2.4.1平面向量基本定理及坐标表示第1课时教学设计-2023-2024学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

教学设计 课题：§4 平面向量基本定理及坐标表示 一、单元内容和内容解析 1.内容 平面向量基本定理及坐标表示 本单元内容需要 2 课时.第一课时,平面向量基本定理；第二课时，平面向量及运算的坐标表示. 2.内容解析 向量是近代数学的产物，是非常重要和基本的概念之一，向量具有一套与数的运算截然不同的运算系统，特别是向量的数量积属于“VXV=R 型”的运算，这对学生而言是一次对运算认识的飞跃，而平面向量基本定理则是统一不同运算系统中转站，是展示数学魅力的良好载体。 平面向量的加法、减法以及实数与向量的积均体现向量的几何特征，一旦有了平面向量基本定理作保证，平面内的向量便与一对有序实数构建了一一对应的关系，于是，向量的加法、减法、实数与向量的积、向量的数量积、两个向量平行与垂直、两个向量的夹角等都可以转化为代数运算，从而实现向量运算与实数运算的统一，另外，利用向量还可以证明正弦定理、余弦定理，射影定理以及两角和与差的三角函数等与三角有关的问题。向量，作为沟通代数、几何、三角等内容的桥梁，对更新和完善中学数学知识结构起着非常重要的作用。 在中学数学里，冠以“基本”的定理不多见，足见这一定理的重要性，因为这一定理给出了用向量表示平面上任意一点的充要条件，所以从理论上说，我们就可以凭借它将平面图形的基本元素作出向量表示，这样就可以通过向量解决任何几何问题。利用向量表示空间基本元素，将空间的基本性质和基本定理的运用转化为向量运算律的系统运用，其要点是： 点-根据向量的自由性，选平面内的一个点O为“基准点”，以O为向量的起点，这时就可以建立向量的终点与平面内的点之间的一一对应关系。当然，这个对应与点O的选取有关。 直线-一个点A,一个方向a就定性刻画了一条直线。引入数乘向量ka,那么直线上任意一点就可以用实数定量表示，进而得到一维向量的坐标表示。 平面一个点A,两个不平行（非零）向量a,b在“原则”上确定 了平面（定 性刻画，这与“两条相交直线确定一个平面”有异曲同工之效），因此把{a,b} 叫做平面的一个基。引入向量的加法a + b，结合数乘向量（向量伸缩），平面 上的任意一点 X 就可以表示为λ1e1 + λ2e2，从而成为可定量运算的对象。 平面向量基本定理揭示了平面向量之间的基本关系，是利用向量解决问题的基本手段，有着广泛的应用。由平面向量基本定理，可以进一步实现向量的坐标表示，即实现向量的代数表示，从而实现向量运算完全代数化，进而体现向量的工具作用。平面向量基本定理的本质是两相交直线确定一个平面的向量表示，它是用向量对平面的一种定性刻画。由共线向量定理可知，位于同一直线上的向量可以由这条直线上的一个非零向量表示，类似地平面内的任一向量都可以用平面内不共线的两个向量（称为基）线性表示，这就是平面向量基本定理，它是共线向量定理从一维到二维的推广，在空间它就是共面向量定理。平面向量基本定理可以看作是向量的分解一在给定的两个向量方向上的分解。平面内的基底是无穷多的，任意两不共线的向量都可以作为一组基，即平面内的给定的向量可以用不同的基来线性表示，既然这样，我们可以选取较特殊的基底一互相垂直的向量（正交基），这样就得到向量的正交分解，再进一步特殊化，取两互相垂直的单位向量作为基底（标准正交基），这样就可以把点的向量表示和平面直角坐标系中的有序数对建立一一对应关系，就可以在平面直角坐标系中来研究和表示向量。而如果选择其他它的基去表示平面内的其他向量都会比较复杂，不利于计算。于是，在直角坐标系中取与坐标轴方向一致的标准正交基，任一向量用标准正交基进行分后再简写，就得出了向量的坐标。因此向量的坐标其本质是向量在两坐标轴方向上的分量之和的简写形式。有了向量的坐标表示，前面所学习的向量的加、减、数乘以及后面将要学习的数量积均可以用坐标来表示，其本质还是向量的运算，只是将向量分解成两坐标轴方向上的分量再进行运算。 类比共线向量定理来研究平面向量基本定理，课本中涉及了类比思想，这是研究问题的一种重要思想方法。由基的多样性，选取特殊的基底一正交基，再进一步特殊化，选取与坐标轴同方向的标准正交基，得出向量的坐标表示，这种研究问题的方式是用到了一般与特殊的思想。另外由于向量具有两个明显特点，即“数”与“形”，这就使得向量成了数形结合的载体，平面向量基本定理是即将要学习平面向量的直角坐标表示等知识的理论基础，它将向量和坐标联系了起来，进而可把曲线与方程联系起来，这样就可用代数方程研究几何问题。同时也可以用几何的观点处理某些代数问题，渗透了数形结合的解析思想，向量离不开几何表示，因此数形结合思想在本单元贯穿始终。本节课的学习过程，能很好地体现数学的思考问题的方法：以简驭繁，实现将无限多个平面向量有序表达的目的，有助于培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算等数学