精品解析：吉林省长春市东北师范大学附属实验学校2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试卷

八年级数学学科阶段综合性训练 考试时长：120分钟试 卷分值：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列各式中是分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 中国第一代纳米芯片FinFET技术取得了突破性进展并进入量产，代表了中国大陆自主研发集成电路的最先进水平，纳米米，用科学记数法表示为(　　) A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 如果把分式中的、同时扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ） A. 缩小为原来的 B. 扩大为原来的2倍 C. 扩大为原来的4倍 D. 不变 5. 若表示的是一个最简分式，则☆可以是（） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，已知点．若四边形ABCD是平行四边形，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的分式方程有增根，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 要使分式有意义，则 x 应满足__________ ． 10. 分式与的最简公分母是___________． 11. 已知点P的坐标为，则P点到y轴距离为______． 12. 计算：___________． 13. 若关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围是______． 14. 如图，在正方形纸片中，点E是上一点，，连接，将正方形沿折叠，点B落在点F处，延长交于点G，连接、．以下结论：①；②；③若连接，则为直角三角形；④．其中正确结论的序号是_____． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算： （1）； （2）． 16. 计算： （1）； （2）． 17. 解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 列分式方程解决问题： 某公司决定采购A型和B型两款新能源汽车，已知每辆A型汽车的进价比每辆B型汽车的进价多5万元，若用3000万元购进A型汽车的数量与用2000万元购进B型汽车的数量相同，求每辆B型汽车的进价是多少万元． 20. 下面是小亮同学对分式的化简过程，请认真阅读并完成相应的问题． …第一步 …第二步 …第三步 …第四步 …第五步 问题解答： （1）从第______步开始出现错误； （2）请写出正确的化简过程． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）将绕原点O旋转，画出旋转后的； （2）在（1）中，的顶点的坐标是______，的坐标是______； （3）在（1）中，若内部一点P的坐标为，则点P的对应点的坐标是_____． 22. 如图，矩形的对角线、交于点F，延长到点C，使，延长到点D，使，连接、、． （1）求证:四边形是菱形． （2）若，，则菱形的面积为 ． 23. 阅读理解： 著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料1：已知，求分式的值． 解：， ， ． 解析：这道题在解题过程中利用了倒数，所以可以讲这种方法称为倒数法． 材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：． 解析：这种方法可以称为分离常数法． 根据材料，解答下面问题： （1）已知，则分式的值为______，分式的值为______； （2）若分式的值为整数，求整数b的值； （3）已知，则分式的值为______． 24. 如图，矩形中，．动点P从点B出发，以每秒的速度沿的方向，向终点D运动；动点Q从点B出发以每秒的速度沿的方向向终点C运动．以为边向右上方作正方形，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设点P、Q同时出发，运动时间为t秒． （1）当点P在上运动时，______；当点P在上运动时，_____；（用含t的代数式表示） （2）当点N落在边上时，求t的值； （3）当正方形与长方形的重叠部分为四边形时，求重叠部分的面积S（用含t的代数式表示）； （4）请直接写出当t满足什么条件时，正方形与长方形的重叠部分为轴对称图形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学学科阶段综合性训练 考试时长：120分钟试 卷分值：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列各式中是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的识别，一般地，如果表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫作分式，据此可得答案． 【详解】解：由分式的定义可知，四个选项中只有C选项中的式子是分式， 故选：C． 2. 中国第一代纳米芯片FinFET技术取得了突破性进展并进入量产，代表了中国大陆自主研发集成电路的最先进水平，纳米米，用科学记数法表示为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，根据将一个数写成，n为整数）的形式叫科学记数法直接求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ， 故选：C． 3. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点所在的象限，根据象限内的点的坐标的特点即可求解，熟练掌握象限内的点的坐标的特点是解题的关键． 【详解】在平面直角坐标系中，点所在的象限是第四象限． 故选：D． 4. 如果把分式中的、同时扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ） A. 缩小为原来的 B. 扩大为原来的2倍 C. 扩大为原来的4倍 D. 不变 【答案】B 【解析】 【分析】依题意，分别用和去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可． 【详解】解：把分式中的、同时扩大为原来的2倍得：， ∵， ∴把分式中的、同时扩大为原来的2倍，那么分式的值扩大为原来的2倍， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论． 5. 若表示的是一个最简分式，则☆可以是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简分式，根据最简分式的定义，即可求解．最简分式定义，分子与分母没有公因式的分式，叫最简分式． 【详解】解：A、当☆为时，，不是最简分式，故该选项不符合题意； B、当☆为x时，，是最简分式，故该选项符合题意； C、当☆为时，，不是最简分式，故该选项不符合题意； D、当☆为时，，不是最简分式，故该选项不符合题意； 故选：B． 6. 如图，在平面直角坐标系中，已知点．若四边形ABCD是平行四边形，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，平行四边形的性质，设，根据平行四边形对角线中点坐标相同列出方程求解即可． 【详解】解： 设， 由平行四边形对角线中点坐标相同可得， ∴， ∴点D的坐标为； 故选：C． 7. 若关于的分式方程有增根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是掌握增根的定义：使整式方程成立，分式无意义的未知数的值． 将分式方程转化为整式方程，根据方程有增根，得到的值，代入整式方程进行求解． 【详解】解： ， ∵关于的分式方程有增根， ∴，解得：， 故选：． 8. 《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，熟练掌握分式方程是解题的关键．根据题意，慢马用时间为天，快马用时间为天，根据题意列方程得，解答即可． 【详解】解：根据题意，慢马用时间为天，快马用时间为天， 根据题意列方程得， 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 要使分式有意义，则 x 应满足__________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不为零求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴，解得， 即x应满足， 故答案为：． 10. 分式与的最简公分母是___________． 【答案】 【解析】 【详解】确定最简公分母的方法：如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各单项式系数的最小公倍数与所有字母的最高次幂的积；如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂． 【易错点分析】易出现等错误答案．需熟练掌握求最简公分母的方法． 11. 已知点P的坐标为，则P点到y轴距离为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了求点到坐标轴的距离，点到y轴的距离为该点横坐标的绝对值，据此可得答案． 【详解】解：∵点P的坐标为， ∴P点到y轴距离为， 故答案为：1． 12. 计算：___________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据零次幂及负指数幂可直接进行求解． 【详解】解：原式=； 故答案为5． 【点睛】本题主要考查零次幂及负指数幂的运算，熟练掌握零次幂及负指数幂的运算是解题的关键． 13. 若关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为负数确定出m的范围即可． 【详解】解： 原方程去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得： ∵关于x的分式方程的解为负数， ∴且． ∴且． 故答案为：且． 14. 如图，在正方形纸片中，点E是上一点，，连接，将正方形沿折叠，点B落在点F处，延长交于点G，连接、．以下结论：①；②；③若连接，则为直角三角形；④．其中正确结论的序号是_____． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】①正确，先由折叠的性质可得，再证，可得，从而得到即可判断；②正确，设，利用勾股定理得，可得，从而得到即可判断；③正确，由、分别得到、，再由三角形内角和定理得到即可判断；④错误，先证，再由等高三角形的面积比等于底边之比可知，从而求出面积即可判断． 【详解】解： 四边形是正方形， ， ， 由折叠可知：，， ，， ， 又， ， ， ， 故①正确； 由①得，， ， 设，则，， 在中，， ，解得：， ， ， ， ， 故②正确； 如图，连接， ， ， ， ， ， ， 是直角三角形， 故③正确； 如图，过点作， ，， ， ，， ， ， ，， ， ， 故④错误． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，等高三角形的面积比等于底边之比等知识，灵活运用性质解决问题是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查分式的四则混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键， （1）先将第一个式子平方，然后与第二个分式相乘即可得到答案； （2）首先利用平方差公式将式了因式分解，再进行约会即可得到答案． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的加减计算，熟知分式的加减计算法则是解题的关键． （1）先把第一个分式的分子利用完全平方公式展开，再根据同分母分式减法计算法则求解即可； （2）先通分，再把分子合并同类项后约分即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2）原方程无解 （3）原方程无解 （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟知解分式方程的方法是解题的关键． （1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可得到答案； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可得到答案； （3）按照去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤解方程，然后检验即可得到答案； （4）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可得到答案． 【小问1详解】 解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解； 【小问2详解】 解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解； 【小问3详解】 解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 检验，当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解； 【小问4详解】 解：解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】；4 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值．先计算括号内的，再计算除法，然后把代入化简后的结果即可． 【详解】解：原式 当时，原式 19. 列分式方程解决问题： 某公司决定采购A型和B型两款新能源汽车，已知每辆A型汽车的进价比每辆B型汽车的进价多5万元，若用3000万元购进A型汽车的数量与用2000万元购进B型汽车的数量相同，求每辆B型汽车的进价是多少万元． 【答案】每辆B型汽车的进价是10万元． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设每辆B型汽车的进价为x万元，则每辆A型汽车的进价为万元，根据用3000万元购进A型汽车的数量与用2000万元购进B型汽车的数量相同，列分式方程进行计算求解即可． 【详解】解：设每辆B型汽车的进价为x万元，则每辆A型汽车的进价为万元． 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 答：每辆B型汽车的进价是10万元． 20. 下面是小亮同学对分式的化简过程，请认真阅读并完成相应的问题． …第一步 …第二步 …第三步 …第四步 …第五步 问题解答： （1）从第______步开始出现错误； （2）请写出正确的化简过程． 【答案】（1）一 （2），正确的化简过程见解析 【解析】 【分析】本题主要考查分式的混合运算，熟练掌握分式的运算是解题的关键； （1）根据题意可直接进行求解； （2）根据分式的加减乘除运算可进行求解 【小问1详解】 解：由题意得：从第一步开始出现错误； 故答案为一； 【小问2详解】 解： ． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）将绕原点O旋转，画出旋转后的； （2）在（1）中，的顶点的坐标是______，的坐标是______； （3）在（1）中，若内部一点P的坐标为，则点P的对应点的坐标是_____． 【答案】（1）见解析 （2）， （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—中心对称，熟知绕原点旋转180度的得到的点与原来的点关于原点对称是解题的关键． （1）根据题意可得与关于原点对称，据此可得的坐标，描出并顺次连接即可； （2）根据（1）所求即可得到答案； （3）根据关于原点对称的两个点的横纵坐标都互为相反数即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：由（1）可得的顶点的坐标是，的坐标是， 【小问3详解】 解；∵将绕原点O旋转得到，且内部一点P的坐标为， ∴点P的对应点的坐标． 22. 如图，矩形的对角线、交于点F，延长到点C，使，延长到点D，使，连接、、． （1）求证:四边形是菱形． （2）若，，则菱形的面积为 ． 【答案】（1）证明： ， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ， ， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识； 熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键. （1）先由对角线互相平分的四边形是平行四边形，再由矩形的性质得出即可得出结论； （2）由矩形的性质得出由菱形的性质得出，的长，然后由菱形的面积公式即可得出结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ， ∵四边形是菱形， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， 故答案为： ． 23. 阅读理解： 著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料1：已知，求分式的值． 解：， ， ． 解析：这道题在解题过程中利用了倒数，所以可以讲这种方法称为倒数法． 材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：． 解析：这种方法可以称为分离常数法． 根据材料，解答下面问题： （1）已知，则分式的值为______，分式的值为______； （2）若分式的值为整数，求整数b的值； （3）已知，则分式的值为______． 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的求值，熟练掌握倒数法和分离常数法是解题的关键． （1）仿照题意求出的结果，再利用倒数法即可得到答案； （2）先利用分离常数法把变形为，则由题意可得为整数，则或，解之即可得到答案； （3）利用分离常数法把为，据此可求出，再利用倒数法即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ ， ∴； 【小问2详解】 解： ， ∵分式的值为整数， ∴为整数，即为整数， 又∵ ∴或， ∴或； 【小问3详解】 解：∵ ∴ ， ∴． 24. 如图，矩形中，．动点P从点B出发，以每秒的速度沿的方向，向终点D运动；动点Q从点B出发以每秒的速度沿的方向向终点C运动．以为边向右上方作正方形，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设点P、Q同时出发，运动时间为t秒． （1）当点P在上运动时，______；当点P在上运动时，_____；（用含t的代数式表示） （2）当点N落在边上时，求t的值； （3）当正方形与长方形的重叠部分为四边形时，求重叠部分的面积S（用含t的代数式表示）； （4）请直接写出当t满足什么条件时，正方形与长方形的重叠部分为轴对称图形． 【答案】（1）； （2） （3）； （4）t满足或或时，正方形与长方形的重叠部分为轴对称图形 【解析】 【分析】（1）分两种情况判断：当点P沿的方向运动时，当点P沿的方向运动时，分别分析求解即可； （2）根据点N在边上，四边形是正方形，可证，得到 ，即有，求解即可； （3）分几种情况讨论：当正方形在长方形内时，正方形与长方形 的重叠部分为四边形；当点运动到点的位置时，正方形与长方形 的重叠部分为三角形；当点 运动到点的位置时，点与 点重合，正方形 与长方形的重叠部分也为三角形；当点运动到点的位置，点与不重合时，正方形与长方形 的重叠部分是四边形；当点运动到点 的位置时，点与点重合，并点停止运动，正方形 与长方形的重叠部分是三角形，据此分析，可得：当，时，正方形 与长方形的重叠部分是四边形；则有，当 ，正方形与长方形的重叠部分是四边形时，重叠部分的面积就是正方形的面积，当，正方形 与长方形的重叠部分是四边形时，根据重叠部分的面积 ，据此分别求解即可； （4）根据（3）的分析，找出正方形与长方形的重叠部分为轴对称图形时的取值范围即可． 【小问1详解】 解：依题意得： 当点P沿的方向运动时，， ∴， 当点P沿的方向运动时， ， 故答案是：；； 【小问2详解】 解：如图示，点N在边上， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 又∵四边形是长方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即有：， 解之得：； 【小问3详解】 解：当正方形在长方形内时，正方形与长方形的重叠部分为四边形， 由（2）可知，时，正方形在长方形内， 则：， 如图1所示，当点运动到点的位置时，正方形与长方形的重叠部分为三角形， 此时点与点重合， ∴ ， 且， 因为速度相同，则后面运动时长保持不变且； 如图2所示，当点运动到点的位置时，正方形与长方形的重叠部分也为三角形， 此时点与点重合， ∵，是正方形， ∴， ∴， ∴， 如图3所示，当点运动到点的位置时，点与不重合时，正方形与长方形 的重叠部分是四边形， 如图4所示，当点运动到点的位置时，正方形与长方形的重叠部分是三角形，此时点与点重合，并点停止运动， ∴， 综上所述，当，时，正方形与长方形的重叠部分是四边形； 当，时，正方形与长方形的重叠部分是三角形； ∴当，正方形与长方形的重叠部分是四边形时， 如图5所示 重叠部分的面积， 当，正方形与长方形的重叠部分是四边形时， 如图6所示 ，， ∴， ∴重叠部分的面积 ∴当正方形与长方形的重叠部分是四边形时，； 【小问4详解】 解：由（3）可知，当，重叠部分是正方形，是轴对称图形； 当时，如图，重叠部分是五边形，是轴对称图形； 当，重叠部分是等腰直角三角形，是轴对称图形； 如图，当，，重叠部分是一个筝形，是轴对称图形； 由题意得，，， ∴， 解得； 点与点重合，即时，重叠部分是等腰直角三角形，是轴对称图形； 综上，t满足或或时，正方形与长方形的重叠部分为轴对称图形． 【点睛】本题属于四边形的动点综合题，考查了正方形的性质，等腰梯形的面积，二次根式的混合运算，勾股定理，轴对称图形等知识点，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $