精品解析：青海省西宁市虎台中学2024-2025学年上学期期中九年级数学试题

西宁市虎台中学九年数学期中检测试卷 出题人：初三数学备课组 审题人：初三数学备课组满分：120分 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．如图是广灵民间艺人的四幅作品，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得，所得新抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题是真命题的是（ ） A. 长度相等的弧是等弧 B. 圆中最长的弦是经过圆心的弦 C. 一条弦把圆分成两条弧，分别是优弧和劣弧 D. 平分弦的直径垂直于弦 4. 如图，在小正方形网格中，将绕某一点旋转变换得到，则旋转中心为（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 5. 如图，已知点，A与关于y轴对称，连结，现将线段以点为中心顺时针旋转得，点 B的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 已知二次函数 的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 长春某商家中秋节期间代销月饼，每盒月饼的成本为50元，销售中发现每盒月饼售价99元时，日销售量为200盒，当每盒月饼每下降1元时，日销售量增加2盒．设每盒月饼售价为x元，商家每天的利润为w元，则w与x之间的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，则下列结论：①；②将图象向上平移1个单位长度后与直线有3个交点；③当时，该图象与直线有四个交点；④（为实数）．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题（每小题2分，共20分） 9. 当__________时，关于的方程是一元二次方程． 10. 方程x2=4x的解 __． 11. 如图，P是正方形内一点，将绕点C逆时针方向旋转后与重合，若，则________________． 12. 若m、n是关于的一元二次方程是一元二次方程的两根，则的值为_____． 13. 如图，反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，已知点的坐标为，当时，则的取值范围是_____． 14. 一种大模型飞机模型表演中，已知该种飞机登陆后滑行的距离（单位：米）与滑行时间（单位：秒）之间的函数关系表达式为，则该种模型飞机登陆后滑行停止所需要的时间为_____秒． 15. 如图，已知关于的一元三次方程的解为，，，请运用函数的图象，数形结合的思想方法，判断关于的不等式的解集_____． 16. 如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，则四边形的面积为_______． 17. 在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面半径为，油面宽为，如果再注入一些油后，油面宽变为，则油面上升的高度为______． 18. 关于反比例函数的下列说法：①若，两点在该函数图象上，且，则：②当时，或；③当时，；④若反比例函数与一次函数的图象无交点，则的范围是．其中正确的是_____（填序号）． 三、解答题（19、20、21、22每週7分，23、24每週8分，25、26每週10分，27題12分） 19. 解方程：． 20. 已知二次函数与轴有两个交点，与轴的其中一个交点为，求该函数与轴的另外一个交点坐标． 21. 已知关于的一元二次方程 （1）已知方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）若菱形的两条对角线恰好是该方程的两个实数根，且面积为8，求的值． 22. 如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上． （1）画出关于原点对称的． （2）画出以点为旋转中心，沿顺时针方向旋转后的图形． （3）在轴上找一点P使得为以为腰的等腰三角形，直接写出点P的坐标． 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限，两点，与坐标轴交于，两点，连接，． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）求的面积． 24. 土族盘绣是青海省互助县土族民间传统美术，国家非物质文化遗产之一，在青海省都兰县发掘的土族先祖吐谷浑墓葬中，出现了类似盘绣的绣品，说明4世纪左右盘绣工艺已经出现．小花的妈妈想设计一幅周长为8米的矩形盘绣作品，已知盘绣绣作品的成本费用为每平方米2000元，设矩形的一边长为米，这幅作品的成本费用为元． （1）若该矩形作品的面积为时，该作品的两边长分别是多少？ （2）当取何值时，这幅作品的成本费用最大？为多少元？ 25. 如图，在中，、为直径，弦于点，连接． （1）若，，求的直径； （2）若，求的度数． 26. 如图1，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，使得点C的对应点为点E，点A的对应点为点D，所在直线交所在直线于点F． （1）求证：； （2）如图2．若将绕点B顺时针方向旋转度，且，其它条件不变，如图2你认为（1）中的结论还成立吗？若成立，写出证明过程：若不成立，请写出、与之间的关系，并说明理由． （3）当绕点B顺时针方向旋转角度满足，其它条件不变，请直接写出、与之间的关系为_____． 27. 抛物线的图像经过的点如下表： x 0 1 2 3 4 y 8 3 0 0 3 （1）求出抛物线的解析式； （2）如图1，抛物线交轴于点A，交轴于点B、C，在抛物线的对称轴上找一点P，使得的长度最小，请求出点P的坐标； （3）如图2．将抛物线绕点旋转，顶点的对应点为点，连结、、，请判断的形状，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西宁市虎台中学九年数学期中检测试卷 出题人：初三数学备课组 审题人：初三数学备课组满分：120分 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．如图是广灵民间艺人的四幅作品，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的知识，解题的关键是掌握中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义：把一个图形旋转，如果旋转后的图形可以与原图形重合，那么这个图形就是中心对称图形，即可． 【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、是中心对称图形，符合题意． 故选：D． 2. 将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得，所得新抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要查了抛物线的平移问题．根据平移的规律“左加右减，上加下减”，即可求解． 【详解】解：将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得，所得新抛物线的解析式为． 故选：B 3. 下列命题是真命题的是（ ） A. 长度相等的弧是等弧 B. 圆中最长的弦是经过圆心的弦 C. 一条弦把圆分成两条弧，分别是优弧和劣弧 D. 平分弦的直径垂直于弦 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了命题，圆中的有关概念，熟练掌握圆的概念和性质是解题的关键。 根据圆的概念和性质分析即可． 【详解】解：A．在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故原说法错误，是伪命题，不符合题意； B．圆中最长的弦是经过圆心的弦，说法正确，是真命题，符合题意； C．一条弦（非直径）把圆分成两条弧，分别是优弧和劣弧，故原说法错误，是伪命题，不符合题意； D．平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故原说法错误，是伪命题，不符合题意； 故选：B． 4. 如图，在小正方形网格中，将绕某一点旋转变换得到，则旋转中心为（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转图形的性质，旋转中心在旋转前后对应顶点连线的垂直平分线上，由此即可求解． 【详解】解：连接，，利用格点作线段，的垂直平分线，如图， 交点N即为旋转中心， 故选C． 5. 如图，已知点，A与关于y轴对称，连结，现将线段以点为中心顺时针旋转得，点 B的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，图形的旋转问题，坐标与图形．过点作轴于点C，证明，可得，即可求解． 【详解】解：∵点，A与关于y轴对称， ∴， 如图，过点作轴于点C， ∵将线段以点为中心顺时针旋转得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点 B的对应点的坐标为． 故选：A 6. 已知二次函数 的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，根据二次函数图象确定出a、b、c的符号，再判断反比例函数与一次函数所在的位置即可． 【详解】解：根据抛物线开口向下可得，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故，由与y轴交点在正半轴可得， ∴反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数经过第一、二、三象限， 符合条件的只有A选项， 故选：A． 7. 长春某商家中秋节期间代销月饼，每盒月饼的成本为50元，销售中发现每盒月饼售价99元时，日销售量为200盒，当每盒月饼每下降1元时，日销售量增加2盒．设每盒月饼售价为x元，商家每天的利润为w元，则w与x之间的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解利润由每盒利润与销售量乘积决定是解答本题的关键． 每盒利润为售价减成本，即元；销售量随售价下降而增加，基于基准售价99元时200盒，每降1元增2盒，故售价x元时销售量为盒． 【详解】解：∵每盒利润：元， 售价下降：元， 销售量增加：盒， ∴销售量：盒， ∴． 故选D． 8. 如图，函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，则下列结论：①；②将图象向上平移1个单位长度后与直线有3个交点；③当时，该图象与直线有四个交点；④（为实数）．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一次函数的综合、一元二次方程根的判别式等知识，较难的是③，正确找出两个临界位置是解题关键．求出函数的对称轴为直线，由此即可判断①正确；先利用待定系数法求出函数的解析式，再求出函数在段的图象的最高点的坐标为，由此即可判断②正确；找出两个临界位置：当直线经过点时，直线与函数图象有3个交点；当直线与函数在段的图象只有一个交点时，直线与函数图象有3个交点，求出的值，由此即可判断③正确；根据当时，函数取得最小值，最小值为，则对于任意实数，都有，由此即可判断④错误． 【详解】解：由图象可知：函数的对称轴为直线， ∴，即，结论①正确； 由题意可知，函数的图象经过点， 将点代入：，解得， ∴函数的解析式为，其顶点坐标为， ∴函数在段的图象的最高点的坐标为， ∴将函数图象向上平移1个单位长度后，在轴两个交点的中间部分段的图象的最高点的坐标为， ∴将函数图象向上平移1个单位长度后与直线有3个交点，结论②正确； 由上可知，函数的解析式为， 当或时，， 当时，， 有两个临界位置：如图，当直线经过点时，直线与函数图象有3个交点， 则，解得； 如图，当直线与函数在段的图象只有一个交点时，直线与函数图象有3个交点， 联立得：，这个方程有两个相等的实数根， ∴方程根的判别式， 解得， ∴当时，该图象与直线有四个交点，结论③正确； 由上可知，函数图象的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，函数取得最小值，最小值为， ∴对于任意实数，都有，即，结论④错误； 综上，正确的是①②③， 故选：A． 二、填空题（每小题2分，共20分） 9. 当__________时，关于的方程是一元二次方程． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是： 是常数且），特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 根据一元二次方程的定义可得，，据此解答即可． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，， 解得， 故答案为：． 10. 方程x2=4x的解 __． 【答案】x=0或x=4 【解析】 【分析】先移项，使方程右边为0，再提公因式x，然后根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0．”进行求解． 【详解】解：原方程变为 x2﹣4x=0 x（x﹣4）=0 解得x1=0，x2=4， 故答案为：x=0或x=4． 【点睛】本题考查用因式分解法解一元一次方程.提公因式是解题的关键. 11. 如图，P是正方形内一点，将绕点C逆时针方向旋转后与重合，若，则________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，根据正方形和旋转的性质，推出为等腰直角三角形，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴， ∵绕点C逆时针方向旋转后与重合， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴． 故答案为：． 12. 若m、n是关于的一元二次方程是一元二次方程的两根，则的值为_____． 【答案】0 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系和一元二次方程的解，利用一元二次方程的解，根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程是一元二次方程的两根， ∴，， ∴， ∴， ， ， 故答案为：0． 13. 如图，反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，已知点的坐标为，当时，则的取值范围是_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与正比例函数，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键．先根据函数图象的对称性可得点与点关于原点对称，则，再结合函数图象求解即可得． 【详解】解：由函数图象的对称性可知，点与点关于原点对称， ∵点的坐标为， ∴， 由函数图象可知，当时，或， 故答案为：或． 14. 一种大模型飞机模型表演中，已知该种飞机登陆后滑行的距离（单位：米）与滑行时间（单位：秒）之间的函数关系表达式为，则该种模型飞机登陆后滑行停止所需要的时间为_____秒． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解当飞机滑行停止时，取得最大值时解题关键．利用二次函数的性质，求出当取得最大值时，的值即可得． 【详解】解：将函数化成顶点式为， 由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，即此时飞机滑行停止， 所以这种模型飞机登陆后滑行停止所需要的时间为20秒， 故答案为：20． 15. 如图，已知关于的一元三次方程的解为，，，请运用函数的图象，数形结合的思想方法，判断关于的不等式的解集_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查数形结合，利用数形结合的思想，找到图象在轴上方时的自变量的取值范围即可． 【详解】解：由图象可知：关于的不等式的解集为：或； 故答案为：或． 16. 如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，则四边形的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，由题意得，，再根据四边形的面积为计算即可求解，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． 【详解】解：∵点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点， ∴，， ∴四边形的面积为， 故答案为：． 17. 在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面半径为，油面宽为，如果再注入一些油后，油面宽变为，则油面上升的高度为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用．分两种情况，由垂径定理和勾股定理求出、的长，即可解决问题． 【详解】解：当油面没超过圆心，油面宽为时， 过作于，交于，连接，， 则， ，， 截面半径为， ， ，， 即弦的弦心距是，弦的弦心距是， 则， 即当油面没超过圆心时，油上升了； 当油面超过圆心时， 同理得， 则， 即油面上升了； 故答案为：或． 18. 关于反比例函数的下列说法：①若，两点在该函数图象上，且，则：②当时，或；③当时，；④若反比例函数与一次函数的图象无交点，则的范围是．其中正确的是_____（填序号）． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数、二次函数与不等式、一元二次方程根的判别式等知识，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键．根据这个反比例函数的图象位于第二、四象限，与0的大小关系不能确定，由此即可判断①错误；求出当时，，再结合函数图象即可判断②正确；求出当时，，再结合函数图象即可判断③正确；联立反比例函数与一次函数的解析式可得方程，根据这个一元二次方程根的判别式小于0可得，再利用二次函数的性质解不等式，由此即可判断④正确． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴这个反比例函数的图象位于第二、四象限， ∵与0的大小关系不能确定， ∴不能判断，则说法①错误； 当时，， 如图，由函数图象可知，当时，或，则说法②正确； 当时，， 由函数图象可知，当时，，则说法③正确； 联立得：， 整理得：， ∵反比例函数与一次函数的图象无交点， ∴一元二次方程没有实数根， ∴这个方程根的判别式，即， 令， 当时，，解得或， ∵抛物线的开口向上，对称轴为直线，与轴的两个交点坐标为和， ∴由二次函数的性质得：当时，， 即的解集为， ∴反比例函数与一次函数的图象无交点，则的范围是，说法④正确； 综上，正确的是②③④， 故答案为：②③④． 三、解答题（19、20、21、22每週7分，23、24每週8分，25、26每週10分，27題12分） 19. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是关键． 先把方程化简成一元二次方程的标准形式，再使用因式分解法解方程． 【详解】解：， 化简得，， 因式分解得，， 则或， 解得，，． 20. 已知二次函数与轴有两个交点，与轴的其中一个交点为，求该函数与轴的另外一个交点坐标． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与x轴的交点问题，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握知识点是解题的关键． 设另一个交点为，当时，，则由根与系数的关系得到，即可求解． 【详解】解：设另一个交点为 当时，， 则由根与系数的关系得到， 解得：， ∴函数图象与的另外一个交点坐标为． 21. 已知关于的一元二次方程 （1）已知方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）若菱形的两条对角线恰好是该方程的两个实数根，且面积为8，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、菱形的性质，熟练掌握一元二次方程根的判别式、根与系数的关系是解题关键． （1）根据方程有两个不相等的实数根可得这个一元二次方程根的判别式，据此建立不等式，解不等式即可得； （2）设这个方程的两个实数根分别为，根据一元二次方程的根与系数的关系可得，再根据菱形的面积公式可得，结合（1）的结论即可得． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴这个方程根的判别式， 整理得：， 解得． 【小问2详解】 解：设这个方程的两个实数根分别为， 则由一元二次方程的根与系数的关系得：， ∵菱形的两条对角线恰好是该方程的两个实数根，且面积为8， ∴， ∴， 解得或（舍去）， 所以的值为． 22. 如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上． （1）画出关于原点对称的． （2）画出以点为旋转中心，沿顺时针方向旋转后的图形． （3）在轴上找一点P使得为以为腰的等腰三角形，直接写出点P的坐标． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2） 如图，即为所求． （3）或或 【解析】 【分析】本题考查了画中心对称图形和旋转图形、等腰三角形的定义、坐标与图形、利用平方根解方程等知识，熟练掌握中心对称图形和旋转图形的画法是解题关键． （1）先画出点原点对称的点，再顺次连接即可得； （2）先画出点绕点顺时针方向旋转后的点，再顺次连接点即可得； （3）以点为圆心、长为半径画圆，交轴正半轴于点，交轴负半轴于点；以点为圆心、长为半径画圆，交轴正半轴于点，则，和都是以为腰的等腰三角形，点，，即为所求．先写出点的坐标，从而可得的长，再根据等腰三角形的定义可得，由此即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，以点为圆心、长为半径画圆，交轴正半轴于点，交轴负半轴于点；以点为圆心、长为半径画圆，交轴正半轴于点，则，和都是以为腰的等腰三角形，点，，即为所求． 由图可知，， ∴， ∵和都是以为腰的等腰三角形， ∴， 又∵点都在轴上， ∴； 设点的坐标为， 则， ∵是以为腰的等腰三角形， ∴，即， 解得或（此时点与点重合，舍去）， ∴， 综上，点的坐标为或或． 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限，两点，与坐标轴交于，两点，连接，． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）求的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数图象交点问题． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据一次函数得出点，，根据求三角形的面积即可． 【小问1详解】 解：点在反比例函数图象上， ， 反比例函数解析式为， 点在反比例函数图象上， ， 点和点都在一次函数的图象上， ，解得， 一次函数解析式为． 【小问2详解】 由一次函数解析式 当时，，当时， ∴，， 24. 土族盘绣是青海省互助县土族民间传统美术，国家非物质文化遗产之一，在青海省都兰县发掘的土族先祖吐谷浑墓葬中，出现了类似盘绣的绣品，说明4世纪左右盘绣工艺已经出现．小花的妈妈想设计一幅周长为8米的矩形盘绣作品，已知盘绣绣作品的成本费用为每平方米2000元，设矩形的一边长为米，这幅作品的成本费用为元． （1）若该矩形作品的面积为时，该作品的两边长分别是多少？ （2）当取何值时，这幅作品的成本费用最大？为多少元？ 【答案】（1）该作品的两边长分别是1米和3米 （2）当时，这幅作品的成本费用最大，最大费用为8000元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用、一元一次不等式组的应用，熟练掌握一元二次方程和二次函数的应用是解题关键． （1）先求出矩形的另一边长为米，再根据矩形的面积公式建立方程，解方程即可得； （2）先求出矩形的另一边长为米，再求出关于的函数关系式，然后求出自变量的取值范围，利用二次函数的性质求解即可得． 【小问1详解】 解：由题意得：矩形的一边长为米，另一边长为（米）， ∵该矩形作品的面积为， ∴， 整理得：， 解得或， 当时，， 当时，， 答：该作品的两边长分别是1米和3米． 【小问2详解】 解：由题意得：矩形的一边长为米，另一边长为（米）， 则， ∵， ∴， 又∵二次函数中的， ∴在内，当时，取得最大值，最大值为8000， 答：当时，这幅作品的成本费用最大，最大费用为8000元． 25. 如图，在中，、为直径，弦于点，连接． （1）若，，求的直径； （2）若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理、圆周角定理等知识，熟练掌握垂径定理和圆周角定理是解题关键． （1）设的半径为，则，，先根据垂径定理可得，再在中，利用勾股定理可得的值，由此即可得； （2）先根据垂直的定义可得，则，再根据圆周角定理可得，由此即可得． 【小问1详解】 解：设的半径为，则， ∵， ∴， ∵在中，为直径，弦于点，， ∴， 在中，，即， 解得， ∴， 即的直径为． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， 由圆周角定理得：， 又∵， ∴， ∴． 26. 如图1，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，使得点C的对应点为点E，点A的对应点为点D，所在直线交所在直线于点F． （1）求证：； （2）如图2．若将绕点B顺时针方向旋转度，且，其它条件不变，如图2你认为（1）中的结论还成立吗？若成立，写出证明过程：若不成立，请写出、与之间的关系，并说明理由． （3）当绕点B顺时针方向旋转角度满足，其它条件不变，请直接写出、与之间的关系为_____． 【答案】（1） 证明：连接， ∵旋转， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2） 不成立，，理由如下： 连接， ∵旋转， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3） 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质： （1）旋转得到，，证明，得到，根据，等量代换即可得出结论； （2）同（1）法，证明，得到，根据，等量代换即可得出结论； （3）同（1）法，证明，得到，根据，等量代换即可得出结论； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接， ∵旋转 ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 27. 抛物线的图像经过的点如下表： x 0 1 2 3 4 y 8 3 0 0 3 （1）求出抛物线的解析式； （2）如图1，抛物线交轴于点A，交轴于点B、C，在抛物线的对称轴上找一点P，使得的长度最小，请求出点P的坐标； （3）如图2．将抛物线绕点旋转，顶点的对应点为点，连结、、，请判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）的形状为等腰直角三角形，理由见解答 【解析】 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）点B关于对称轴的对称点为点C，则，则为最小，即可求解； （3）将抛物线绕点旋转，顶点的对应点为点N，则点E是的中点，即可求解． 【小问1详解】 解：从表格看，抛物线过点、， 则抛物线的表达式为：， 把代入，得 解得， 故抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：点B关于对称轴的对称点为点C，则， 则为最小， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 而抛物线的对称轴为直线， 当时，， 则点； 【小问3详解】 解：将抛物线绕点旋转，顶点的对应点为点N， 则点E是的中点， 由中点坐标公式得：， 由点A、M、N的坐标得，，同理可得：，， 即且， 故的形状为等腰直角三角形． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰直角三角形的性质、图象的旋转、点的对称性等，确定点N的坐标是本题解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $