精品解析：辽宁省阜新市太平区阜新市第四中学2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024－2025学年度（上）第四中学质量检测（期中） 九年级数学试卷 考试时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题3分，共30分） 1. 要使方程是关于x的一元二次方程，则（ ） A. B. C. 且 D. 且且 2. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. a=1，b=3，c=2，d=4 B. a=4，b=6，c=5，d=10 C. a=2，b=4，c=3，d=6 D. a=2，b=4，c=6，d=8 3. 如图，DE是ΔABC的中位线，则ΔADE与ΔABC的面积之比是为（　　） A. 1:1 B. 1:2 C. 1:3 D. 1:4 4. 平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　） A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线平分一组对角 D. 对角线互相垂直 5. 某厂一月份生产产品50台，计划二、三月份共生产产品120台，设二、三月份平均每月增长率为x，根据题意，可列出方程为(　　) A. 50(1+x)2＝60 B. 50(1+x)2＝120 C. 50+50(1+x)+50(1+x)2＝120 D. 50(1+x)+50(1+x)2＝120 6. 某校举行数学竞赛，班主任王老师决定从本班4名（其中3男1女）同学中随机选择2名同学参加竞赛，王老师先从4名同学中随机选择一名同学，记下姓名，再从剩余的3名同学中随机选择另一名同学，记下姓名，则选中的两名同学中没有女同学的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 能判定与相似的条件是（ ） A. B. ，且 C. 且 D. ，且 8. 如图，在中，，，，为的中点，，，则四边形的对角线的长为（　　） A. B. 3 C. 4 D. 5 9. 将含有的三角板按如图所示放置，点在直线上，其中，分别过点，作直线的平行线，，点到直线，的距离分别为，，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 10. 如图，在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC＝60°，OA＝1，将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2024次，点B的落点依次为，，，…，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 在中华经典美文阅读中，小明发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长是24厘米，则它的宽为________厘米． 12. 若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0有实数根，则k的取值范围是_____． 13. 一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的8个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为了估计其中的红球数，采用如下方法：先将口袋中的球摇匀，再从口袋里随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，不断重复上述过程，小亮共摸了1000次，其中有200次摸到白球，因此小亮估计口袋中的红球大约为________个． 14. 如图，在正方形中，．若以边为底边向其外作等腰直角，连接，则的长为________． 15. 如图，在中，，，是边上的中线，，交于点，交于点．若，则的长为________． 三、解答题（共75分） 16. 用恰当的方法解下列方程． （1） （2）． 17. 已知a、b、c是的三边，且满足，．试判断的形状，并说明理由． 18. 端午节是我国的传统节日，益民食品厂为了解市民对去年销量较好的花生粽子、水果粽子、豆沙粽子、红枣粽子（分别用、、、表示）这四种不同口味的粽子的喜爱情况，对某居民区的市民进行了抽样调查，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图． （1）本次参加抽样调查的居民有多少人？ （2）将两幅统计图补充完整； （3）小明喜欢吃花生粽子和红枣粽子，妈妈为他准备了四种粽子各一个，请用“列表法”或“画树形图”的方法，求出小明同时选中花生粽子和红枣粽子的概率． 19. 如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O．E，F是AC上的两点，并且AE=CF，连接DE，BF． （1）求证：△DOE≌△BOF； （2）若BD=EF，连接DE，BF．判断四边形EBFD的形状，并说明理由． 20. 如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点都在格点上，其坐标分别为． （1）请以点O为位似中心，画出符合条件的的所有位似图形，使之与的相似比为． （2）内一点，经过如此位似变化后，对应点的坐标是　　． 21. 如图，在中，点G是延长线上一点，与交于点E，与交于点F，如果，，求： （1）的长度； （2）与的面积之比． 22. 为解决山区苹果滞销的难题，镇助农直播间发起了“爱心助农”苹果直销活动，某水果批发商响应号召，以市场价每千克10元的价格收购了6000千克苹果，并立即将其冷藏，请根据下列信息解答问题： ①该苹果的市场价预计每天每千克上涨元； ②这批苹果平均每天有10千克损坏，不能出售； ③每天的冷藏费用为300元； ④这批苹果最多保存110天． 若将这批苹果存放一定天数后按当天市场价一次性出售． （1）多少天后这批苹果的市场价为每千克13元？ （2）求3天后一次性全部售出所得的利润为多少元？ （3）若m天后一次性出售所得利润为9100元，求m的值． 23. 如图1，已知点G在正方形的对角线上，，垂足为点E，，垂足为点F． （1）证明与推断： ②求证：四边形是正方形； ②推断：的值为___________； （2）探究与证明： 将正方形的绕点C顺时针方向旋转，如图2所示，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展与运用： 正方形在旋转过程中，当B、E、F三点在一条直线上时，如图3所示，延长交于点H，若，则___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度（上）第四中学质量检测（期中） 九年级数学试卷 考试时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题3分，共30分） 1. 要使方程是关于x的一元二次方程，则（ ） A. B. C. 且 D. 且且 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义可得二次项的系数不为0，即可求解． 【详解】∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，即， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且）．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0． 2. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. a=1，b=3，c=2，d=4 B. a=4，b=6，c=5，d=10 C. a=2，b=4，c=3，d=6 D. a=2，b=4，c=6，d=8 【答案】C 【解析】 【详解】试题解析：∵1×4≠3×2，故选项A中的四条线段不成比例， ∵4×10≠6×5，故选项B中的四条线段不成比例， ∵2×6=4×3，故选项C中的四条线段成比例， ∵2×8≠4×6，故选项D中的四条线段不成比例， 故选C． 3. 如图，DE是ΔABC的中位线，则ΔADE与ΔABC的面积之比是为（　　） A. 1:1 B. 1:2 C. 1:3 D. 1:4 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的中位线性质和相似三角形的判定证得△ADE∽△ABC，相似比为1：2，再根据相似三角形的面积比是相似比的平方求解即可. 【详解】解：∵DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC，DE=BC， ∴△ADE∽△ABC，相似比为1：2， ∴△ADE与△ABC的面积比为1：4． 故选：D. 考点：相似三角形的性质，相似比与面积比 【点睛】本题考查三角形的中位线性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质是解答的关键. 4. 平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　） A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线平分一组对角 D. 对角线互相垂直 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质一一判断即可． 【详解】解：A、只有正方形和矩形的对角线相等，菱形和平行四边形的对角线不一定相等，不符合题意； B、平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线都互相平分，符合题意； C、只有菱形和正方形的对角线平分一组对角，矩形和平行四边形的对角线不一定平分一组对角，不符合题意； D、只有菱形和正方形的对角线互相垂直，矩形和平行四边形的对角线不一定互相垂直，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的相关性质，解决本题的关键是结合平行四边形、矩形、菱形、正方形的相关性质进行分析． 5. 某厂一月份生产产品50台，计划二、三月份共生产产品120台，设二、三月份平均每月增长率为x，根据题意，可列出方程为(　　) A. 50(1+x)2＝60 B. 50(1+x)2＝120 C. 50+50(1+x)+50(1+x)2＝120 D. 50(1+x)+50(1+x)2＝120 【答案】D 【解析】 【详解】设二、三月份每月的平均增长率为x， 则二月份生产机器为：50（1+x）， 三月份生产机器为：50（1+x）2； 又知二、三月份共生产120台； 所以，可列方程：50（1+x）+50（1+x）2=120． 故选D． 6. 某校举行数学竞赛，班主任王老师决定从本班4名（其中3男1女）同学中随机选择2名同学参加竞赛，王老师先从4名同学中随机选择一名同学，记下姓名，再从剩余的3名同学中随机选择另一名同学，记下姓名，则选中的两名同学中没有女同学的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，列表格即可求解． 【详解】根据题意，设3名男生分别为：男1，男2，男3， 则列表格如下： 男1 男2 男3 女 男1 （男，男） （男，男） （男，女） 男2 （男，男） （男，男） （男，女） 男3 （男，男） （男，男） （男，女） 女 （男，女） （男，女） （男，女） 从表格中可知，抽取两名同学的所有可能情况为12种，其中没有女同学的共6种， P（没有女同学）=， 故选：A． 【点睛】本题考查列表法求概率，准确理解题意列出表格是解题关键． 7. 能判定与相似的条件是（ ） A. B. ，且 C. 且 D. ，且 【答案】C 【解析】 【分析】相似三角形的判定方法：有两对角分别相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似． 【详解】解：Ａ．， Ｂ．，且， Ｄ．，且， 均不能判断与相似，故错误； Ｃ．且，能判定与相似，本选项正确 故选：C． 【点睛】本题是相似三角形的判定的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，难度一般． 8. 如图，在中，，，，为的中点，，，则四边形的对角线的长为（　　） A. B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，菱形的性质与判定，勾股定理，直角三角形的性质，根据，，可得四边形为平行四边形，根据，为的中点，则，则平行四边形为菱形，由，，，可得，证明四边形是平行四边形，即可求解． 【详解】解：，， 四边形为平行四边形， 又，为的中点， ， 平行四边形为菱形， ∴， ∴ 又 ∴四边形是平行四边形， ∴， ，，， ， ∴． 故选：B． 9. 将含有的三角板按如图所示放置，点在直线上，其中，分别过点，作直线的平行线，，点到直线，的距离分别为，，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设交于点，由，得三角形BCM为等腰直角三角形，再由含30度角直角三角形三边长比及等腰直角三角形的边长比，设BC为x，可得MA为，再由平行线分线段成比例求解． 【详解】解：设交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， 三角形为等腰直角三角形， 在Rt△ABC中，设长为，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查平行线的性质，含特殊角直角三角形的性质及平行线分线段成比例，解题关键是掌握含特殊角的直角三角形的边长比． 10. 如图，在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC＝60°，OA＝1，将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2024次，点B的落点依次为，，，…，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，考查了操作、探究、发现规律的能力．发现“每翻转6次，图形向右平移4”是解决本题的关键．连接，根据条件可以求出，画出第次、第次、第次翻转后的图形，容易发现规律：每翻转次，图形向右平移．由于，因此点向右平移即即可到达点，根据点的坐标就可求出点的坐标． 【详解】解：连接，如图所示． 四边形是菱形， ． ， 是等边三角形． ， 画出第次、第次、第次翻转后的图形，如图所示． 由图可知：每翻转次，图形向右平移． ， 点向右平移即到点． 的坐标为， 的坐标为， 的坐标为． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 在中华经典美文阅读中，小明发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长是24厘米，则它的宽为________厘米． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割的定义：“一个点把一条线段分成两条线段，其中较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点，并且较长线段是整个线段的”．根据黄金分割的定义得到书的宽与长之比为，即它的宽，然后进行近似计算即可 【详解】解：书的宽与长之比为黄金比，长为厘米， 它的宽厘米． 故答案为：． 12. 若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0有实数根，则k的取值范围是_____． 【答案】k≤5且k≠1 【解析】 【详解】解：∵一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0有实数根， ∴k﹣1≠0，且b2﹣4ac=16﹣4（k﹣1）≥0， 解得：k≤5且k≠1. 故答案为：k≤5且k≠1. 13. 一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的8个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为了估计其中的红球数，采用如下方法：先将口袋中的球摇匀，再从口袋里随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，不断重复上述过程，小亮共摸了1000次，其中有200次摸到白球，因此小亮估计口袋中的红球大约为________个． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，大量反复试验下频率的稳定值即为概率值，则可得到摸到白球的概率，再根据概率计算公式求出白球的个数即可求出红球的个数． 【详解】解：∵不断重复上述过程，小亮共摸了1000次，其中有200次摸到白球， ∴摸到白球的概率为， ∴口袋中大约有个球， ∴小亮估计口袋中的红球大约为个， 故答案为：． 14. 如图，在正方形中，．若以边为底边向其外作等腰直角，连接，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质与判定，勾股定理，构造直角三角形利用勾股定理求解是解题的关键． 过点作的延长线于点，过作于，根据 是等腰直角三角形，可证明四边形是正方形，则，最后在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过点作的延长线于点，过作于，则， 是等腰直角三角形， ，， 四边形是正方形， ，， ∴， 四边形是矩形， ， ， 四边形是正方形， ， ∴在中，． 故答案为：． 15. 如图，在中，，，是边上的中线，，交于点，交于点．若，则的长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定；过F点作，根据已知先得出，进而求得，根据得出，进而根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：过F点作， 在中，，是边上的中线， ，，， ， ， ， ， ， 在中， ， ， ， ∴ ，即， 解得， ， ∴ ，即 解得 故答案为． 三、解答题（共75分） 16. 用恰当的方法解下列方程． （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先把常数移到方程左边，再把方程左边利用十字相乘法分解因式，进而解方程即可得到答案； （2）利用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 17. 已知a、b、c是的三边，且满足，．试判断的形状，并说明理由． 【答案】 是直角三角形，理由如下： ∵， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，根据已知条件用含a的式子分别表示出b、c，再由建立方程求出a的值， 进而求出b、c的值，再利用勾股定理的逆定理求解即可． 【详解】略 18. 端午节是我国的传统节日，益民食品厂为了解市民对去年销量较好的花生粽子、水果粽子、豆沙粽子、红枣粽子（分别用、、、表示）这四种不同口味的粽子的喜爱情况，对某居民区的市民进行了抽样调查，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图． （1）本次参加抽样调查的居民有多少人？ （2）将两幅统计图补充完整； （3）小明喜欢吃花生粽子和红枣粽子，妈妈为他准备了四种粽子各一个，请用“列表法”或“画树形图”的方法，求出小明同时选中花生粽子和红枣粽子的概率． 【答案】（1）本次参加抽样调查的居民有600人； （2） 两幅统计图补充为 （3）． 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率．也考查了统计图． （1）用喜欢B类的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数； （2）先计算出喜欢C类的人数，再计算出喜欢A类的人数的百分比和喜欢C类的人数的百分比，然后补全条形统计图和扇形统计图； （3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出小明同时选中花生粽子和红枣粽子的结果数，然后根据概率公式求解． 【小问1详解】 ， 所以参加抽样调查的居民有600人； 【小问2详解】 喜欢类的人数为（人）， 喜欢类的人数的百分比为； 喜欢类的人数的百分比为； 【小问3详解】 画树状图为： 共有种等可能的结果数，其中小明同时选中花生粽子和红枣粽子的结果数为，所以小明同时选中花生粽子和红枣粽子的概率． 19. 如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O．E，F是AC上的两点，并且AE=CF，连接DE，BF． （1）求证：△DOE≌△BOF； （2）若BD=EF，连接DE，BF．判断四边形EBFD的形状，并说明理由． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD， ∵AE=CF， ∴OE=OF， 在△DEO和△BOF中， ， ∴△DOE≌△BOF． （2）结论：四边形EBFD是矩形． 理由：如图， ∵OD=OB，OE=OF， ∴四边形EBFD是平行四边形， ∵BD=EF， ∴四边形EBFD是矩形． 【解析】 【分析】（1）根据SAS即可证明； （2）首先证明四边形EBFD是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形是矩形即可证明； 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练相关的基本知识． 20. 如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点都在格点上，其坐标分别为． （1）请以点O为位似中心，画出符合条件的的所有位似图形，使之与的相似比为． （2）内一点，经过如此位似变化后，对应点的坐标是　　． 【答案】（1） 或如图： （2）或 【解析】 【分析】本题考查了作位似图形以及位似图形性质，坐标与图形： （1）以点O为位似中心，结合且相似比为，分在轴的同侧或异侧进行作答； （2）根据（1）所做的图，结合相似比为以及两个情况，即可作答． 正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据位似图形上对应两点与位似中心的距离之比等于位似比，与的相似比为， 则内一点，经过如此位似变化后，对应点的坐标是 或与的相似比为，则对应点的坐标是 综上则内一点，经过如此位似变化后，对应点的坐标是或 21. 如图，在中，点G是延长线上一点，与交于点E，与交于点F，如果，，求： （1）的长度； （2）与的面积之比． 【答案】（1）8 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定及性质，熟练掌握相关的判定及性质是解题的关键． （1）先根据平行四边形的性质和已知关系，得出和之间的关系，即，再根据相似三角形的判定及性质得，求出，进而可求解； （2）由，得出，再根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，即，即得与的面积之比 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ，， ∵， ， ， ， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：， ， ∴， ∴与的面积之比为． 22. 为解决山区苹果滞销的难题，镇助农直播间发起了“爱心助农”苹果直销活动，某水果批发商响应号召，以市场价每千克10元的价格收购了6000千克苹果，并立即将其冷藏，请根据下列信息解答问题： ①该苹果的市场价预计每天每千克上涨元； ②这批苹果平均每天有10千克损坏，不能出售； ③每天的冷藏费用为300元； ④这批苹果最多保存110天． 若将这批苹果存放一定天数后按当天市场价一次性出售． （1）多少天后这批苹果的市场价为每千克13元？ （2）求3天后一次性全部售出所得的利润为多少元？ （3）若m天后一次性出售所得利润为9100元，求m的值． 【答案】（1）30天后这批苹果的市场价为每千克13元 （2）3天后一次性全部售出所得的利润为591元 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，有理数混合计算的实际应用，正确理解题意列出式子和方程求解是解题的关键． （1）用上涨的价格除以每天上涨的价格即可得到答案； （2）求出三天后的价格以及没有损坏的苹果质量，进而求出销售额，再减去购买苹果的成本和冷藏费用即可得到答案； （3）根据利润等于销售额减去购买苹果的成本和冷藏的费用建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：天， 答：30天后这批苹果的市场价为每千克13元； 【小问2详解】 解： 元， 答：3天后一次性全部售出所得的利润为591元； 【小问3详解】 解：由题意得，， 整理得：， 解得（舍去）或． 23. 如图1，已知点G在正方形的对角线上，，垂足为点E，，垂足为点F． （1）证明与推断： ②求证：四边形是正方形； ②推断：的值为___________； （2）探究与证明： 将正方形的绕点C顺时针方向旋转，如图2所示，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展与运用： 正方形在旋转过程中，当B、E、F三点在一条直线上时，如图3所示，延长交于点H，若，则___________． 【答案】（1） ①证明：四边形是正方形， ，， 、， ， 四边形是矩形，， ， 四边形是正方形； ②； （2） ；理由：连接， 由旋转性质知， 在和中， 、， ， ， ， 线段与之间的数量关系为； （3）． 【解析】 【分析】（1）①由、结合可得四边形是矩形，再由即可得出；②由正方形性质知：、，据此可得、，利用平行线分线段成比例定理可得； （2）连接，只需证即可得； （3）证明，由相似三角形的性质得出，设，则，求出的值，则可得出答案． 【小问1详解】 解：①略 ②由①知四边形是正方形， ，， ，， ， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）知， ∵B、E、F三点在一条直线上， ， ， ， 、、三点共线， ， ， ， ， 设，则， 则由得， ， 则，， ， ， 解得：，即， 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定与性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $