精品解析：重庆市巴川中学校2024-2025学年高二下学期第一阶段测数学试题

高2026届高二年级下学期一阶联合测试（数学）试卷 （总分：150分；时间：120分钟） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由基本初等函数的导数公式及运算逐项判断即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D 2. 已知向量，若，则（ ） A. B. 4 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】先求，再由解方程即可求得. 【详解】由，可得， 又由，则得， 即，解得. 故选：A. 3. 已知圆锥的侧面展开图是半径为3的半圆，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由圆锥的侧面展开图确定母线长和底面圆半径，再求出圆锥的高，然后代入体积公式即可. 【详解】设圆锥底面圆的半径为，高为，母线长为， 则，，所以， 所以， 所以该圆锥的体积为. 故选：C 4. 已知等差数列中，，是数列的前项和，则的值为（ ） A. B. C. 30 D. 60 【答案】B 【解析】 【分析】由等差数列的求和公式结合下标的性质计算即可. 【详解】由题意可得. 故选：B 5. 已知圆：，直线：，则直线被圆截得的弦长的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】确定直线所过的定点，再根据圆的性质，分析出当圆心与定点的连线垂直于直线时，弦长最短，最后根据勾股定理求出弦长的最小值. 【详解】将直线方程进行变形：  因为，所以可联立方程组， 解得..所以直线恒过定点. 已知圆：，则圆心，半径. 可得圆心与定点的距离为： . 因为，所以点在圆内部. 当圆心与定点的连线垂直于直线时，弦长最短. 此时弦长的一半、圆心与定点的距离以及圆的半径构成直角三角形，其中圆的半径为斜边. 根据勾股定理，弦长的一半为. 所以弦长的最小值为. 直线被圆截得的弦长的最小值为. 故选：A. 6. 已知双曲线的右焦点为，，是其一条渐近线上的两点，且，若的面积等于，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由点到线的距离公式可得右焦点到渐近线的距离为，根据的面积等于，可得，再利用不等式即可求解. 【详解】 设，是渐近线上的两点，右焦点到渐近线的距离为， 所以的面积为， 又，所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为2. 故选：. 7. 已知定义在上的偶函数满足，若，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造，利用已知可得函数的单调性，利用周期性求出，化简已知不等式，利用单调性得出解集． 【详解】是偶函数，，则，即是奇函数， 由，可得，构造，则单调递增；，，即的周期为，则，即；不等式可化简为，即，由单调性可得，解得 故选：A 8. 已知函数，如果对于任意的，恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意只需，然后对的值进行分类讨论，求在不同取值范围内时的的最小值，由最小值大于等于0得到的取值范围； 【详解】解：依题意只需在时． 又， 令，，则，， 所以在上单调递增，所以． 对分类讨论： ①当时，恒成立，所以在上单调递增，所以， 即恒成立； ②当时，在上有实根，因为在上单调递增， 所以当时，，所以，不符合题意； ③当时，恒成立，所以在上单调递减， 则，不符合题意． 综合①②③可得，所求的实数的取值范围是. 故选：B． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分. 9. 已知函数，则下列结论正确的是（    ） A. 是函数定义域内的极小值点 B. 的单调减区间是 C. 若有两个不同的实根，则 D. 在定义域内既无最大值又无最小值 【答案】ACD 【解析】 【分析】先判断函数定义域，再求导分析函数的单调性与最值作出简图，进而可判断各选项. 【详解】对于A，函数定义域满足，解得， 由，令可得和，当或时，所以在和上单调递减，当时. 所以在上单调递增，这表明是的极小值点，A正确； 对B， 的单调减区间是，，故B不正确； 对D，由A可得当和时单调递减， 当时单调递增，且， 作出简图，可得的值域是，故D正确； 对C，由图象可得，与有两个不同的公共点，则，故C正确； 故选：ACD 10. 设等差数列的公差为，前项和为，若，则下列结论正确的是（ ） A. 数列是递增数列 B. C. D. 中最大的是 【答案】BD 【解析】 【分析】利用等差数列的前项和公式和等差数列的性质得到，，再利用等差数列的通项公式求得的范围可判断AC；进而得可判断B；利用可判断D，从而得解. 【详解】对于AC：因为， 且， 所以，，又因为， 所以，解得； 所以等差数列是递减数列，故AC错误； 对于B：因为，所以，故C正确； 对于D：因为等差数列是递减数列， 且，，则，， 所以，，故D正确 故选：BD. 11. 已知双曲线的左､右焦点分别为，直线：与相交于点，与的一条渐近线相交于点.记的离心率为，那么（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 落，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，直线与双曲线一条渐近线平行，由渐近线性质可得，对于A，求出点坐标，由向量数量积为0，可得齐次式，从而得解；对于B，在中，求出，再结合双曲线定义可求解；对于C，由为的中点，求出的坐标，代入双曲线方程可解；对于D，结合双曲线定义和余弦定理求出，再结合条件得解. 【详解】根据题意，双曲线渐近线方程为：， 则直线与平行，由两渐近线斜率互为相反数，从而倾斜角互补， 从而又 则， 联立，可得 A选项：， 则有，所以正确. B选项：由，则有， 又，所以，所以，В错误. C选项：由，则，因为在上， 所以有， 所以正确. 选项：由， 解得，， 由，即， 解得，所以，D错误. 故选：AC 【点睛】关键点点睛：根据题意，发现直线与双曲线一条渐近线平行，由渐近线性质可得，从而求解各选项. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知抛物线上，点在此抛物线上，为抛物线的焦点，则_______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据点在抛物线上可得，即可利用焦半径公式求解. 【详解】点在此抛物线上，解得，所以． 故答案为：5 13. 若曲线只有一条过原点的切线，则的值为______________． 【答案】或 【解析】 【分析】设切点为，再根据导数的几何意义求得切线方程，并结合题意得方程有且只有一个实数根，再结合判别式求解即可. 【详解】∵，∴， 设切点为,则,切线斜率, ∴切线方程为：, ∵切线过原点， ∴,整理得：, ∵曲线只有一条过坐标原点的切线切， ∴,解得或, ∴或, 故答案为：或 14. 记正项数列的前n项和为，若，，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得是以1为首项，1为公差的等差数列，从而可得，令，则.再利用导数确定函数的单调性，再代值计算即可. 【详解】解：已知， 当时，， 解得或, 因为是正项数列，舍去， 所以， 当时，， 整理可得， 因为是正项数列， 所以， 则是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，， 令， 则. 对求导， 得， 令， 即，解得. 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 又因随增加而增大， ，；，；，； 所以当时，取得最小值，最小值为. 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题的关键是确定函数的单调性后，因为，故必须代值计算 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且. （1）求； （2）若的面积为，，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理统一为边，再由余弦定理求解即可； （2）由正弦定理及面积公式求解. 【小问1详解】 因为， 所以， 即， 所以，又， 所以. 【小问2详解】 由正弦定理知，， 所以， 所以， 解得， 所以. 16. 已知数列满足，. （1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式： （2）记，求数列的前n项和. 【答案】（1）证明见解析， （2） 【解析】 【分析】(1)递推关系式左右两边同时减一，通分，取到数整理可得根据等差数列的定义即可证明数列是等差数列，再利用等差数列的通项公式求出的通项公式进而求出数列的通项公式. (2)现根据的通项公式求出进而求出的通项公式，再用裂项相消法求出. 【小问1详解】 因为， 所以， 对上式两边同时取倒数有： 所以，又因为，所以， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列. 因为数列是以1为首项，1为公差等差数列，所以， 所以， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 因为，所以，所以， 所以， 17. 如图，在圆柱中，是圆柱的一条母线，是底面圆的内接四边形，是圆的直径，为上一点. （1）求证：； （2）若是的中点，求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明平面，根据线面垂直的性质即可证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出平面法向量，根据空间角的向量求法即可求得答案. 【小问1详解】 证明：因为是圆柱的一条母线，故平面， 因为平面，所以， 因为是圆的直径，所以， 又平面，所以平面， 因为平面， 所以. 【小问2详解】 因为底面， 以点为原点，分别为轴､轴､轴正方向， 建立如下图所示空间直角坐标系， 连接,因为，所以. 因为，所以， 所以是等边三角形，所以， 是圆的直径，则，， 则， 因为是的中点，则， 底面平面，故,又， 平面， 所以底面，所以平面的一个法向量可取为， 设平面的法向量为， 则，取，可得， 因为， 由图可知，二面角为锐角，故二面角的余弦值为 18. 已知椭圆与双曲线有共同焦点，且离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）设为椭圆的下顶点，为椭圆上异于的不同两点，且直线与的斜率之积为. （ⅰ）试问所在直线是否过定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由； （ⅱ）若为椭圆上异于的一点，且，求的面积的最小值. 【答案】（1） （2）（ⅰ）（0,0）；（ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）由题意设椭圆的方程为，则，又和求出，则椭圆的方程可求， （2）（ⅰ）设所在直线方程为，代入椭圆方程化简，利用根与系数关系，斜率公式，结合已知条件可求得直线恒过的定点， （ⅱ）由已知得，设所在直线方程为，则，，由此利用三角形的面积公式，函数的性质，可求出的面积的最小值. 【小问1详解】 由题意知：双曲线的焦点为，， 设椭圆的方程为，半焦距为，则， 又，所以， 所以 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）若直线斜率不存在，设，， 则， 而，故不成立. 所以直线的斜率存在， 设所在直线方程为， 联立，消去得：，① 设，， ，， ，， . 整理得. 所以直线恒过点（0,0）. （ⅱ）由（ⅰ）知，， 因为，所以. 当时，设所在直线方程为， 则，， 当时，亦符合上式， 所以 . 令，， ， 因为，所以， 所以当，即时，取最大值4， 所以当，即时，面积最小，最小值为. 【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线与椭圆的综合问题，考查直线与椭圆的位置关系，第（3）（ⅱ）解题的关键是表示出，，，，从而可表示出 化简结合函数的性质可求得其最小值，考查计算能力，属于较难题. 19. 对于一个函数和一个点，令函数，若是的极值点，则称点是在的“边界点”． （1）对于函数，证明：对于点，存在点，使得点是在的“边界点”． （2）对于函数，若不存在点，使得点是在的“边界点”，求的取值范围． （3）对于函数，若存在两个不同的点，使得点是在的“边界点”，求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）由函数的新定义再求导分析单调性得到极值可证； （2）利用函数新定义求出，求导后分和讨论单调性得到极值即可； （3）利用函数新定义求出，求导后分和讨论，当时，再次构造函数，结合零点存在定理分析； 【小问1详解】 证明：． 当时，；当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增， 则2是的极小值点， 故存在点，使得点是在的“边界点”． 【小问2详解】 ． 因为不存在点，使得点是在的“边界点”，所以没有极值点． 若，则没有极值点． 若，则当时，， 当时，， 所以在上单调递堿，在上单调递增，所以是的极大值点，是的极小值点． 综上，. 【小问3详解】 ． 因为存在两个不同的点，使得点是在的“边界点”，所以有2个极值点． 令函数． 若，则在上恒成立，所以在上单调递增， 所以最多只有1个零点，即最多只有1个零点，则最多只有1个极值点，不符合题意. 若，则当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． ． 要使得有2个极值点，则有2个零点， 当时，不符合题意． 当时，由，解得． 此时，， ，令函数， 所以在上单调递减，，即． 所以， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 所以有2个极值点，符合题意． 综上，的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题关键点有两个，一是函数新定义的理解；二是第三小问中关键在于二次构造函数，结合零点存在定理分析. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高2026届高二年级下学期一阶联合测试（数学）试卷 （总分：150分；时间：120分钟） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，若，则（ ） A. B. 4 C. D. 5 3. 已知圆锥的侧面展开图是半径为3的半圆，则该圆锥的体积为（ ） A B. C. D. 4. 已知等差数列中，，是数列的前项和，则的值为（ ） A. B. C. 30 D. 60 5. 已知圆：，直线：，则直线被圆截得的弦长的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知双曲线右焦点为，，是其一条渐近线上的两点，且，若的面积等于，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 7. 已知定义在上的偶函数满足，若，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，如果对于任意的，恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分. 9. 已知函数，则下列结论正确的是（    ） A. 是函数定义域内的极小值点 B. 的单调减区间是 C. 若有两个不同的实根，则 D. 在定义域内既无最大值又无最小值 10. 设等差数列的公差为，前项和为，若，则下列结论正确的是（ ） A. 数列是递增数列 B. C. D. 中最大的是 11. 已知双曲线的左､右焦点分别为，直线：与相交于点，与的一条渐近线相交于点.记的离心率为，那么（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 落，则 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知抛物线上，点在此抛物线上，为抛物线的焦点，则_______． 13. 若曲线只有一条过原点的切线，则的值为______________． 14. 记正项数列的前n项和为，若，，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角，，所对边分别为，，，且. （1）求； （2）若的面积为，，求的值. 16. 已知数列满足，. （1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式： （2）记，求数列的前n项和. 17. 如图，在圆柱中，是圆柱的一条母线，是底面圆的内接四边形，是圆的直径，为上一点. （1）求证：； （2）若是的中点，求二面角的余弦值. 18. 已知椭圆与双曲线有共同焦点，且离心率. （1）求椭圆的标准方程； （2）设为椭圆下顶点，为椭圆上异于的不同两点，且直线与的斜率之积为. （ⅰ）试问所在直线是否过定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由； （ⅱ）若为椭圆上异于的一点，且，求的面积的最小值. 19. 对于一个函数和一个点，令函数，若是的极值点，则称点是在的“边界点”． （1）对于函数，证明：对于点，存在点，使得点是在的“边界点”． （2）对于函数，若不存在点，使得点是在的“边界点”，求的取值范围． （3）对于函数，若存在两个不同的点，使得点是在的“边界点”，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$