周测培优卷八：平面向量基本定理及坐标表示-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

必修第二册·周测培优卷八 测试内容：平面向量基本定理及坐标表示 建议用时：60分钟 试卷满分：80分 一、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1．（2025湖南邵阳月考）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面的基底的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025广东南雄联考）已知点是线段上靠近点的一个三等分点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（2025江苏镇江质检）在中，点在线段上，且，则（    ） A． B． C． D． 4．《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象.如图1所示的是八卦模型图，其平面图形图中的正八边形，其中为正八边形的中心，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D．和能构成一组基底 5．（2025天津静海调研）如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（    ） A．2 B．8 C．9 D．18 6．（2024广东新宁期中）在菱形中，，点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的四等分点，则（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 7．（2025辽宁期末）下列命题正确的是（    ） A．若向量共线，则必在同一条直线上 B．若为平面内任意三点，则 C．若点为的重心，则 D．已知向量，若，则 8．设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则点M在直线BC上 B．若＝＋，则点M是三角形的重心 C．若，则点M在边BC的中线上 D．若，且x＋y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 9．（2025陕西榆林调研）已知向量，则与方向相同的单位向量是 . 10．（2025山东济宁开学考试）在中，点满足，若，则 ． 四、解答题：本题共2小题，共28分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 11．（13分）（2025广东广州月考）（1）已知，，，求证：三点共线． （2）已知向量，，，若向量与向量共线，求． 12．（15分）（2025江苏徐州月考）在中，是边的中点，是边上靠近点的一个三等分点，与交于点.设. (1)用表示； (2)过点的直线与边分别交于点.设，求的值. 【附加题】 13．（2024广东江门期末）如图，已知、均为等边三角形，的边长为，、、分别为、、的中点． (1)用基底表示向量 (2)延长与交于点，延长与交于点，求 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 必修第二册·周测培优卷八 测试内容：平面向量基本定理及坐标表示 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B A B C C BCD ABD 1．D 【详解】对于A，，所以两向量共线，故A错误； 对于B，，所以两向量共线，故B错误； 对于C，，所以两向量共线，故C错误； 对于D，若存在实数，使得，即，所以无解， 即这两个向量不共线，可以作为平面的一基底，故D正确；故选：D 2．B 【详解】由题意可得，， 设，则，所以， 即，解得，故选：B 3．A 【详解】在中，由，得，则，所以.故选：A 4．B 【详解】在正八边形中， 对于A，，所以选项A正确； 对于B，，所以选项B错误； 对于C，在正八边形中，因为，，所以以向量和向量为邻边的平行四边形为正方形，对角线长度为，因为，所以的方向与向量方向相同，且长度为向量长度的倍，所以，所以选项C正确； 对于D，由图可知向量和为相等向量，所以向量和不共线，故和能构成一组基底，所以选项D正确. 故选：B. 5．C 【详解】由题意，，又共线，则，且，所以， 当且仅当时取等号，即的最小值为9.故选：C 6．C 【详解】作出图形如图所示.记线段交于点， 分别以所在直线为，轴建立平面直角坐标系. 设，则，， 故，，设， 则，解得. 故选：C.    7．BCD 【详解】对于A，若向量 ，共线， 只需两个向量方向相同或相反即可， 则A, B, C, D不必在同一直线上，故A错误； 对于B，由向量线性运算性质知，故B正确； 对于C，若点G为的重心， 设AB中点为M，则， 由重心性质知， 所以，故C正确； 对于D，因为向量， 所以， 化简得，故D正确. 故选：BCD. 8．ABD 【详解】对选项A，，所以，即.所以，又因为为公共点，所以三点共线，即点在直线上，故A正确. 对选项B，设为的中点，所以， 所以点是的重心，故B正确. 对选项C，因为，则在的平分线上， 不一定在的中线上，故C错误. 对选项D，因为，且， 所以，且， 设，则，且， 即三点共线. 又因为，所以为的中点，如图所示： 所以，故D正确. 故选：ABD 9． 【详解】因为，所以，则， 所以与方向相同的单位向量为. 故答案为： 10． 【详解】由题得， 所以，所以， 又，所以， 所以. 故答案为：. 11．【详解】（1）， ， 因此 和 共线，所以点 、、 三点共线. （2）向量 ， 与 共线，需满足比例关系：， 交叉相乘得：，解得：. 12．【详解】（1）设，则， ∵，，三点共线， ∴，共线，从而.① 又，，三点共线. ∴，共线， 因为，共线， 所以可得.② 联立①②，解得，故. （2）∵， ，且，共线， ∴，整理得. 13．【详解】（1）因为、均为等边三角形，且、、分别为、、的中点， 所以 ， 所以，所以． （2）由已知，，三点共线，可设，则， 又，，三点共线，所以，得， 所以， 由已知，，三点共线，可设， 则 又，，三点共线，所以，得， 故， 所以， 所以 . 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$