7.8 实 数　导学案　 2024-2025学年青岛版数学八年级下册

实数和分类 1．实数的定义：__ __统称为实数． 2．实数的分类 (1)按定义分： (2)按性质分： 实数 与实数有关的概念和性质 名称 意义 性质 相反数 如果a是一个实数，那么－a表示a的相反数 a与b互为相反数↔a＋b＝0 绝对值 (1)如果a是实数，那么|a|就是在数轴上表示数a的点到原点的距离． (2)实数a的绝对值记作|a| (1)正实数的绝对值等于它本身，负实数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0. (2)任何实数的绝对值都是非负数，即|a|≥0. (3)互为相反数的两个数的绝对值相等，即|a|＝|－a| 倒数 a与互为倒数(其中a≠0) a与b互为倒数↔ab＝1 实数与数轴上的点的关系 实数与数轴上的点一一对应． 利用数轴比较实数的大小 数轴上的任意两点，右边的点所表示的实数比左边的点所表示的实数大． 有序实数对与平面直角坐标系中点的关系 把有序有理数对扩充到有序实数对后，每一个有序实数对都可以用直角坐标系中__ __的一个点来表示．反之，直角坐标系中的每一个点都表示一个__ __的有序实数对．因此，所有有序实数对与直角坐标系中所有点__ __． 实数的运算 1．在实数的运算中，有理数的运算法则、运算律对实数同样适用． 2．实数的运算顺序： 先算乘方、开方，再算乘、除，最后算加、减．同级运算从左到右依次进行，有括号的要先算括号里面的． 实数的定义与分类 典例1 [2024·宿迁期中]把下列各数填入相应的集合里．(填序号) ①－　②0　③－(－32)　④0.101 001 000 1…(两个1之间的0逐渐增加)　⑤－3.2 ⑥　⑦－. 整数集合：{__ __}； 负分数集合：{__ __}； 正有理数集合：{__ __}； 无理数集合：{__ __}． 变式 实数，3.14，，，1.732，，，0.，0.101 001 000 1…(相邻两个1之间的0的个数逐次加1)中，无理数的个数为( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 实数的性质 典例2 下列各组数中互为相反数的是( ) A．|－2|与2 B．－2与 C．－2与－ D．－2与 变式 [2023春·安达期中]已知实数a，b，c，d，e，f，且a，b互为倒数，c，d互为相反数，e的绝对值为，f的算术平方根是8，求ab＋＋e2＋的值． 数轴上点与实数的位置关系 典例3 [2024·德州期中]实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简－的结果为( ) 典例3图 A．b B．－2a＋b C．2a＋b D．2a－b 变式 [2025·金华期中]把下列各数表示在数轴上，并用“<”号把它们连接起来． 4，－2.5，|－1.5|，0，(标出大致位置即可) 变式图 实数的运算 典例4 计算： (1)－－＋； (2)＋|－2|－(－2)2＋|－|. 变式 [2024·滨州期末]计算：－＋＋＝__ __． 在直角坐标系中求点的坐标 典例5 [2023·临沂期末]如图，菱形的边长为，∠ABC＝45°，则点D的坐标为__ __． 典例5图 变式 [2024·淄博期中]我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D′处，则C点的对应点C′的坐标为( ) 变式图 A．(2，) B．(2，2) C．(1，) D．(，1) 1．[2024·泰安期末]在0，，－4.3，，1.，3.141 592中，无理数的个数有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．[2024·聊城三模]下列各数中，绝对值最小的数是( ) A．－10 B．－ C．1 D. 3．[2024·西安一模]蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是其中一个正六边形ABCDEF，将其放在平面直角坐标系中，点B，C，D均为正六边形的顶点且在坐标轴上，若正六边形的边长是2，则点A的坐标为( ) 第3题图 A．(3，) B．(，4) C．(4，) D．(3，2) 4．[2024·济宁期中](1)计算：－＋； (2)把下列各数：－2.5，0，，在数轴上表示出来，并将这些数用“<”连接． 第4题图 学科网（北京）股份有限公司 $$ 实数和分类 1．实数的定义：__有理数与无理数__统称为实数． 2．实数的分类 (1)按定义分： (2)按性质分： 实数 与实数有关的概念和性质 名称 意义 性质 相反数 如果a是一个实数，那么－a表示a的相反数 a与b互为相反数↔a＋b＝0 绝对值 (1)如果a是实数，那么|a|就是在数轴上表示数a的点到原点的距离． (2)实数a的绝对值记作|a| (1)正实数的绝对值等于它本身，负实数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0. (2)任何实数的绝对值都是非负数，即|a|≥0. (3)互为相反数的两个数的绝对值相等，即|a|＝|－a| 倒数 a与互为倒数(其中a≠0) a与b互为倒数↔ab＝1 实数与数轴上的点的关系 实数与数轴上的点一一对应． 利用数轴比较实数的大小 数轴上的任意两点，右边的点所表示的实数比左边的点所表示的实数大． 有序实数对与平面直角坐标系中点的关系 把有序有理数对扩充到有序实数对后，每一个有序实数对都可以用直角坐标系中__唯一__的一个点来表示．反之，直角坐标系中的每一个点都表示一个__唯一__的有序实数对．因此，所有有序实数对与直角坐标系中所有点__一一对应__． 实数的运算 1．在实数的运算中，有理数的运算法则、运算律对实数同样适用． 2．实数的运算顺序： 先算乘方、开方，再算乘、除，最后算加、减．同级运算从左到右依次进行，有括号的要先算括号里面的． 实数的定义与分类 典例1 [2024·宿迁期中]把下列各数填入相应的集合里．(填序号) ①－　②0　③－(－32)　④0.101 001 000 1…(两个1之间的0逐渐增加)　⑤－3.2 ⑥　⑦－. 整数集合：{__②③__}； 负分数集合：{__⑤⑦__}； 正有理数集合：{__③⑥__}； 无理数集合：{__①④__}． 本题考查了实数的分类，利用实数的分类逐一判断各个数即可． 变式 实数，3.14，，，1.732，，，0.，0.101 001 000 1…(相邻两个1之间的0的个数逐次加1)中，无理数的个数为( C ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 实数的性质 典例2 下列各组数中互为相反数的是( D ) A．|－2|与2 B．－2与 C．－2与－ D．－2与 根据相反数的定义逐项判断即可． 变式 [2023春·安达期中]已知实数a，b，c，d，e，f，且a，b互为倒数，c，d互为相反数，e的绝对值为，f的算术平方根是8，求ab＋＋e2＋的值． 解：∵a，b互为倒数， ∴ab＝1. ∵c，d互为相反数， ∴c＋d＝0. ∵e的绝对值为， ∴e＝±. ∵f的算术平方根是8， ∴＝8， ∴f＝64， ∴当e＝时， 原式＝×1＋＋()2＋＝； 当e＝－时， 原式＝×1＋＋(－)2＋＝. 综上所述，原式＝. 数轴上点与实数的位置关系 典例3 [2024·德州期中]实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简－的结果为( A ) 典例3图 A．b B．－2a＋b C．2a＋b D．2a－b 先根据数轴，得到a<0<b，>b，进而得到a＋b<0，再根据绝对值和算术平方根的定义，进行化简即可． 变式 [2025·金华期中]把下列各数表示在数轴上，并用“<”号把它们连接起来． 4，－2.5，|－1.5|，0，(标出大致位置即可) 变式图 解：|－1.5|＝1.5， ∵()2＝3，2.25<3<4， ∴1.5<<2， 各数在数轴上表示如图： 变式图 由数轴可得：－2.5<0<|－1.5|<<4. 实数的运算 典例4 计算： (1)－－＋； (2)＋|－2|－(－2)2＋|－|. (1)先根据平方、立方根、算术平方根进行化简，再计算即可； (2)先根据平方、绝对值、算术平方根进行化简，再计算即可． 解：(1)原式＝4－(－2)－＋ ＝4－(－2)－1＋＝； (2)原式＝＋2－－4＋ ＝2＋2－4＝0. 变式 [2024·滨州期末]计算：－＋＋＝__－__． 在直角坐标系中求点的坐标 典例5 [2023·临沂期末]如图，菱形的边长为，∠ABC＝45°，则点D的坐标为__(1＋，1)__． 典例5图 过点D作DE⊥x轴，垂足为E，根据菱形的性质得到CO＝DC＝，∠DCE＝45°，然后利用勾股定理得到CE＝DE＝1，进而求解即可． 变式 [2024·淄博期中]我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D′处，则C点的对应点C′的坐标为( A ) 变式图 A．(2，) B．(2，2) C．(1，) D．(，1) 1．[2024·泰安期末]在0，，－4.3，，1.，3.141 592中，无理数的个数有( A ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．[2024·聊城三模]下列各数中，绝对值最小的数是( B ) A．－10 B．－ C．1 D. 3．[2024·西安一模]蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是其中一个正六边形ABCDEF，将其放在平面直角坐标系中，点B，C，D均为正六边形的顶点且在坐标轴上，若正六边形的边长是2，则点A的坐标为( C ) 第3题图 A．(3，) B．(，4) C．(4，) D．(3，2) 4．[2024·济宁期中](1)计算：－＋； (2)把下列各数：－2.5，0，，在数轴上表示出来，并将这些数用“<”连接． 第4题图 解：(1)原式＝2－(2－)＋(－3) ＝2－2＋－3 ＝－3； (2)＝， 第4题图 －2.5<0<<. 学科网（北京）股份有限公司 $$