精品解析：2025年辽宁省大连市甘井子区中考一模数学试卷

2024-2025学年度第二学期双基测试 九年级数学 （本试卷共23道题满分120分 考试时间共120分钟） 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 2025年铁路春运自1月14日起至2月22日止，在40天时间里，辽宁省跨区域人员流动量达亿人次，将数据193000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 斗拱是中国古代建筑特有的一种部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图，它的主视图为（ ） A. B. C. D. 3. 在标准大气压下，物质的凝固点是指该物质从液态转变为固态时的温度，以下是一些物质的凝固点 ： 物质名称 水 乙醇 甘油 氯仿 凝固点（） 其中凝固点最低的物质为（ ） A. 水 B. 乙醇 C. 甘油 D. 氯仿 4. 2025年蛇年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，设计了“巳巳如意纹样”，象征着美好的愿望和幸福．以下四个如意纹样中 ，是中心对称图形的是（ ） A. B.     C.     D. 5. 下列计算正确的是（ ） A B. C. D. 6. 我国明代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．”其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两，如果每人分九两 ，则还差8两（注：明代时1斤=16两，故有“半斤八两”这个成语），这个问题中共有几人分几两银子？设共有x人，分y两银子，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，将线段平移得到线段，若点的对应点C的坐标为，点的对应点为D，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，为的中位线，过点E作交于点F，则四边形的周长为（ ） A. B. 7 C. 9 D. 12 9. 如图，点E在正方形内部，且为等边三角形，与交于点M，则为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A，B，点C在抛物线上，其坐标为，若，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分式方程的解是___________． 12. 连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，两次都反面朝上的概率为___________． 13. 如图，，直线与交于点，若，，，则的值为___________． 14. 如图，在中，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点M ，N，作直线交于点E，连接，再以点C为圆心，长为半径作弧，交直线 于点D，连接，若，，则四边形的面积为___________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，是轴上一点，点在直线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，当点落在轴负半轴上时，点的坐标为___________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）计算： 17. 某工程队计划在天内修路，施工天后使用新设备，现在该工程队每天比原来每天多修路． （1）若该工程队恰好工作天完成修路任务，求原来每天修路多少？ （2）若该工程队使用新设备又施工天后，计划发生变化，准备至少比计划提前天完成修路任务，以后几天内平均每天至少要修路多少？ 18. 为了提高学生的科学素养，某校举办中学生科技知识竞赛．现从七年级学生中随机抽取部分学生成绩进行整理与分析（测试满分100分且成绩均为整数，成绩用x表示，分为四个等级： ， ，，），部分信息如下： 信息一： 信息二：被抽取的学生成绩在B等级中的具体分数为： 80，80，81，82，83，83，84，86，87，88，88，89 请根据上述信息解决下列问题： （1）求所抽取学生成绩为C等级的人数； （2）求所抽取的学生成绩的中位数； （3）若全校七年级有500名学生，请估计成绩在范围内的学生人数． 19. 某新能源汽车企业对一款新能源汽车进行性能测试．测试前该新能源汽车已充满电，测试时汽车保持匀速运动，相关测试数据如下表所示： 行驶时间x（） 0 1 2 3 4 ··· 剩余电量y（） 80 65 50 35 20 ··· 行驶路程S（） 0 80 160 240 320 ··· 这辆新能源汽车电池的剩余电量y（）与行驶时间x（），行驶路程S（） 与行驶时间x（）之间满足不同的一次函数关系． （1）①直接写出S与x之间的函数关系式 ； ②求y与x之间的函数关系式（以上两问均不要求写出自变量x的取值范围）； （2）当这款新能源汽车剩余电量为总电量的时，必须停止测试开始充电，否则将对汽车造成严重损伤．求这辆车从开始测试到再次充电时，行驶的最远路程． 20. 如图1是一辆曲臂云梯消防车的实物图，图2和图3是其工作示意图．曲臂云梯消防车伸缩臂和曲臂可分别绕点A，点B在一定范围内转动，它们的张角分别为和，且当张角满足，时，才能保证消防车在伸展和旋转过程中的稳定性．已知，且，当伸缩臂和曲臂完全伸出时，长为，长为． （1）如图2，若，，求的长； （2）如图3，当达到最大角度时，云梯的顶端C升到最高处，求此时的长． （参考数据： ，结果保留整数．） 21. 如图1，是的直径，交于点，直线分别交的延长线于点，交于点， （1）求证：是的切线； （2）如图2，连接并延长交的延长线于点，若求的半径长． 22. 已知为等腰三角形，，点是边上一点，连接，将沿所在直线翻折，点的对应点为． （1）如图，当时，求证：四边形为菱形； （2）连接，直线与直线交于点． ①如图，在（）的条件下，求证：； ②如图，猜想，与之间的数量关系，并加以证明（用含的式子表示）； ③如图，若，当所在直线与所在直线垂直时，请直接写出的值 ． 23. 已知y1是自变量x的函数，当（k为常数，）时，称函数为函数的“k级函数”．点和点分别在函数和的图象上，此时称点B为点A关于的“k级点”． 例如：函数，当时，，则函数是函数的“2级函数”．点为点关于的“2级点”． （1）如图，点在反比例函数的图象上，当点 B 为点A关于的“1级点”时，求点B的坐标； （2）函数为函数“k级函数”． ①求a的值； ②若点A在函数的图象上，点B为点A关于的“k级点”，当点A在点B上方时，请直接写出自变量x的取值范围 ； （3）函数为函数“级函数”，点C在函数的图象上，点为点C关于的“级点”． ①当时，的取值范围是，求t的值； ②点M，N在函数图象上，它们的横坐标分别为a，，以线段为对角线作矩形，平行坐标轴．当矩形与函数的图象有且只有三个公共点时，设第三个公共点为K，若矩形的边长度为5，请直接写出点K的纵坐标 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期双基测试 九年级数学 （本试卷共23道题满分120分 考试时间共120分钟） 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 2025年铁路春运自1月14日起至2月22日止，在40天时间里，辽宁省跨区域人员流动量达亿人次，将数据193000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法表示绝对值较大的数的方法，掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数是关键，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的表示方法求解即可． 【详解】解：将数据193000000用科学记数法表示为， 故选：． 2. 斗拱是中国古代建筑特有的一种部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图，它的主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的定义是解题关键． 主视图：从正面看到的物体的形状图；左视图：从左面看到的物体的形状图；俯视图：从上面看到的物体的形状图． 根据三视图的定义求解即可． 【详解】解：A、是构件的主视图，符合题意； B、不是构件的视图，不符合题意； C、不是构件的视图，不符合题意； D、是构件的左视图，不符合题意； 故选：A． 3. 在标准大气压下，物质的凝固点是指该物质从液态转变为固态时的温度，以下是一些物质的凝固点 ： 物质名称 水 乙醇 甘油 氯仿 凝固点（） 其中凝固点最低的物质为（ ） A. 水 B. 乙醇 C. 甘油 D. 氯仿 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比较有理数大小，首先根据正数大于，大于负数，可得：水和甘油的凝固点不是最低的，然后再比较两个负数的大小，即可得到凝固点最低的物质． 【详解】解：根据正数大于，大于负数， 可得：水和甘油的凝固点不是最低的， ，， 又， ， 凝固点最低的物质是乙醇． 故选：B ． 4. 2025年蛇年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，设计了“巳巳如意纹样”，象征着美好的愿望和幸福．以下四个如意纹样中 ，是中心对称图形的是（ ） A. B.     C.     D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念判断即可． 【详解】解：、是中心对称图形，故本选项符合题意； 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方和幂的乘方计算，同底数幂乘法计算，负整数指数幂，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 6. 我国明代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．”其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两，如果每人分九两 ，则还差8两（注：明代时1斤=16两，故有“半斤八两”这个成语），这个问题中共有几人分几两银子？设共有x人，分y两银子，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了根据实际问题列二元一次方程组，解题的关键在于能够准确根据题意找到等量关系．根据每人分七两，则剩余四两，如果每人分九两 ，则还差8两，可以列出相应的二元一次方程组，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得， 故选B． 7. 在平面直角坐标系中，将线段平移得到线段，若点的对应点C的坐标为，点的对应点为D，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了根据平移前后点的坐标确定平移方式，根据平移方式确定点的坐标，熟知点平移的相关知识是解题的关键．先根据A、C两点坐标确定平移方式，然后根据平移方式求出点D的坐标即可． 【详解】解：将线段平移得到线段，点的对应点C的坐标为， 点A到点C的平移方式为：向右平移2个单位长度，向上平移3个单位长度， 点向右平移2个单位长度，向上平移3个单位长度的对应点D为， 故选：． 8. 如图，在中，，，为的中位线，过点E作交于点F，则四边形的周长为（ ） A. B. 7 C. 9 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，中位线定理．熟练掌握相关知识是解题的关键． 先利用中位线定理得到，，接着证明四边形是平行四边形，得到，然后利用四边形的周长公式即可求解． 【详解】解：为的中位线， ，， ， 四边形是平行四边形， ，， 为的中位线， 点是的中点， ， 四边形的周长为：． 故选：B． 9. 如图，点E在正方形的内部，且为等边三角形，与交于点M，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质，等边三角形的性质以及三角形内角和定理，根据正方形和等边三角形的性质可求得，由得，结合运用三角形内角和定理可求出，从而可得出． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴ ∵为等边三角形， ∴ ∴， ∴， ∵ ∴， ∵是正方形的对角线， ∴ ∴ ∴ 故选：C． 10. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A，B，点C在抛物线上，其坐标为，若，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴交点的性质，根与系数的关系（韦达定理）以及两点间距离公式的应用和解一元二次方程． 先将点的坐标代入得到关于，的关系式，再利用根与系数的关系得到，然后将代入求出，的值，从而得出抛物线表达式，最后令得到一元二次方程，解方程便可得到抛物线与轴的交点坐标即可． 【详解】解：将点代入抛物线，得：， 化简得：，即， 设抛物线与x轴交点，，则： ，， ， ，即， ， ， 将代入得：， 化简得：，解得， ， ， 令，得，整理得：， 解得：，， 抛物线与轴的交点坐标为，．   故选： D． 第二部分 非选择题 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分式方程的解是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程．熟练掌握解分式方程是解题的关键． 先去分母将分式方程化成整式方程，然后求整式方程的解，最后进行检验即可． 【详解】解：， ， ， 解得，， 检验，当时，，是原分式方程的解， 故答案为：． 12. 连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，两次都反面朝上的概率为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法．画树状图展示所有4种等可能的结果数，再找出两次都是反面朝上的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：画树状图为： 共有4种等可能的结果数，其中两次都是反面朝上的结果数为1， ∴两次都是反面朝上的概率=． 故答案为：． 13. 如图，，直线与交于点，若，，，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，理解平行线分线段成比例定理是解答关键． 根据平行线分线段成比例定理易得到，，进而得到来求解． 【详解】解：， ， ． ， ， ， ． 故答案：． 14. 如图，在中，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点M ，N，作直线交于点E，连接，再以点C为圆心，长为半径作弧，交直线 于点D，连接，若，，则四边形的面积为___________． 【答案】26 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质和判定，垂直平分线的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的作图方法；根据题意可知：是的垂直平分线，，进而可证四边形是菱形，再根据勾股定理求出，再根据梯形的面积公式求解即可． 【详解】解：由题意知：是的垂直平分线，， ， 四边形是菱形， ， ， ， 四边形面积为， 故答案为：26． 15. 如图，在平面直角坐标系中，是轴上一点，点在直线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，当点落在轴负半轴上时，点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、一次函数的图象与性质，过点作轴，根据点在直线上，设点的坐标为，利用旋转的性质可得，根据可证，根据全等三角形对应边相等可得，从而可求，根据点落在轴负半轴上，可以确定点的坐标． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点D， 点在直线上， ∴设点的坐标为， ∴， ∴， 点的坐标为， ， ∴， 根据旋转的性质可知， ， 在中， ， 在和中，， ， ，， ， ， 点的坐标为． 故答案为： ． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）计算： 【答案】（1）7；（2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算及分式化简，涉及到零指数幂运算、算术平方根，因式分解和通分等知识，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键． （1）根据算术平方根、绝对值、零指数幂运算分别求解后，进一步计算即可求解； （2）根据分式的性质及混合运算法则化简即可． 【详解】解：（1）解：， ． （2）解：， ． 17. 某工程队计划在天内修路，施工天后使用新设备，现在该工程队每天比原来每天多修路． （1）若该工程队恰好工作天完成修路任务，求原来每天修路多少？ （2）若该工程队使用新设备又施工天后，计划发生变化，准备至少比计划提前天完成修路任务，以后几天内平均每天至少要修路多少？ 【答案】（1）原来每天修路； （2）以后几天内平均每天至少要修路． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，解决本题的关键是根据题意列出方程和不等式． （1）设原来每天修路，根据工程队用天完成任务，列一元一次方程，解一元一次方程即可求出原来每天修多少千米； （2）设以后几天内平均每天要修路，根据至少比计划提前天完成任务，列关于的不等式，解不等式即可求出以后几天内平均每天至少要修路． 【小问1详解】 解：设原来每天修路， 根据题意可得：， 解得：， 答：原来每天修路； 【小问2详解】 解：设以后几天内平均每天要修路， 根据题意可得：， 解得：， 答：以后几天内平均每天至少要修路． 18. 为了提高学生的科学素养，某校举办中学生科技知识竞赛．现从七年级学生中随机抽取部分学生成绩进行整理与分析（测试满分100分且成绩均为整数，成绩用x表示，分为四个等级： ， ，，），部分信息如下： 信息一： 信息二：被抽取的学生成绩在B等级中的具体分数为： 80，80，81，82，83，83，84，86，87，88，88，89 请根据上述信息解决下列问题： （1）求所抽取学生成绩为C等级的人数； （2）求所抽取的学生成绩的中位数； （3）若全校七年级有500名学生，请估计成绩在范围内的学生人数． 【答案】（1）所抽取学生成绩为等级的人数为15人 （2）中位数为分 （3）估计成绩在范围内约有320人 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图信息关联，中位数，样本估计总体，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用等级除以占比，得出总人数为人，再求出C等级的人数，即可作答． （2）根据中位数的定义进行作答即可； （3）运用样本估计总体列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，所抽取的学生总人数为：（人）， 则（人）； 答：所抽取学生成绩为等级的人数为15人． 【小问2详解】 解：将这组数据按从大到小的顺序排列，中位数为处于中间的两个数84，85的平均数， 即中位数为（分） 【小问3详解】 解：（人） 答：估计成绩在范围内约有320人 19. 某新能源汽车企业对一款新能源汽车进行性能测试．测试前该新能源汽车已充满电，测试时汽车保持匀速运动，相关测试数据如下表所示： 行驶时间x（） 0 1 2 3 4 ··· 剩余电量y（） 80 65 50 35 20 ··· 行驶路程S（） 0 80 160 240 320 ··· 这辆新能源汽车电池的剩余电量y（）与行驶时间x（），行驶路程S（） 与行驶时间x（）之间满足不同的一次函数关系． （1）①直接写出S与x之间的函数关系式 ； ②求y与x之间的函数关系式（以上两问均不要求写出自变量x的取值范围）； （2）当这款新能源汽车剩余电量为总电量的时，必须停止测试开始充电，否则将对汽车造成严重损伤．求这辆车从开始测试到再次充电时，行驶的最远路程． 【答案】（1）①；②一次函数解析式 （2）这辆车从开始测试到再次充电时，行驶的最远路程为 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确求得一次函数的解析式是解题的关键． （1）①根据题意可得S与x之间的函数关系式为一次函数，利用待定系数法即可解答； ②根据题意可得y与x之间函数关系式为一次函数，利用待定系数法即可解答； （2）根据题意，利用一次函数的性质求得最大值即可． 【小问1详解】 解：根据题意可得S与x之间的函数关系式为一次函数， 设S与x之间的函数关系式为， 把代入可得， S与x之间的函数关系式为， 故答案为：； ②根据题意可得S与x之间的函数关系式为一次函数， 设与之间的函数关系式为， 把代入可得，， ， 一次函数解析式； 【小问2详解】 解：由题意，得， 将代入得， 解得， ， 随的增大而增大， 当时，， 答：这辆车从开始测试到再次充电时，行驶的最远路程为． 20. 如图1是一辆曲臂云梯消防车的实物图，图2和图3是其工作示意图．曲臂云梯消防车伸缩臂和曲臂可分别绕点A，点B在一定范围内转动，它们的张角分别为和，且当张角满足，时，才能保证消防车在伸展和旋转过程中的稳定性．已知，且，当伸缩臂和曲臂完全伸出时，长为，长为． （1）如图2，若，，求的长； （2）如图3，当达到最大角度时，云梯的顶端C升到最高处，求此时的长． （参考数据： ，结果保留整数．） 【答案】（1）的长为 （2）此时的长约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练运用三角函数表示边与边的关系是解题的关键． （1）分别过点作于点，作于点，可得，则可求得，再加上，即可解答； （2）分别过点作于点于点于点，解直角三角形求得和，再加上，即可解答． 【小问1详解】 解：如图，分别过点作于点，作于点， ． ， ． ， ， ． 四边形为矩形． ． ， ． ， 中，． ． ． 答：的长为． 【小问2详解】 解：如图，分别过点作于点于点于点， ． 由（1）得，四边形为矩形． ． ， ，在中，， ． 同理：． ． 答：此时的长约为． 21. 如图1，是的直径，交于点，直线分别交的延长线于点，交于点， （1）求证：是的切线； （2）如图2，连接并延长交的延长线于点，若求的半径长． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等量代换，直径所对的圆周角是直角，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握各性质定理，并灵活应用． （1）根据圆周角的性质定理，直径所对的圆周角是直角，等量代换即可证明是的切线； （2）利用直径定理和切线定理得出，根据相似三角形的性质得出的长度，假设出半径，利用勾股定理列出方程，即可求出结果． 【小问1详解】 证明： ． ． ， ． 为直径， ． ． ． ． 为直径， 是切线． 【小问2详解】 解：连接， 为直径， ． ． 由（1）得， ． ． ， ． ． ， ． ． 在中，， ． ． 设， ． 在中， ． ． ∴的半径长为． 22. 已知为等腰三角形，，点是边上一点，连接，将沿所在直线翻折，点的对应点为． （1）如图，当时，求证：四边形为菱形； （2）连接，直线与直线交于点． ①如图，在（）的条件下，求证：； ②如图，猜想，与之间的数量关系，并加以证明（用含的式子表示）； ③如图，若，当所在直线与所在直线垂直时，请直接写出的值 ． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②，证明见解析；③ 【解析】 【分析】（1）根据折叠得，，，由，得，进而证明，即可得证； （2）①先证明，再证明，，从而得，即可得证；②延长到点，使，连接，过点作于点，由①得，，证明．得，，．进而得，在中，由，即可得解；③由折叠可得，，，先证明，得，求得，，证明，即可得解． 【小问1详解】 证明：由题意，得， ，，， ∵， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴四边形为菱形； 【小问2详解】 解：①∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴． ∴； ②延长到点，使，连接，过点作于点， 由①得，， ∴． ∴， ∵， ∴． ∴，，． ∵， ∴． ∴， ∵，，， ， ∵，， ∴， 在中，， ∴； ③如图，由折叠可得，，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 由②可得， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定及性质，折叠的性质，三角形的内角和定理，菱形的判定，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质，折叠的性质是解题的关键． 23. 已知y1是自变量x的函数，当（k为常数，）时，称函数为函数的“k级函数”．点和点分别在函数和的图象上，此时称点B为点A关于的“k级点”． 例如：函数，当时，，则函数是函数的“2级函数”．点为点关于的“2级点”． （1）如图，点在反比例函数的图象上，当点 B 为点A关于的“1级点”时，求点B的坐标； （2）函数为函数的“k级函数”． ①求a的值； ②若点A在函数的图象上，点B为点A关于的“k级点”，当点A在点B上方时，请直接写出自变量x的取值范围 ； （3）函数为函数的“级函数”，点C在函数的图象上，点为点C关于的“级点”． ①当时，的取值范围是，求t的值； ②点M，N在函数的图象上，它们的横坐标分别为a，，以线段为对角线作矩形，平行坐标轴．当矩形与函数的图象有且只有三个公共点时，设第三个公共点为K，若矩形的边长度为5，请直接写出点K的纵坐标 ． 【答案】（1） （2）①；② （3）①的值为或；②或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与几何综合，反比例函数，一次函数的性质，熟练利用分类讨论，正确画出图形是解题的关键． （1）根据题意即可解答； （2）①根据题意可得，对应左边两边未知数的系数即可解答； ②表示出点的纵坐标，按照题意列不等式即可解答； （3）①根据点为点C关于的“级点”求得点的坐标，即可求得的解析式，分类讨论，按照题意求解即可； ②分类讨论，分点在点的左边或点在点的右边，分别求解即可． 【小问1详解】 解：点在反比例函数图象上， ， ， 则点的纵坐标为， ； 【小问2详解】 解：①∵函数为函数的“k级函数”， ， 则， 解得； ②设，则， 根据题意可得， 解得， 故答案为：； 【小问3详解】 解：①∵函数为函数的“级函数”， ， ∵点为点C关于的“级点”， 设点的纵坐标为， ， 解得， ， ∵点C在函数的图象上， ， ， ∴， ， ∴当时，， 当时，， 对称轴为直线， 当时，， 当，即在对称轴左侧时， 则当时，取最小值， 即， 解得（舍去）， ； 当，即在对称轴右侧时， 则当时，取最小值， 即，解得， ， ，即， 成立， 综上，的值为或； ②， 则函数的对称轴为直线， 矩形与函数的图象有且只有三个公共点， 在函数的对称轴的两侧， 即，解得， 情况一：当点在点的上边时， 如图，当的纵坐标比大时， 则，解得，故情况不存在， 如图，当的纵坐标比小时， ， 则点的纵坐标比点的纵坐标大， 即， 解得（负值舍去）， 把代入函数可得， 故点的纵坐标等于点的纵坐标为； 情况二：当点在点的下边时，当的纵坐标比大时， ， 则点的纵坐标比点的纵坐标小， 即， 解得（负值舍去）， 把代入函数可得， 故点的纵坐标等于点的纵坐标加为， 综上，点的纵坐标为或， 故答案为：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $