精品解析：吉林省长春市长春汽车经济技术开发区第三中学2024-2025学年高二下学期4月月考数学试题

汽开三中2024－2025学年度下学期月考考试 高二数学学科试卷 命题人：高二数学备课组 审题人： 注意事项：本试卷共2页，总分150分，考试时间120分钟. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 某书架的第一层放有7本不同的历史书，第二层放有6本不同的地理书．从这些书中任取1本历史书和1本地理书，不同的取法有（ ） A 13种 B. 7种 C. 种 D. 42种 2. 若可导函数的图象过原点，且满足，则等于（ ） A. B. 2 C. D. 1 3. 下列求导运算错误的是（ ） A B. C. D. 4. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 现有五人站成一排，则相邻且不相邻的排法种数共有（ ） A. 6 B. 12 C. 24 D. 48 7. 函数在上是单调增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C D. 8. 已知定义在上的函数，是的导函数，满足，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 设三次函数的导函数为，函数的图象的一部分如图所示，则（ ） A. 函数有极大值 B. 函数有极小值 C. 函数有极大值 D. 函数有极小值 10. 下列说法正确的有（ ） A. 某商场共有5层，每层均有两个楼梯，小明从一楼上到五楼可能的走法有32种 B. 用，，，，，，这七个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有105个 C. 现有5个相同的球和5个编号为，，，，的不同的盒子，把球全部放入盒子内，恰有一个空盒的放法有20种 D. 把英文单词sorry的字母顺序写错，可能出现的错误共有59种 11 若函数既有极大值也有极小值，则（ ）． A. B. C. D. 三、填空题（本题共3个小题，每题5分，共15分.） 12. 函数的极小值点为______． 13. 已知，则______． 14. 有4人到甲、乙、丙三所学校去应聘，若每人至多被一所学校录用，每所学校至少录用其中1人，则所有不同的录用情况种数为_________.（用数字作答） 四、解答题（本大题共5小题，共77分.其中15题满分13分，16，17题满分15分，18，19题满分17分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 某餐饮公司给学校学生配餐，现准备了种不同的荤菜和种不同的素菜. （1）当时，若每份学生餐有荤素，共有多少种不同的配餐供学生选择？ （2）若每位学生可以任选荤素，要保证至少有种以上的不同选择，求的最小值. 16. （1）将6本不同的书分成3堆，每堆2本，有多少种分法？ （2）将6本不同的书分成3堆，一堆4本，另两堆各1本，有多少种分法？ （3）将6本不同的书平均分给3人，每人2本，有多少种分法？ （4）将6本不同的书分给3人，1人1本，1人2本，1人3本，有多少种分法？ （5）将6本不同的书分给4人，每人至少1本，有多少种分法？ 17. 已知函数. （1）求曲线与直线垂直的切线方程； （2）若过点直线与曲线相切，求直线的斜率. 18. 已知函数在时取得极值． （1）求函数的单调区间； （2）求函数在区间上的最小值； （3）若有两个零点，求的值． 19. 已知函数． (1)若函数在区间上存在极值，求正实数的取值范围； (2)若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 汽开三中2024－2025学年度下学期月考考试 高二数学学科试卷 命题人：高二数学备课组 审题人： 注意事项：本试卷共2页，总分150分，考试时间120分钟. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 某书架的第一层放有7本不同的历史书，第二层放有6本不同的地理书．从这些书中任取1本历史书和1本地理书，不同的取法有（ ） A. 13种 B. 7种 C. 种 D. 42种 【答案】D 【解析】 【分析】先取本历史书，再取本地理书，根据分步乘法计数原理可得出答案. 【详解】本不同的历史书任取本历史书有种取法， 本不同的地理书任取本地理书有种取法， 从这些书中任取本历史书和本地理书， 根据分步乘法计数原理得到不同的取法有种. 故选：D. 2. 若可导函数的图象过原点，且满足，则等于（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由题得，再利用导数定义求解. 【详解】∵图象过原点，∴， ∴， 故选：C 3. 下列求导运算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助求导公式与复合函数求导公式逐项计算即可得. 详解】对A：，故A正确； 对B：，故B正确； 对C：，故C错误； 对D：，故D正确. 故选：C. 4. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对函数求导并令解不等式可得单调递减区间. 【详解】易知函数定义域为， 可得，显然， 令，可得， 因此函数的单调递减区间是. 故选：A 5. 已知函数，则值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】求导，令可得，即可得的值. 【详解】因为，则， 令，可得，解得， 即，所以. 故选：A. 6. 现有五人站成一排，则相邻且不相邻的排法种数共有（ ） A. 6 B. 12 C. 24 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】根据排列数以及分步计数原理即可求解. 【详解】根据题意，将，看成一个整体，，的排列方法有种方法， 然后将这个整体与进行全排列，即不同的排列方式有， 最后将，插入到三个空中的两个中，有种方法， 根据分步计数原理可知排法种数为， 故选：C. 7. 函数在上是单调增函数，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】问题转化为在上恒成立，求出，从而求出实数a的取值范围. 详解】，由题意得：， 即在上恒成立， 因为，所以恒成立，故实数a的取值范围是. 故选：B 8. 已知定义在上的函数，是的导函数，满足，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，结合题意利用导数计算可得该函数单调性，即可将不等式转化为，从而得到，即可得解. 【详解】令，则， 则当时，，即在上单调递减， 由，则，又， 即不等式等价于， 即，即有，解得. 故选：D. 二、多项选择题（本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 设三次函数的导函数为，函数的图象的一部分如图所示，则（ ） A. 函数有极大值 B. 函数有极小值 C. 函数有极大值 D. 函数有极小值 【答案】AD 【解析】 【分析】根据给定条件，结合图象求出函数的零点，再求出大于0、小于0的x取值区间即可判断作答. 【详解】依题意，三次函数的导函数为是二次函数，观察图象知，是函数的两个零点， 当或时，，当时，， 所以函数有极小值，有极大值，AD正确，BC错误. 故选：AD 10. 下列说法正确的有（ ） A. 某商场共有5层，每层均有两个楼梯，小明从一楼上到五楼可能的走法有32种 B. 用，，，，，，这七个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有105个 C. 现有5个相同的球和5个编号为，，，，的不同的盒子，把球全部放入盒子内，恰有一个空盒的放法有20种 D. 把英文单词sorry的字母顺序写错，可能出现的错误共有59种 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：根据分步乘法计数原理运算求解；对于B：分类讨论个位数是否为0，结合排列数运算求解；对于C：若恰有一个空盒，则一个盒子有2个球，结合排列数运算求解；对于D：注意到字母中包含2个r，结合排列数运算求解. 【详解】对于选项A：每层均有2种选择，从一楼上到五楼可能的走法有种，故A错误； 对于选项B：若个位为0，偶数共有个； 若个位不为0，偶数共有个； 综上所述：偶数共有个，故B正确； 对于选项C：若恰有一个空盒，则一个盒子有2个球，所以放法有种，故C正确； 对于选项D：由题意知本题是一个排列组合及简单的计数问题 五个字母进行全排列共有种结果， 字母中包含2个r，则五个字母进行全排列的结果要除以2，共有60种结果， 在这60种结果里有一个是正确的， 所以可能出现的错误的种数是，故D正确； 故选：BCD. 11. 若函数既有极大值也有极小值，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出函数的导数，由已知可得在上有两个变号零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答. 【详解】函数的定义域为，求导得， 因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而， 因此方程有两个不等的正根， 于是，即有，，，显然，即，A错误，BCD正确. 故选：BCD 三、填空题（本题共3个小题，每题5分，共15分.） 12. 函数的极小值点为______． 【答案】 【解析】 【分析】求导，利用导数判断原函数单调性，进而可得极值点. 【详解】因为函数的定义域为，且， 令，解得；令，解得或； 可知函数在内单调递增，在内单调递减， 所以函数的极小值点为. 故答案为：. 13. 已知，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意结合组合数性质运算求解即可. 【详解】因为，则或，解得或， 且，所以. 故答案为：3. 14. 有4人到甲、乙、丙三所学校去应聘，若每人至多被一所学校录用，每所学校至少录用其中1人，则所有不同的录用情况种数为_________.（用数字作答） 【答案】60 【解析】 【分析】分类讨论录取的人数，结合排列数、组合数运算求解. 【详解】当人中有三人被录取，则不同的录取情况数为， 当4人全部被录取，则不同的录取情况数为， 综上不同的录取情况数共有种. 故答案为：60 四、解答题（本大题共5小题，共77分.其中15题满分13分，16，17题满分15分，18，19题满分17分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 某餐饮公司给学校学生配餐，现准备了种不同的荤菜和种不同的素菜. （1）当时，若每份学生餐有荤素，共有多少种不同的配餐供学生选择？ （2）若每位学生可以任选荤素，要保证至少有种以上的不同选择，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用组合计数原理结合分步乘法计数原理可求出不同的选择方法种数； （2）利用组合计数原理可得出每位学生的不同选择方法种数，结合题意可得出关于的不等式，由此可求得正整数的最小值. 【小问1详解】 当时，学校共有种不同的荤菜和种不同的素菜， 若每份学生餐有荤素，由分步乘法计数原理可知， 不同的选择方法为（种）. 【小问2详解】 从种不同的荤菜和种不同的素菜中，任取荤素，不同的选择方法为（种）. 由题意，得，整理可得， 因为，所以，所以的最小值为. 16. （1）将6本不同的书分成3堆，每堆2本，有多少种分法？ （2）将6本不同的书分成3堆，一堆4本，另两堆各1本，有多少种分法？ （3）将6本不同的书平均分给3人，每人2本，有多少种分法？ （4）将6本不同的书分给3人，1人1本，1人2本，1人3本，有多少种分法？ （5）将6本不同的书分给4人，每人至少1本，有多少种分法？ 【答案】（1）15；（2）15；（3）90；（4）360；（5）1560 【解析】 【分析】（1）利用平均分组分配，结合排列组合即可求； （2）根据部分平均分组，结合排列组合即可求解； （3）根据给定条件，利用组合计数问题、结合分步乘法计数原理列式计算即得； （4）根据不平均分组问题，结合排列组合即可求解； （5）分4位同学分得的书本数为1，1，1，3和1，1，2，2两种情况讨论即可. 【详解】（1）先分第一堆有种分法，再分第二堆，有种分法，最后分第三堆，有种分法，但堆与堆之间没有区别， 故把6本不同的书平均分成3堆，共有种分法； （2）无序部分均匀分组问题：共有＝15（种）分法； （3）依题意，将6本不同的书，由分步乘法计数得不同的分配方式有（种）； （4）先选1本有种选法，再从余下的5本中选2本有种选法， 最后余下的3本全选有种选法， 同时3人不同，需要排序，故有（种）分配方式； （5）分两类： 第一类：当4位同学分得的书本数为1，1，1，3时，共有种； 第二类：当4位同学分得的书本数为1，1，2，2时，共有种； 由加法原理，知共有种不同分法. 17. 已知函数. （1）求曲线与直线垂直的切线方程； （2）若过点的直线与曲线相切，求直线的斜率. 【答案】（1） （2）或5 【解析】 【分析】（1）求出切线的斜率，再写出切线方程； （2）根据切线的斜率与直线的方程列方程组求解即可. 【小问1详解】 因为斜率为，所以， 所以，又 所以所求切线方程为，即. 【小问2详解】 ，设切点的横坐标为，直线的斜率为，直线的方程：， 则 则，整理得，所以， 所以或5. 18. 已知函数在时取得极值． （1）求函数的单调区间； （2）求函数在区间上的最小值； （3）若有两个零点，求的值． 【答案】（1）递增区间是，递减区间是； （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先求导，由可求出的值，进而确定导数，由导数正负即可得解. （2）由（1）可知函数单调性，根据单调性求出最低的端点值和极小值进行比较即可得解. （3）将函数零问题转化成图像交点问题结合函数单调性和极值情况即可求解. 【小问1详解】 由题得，且定义域为. 由函数在时取得极值，得，解得， 此时，显然是的变号零点，即是极值点， 因此， 所以当或时，，当时，， 所以函数的递增区间是，递减区间是. 【小问2详解】 由（1）知，函数， 且在上单调递增，在上单调递减， 又 所以函数在区间上的最小值是. 【小问3详解】 因为， 由（1）可知在上单调递增，在上单调递减， 所以有极小值为，极大值为， 由有两个零点得直线与函数的图像有两个交点， 故或，所以或. 19. 已知函数． (1)若函数在区间上存在极值，求正实数的取值范围； (2)若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】(1)先求的定义域及其导函数，并由当时，，当时，，求的单调区间及极值点，由此可解得的取值范围； (2)由得时，，令，求令，令，求，并根据为上的单调性求的最小值及实数的取值范围. 【详解】解：(1)函数的定义域为，． 令，得． 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减． 所以为的极大值点，所以， 故，即正实数的取值范围为． (2)当时，恒成立，令 则． 令，则，所以，所以， 所以为上的增函数，所以，故． 故实数的取值范围为． 【点睛】本题主要考查导数的应用，解决此类题关键是熟练掌握导数与单调性、极值的关系. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$