精品解析：安徽省合肥市第四十五中学森林城分校2024-2025学年九年级上学期期中数学练习卷

九年级练习卷（数学） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 已知，则下列式子正确是（　　） A. B. C. D. 2. 二次函数的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 3. 已知线段，线段是线段的比例中项，则（　　） A. B. C. D. 4. 若将抛物线平移后得到抛物线，下列平移方法正确是（ ） A. 向左平移个单位，再向上平移个单位 B. 向左平移个单位，再向下平移个单位 C. 向右平移个单位，再向上平移个单位 D. 向右平移个单位，再向下平移个单位 5. 如图，，直线与这三条平行线分别交于点和点，若，则的长为（　　） A. B. C. D. 6. 反比例函数图象上有三个点，，，若，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在平行四边形中，是上一点，交于点，的延长线交的延长线于，若上，则下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 9. 已知反比例函数在第二象限内的图像与一次函数的图像如图所示，则函数的图像可能为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点在线段上，，分别以，为边向上作正方形和正方形．取中点，以，为邻边作，点恰好在延长线上．连结，延长交于点，则（ ） A B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 在比例尺为的合肥市城区地图上量得包公祠与大蜀山两地间距离是，那么两地的实际距离是___________． 12. 如图，古筝上的一根弦的长度约为，两个端点固定在乐器板面上，支撑点是弦靠近点的黄金分割点，则线段的长度约为___________cm．（结果保留根号） 13. 如图，在平面直角坐标系中，过原点的直线交反比例函数的图像于两点，轴于点，的面积为6，则的值为______． 14. 如图，点F是菱形的边BC上一点，将菱形沿翻折，使点C落在边上E点处，连接，，若，则： （1）___________． （2）设的面积为，的面积为，___________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 已知图象的顶点坐标是，且与x轴的一个交点坐标是，求此二次函数的解析式． 16. 如图，在网格图中，已知和点． （1）以点M为位似中心，在y轴右侧画出，使它与位似，且位似比为2； （2）写出各顶点的坐标． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在中，D是边上一点，且满足，求的长． 18. 如图，学校在教学楼自行车停放处计划搭建两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形． （1）若设车棚宽度为xm，则车棚长度为___________m； （2）求学校计划搭建的自行车车棚面积的最大值． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，已知直线与反比例函数的图象相交于A，两点，连接． （1）分别求出一次函数与反比例函数的表达式； （2）求出的面积． 20. 如图，在中，的平分线交于点D，，交于点E． （1）求证：； （2）若，求线段长． 21. 世界羽毛球团体锦标赛成都2024“汤尤杯”的吉祥物“熊嘟嘟”“羽蓉蓉”于4月14日下午首次公开亮相．某商场销售该吉祥物，如果以单价32元销售，那么每天可以销售280套．根据经验，销售单价每提高1元，销售量相应减少10套．已知每套吉祥物的进价为20元．设每套吉祥物的售价为元． （1）若商家想要每天获取3640元的利润，且尽快清空库存，的值应定为多少？ （2）若物价局规定该商品的利润不超过进价的80%，求此商场每天销售该吉祥物的最大利润，并指出相应的值． 22. 如图1，等边中，，点分别是边上一点，且，以为边在直线的同侧作等边，分别交于点． （1）求证：； （2）如图2，若，求的长； （3）如图3，连接，当点为中点时，求的长． 23. 已知二次函数的图象过点． （1）求该二次函数表达式； （2）如图，若该二次函数的图象与x轴有两个公共点A，B，并与动直线交第一象限于点P，连接，，，，其中交y轴于点D，交于点E．设的面积为，的面积为． ①当时，求点P的坐标； ②探究在直线l运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级练习卷（数学） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 已知，则下列式子正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了比例是性质，根据内项之积等于外项之积，对各个选项进行整理化简，即可求解；掌握性质“若，则．”是解题的关键． 【详解】解：A.整理得，结论错误，故不符合题意； B.整理得，结论错误，故不符合题意； C.整理得，结论正确，故符合题意； D.整理得，结论错误，故不符合题意； 故选：C． 2. 二次函数的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，直接根据二次函数的顶点式进行解答即可． 【详解】解：二次函数的顶点坐标是． 故选：D 3. 已知线段，线段是线段的比例中项，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比例中项，成比例线段，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意得到，得出，求出，即可得到答案． 【详解】解：线段，线段是线段的比例中项， ， ， ， ， 是线段， ， ， 故选：B． 4. 若将抛物线平移后得到抛物线，下列平移方法正确的是（ ） A 向左平移个单位，再向上平移个单位 B. 向左平移个单位，再向下平移个单位 C. 向右平移个单位，再向上平移个单位 D. 向右平移个单位，再向下平移个单位 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，先把配成顶点式，然后根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可，熟知函数图象平移的规律是解题的关键． 【详解】解：由抛物线 根据“上加下减，左加右减”规律要得到抛物线， 则即由抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位， 故答案为：． 5. 如图，，直线与这三条平行线分别交于点和点，若，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 根据题意得到，即，求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：C． 6. 反比例函数图象上有三个点，，，若，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根据反比例函数增减性比较函数值的大小．熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 由，可知的图象在第二或第四象限中，随的增大而增大，且在第二象限中，在第四象限中，由，可得． 【详解】解：∵， ∴的图象在第二或第四象限中，随的增大而增大，且在第二象限中，在第四象限中， ∵， ∴， 故选：C． 7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法． 本题可先由二次函数图象得到字母系数的正负，再与一次函数的图象相比较看是否一致． 【详解】解∶A、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项符合题意； B、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项不合题意； C、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不合题意； D、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项不合题意． 故选∶A． 8. 如图，在平行四边形中，是上一点，交于点，的延长线交的延长线于，若上，则下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据平行四边形的性质得到，，得到，得到，得到，选项C正确；证明，得出，得到，选项A正确；可证明，得到，选项B正确； ，选项D错误；即可得到答案． 【详解】解：在平行四边形中，， ， ， ， 选项C正确； ， ， ， ， 选项A正确； ， ， ， 选项B正确； ， 选项D错误； 故选：D． 9. 已知反比例函数在第二象限内的图像与一次函数的图像如图所示，则函数的图像可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数、反比例函数和二次函数的图象，依据题意，由一次函数的图象经过第一、二、三象限，且与y轴交于正半轴，则，反比例函数的图象经过第二、四象限，则，从而函数的图象开口向下，对称轴为直线，从而排除A、D，C，故可得解． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、三象限，且与y轴交于正半轴，则，反比例函数的图象经过第二、四象限，则， ∴函数的图象开口向下，对称轴为直线． ∴综上，可得B正确． 故选：B． 10. 如图，点在线段上，，分别以，为边向上作正方形和正方形．取中点，以，为邻边作，点恰好在的延长线上．连结，延长交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过作于点，由四边形和四边形是正方形，得，，，则可证是等腰直角三角形， 设，则，，，又四边形是平行四边形，则，再证是等腰直角三角形，根据性质得，设，则，再证明从而根据相似三角形的性质得，即，最后求出即可求解． 【详解】过作于点， ∵四边形和四边形是正方形， ∴，，， ∵是中点， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， 设，则， ∴，， 由勾股定理得， ∵四边形是平行四边形， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的性质和勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 在比例尺为的合肥市城区地图上量得包公祠与大蜀山两地间距离是，那么两地的实际距离是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例尺的应用，设两地的实际距离是，根据比例尺为，列出方程，解比例即可． 【详解】解：设两地的实际距离是， 根据题意得， 解得：， ， ∴两地的实际距离是． 故答案为：． 12. 如图，古筝上的一根弦的长度约为，两个端点固定在乐器板面上，支撑点是弦靠近点的黄金分割点，则线段的长度约为___________cm．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割点的应用，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 根据黄金分割的定义计算即可． 【详解】解：支撑点是弦靠近点的黄金分割点，， ， 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，过原点的直线交反比例函数的图像于两点，轴于点，的面积为6，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据反比例函数与正比例函数的图像特征，可知两点关于原点对称，从而得到的面积等于的面积，然后由反比例函数的比例系数的几何意义，即可求出的值． 【详解】解：∵经过原点的直线与反比例函数相交于两点， ∴两点关于原点对称， ∴， ∴， ∵的面积为6， ∴， 又∵是反比例函数图像上点，且轴于点， ∴，解得， ∵该反比例函数图像在二、四象限， ∴， ∴． 故答案：． 【点睛】本题主要考查了比例函数的比例系数的几何意义、反比例函数与一次函数的交点问题，明确反比例函数的比例系数的几何意义是解题的关键． 14. 如图，点F是菱形的边BC上一点，将菱形沿翻折，使点C落在边上E点处，连接，，若，则： （1）___________． （2）设的面积为，的面积为，___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】三个等腰三角形、、全等，可得，利用求；构造，求出，由求出面积比，利用等高求出，进而得到． 【详解】解：在上取一点，使， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 由翻折得，， ∴， ∵， ∴， ∴①， 由翻折可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴②， 由①②得； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题在菱形下考查了顶角为，底角为的等腰三角形的判断与性质，涉及了三角形全等，三角形相似的判定与性质，方程思想，关键是求出，构造，求出相似比． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 已知图象的顶点坐标是，且与x轴的一个交点坐标是，求此二次函数的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 根据题意设二次函数的解析式（），把代入求出，即可得到答案． 【详解】解：图象的顶点坐标是， 设二次函数的解析式（）， 把代入得， 解得， 二次函数的解析式为． 16. 如图，在网格图中，已知和点． （1）以点M为位似中心，在y轴右侧画出，使它与位似，且位似比为2； （2）写出各顶点的坐标． 【答案】（1）图见详解 （2） 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质和位似比、画位似图形，掌握理解位似图形的性质和位似比是解题关键． （1）延长到使，则点为对应点，同样方法作出、的对应点、，从而得到； （2）利用（1）所画图形可得到的各顶点坐标． 【小问1详解】 解：延长到使，则点为的对应点，同样方法作出、的对应点、，连接，即为所求作的； 【小问2详解】 解：由图可得： 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在中，D是边上一点，且满足，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明出是解题的关键． 证明，再根据对应边成比例求出即为． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴． 18. 如图，学校在教学楼自行车停放处计划搭建两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形． （1）若设车棚宽度为xm，则车棚长度为___________m； （2）求学校计划搭建的自行车车棚面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，列代数式，正确理解题意是解题的关键． （1）根据一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，即可列代数式； （2）由题意得，再利用二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解： 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意得：， ∵， ∴， ∵， ∴当时，面积取得最大值为． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，已知直线与反比例函数的图象相交于A，两点，连接． （1）分别求出一次函数与反比例函数的表达式； （2）求出的面积． 【答案】（1）一次函数的表达式；反比例函数表达式 （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点，三角形的面积，解一元二次方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）用待定系数法求函数解析式即可； （2）先求出点，设直线交轴于点，求出，得到，根据即可求得答案． 【小问1详解】 解：直线与反比例函数的图象相交于A，两点， ， ， 一次函数的表达式为； 在反比例函数的图象上， ， ， 反比例函数表达式为； 【小问2详解】 解：由（1）知一次函数的表达式；反比例函数表达式， 直线与反比例函数的图象相交于A，两点， ， 解得： 当时，， ， 如图，设直线交轴于点 当时，， 解得， ， ， ． 20. 如图，在中，的平分线交于点D，，交于点E． （1）求证：； （2）若，求线段长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形性质与判定，勾股定理，角平分线的性质，熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）利用已知条件首先证明，然后利用相似三角形的判定即可解决问题； （2）过点作于H，先由勾股定理求出的长，再由角平分线的性质得到，利用等面积法求出的长，进而得到的长，再根据相似三角形的性质列比例式求解即可． 【小问1详解】 证明：是的角平分线， ， ∵， ∴， ， ∵， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图所示，过点作于H， 在中，由勾股定理得， 是的角平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 21. 世界羽毛球团体锦标赛成都2024“汤尤杯”的吉祥物“熊嘟嘟”“羽蓉蓉”于4月14日下午首次公开亮相．某商场销售该吉祥物，如果以单价32元销售，那么每天可以销售280套．根据经验，销售单价每提高1元，销售量相应减少10套．已知每套吉祥物的进价为20元．设每套吉祥物的售价为元． （1）若商家想要每天获取3640元的利润，且尽快清空库存，的值应定为多少？ （2）若物价局规定该商品的利润不超过进价的80%，求此商场每天销售该吉祥物的最大利润，并指出相应的值． 【答案】（1）的值应定为 （2）此商场每天销售该吉祥物的最大利润为元，相应的值为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，正确列出方程和函数解析式是解题的关键． （1）根据题意得到，解得，即可得到答案． （2）由题意得，得到，设总利润为元，得到 ，得出当时元． 【小问1详解】 解：由题意得， 整理得：， 解得， 要尽快清空库存， ， 答：的值应定为； 【小问2详解】 解：由题意得， 解得：， ， 设总利润为元， 由题意得 ， ， 当时，随的增大而增大， 当时元， 答：此商场每天销售该吉祥物的最大利润为元，相应的值为． 22. 如图1，等边中，，点分别是边上一点，且，以为边在直线的同侧作等边，分别交于点． （1）求证：； （2）如图2，若，求的长； （3）如图3，连接，当点为中点时，求的长． 【答案】（1）证明过程见详解 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，由三角形内角和定理、平角的定义得到，，即，由相似三角形的判定即可求解； （2）根据题意得到，，设，则，，则，由此即可求解； （3）根据题意得到，，，，，如图所示，过点作于点，过点作于点，过点作于点，根据等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理分别求出，再证，得到，求出，，，在中由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴设，则，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：当点为中点时，， ∵， ∴， ∴， 由（1）可得，， ∴，即， ∴，， 如图所示，过点作于点，过点作于点，过点作于点， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴由，则， 在中，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴， 在中，． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，掌握相似三角形的判定和性质是关键． 23. 已知二次函数的图象过点． （1）求该二次函数表达式； （2）如图，若该二次函数的图象与x轴有两个公共点A，B，并与动直线交第一象限于点P，连接，，，，其中交y轴于点D，交于点E．设的面积为，的面积为． ①当时，求点P的坐标； ②探究在直线l的运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）①；②存在最大值，最大值为12． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的知识，用公共三角形表示出，是正确解答此题的关键． (1)把点代入二次函数解析式可得的值，即可求得二次函数的表达式； (2)易得点、、的坐标，设出点的坐标，易得；，①时，易得点的纵坐标和点的纵坐标相等，列出方程，求解即可；②用含的代数式表示出，进而根据二次函数的性质可得的最大值． 【小问1详解】 解：的图象过点， ， ， 解得：， 二次函数表达式为：； 【小问2详解】 解：二次函数表达式为：， 二次函数的图象与轴有两个公共点，，与轴交于点， 点，点，点， 设点， ， ， ①， ， 解得：（不合题意，舍去），， 点的坐标为； ②， 当时存在最大值，最大值为12. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$