精品解析：陕西咸阳市旬邑县郑家镇中学2025-2026学年度第一学期第一次阶段性作业九年级数学

2025－2026学年度第一学期第一次阶段性作业九年级数学 （时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（3分×10＝30分） 1. 平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直平分且相等 2. 如图，在矩形中，，，过对角线交点作交于点，交于点，则的长是( ) A. 1 B. C. 2 D. 3. 如图，四边形是菱形，于点，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 小美同学按如下步骤作四边形；（1）画；（2）以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交于点；（3）分别以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点；（4）连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在矩形中，，在上取一点，使，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 6. 直角三角形两条直角边长分别为和，则斜边上的中线长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在正方形中，为上一点，延长到，使，连接的延长线交于点，则下面结论错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 正方形内有一点A，到各边的距离从小到大依次是1、2、3、4，则正方形的周长是（ ） A. 10 B. 20 C. 24 D. 25 9. 如图，菱形的对角线、相交于点，、分别是、边上的中点，连接，若，，则菱形的周长为（ ） A. 4 B. C. D. 28 10. 如图，在正方形中，E是边上的一点，，，将正方形边沿折叠到，延长交于G，连接、，现在有如下四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（3分×6＝18分） 11. 如图，在平行四边形中，延长到点，使，连接，请你添加一个条件_____，使四边形是矩形． 12. 已知一个菱形的两条对角线长分别为和，则这个菱形的面积为________． 13. 如图，菱形中，，，，，垂足分别为、，连接，则的面积是_____． 14. 如图，是矩形的对角线的中点，是的中点，若，，则四边形的周长为_____． 15. 如图，延长正方形的边至，使，则_____． 16. 如图，已知方格纸中为4个相同的小正方形，则_____． 三、解答题（共72分） 17. 如图，点是菱形对角线的交点，，，连接．求证：． 18. 如图，矩形的对角线相交于点O，的周长为9，，求的长． 19. 如图是正五边形，连接对角线、，与相交于点．试判断四边形的形状，并说明理由． 20. 如图，矩形的顶点，分别在菱形的边，上，顶点、在菱形的对角线上. （1）求证：； （2）若为中点，，求菱形的周长． 21. 如图，的对角线相交于点． （1）求证：； （2）若，连接、，判断四边形的形状，并说明理由． 22. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，过点且与边分别交于点和点． （1）请你判断和的数量关系，并说明理由； （2）过点作交的延长线于点，当，时，求的周长． 23. 如图，在菱形中，F为边的中点，与对角线交于点M，过点M作于点E，． （1）若，求的长； （2）求证：． 24. 在中，，，．以为边作周长为18的矩形，、分别为、的中点，连接．请你画出图形，并求出线段的长． 25. 四边形为正方形，点为线段上一点，连接，过点作，交射线于点，以、为邻边作矩形，连接． （1）求证：矩形是正方形； （2）若，求的长； （3）当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第一学期第一次阶段性作业九年级数学 （时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（3分×10＝30分） 1. 平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直平分且相等 【答案】A 【解析】 【分析】平行四边形、矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，因而平行四边形的性质就是四个图形都具有的性质． 【详解】解：平行四边形的对角线互相平分，而对角线相等、平分一组对角、互相垂直不一定成立． 故平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相平分． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了正方形、矩形、菱形、平行四边形的性质，理解四个图形之间的关系是解题关键． 2. 如图，在矩形中，，，过对角线交点作交于点，交于点，则的长是( ) A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，由矩形的性质得出，，，，由线段垂直平分线的性质得出，设，则，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】如图：连接， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∵， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 即； 故选B． 【点睛】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键． 3. 如图，四边形是菱形，于点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用菱形的性质以及勾股定理求得的长，再利用菱形的面积等于对角线乘积的一半，也等于边长乘以高解题． 【详解】解∶四边形为菱形， ． 设与交于点O， ， ，． ． ， 解得． 4. 小美同学按如下步骤作四边形；（1）画；（2）以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交于点；（3）分别以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点；（4）连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：作图可得 ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴． 5. 如图，在矩形中，，在上取一点，使，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取的中点，连接，根据矩形的性质和已知条件，得到是等边三角形，据此可知，从而求得，然后根据等边对等角和三角形内角和定理得到，继而求得． 【详解】解：如图，取的中点，连接， 四边形是矩形， ，， 点是直角斜边的中点， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ． 6. 直角三角形两条直角边长分别为和，则斜边上的中线长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由两条直角边，根据勾股定理算出斜边长度；再根据直角三角形斜边中线性质，得到中线长等于斜边的一半． 【详解】解：∵直角三角形两直角边长分别为和． 由勾股定理得斜边：， ∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， ∴斜边上中线长． 7. 如图，在正方形中，为上一点，延长到，使，连接的延长线交于点，则下面结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】证明，得出，，，判断A正确；根据三角形内角和定理证明，判断B正确；根据已知条件可以证明，但无法证明，判断C错误，根据，，得出，判断D正确． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，，故A正确，不符合题意； ∵， 又∵， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； 根据已知条件能够证明，但无法证明，故C错误，符合题意； ∵，， ∴，故D正确，不符合题意． 8. 正方形内有一点A，到各边的距离从小到大依次是1、2、3、4，则正方形的周长是（ ） A. 10 B. 20 C. 24 D. 25 【答案】B 【解析】 【分析】正方形内一点到两边的距离之和等于边长，故找到1+4=2+3这个等量关系，可以确定边长=5，正方形周长=4×边长． 【详解】解： 由于A在正方形内，所以A到两组对边的距离之和相等， 由于只有1+4=2+3=5， 于是，正方形的边长只能为5， 故正方形的周长=4×5=20， 故选B． 【点睛】此题主要考查正方形的性质的知识点，题目的设置将正方形的边长为5，以条件“正方形内有一点A，到各边的距离分别为1，2，3，4”，将其巧妙地隐藏起来，等待解题者去发现．故解本题的关键是找到边长=5这个隐藏条件． 9. 如图，菱形的对角线、相交于点，、分别是、边上的中点，连接，若，，则菱形的周长为（ ） A. 4 B. C. D. 28 【答案】C 【解析】 【分析】根据中位线定理得到，利用菱形的性质，得到线段、的长、和，结合直角三角形勾股定理得到线段的长，进而得出周长． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵、分别是、边上的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∴菱形的周长为：． 10. 如图，在正方形中，E是边上的一点，，，将正方形边沿折叠到，延长交于G，连接、，现在有如下四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】利用折叠的性质证明，从而得出，并利用勾股定理求出的长度，进而逐一判断各个结论的真假． 【详解】解：如图，连接． ∵正方形，，， ∴，． 由折叠得：，，，， ∴， ∵，， ， ，， ，故①正确； 设，则，， 在中，由勾股定理， 即， ，解得， ∴，，， 若，则是等边三角形，， ∴， ∴，不符合题意， ∴， 即不是等边三角形，，故②错误； ， ， ， ，， ， ，故③正确， 在中，，， ∴， ∵和的顶点C相同，底边和在同一条直线上， ∴它们的高相等，面积之比等于底边之比， ∴， ∵，故④错误， 综上所述，正确的结论是①和③，共2个． 二、填空题（3分×6＝18分） 11. 如图，在平行四边形中，延长到点，使，连接，请你添加一个条件_____，使四边形是矩形． 【答案】 (答案不唯一) 【解析】 【分析】要使四边形是矩形，由已知条件，易证得平行且等于，得出四边形是平行四边形，根据矩形的判定方法，添加条件即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴根据对角线相等的平行四边形是矩形，可以添加一个条件． 根据有一个角是直角的平行四边形为矩形，可以添加等． 12. 已知一个菱形的两条对角线长分别为和，则这个菱形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】已知菱形两条对角线的长度，利用菱形面积公式，即菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，直接计算即可． 【详解】解：∵这个菱形两条对角线长分别为和， ∴这个菱形的面积为． 13. 如图，菱形中，，，，，垂足分别为、，连接，则的面积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先证明，推出，，再证明是等边三角形，据此计算即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵，， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， 在中，， ∴， ∴， 作于点， ∴， ∴， ∴． 14. 如图，是矩形的对角线的中点，是的中点，若，，则四边形的周长为_____． 【答案】20 【解析】 【分析】先由矩形的性质和勾股定理求得，，再根据直角三角形斜边上的中线性质和三角形的中位线性质求得，，进而可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴， ∵O为的中点，是的中点， ∴，，， ∴四边形的周长． 15. 如图，延长正方形的边至，使，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据正方形的性质推导出，再根据等腰三角形的性质得到，然后利用三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴． 16. 如图，已知方格纸中为4个相同的小正方形，则_____． 【答案】 ##度 【解析】 【分析】观察图形可知所在的三角形为等腰直角三角形，故；通过证明，得出与相等，结合直角三角形两锐角互余可得，从而求解 ． 【详解】 解：设小正方形的边长为1 如图， 在中，，，  是等腰直角三角形．  ． 在和中， ， ．  ． 在中，， ． ． 三、解答题（共72分） 17. 如图，点是菱形对角线的交点，，，连接．求证：． 【答案】证明：∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵菱形中，， 即， ∴四边形是矩形， ∴， 又∵菱形中，， ∴． 【解析】 【分析】由菱形的性质和矩形的判定，证明四边形是矩形，即可得到． 【详解】略 18. 如图，矩形的对角线相交于点O，的周长为9，，求的长． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理．先求得，根据三角形的周长公式求得，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，且， ∴，， ∵的周长为9， ∴， ∴， ∴． 19. 如图是正五边形，连接对角线、，与相交于点．试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】四边形是菱形，理由如下： ∵五边形是正五边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可证：， ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴平行四边形是菱形． 【解析】 【分析】首先根据正五边形的性质得到五条边相等、五个内角相等，结合多边形内角和计算公式得到每个内角度数，根据等边对等角得到的度数，从而得出的度数，然后根据“同旁内角互补，两直线平行”推导出一组平行线，同理可证明另外一组平行线，最后结合邻边相等得出所求四边形是菱形． 【详解】略 20. 如图，矩形的顶点，分别在菱形的边，上，顶点、在菱形的对角线上. （1）求证：； （2）若为中点，，求菱形的周长． 【答案】（1）证明：∵四边形EFGH是矩形， ∴EH=FG，EH∥FG， ∴∠GFH=∠EHF， ∵∠BFG=180°-∠GFH，∠DHE=180°-∠EHF， ∴∠BFG=∠DHE， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC， ∴∠GBF=∠EDH， ∴△BGF≌△DEH（AAS）， ∴BG=DE； （2）8. 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得到EH=FG，EH∥FG，得到∠GFH=∠EHF，求得∠BFG=∠DHE，根据菱形的性质得到AD∥BC，得到∠GBF=∠EDH，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）连接EG，根据菱形的性质得到AD=BC，AD∥BC，求得AE=BG，AE∥BG，得到四边形ABGE是平行四边形，得到AB=EG，于是得到结论． 【详解】（1）略 （2）连接EG， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=BC，AD∥BC， ∵E为AD中点， ∴AE=ED， ∵BG=DE， ∴AE=BG，AE∥BG， ∴四边形ABGE是平行四边形， ∴AB=EG， ∵EG=FH=2， ∴AB=2， ∴菱形ABCD的周长=8． 【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别作图是解题的关键． 21. 如图，的对角线相交于点． （1）求证：； （2）若，连接、，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵, ∴，即． 在和中， ， ∴． （2）解：四边形是矩形．理由： 由（1）知． ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴平行四边形是矩形． 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的对角线互相平分，证明，再借助证明即可； （2）根据对角线相等的平行四边形是矩形判定即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略． 22. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，过点且与边分别交于点和点． （1）请你判断和的数量关系，并说明理由； （2）过点作交的延长线于点，当，时，求的周长． 【答案】（1）解：，理由如下： ∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）根据四边形是菱形，得出，，进而证明，根据全等三角形对应边相等即可得出结论； （2）根据菱形性质可得：，，先在中求出，再证明四边形是平行四边形，进而得出、，由此即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵在菱形中， ∴，，，， 在中，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴的周长 ， 即的周长是． 23. 如图，在菱形中，F为边的中点，与对角线交于点M，过点M作于点E，． （1）若，求的长； （2）求证：． 【答案】（1） （2）证明：如图，延长交的延长线于点G． ∵F为边的中点， ∴， ∴． 在菱形中，对角线平分， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴（等角对等边）． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）首先根据菱形性质得到对边平行和邻边、相等，根据平行线性质推出内错角，结合已知条件得到，再根据等角对等边以及垂线性质得到，求出的长，进而求解的长． （2）首先运用辅助线构造全等三角形，延长交的延长线于点G，根据菱形性质和已知条件证明，接着运用定理证明，得到；然后根据等角对等边得到；最后结合中线性质和平行线性质，运用定理证明，得到；将进行等量代换即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴（等角对等边）． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 24. 在中，，，．以为边作周长为18的矩形，、分别为、的中点，连接．请你画出图形，并求出线段的长． 【答案】 线段的长为或. 【解析】 【分析】作线段的垂直平分线作出的中点H，作的垂线，得，得到周长为18的矩形；根据作，的垂直平分线得到和的中点．利用等腰三角形面积求底边上的高，由矩形周长求邻边长，通过三角形中位线定理将转化为的一半，分矩形与三角形在同侧、异侧两种情况，结合勾股定理求解． 【详解】解：作的垂直平分线交于点H， 作的垂线和， 在上作线段，使，在上作线段，使， 连接，得到矩形； 作的垂直平分线交于点M，作的垂直平分线交于点N，连接． 分与点A在同侧和异侧两种情况． 理由：∵点F到点B和点C的距离相等，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ； ∵垂直平分，垂直平分， ∴M是的中点，N是的中点． ∵垂直平分于点，， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵四边形是矩形，周长为18， ∴． ∴． ∵、分别为、的中点， ∴是的中位线． ∴． 连接，过点作于点． ∵， ∴， ∵， ∴A、H、P共线， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，． 当矩形与在的同侧时， ． 在中，由勾股定理得． ∴． 当矩形与在的异侧时， ， 在中，由勾股定理得． ∴． 综上所述，线段的长为或． 25. 四边形为正方形，点为线段上一点，连接，过点作，交射线于点，以、为邻边作矩形，连接． （1）求证：矩形是正方形； （2）若，求的长； （3）当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数． 【答案】（1）证明：如图，作交于点，交于点． 四边形为正方形， ∴平分，， ∵点在对角线上，，， ， ∴四边形为正方形， ∴， ∴， 四边形是矩形， ， ∴， ． 在和中， ， ， ， 矩形是正方形． （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）作于交于点，交于点，通过证明，得到，从而根据正方形的判定定理证明； （2）通过计算发现点是中点，点与点重合，结合矩形是正方形的结论求得的长； （3）分与的夹角为和与夹角为两种情形考虑问题即可． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解： 如图，在中，， ， ， 点是中点，点与点重合， 由（1）可知，矩形是正方形， ． 【小问3详解】 解：①当与的夹角为时，点在边上，，如图所示， 则， 在四边形中，由四边形内角和定理得 ． ②当与夹角为时，点在的延长线上，，如图所示， ，，由三角形内角和定理， ， 综上所述，或． 【点睛】本题考查正方形的性质和判定、矩形的性质、全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会用分类讨论的思想思考问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $