精品解析：河南省焦作市2024-2025学年下学期九年级中考数学第一次模拟测试

2025年焦作市九年级第一次模拟测试 数学 1．本试题共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列各数中，绝对值最大的是（ ） A. B. C. D. 3 2. 下列汉字中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 歼－20是我国自主研发的第五代战斗机，具备高隐身性、高机动性等特点，它是我国空军崛起的关键，堪称我国航空工业史上最伟大的战斗机．它的报大航速约为每小时3427000m．数据3427000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是某超市的购物车装满物品时，抽象成的几何示意图，已知五边形，三点在同一条直线上；连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于的一元二次方程无实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 7. 如图，均为上的点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 技术对我国具有重大战略意义，它不仅仅是一项通信技术的升级，更是推动经济、社会、科技全面变革的重要引擎．某市近年来大力发展通信，已知该市2022年投入发展通信的资金为1000万元；2024年投入发展通信的资金为5000万元．设该市投入发展通信的资金的年平均增长率为，则下列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，平分交的延长线于点E，与交于点F．已知，，则的长为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 5 10. 如图1，我们把对角线相等的四边形称为对等四边形．如图2，在中，；点为边上一动点，分别为边上的动点．已知，若四边形为对等四边形，则的最小值为（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 5 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 要使二次根式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是__________． 12. 不等式组的解集为______． 13. 2025年春节联欢晚会的主题是“巳巳如意，生生不息”，把这八个字分别写在八张不透明卡片的正面，这些卡片除了字不同处完全相同．将这八张卡片反面朝上洗匀，从中随机抽取一张，然后放回，再重新抽一张，则两次抽取的卡片上的字恰好都是“巳”的概率为______． 14. 如图，在中，为坐标原点，，点在反比例函数的图象上，若点的坐标为，，则该反比例函数的解析式为______． 15. 如图，在扇形中，，点为的三等分点，为．上一动点，连接．当的值最小时，图中阴影部分的面积为______（结果保留） 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 先化简，再求值：且，请选一个合适的整数代入求值． 17. 为了弘扬爱国主义精神，厚植爱国主义情怀，某校在七、八年级开展了以“中国梦 少年梦”为主题的作文比赛．现从七、八年级参加作文比赛的学生中各随机选出10名学生的成绩整理如下：（单位：分） 七年级学生的作文比赛成绩为：，，，，，，，，，， 八年级学生的作文比赛成绩为：，，，，，，，，，； 年级 平均数 中位数 众数 七年级 86 八年级 86 87 84 根据以上信息，解答下列问题： （1）根据表格写出______，______，______； （2）根据以上数据，你认为在此次作文比赛活动中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条即可）； （3）若八年级某班参加此次比赛的学生共有60名，请你估计该班成绩在80分及以上的学生人数． 18. 如图1，郑州二七纪念塔位于郑州市中心的二七广场，是为了纪念1923年京汉铁路大罢工而建，如图2，某兴趣小组要测量二七塔的高度，在二七塔前的平地上选择一点，在处用测角仪测得二七塔顶部的仰角为，在点和二七塔之间选择一点，在处用测角仪测得仰角为，已知测角仪的高，求二七塔的高度．（结果精确到，参考数据：） 19. 如图，已知． （1）请用无刻度的直尺和圆规作的平分线；（不写作法，保留作图痕迹） （2）若（1）中的平分线交于点，且，求的长． 20. 顶点在圆上，一边与圆相交，一边与圆相切的角是弦切角．古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中提出弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数．下面是某数学兴趣小组对弦切角定理的证明过程． 证明：如图是的直径，为的切线，在上取一点，连接． ，． 是的直径，． 为的切线，． ．， 即弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角的度数． 根据以上材料解决下面的问题： 如图2，已知：是上的点，过点作，交的延长线于点．求证：是的切线． 21. 2025年春节电影档掀起观影热潮，特别是《哪吒之魔童闹海》，截止到2月23日全球票房超135亿，登顶动画电影票房排行榜．某影城准备推出玩偶杯、哪吒手办盲盒等《哪吒之魔童闹海）的周边产品，采购时得知3个盲盒和5个玩偶杯的价格一样，购买2个盲盒和5个玩偶杯共需250元 （1）求每个盲盒和每个玩偶杯的价格； （2）该影城需要购买玩偶杯、盲盒共4000个，且购买玩偶杯的数量不超过盲盒数量的3倍．请你帮助影城计算应购买玩偶杯、盲盒各多少个，才能使总费用最低． 22. 新定义：若一个点的横坐标与纵坐标之和为6，那么称这个点为“和六点”．已知反比例函数的图象经过点，二次函数的图象经过该反比例函数图象上的所有“和六点”． （1）求该二次函数的解析式； （2）若，请直接写出的解集； （3）已知二次函数与反比例函数的图象交于（点的横坐标小于点的横坐标）两点，为抛物线对称轴上一动点．若是以为顶点的等腰三角形，求点的坐标． 23. 【操作判断】 如图1，为两条互相垂直的射线，为的平分线上任意一点，过点作，分别交射线于点．此时在的两侧，试探究之间的数量关系． 以下是小明简略的解题过程，请根据要求作答． 解：，理由如下： 过点作于点于点，则四边形为矩形． 平分，．① ，． ，② ．… （1）①的依据是______，②中所填的关系表达式为______； 【迁移探究】 （2）如图2，若过点作的两条垂线在的同侧．题中的结论是否发生变化？如果结论不变，请说明理由；如果变化，请写出新结论并给出证明； 【拓展应用】 （3）如图3，若为内部一点，且，请直接写出与之间的数量关系（结果用含的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年焦作市九年级第一次模拟测试 数学 1．本试题共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列各数中，绝对值最大的是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的性质．根据绝对值的性质分别计算比较即可． 【详解】解：∵， ∴绝对值最大的数是． 故选：C． 2. 下列汉字中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断． 【详解】解：A、图形既是轴对称图形，又是中心对图形，故符合题意； B、图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故不符合题意； C、图形既不是轴对称图形，又不是中心对图形，故不符合题意； D、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意． 故选：A． 3. 歼－20是我国自主研发的第五代战斗机，具备高隐身性、高机动性等特点，它是我国空军崛起的关键，堪称我国航空工业史上最伟大的战斗机．它的报大航速约为每小时3427000m．数据3427000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：数据3427000用科学记数法表示为， 故选：B． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的减法，同底数幂乘法运算，幂的乘方，完全平方公式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．根据运算法则逐一计算进行判断即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意； B、，正确，故此选项符合题意； C、，原式错误，故此选项不符合题意； D、，原式错误，故此选项不符合题意； 故选：B． 5. 如图是某超市的购物车装满物品时，抽象成的几何示意图，已知五边形，三点在同一条直线上；连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及平行线的性质，根据题意得出，进而根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ 故选：D． 6. 已知关于的一元二次方程无实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，利用一元二次方程根的判别式求解即可，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程无实数根， ∴， ∴， 故选：C． 7. 如图，均为上的点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】该题考查了圆周角定理和平行线的性质，根据圆周角定理得出，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 8. 技术对我国具有重大战略意义，它不仅仅是一项通信技术的升级，更是推动经济、社会、科技全面变革的重要引擎．某市近年来大力发展通信，已知该市2022年投入发展通信的资金为1000万元；2024年投入发展通信的资金为5000万元．设该市投入发展通信的资金的年平均增长率为，则下列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的运用．设投入发展通信的资金的年平均增长率为，根据“2022年投入1000万元，预计2024年投入5000万元”，可以分别用x表示2022以后两年的投入，然后根据已知条件可得出方程． 【详解】解：设投入发展通信的资金的年平均增长率为， 则2023的通信资金为： 万元， 2024的通信资金为：万元， 那么可得方程：． 故选：C． 9. 如图，在中，平分交的延长线于点E，与交于点F．已知，，则的长为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】先由平行四边形得，，由平行线的性质有，又平分，，故，再通过等角对等边可得，最后由线段和差即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和角平分线的定义，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 10. 如图1，我们把对角线相等的四边形称为对等四边形．如图2，在中，；点为边上一动点，分别为边上的动点．已知，若四边形为对等四边形，则的最小值为（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，线段最值问题，根据对等四边形对角线相等和点到直线垂线段最短即可求出长度的最小值． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形为对等四边形， ∴， ∵当时最短， 此时∵，， ∴， ∴， ∴的长度的最小值为8． 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 要使二次根式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件及解不等式．根据二次根式有意义的条件：被开方数必须为非负数，列不等式求解即可． 【详解】解：根据题意：， 则． 故答案为：． 12. 不等式组的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求不等式组的解集，熟练掌握求不等式组的解集的基本步骤是解题的关键． 解出不等式①和②，取解集的公共部分即可求解． 【详解】解∶， 解不等式①得：， 解不等式②得： ∴不等式组的解集为， 故答案为∶. 13. 2025年春节联欢晚会的主题是“巳巳如意，生生不息”，把这八个字分别写在八张不透明卡片的正面，这些卡片除了字不同处完全相同．将这八张卡片反面朝上洗匀，从中随机抽取一张，然后放回，再重新抽一张，则两次抽取的卡片上的字恰好都是“巳”的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查的是用画树状图法或列表法求概率，解题时要注意问题是放回实验还是不放回实验，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．根据题意列出表格，进而根据概率公式，即可求解． 【详解】解：根据题意，列表如下： 巳 巳 如 意 生 生 不 息 巳 巳，巳 巳，巳 如，巳 意，巳 生，巳 生，巳 不，巳 息，巳 巳 巳，巳 巳，巳 如，巳 意，巳 生，巳 生，巳 不，巳 息，巳 如 巳，如 巳，如 如，如 意，如 生，如 生，如 不，如 息，如 意 巳，意 巳，意 如，意 意，意 生，意 生，意 不，意 息，意 生 巳，生 巳，生 如，生 意，生 生，生 生，生 不，生 息，生 生 巳，生 巳，生 如，生 意，生 生，生 生，生 不，生 息，生 不 巳，不 巳，不 如，不 意，不 生，不 生，不 不，生 息，不 息 巳，息 巳，息 如，息 意，息 生，息 生，息 不，息 息，息 可知共有种等可能的结果，其中两次抽取的卡片卡片上的字恰好都是“巳”的结果有种，故概率为， 故答案为：． 14. 如图，在中，为坐标原点，，点在反比例函数的图象上，若点的坐标为，，则该反比例函数的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数性质，解直角三角形，勾股定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 过作轴于点，过作轴于点，则，然后求出，再根据同角的余角相等得出，所以，故，即，然后通过勾股定理求出点，最后代入求解即可． 【详解】解：如图，过作轴于点，过作轴于点， ∵点的坐标为， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∴点， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴该反比例函数的解析式为， 故答案为：． 15. 如图，在扇形中，，点为的三等分点，为．上一动点，连接．当的值最小时，图中阴影部分的面积为______（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】过点作关于的对称点，连接交于点，此时，，值最小，由点为三等分点，，得到，根据，得到，由，，得到，进而得到，求出，，进面求出，，，，即可求解． 【详解】解：如图，过点作关于的对称点，连接交于点，此时，，值最小，如图： 设与交于点， ∵点为三等分点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，，则， ∵， ∴， 解得：（负值已舍去）， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ， ， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形的面积，垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，含角的直角三角形，三角形内角和定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 先化简，再求值：且，请选一个合适的整数代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握化简的步骤，分式有意义的条件是解题的关键．首先根据分式的乘除混合运算法则化简，然后选择使分式有意义的数代入求解即可． 【详解】解： ， ，且， 满足条件的整数为． 要使分式有意义， 必须满足且且， 不能为． 取． 当时，原式． 17. 为了弘扬爱国主义精神，厚植爱国主义情怀，某校在七、八年级开展了以“中国梦 少年梦”为主题的作文比赛．现从七、八年级参加作文比赛的学生中各随机选出10名学生的成绩整理如下：（单位：分） 七年级学生的作文比赛成绩为：，，，，，，，，，， 八年级学生的作文比赛成绩为：，，，，，，，，，； 年级 平均数 中位数 众数 七年级 86 八年级 86 87 84 根据以上信息，解答下列问题： （1）根据表格写出______，______，______； （2）根据以上数据，你认为在此次作文比赛活动中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条即可）； （3）若八年级某班参加此次比赛的学生共有60名，请你估计该班成绩在80分及以上的学生人数． 【答案】（1）92，90，86 （2）见解析 （3）估计该班成绩在80分及以上的学生有48名 【解析】 【分析】本题考查统计表、中位数、众数和平均数，用样本估计总体等知识点，熟悉并掌握相关知识点是正确解答的关键； （1）根据中位数和众数的定义以及平均数的定义求解即可 （2）根据平均数和中位数即可判断； （3）用样本估计总体即可求解． 【小问1详解】 解：将七年级学生的成绩重新排列为：，，，，，，，，，， 中位数为分， 分出现的次数最多，则众数为分， ∵八年级学生的作文比赛成绩平均分为86分， ∴， 解得， 故答案为：92，90，86； 【小问2详解】 解：八年级的成绩更好，因为两个年级的平均数都相同，而八年级的成绩的中位数大于七年级中位数； 【小问3详解】 解：名， 答：估计该班成绩在80分及以上的学生有48名． 18. 如图1，郑州二七纪念塔位于郑州市中心的二七广场，是为了纪念1923年京汉铁路大罢工而建，如图2，某兴趣小组要测量二七塔的高度，在二七塔前的平地上选择一点，在处用测角仪测得二七塔顶部的仰角为，在点和二七塔之间选择一点，在处用测角仪测得仰角为，已知测角仪的高，求二七塔的高度．（结果精确到，参考数据：） 【答案】二七塔的高度约为 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形成为解题的关键． 如图，延长交于点．易得，．则四边形为矩形，进而得到．在中易得，再在中解直角三角形可得，再结合列方程求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点． 由题意可得：，． ∴四边形为矩形， ∴． 设， 在中，， ． 在中，． ， ．解得． ． 答：二七塔的高度约为． 19. 如图，已知． （1）请用无刻度的直尺和圆规作的平分线；（不写作法，保留作图痕迹） （2）若（1）中的平分线交于点，且，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了作角平分线，角平分线的性质，解题的关键是正确作图． （1）根据题意作的平分线即可求解； （2）过点作于点交的延长线于点．根据角平分线的性质可得，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，即为所作的平分线． 【小问2详解】 如图，过点作于点交的延长线于点． 平分， ． ， ． ， ． ， ． 20. 顶点在圆上，一边与圆相交，一边与圆相切的角是弦切角．古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中提出弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数．下面是某数学兴趣小组对弦切角定理的证明过程． 证明：如图是的直径，为的切线，在上取一点，连接． ，． 是的直径，． 为的切线，． ．， 即弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角的度数． 根据以上材料解决下面的问题： 如图2，已知：是上的点，过点作，交的延长线于点．求证：是的切线． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定．连接并延长，交于点，连接．求得，推出，据此即可证明是的切线． 【详解】证明：如图，连接并延长，交于点，连接． 为的直径． ． ． ， ． ， ． ． 是的切线． 21. 2025年春节电影档掀起观影热潮，特别是《哪吒之魔童闹海》，截止到2月23日全球票房超135亿，登顶动画电影票房排行榜．某影城准备推出玩偶杯、哪吒手办盲盒等《哪吒之魔童闹海）的周边产品，采购时得知3个盲盒和5个玩偶杯的价格一样，购买2个盲盒和5个玩偶杯共需250元 （1）求每个盲盒和每个玩偶杯的价格； （2）该影城需要购买玩偶杯、盲盒共4000个，且购买玩偶杯的数量不超过盲盒数量的3倍．请你帮助影城计算应购买玩偶杯、盲盒各多少个，才能使总费用最低． 【答案】（1）每个盲盒的价格是50元，每个玩偶杯的价格是30元 （2）购买盲盒1000个，玩偶杯3000个时，总费用最低 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用： （1）设每个盲盒的价格是元，根据3个盲盒和5个玩偶杯的价格一样，则每个玩偶杯价格是元．由购买2个盲盒和5个玩偶杯共需250元建立一元一次方程求解即可； （2）设购买盲盒个，则购买玩偶杯个，根据购买玩偶杯的数量不超过盲盒数量的3倍，列出一元一次不等式，求出m的取值范围，再设该影城购买盲盒和玩偶杯共花费元，列出关系式，利用一次函数的性质即可解答． 【小问1详解】 解：设每个盲盒的价格是元，则每个玩偶杯价格是元． 根据题意，得． 解得． ． 答：每个盲盒的价格是50元，每个玩偶杯的价格是30元． 【小问2详解】 解：设购买盲盒个，则购买玩偶杯个． 根据题意，得． 解得． ． 设该影城购买盲盒和玩偶杯共花费元， 则，即． ， 随的增大而增大． 又，且为正整数， 当时，取得最小值，此时． 答：购买盲盒1000个，玩偶杯3000个时，总费用最低． 22. 新定义：若一个点的横坐标与纵坐标之和为6，那么称这个点为“和六点”．已知反比例函数的图象经过点，二次函数的图象经过该反比例函数图象上的所有“和六点”． （1）求该二次函数的解析式； （2）若，请直接写出的解集； （3）已知二次函数与反比例函数的图象交于（点的横坐标小于点的横坐标）两点，为抛物线对称轴上一动点．若是以为顶点的等腰三角形，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与反比例函数综合，两点距离计算公式，等腰三角形的定义，正确理解题意求出反比例函数上的“和六点”的坐标是解题的关键． （1）先利用待定系数法求出反比例函数解析式为，设反比例函数上的“和六点”为，根据“和六点”的定义建立方程求出反比例函数上的“和六点”坐标，进而利用待定系数法求出抛物线解析式即可； （2）根据函数图象找到反比例函数图象在二次函数图象上方时自变量的取值范围即可； （3）先求出对称轴，再设出点P坐标，根据，利用两点距离计算公式建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：反比例函数的图象经过点， ． 反比例函数的解析式为． 设反比例函数上的“和六点”为． ． 解得， 经检验，都是原方程的解， 反比例函数图象上的“和六点”为． 二次函数的图象经过，． 解得 二次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：由函数图象可知，当时，的解集为或． 【小问3详解】 解：由（1）可知，抛物线解析式为． 抛物线对称轴为． 点在抛物线对称轴上， ∴可设． 点的横坐标小于点的横坐标， ． 是以为顶点的等腰三角形， ． ， ， ． 解得． 点的坐标为或． 23. 【操作判断】 如图1，为两条互相垂直的射线，为的平分线上任意一点，过点作，分别交射线于点．此时在的两侧，试探究之间的数量关系． 以下是小明简略的解题过程，请根据要求作答． 解：，理由如下： 过点作于点于点，则四边形为矩形． 平分，．① ，． ，② ．… （1）①的依据是______，②中所填的关系表达式为______； 【迁移探究】 （2）如图2，若过点作的两条垂线在的同侧．题中的结论是否发生变化？如果结论不变，请说明理由；如果变化，请写出新结论并给出证明； 【拓展应用】 （3）如图3，若为内部一点，且，请直接写出与之间的数量关系（结果用含的式子表示）． 【答案】（1）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，；（2）不发生变化，依旧是，理由见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）根据解析过程即可求解； （2）过点作于点，作于，则四边形是矩形，根据角平分线性质得到，再证明即可； （3）过点作于点，作于，证明，则，而在中，，则． 【详解】（1）解：①的依据是角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；②中所填的关系表达式为； （2）解：不发生变化，依旧是，理由如下： 过点作于点，作于， ∵为两条互相垂直的射线， ∴， ∴四边形是矩形， ∴ ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：过点作于点，作于， ∵为两条互相垂直的射线， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $