的三边长是． （1）若的周长是小于的偶数，求的长． （2）化简：． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形三边关系，可确定的取值范围，再根据三角形的周长是小于18的偶数，由此即可求解； （2）根据三角形三边关系，绝对值的性质，化简，即可求解． 【小问1详解】 解：是的三边，， 三角形的周长是小于18的偶数， ，且应是奇数， 或． 【小问2详解】 解：∵，， ∴ ． 【点睛】本题主要考查三角形三边关系，绝对值的化简，掌握三角形三边关系是解题的关键． 14. 如图，在等腰中，，点，在边上，．求证：． 【答案】 证明：如图，过点作于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形三线合一的性质．熟悉等腰三角形三线合一的性质：等腰三角形底边上的中线，高以及顶角平分线重合，是解题的关键． 根据等腰三角形三线合一的性质，过点作于点，即等腰和等腰的高，证明，，继而证明． 【详解】略 15. 如图，中，是上的高，平分，，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，在中，利用三角形内角和定理可求出的度数，结合平分可求出的度数，在中，利用三角形内角和定理可求出的度数，再结合即可求出结论． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∵平分， ∴， 在中，，， ∴，， ∴． 16. 如图，四边形ABCD中，，，，，，求CD的长． 【答案】． 【解析】 【分析】本题主要查了等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质．延长交于点E，证明是等边三角形，可得，从而得到，再由直角三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点E， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 17. 请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹，不写画法）． （1）如图1，△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在AB，AC边上，且AD＝AE，作出∠BAC的角平分线AF； （2）如图2，四边形BCED中，BD＝CE，∠B＝∠C，M为BC边上一点，在BC边上作一点N，使CN＝BM． 【答案】 （1）如图所示，AF为∠BAC的角平分线： 在△ADC和△AEB中，, ∴△ADC≌△AEB(SAS)， ∴∠ACD=∠ABE， ∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB， ∴∠PBC=∠PCB， ∴PB=PC， 在△APC和△APB中，, ∴△APC≌△APB(SSS)， ∴∠PAB=∠PAC， 即AF为∠BAC的角平分线； （2）如图所示，点N即为所求作： 由（1）得AF为∠BAC的角平分线，又AB=AC， ∴AF为线段BC的垂直平分线， ∴OM=ON， ∴FM=FN， ∴CN=BM． 【解析】 【分析】（1）连接BE、CD相交于P，连接AP并延长交BC于F，AF为∠BAC的角平分线； （2）延长BD、CE相交于A，连接BE、CD相交于P，连接AP并延长交BC于点F，连接EM交AF于点O，连接DO并延长交BC于N，则CN=BM． 【详解】略 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的判定与性质，线垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定和性质． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． （1）求证：； （2）若，求∠B的度数． 【答案】（1） 解：连接， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵D是的中点， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是正确理解等腰三角形的性质，垂直平分线的性质． （1）连接，根据垂直平分线的性质，可知，根据等腰三角形三线合一即可知； （2）设，由（1）可知，然后根据三角形的内角和为列出方程即可求出x的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， ∵， ∴， ∴由三角形的外角的性质， ， ∵， ∴， 在中，， 解得，， ∴． 19. 如图，为中线，点E在上，交于点F，，求证：． 【答案】 证明：延长到点G，使，连接， 为中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 延长到点G，使，连接，可根据全等三角形的判定定理“”证明，得，，由，得，可推导出，得，所以． 【详解】略 20. 已知：如图，点C为线段上一点，，都是等边三角形，连接交于点E，连接交于点F． （1）求证：； （2）判断形状，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵与都是等边三角形， ∴． ∴， 即：， 在和中 ， ∴． ∴； （2） 解：是等边三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 在和中 ， ∴． ∴． 又∵， ∴是等边三角形． 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是证明三角形全等． （1）等边三角形的性质可以得出，两边及其夹角分别对应相等，两个三角形全等，得出线段与线段相等． （2）根据平角的定义得出，通过证明得出，根据等边三角形的判定得出的形状． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，平分，且. （1）在图1中，当时，求证：； （2）在图2中，当时，求证：. 【答案】 证明：（1）∵∠B+∠C=180°，∠B=90° ∴∠C=90° ∵AD平分∠BAC ∴∠DAC=∠BAD ∵AD=AD ∴△ACD≌△ABD（AAS） ∴BD=CD （2） 如图示，在AB上截取AE，使得AE=AC， ∵AD平分∠BAC ∴∠DAC=∠BAD ∵AD=AD ∴△ACD≌△AED（SAS） ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， 即有：， ∴△EDB是等边三角形， ∴， ∴ 即有： 【解析】 【分析】（1）利用AAS判断出△ADC≌△ADB，即可得出结论； （2）在AB上截取AE，使得AE=AC，则可证明△ADC≌△ADE，所以有，则可得，即△EDB是等边三角形，即可推出. 【详解】略 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、等边三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形． 22. 如图，点是内一点，是外的一点，，，，，连接． （1）求证：是等边三角形； （2）当时，试判断的形状，并说明理由； （3）探究：当为多少度时，是等腰三角形． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2） 是直角三角形，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）当等于或或时，是等腰三角形 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定等知识. ()根据全等三角形的性质得到，再证明，即可证明是等边三角形； ()先求出，根据全等的性质得到，即可求出，从而得到是直角三角形； ()分别表示出，，，分①，②，③三种情况讨论即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意得：，， ∴； ①若，则，即， ∴； ②若，则，即， ∴； ③若，则，即， ∴； 综上，当等于或或时，是等腰三角形． 六、解答题（本大题共1小题，共12分） 23. 在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于，且满足． （1） ， ． （2）D为延长线上一动点，以为直角边作等腰直角三角形，连接，求直线与y轴交点F的坐标． （3）如图②，点E为y轴正半轴上一点，且，平分，点M是射线上一动点，点N是线段上一动点，请直接写出的最小值． 【答案】（1），6 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用非负数的性质即可解决问题； （2）先判断出得出，进而判断出，即可得出，即可得出点F坐标； （3）过点O作于G，交于M，作于N，连接，此时的值最小． 【小问1详解】 解：∵， 又∵． ， ∴． 故答案为：，6； 【小问2详解】 解：如图1，过点E作轴于M， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：如图2中，过点O作于G，交于M，作于N，连接，此时的值最小． ， ， ， 在中，， ， ∴的最小值为3． 【点睛】主要考查了非负数的性质，三角形面积公式，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，解本题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年上学期初二期中考试数学试卷 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列城市的地铁图标中，不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 若正边形每个内角为120°，则这个边形对角线一共有（ ）条． A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 3. 若点与点关于轴对称，则（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. -7 4. 如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知P是△ABC内任一点， AB＝12，BC＝10，AC＝6，则 PA+PB+PC的值一定大于（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 28 6. 如图，在中，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，下面说法正确的是（　　） ①的面积的面积；②；③；④． A. ①②③④ B. ①②③ C. ②④ D. ①③ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 自行车的主框架采用了三角形结构，这样设计的依据是三角形具有______． 8. 已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是______． 9. 如图，______度． 10. 如图，在中，已知点D、E、F分别为边、、的中点，且的面积是4，则的面积是______． 11. 如图，在锐角三角形中，，的面积为7，平分，若M，N分别是，上的动点，则的最小值为_______． 12. 如图，已知，点P是射线上一动点（P不与B重合），当______时，以A、O、B中的其中两点和P点为顶点的三角形是等腰三角形． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 已知：的三边长是． （1）若的周长是小于的偶数，求的长． （2）化简：． 14. 如图，在等腰中，，点，在边上，．求证：． 15. 如图，中，是上的高，平分，，，求的度数． 16. 如图，四边形ABCD中，，，，，，求CD的长． 17. 请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹，不写画法）． （1）如图1，△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在AB，AC边上，且AD＝AE，作出∠BAC的角平分线AF； （2）如图2，四边形BCED中，BD＝CE，∠B＝∠C，M为BC边上一点，在BC边上作一点N，使CN＝BM． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． （1）求证：； （2）若，求∠B的度数． 19. 如图，为中线，点E在上，交于点F，，求证：． 20. 已知：如图，点C为线段上一点，，都是等边三角形，连接交于点E，连接交于点F． （1）求证：； （2）判断形状，并说明理由． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，平分，且. （1）在图1中，当时，求证：； （2）在图2中，当时，求证：. 22. 如图，点是内一点，是外的一点，，，，，连接． （1）求证：是等边三角形； （2）当时，试判断的形状，并说明理由； （3）探究：当为多少度时，是等腰三角形． 六、解答题（本大题共1小题，共12分） 23. 在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于，且满足． （1） ， ． （2）D为延长线上一动点，以为直角边作等腰直角三角形，连接，求直线与y轴交点F的坐标． （3）如图②，点E为y轴正半轴上一点，且，平分，点M是射线上一动点，点N是线段上一动点，请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $