精品解析：四川省成都市树德中学2024-2025学年高一下学期4月阶段性测试数学试题

树德中学高2024级高一下期4月阶段性测试数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 已知点在角的终边上，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的定义即可求解. 【详解】由题意可得，结合，故， 故选：B 2. 下列命题正确的是（ ） A. 零向量没有方向 B. 若且，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】由零向量的方向任意，可判断A选项；利用平面向量垂直的向量关系可判断B选项；取，可判断C选项；利用相等向量的概念可判断D选项. 【详解】对于A选项，零向量的方向任意，A错； 对于B选项，若且，则， 所以，或，即或，B错； 对于C选项，若，，不妨取，则、不一定共线，C错； 对于D选项，若，则，D对. 故选：D. 3. 已知向量，，若与共线且反向，则实数的值为（ ） A. 3 B. 1 C. D. 或3 【答案】A 【解析】 【分析】根据共线的坐标运算可得或，即可根据方向求解. 【详解】由与共线可得，故，解得或， 由于与方向相反，故，则，故， 故选：A 4. 函数部分图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据附近的函数值即可排除BC；根据的符号即可排除D. 【详解】函数的定义域为，关于原点对称， 因为，所以函数为奇函数， 当且时，，故排除BC； 又，故排除D. 故选：A. 5. 已知：，．则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 不存在 【答案】C 【解析】 【分析】根据可得，即可代入求解. 【详解】根据可得,故， 由于，故， 所以， 故选：C 6. 如图是一个边长为2的正六边形，点是六边形内部的一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，设出点的坐标，利用数量积的坐标运算求解. 【详解】在正六边形中，以点为原点，所在直线分别为轴、轴，建立平面直角坐标系，如图， 因为，则， 设点，则有，所以， 所以，所以，所以的取值范围是， 故选：B. 7. 若将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由辅助角公式得，，根据题意有，最后利用二倍角公式即可求解. 【详解】由，， 由的图象向左平移个单位长度得， 所以，所以， 当时，， 故选：D. 8. 下列有关函数的已知：，且，下列命题正确的个数是（ ） ①函数的周期为 ②函数的一个对称中心为 ③函数的单调递减区间为 ④若函数在区间上是单调函数，且，则的值为2或 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由得，即可判断①②③，由得，由在区间上是单调函数，所以，根据，得为的一条对称轴，为的一个对称中心，即得解出即可判断. 【详解】由， 所以的周期为，所以函数的周期为，故①错误， ，所以函数的一个对称中心为，故②正确， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为，故③错误， ， 由在区间上是单调函数，所以, 又，所以为的一条对称轴，为的一个对称中心， 所以， 又， 所以或，当时，， 当时，，所以的值为2或，故④正确， 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 若，则，且、、、四点一定构成平行四边形 B. 若单位向量，夹角为，则向量在向量上的投影向量为 C. 对任意向量，，，都有 D. 是所在平面内一点，若，则的面积是的面积的2倍 【答案】BD 【解析】 【分析】根据四点共线即可判断A，根据投影向量的公式即可求解B，根据共线即可求解C，根据相似比，即可求解D. 【详解】对于A, 若，则,则、、、四点可能在一条直线上，故A错误， 对于B，向量在向量上投影向量为，故B正确， 对于C , 表示与共线的向量，表示与共线的向量，由于，不一定共线，所以与不一定相等，故C错误， 对于D,取,故,因此,故，D正确， 故选：BD 10. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A利用诱导公式和两角和的余弦公式即可计算，对于B由两角和的正切公式即可求解，对于C利用诱导公式和两角和与差的正弦公式以及二倍角公式即可求解，对于D利用诱导公式和两角和的正弦和余弦公式即可求解. 详解】 ，故A正确； ，故B正确； ，故C错误； ，故D正确. 故选：ABD. 11. 下列说法中正确的是（ ） A. 已知向量，满足，，且，的夹角为，则的最小值是 B. 已知，，是不在同一直线上的三个点，是平面内一动点，若，，则点的轨迹一定过的重心 C. 已知，则的最大值为， D. 平面向量，，满足，，则的最小值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据模长公式，结合二次函数的性质即可求解A，根据向量的线性运算，即可结合中线的性质求解B，根据弦切互化齐次式，结合二次函数的性质求解C,设，计算得到，求出，利用即可求解D.. 【详解】对于A , , 故当时，的取最小值，A正确， 对于B, 取的中点为，连接,由 可得,故点轨迹为中线所在的直线，故B正确， 对于C, ， ，则,故，故其最小值为，C错误， 对于D,设， 则， 而， 因为，所以,故D正确， 故选：ABD 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量是单位向量，且与垂直，与的夹角为，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据数量积的定义即可求解. 【详解】由已知有，所以， 故答案为：2. 13. 已知、、是直线与函数的图象的三个交点，如图所示．其中，点、、两点的横坐标分别为、，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由可得出，结合的取值范围以及函数在附近的单调性可求出的值，由结合可求出的值，由此可得出函数的解析式. 【详解】因为，可得， 因为，且函数在附近单调递减，所以，， 由于，可得， 因为函数在附近单调递增，在附近单调递减， 所以，，， 所以，，即，解得， 因此，. 故答案为：. 14. 若存在实数，使得不等式成立．则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】由，利用两点间的距离公式的几何意义，构造距离差的最大值，再根据存在问题即可求解. 【详解】由， 设，所以， 又因为点在单位圆上， 所以， 所以，即， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）化简：； （2）已知，，并且，均为锐角，且，求的值 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据弦切互化以及正弦和差角公式可得，进而利用二倍角公式以及诱导公式即可化简求解， （2）根据同角关系求解，即可利用和差角公式求解. 【详解】解：（1） ． （2），均为锐角，且，则为锐角，由， 得， 由，则为锐角，，则 ． 结合，所以. 16. 如图，已知中，是边上一点，若，是线段的中点，是线段的中点. （1）若，求、的值； （2）若是等腰直角三角形，且，求. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由平面向量的基本定理可得出关于、的表达式，即可得出、的值； （2）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算可求得的值. 【小问1详解】 因为为的中点，，所以，， 所以，， 又因为，所以，． 小问2详解】 因为为等腰直角三角形，且， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则、、、、， 所以，，，故. 17. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，均匀设置了依次标号为1∼48号的48个座舱．开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动后距离地面的高度为，转一周需要． （1）求游客甲在开始转动后距离地面的高度； （2）求在转动一周的过程中，关于的函数解析式； （3）若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求高度差的最大值（答案可用表达式）． 【答案】（1） （2），． （3），米 【解析】 【分析】（1）直接根据题意结合圆的半径即可求解， （2）设，根据所给条件求出参数值； （2）由题意得：相邻座舱的角度差为，分别计算两个舱的高度 ，即可得到，再由和差化积公式得到，，最后根据余弦函数的性质计算可得. 【小问1详解】 当时，游客甲转了1/4圆周．摩天轮最高点距离地面高度为， 摩天轮最低点距离地面高度为，则甲的高度刚好为； 或者是半径 【小问2详解】 设，则， 令时，，， 又，     所以，. 【小问3详解】 如图，甲、乙两人的位置分别用点，表示，则．， 经过后甲距离地面的高度为 , 点相对于点始终落后此时乙距离地面的高度为 ． 则甲、乙距离地面的高度差 ，, 当或，即或时的最大值为，所以，甲乙两人距离地面的高度差最大值为米 18. （1）请证明：； （2）请证明： （3）若（其中，，都不是直角）且，，求的最小值 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）. 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的定义可得，，即可根据数量积的坐标运算求证， （2）根据三角函数的定义，，得，即可求解， （3）由（2）的结论可得，即可利用三角函数的性质求解，或者利用余弦的二倍角公式化简得，弦切互化得，利用正切的和差角公式，结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）如图，设两向量与轴正半轴夹角分别为和，点与点分别为角和角的终边与单位圆的交点则点，， 于是 所以 （2） 对于单位圆上的，所对的角，有； 由题意，为的中点则， 所以点的坐标为， 由，可得，由于，利用三角函数的定义，，则；由的横坐标对应相等，所以，等式得证； （3）方法一： 由得 即，化简得 因为，所以即 即，当时．取得最大值1． 即取得最大值．所以取得最小值． 方法二：由余弦二倍角公式有： 结合 有由题设知则 所以，故且 所以 当且仅当时取等号，且与在相同的单调性，故的最小值为 19. 已知函数． （1）当和时；用五点作图法在给定坐标系中作出函数在上的图象．（写出必要的作图步骤） （2）当和时（其中），对任意实数，在区间上要使函数值出现不少于8次，不多于16次，求的值 （3）当和时，对任意实数，在区间上要使函数值出现不少于次，不多于次，求满足上述条件时的最多个数以及对应，的取值．（其中） 【答案】（1）答案见解析 （2）． （3）当，时的最多个数为384个． 【解析】 【分析】（1）完成表格，利用五点法作图即可； （2）由已知有解出即可； （3）函数在区间上有两次出现函数值，区间的长度为，为了满足题意，必须使不小于个周期且小于个周期，得到周期的范围，要使得的个数最多，必须使区间长度最大，最后验证即可. 【小问1详解】 由（1）知． 描点，连线，可得函数在上的图象如图所示． 0 0 1 0 -1 0 【小问2详解】 函数在区间上有两次出现函数值，区间的长度为4，为了满足题意， 必须使4不小于4个周期且小于8个周期，即，解得， 又因为，所以． 【小问3详解】 函数在区间上有两次出现函数值，区间的长度为， 为了满足题意，必须使不小于个周期且小于个周期，即， 且，解得（其中） 要使得的个数最多，必须使区间长度最大． ①当时，区间长度最大值为384．此时当，时不等式化为， 这是共有384个．此时作如下验证：时，，与在长度为4的区间上有4个交点． 满足题意时，，区间长度．且， 故与在长度为4的区间上有个交点． 满足题意时，，．区间长度．且 与区间长度上有个交点．不满足情况 ②当，时不等式化为，这时，，386共有384个． 验证：时，，与在长度为4的区间上有9个交点．满足题意 时，．区间长度．且 ，与在长度为4的区间上有个交点．满足题意． ③当，时不等式化为，这时共有384个． 验证：时，，与在长度为4的区间上有12个交点．满足题意 时，，．区间长度．且满足题意． ，与在长度为4的区间上有个交点．满足题意 综上当，时的最多个数为384个． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 树德中学高2024级高一下期4月阶段性测试数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 已知点在角的终边上，且，则的值为（ ） A B. C. D. 2. 下列命题正确的是（ ） A. 零向量没有方向 B. 若且，则 C. 若，，则 D. 若，则 3. 已知向量，，若与共线且反向，则实数的值为（ ） A 3 B. 1 C. D. 或3 4. 函数部分图象是（ ） A. B. C. D. 5. 已知：，．则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 不存在 6. 如图是一个边长为2正六边形，点是六边形内部的一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 8. 下列有关函数的已知：，且，下列命题正确的个数是（ ） ①函数的周期为 ②函数的一个对称中心为 ③函数的单调递减区间为 ④若函数在区间上是单调函数，且，则的值为2或 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 若，则，且、、、四点一定构成平行四边形 B. 若单位向量，夹角为，则向量在向量上的投影向量为 C. 对任意向量，，，都有 D. 是所在平面内一点，若，则的面积是的面积的2倍 10. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 下列说法中正确的是（ ） A. 已知向量，满足，，且，的夹角为，则的最小值是 B. 已知，，是不在同一直线上的三个点，是平面内一动点，若，，则点的轨迹一定过的重心 C. 已知，则的最大值为， D. 平面向量，，满足，，则的最小值是 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量是单位向量，且与垂直，与夹角为，则________． 13. 已知、、是直线与函数的图象的三个交点，如图所示．其中，点、、两点的横坐标分别为、，若，则________． 14. 若存在实数，使得不等式成立．则实数的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）化简：； （2）已知，，并且，均为锐角，且，求的值 16. 如图，已知中，是边上一点，若，是线段的中点，是线段的中点. （1）若，求、的值； （2）若是等腰直角三角形，且，求. 17. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，均匀设置了依次标号为1∼48号的48个座舱．开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动后距离地面的高度为，转一周需要． （1）求游客甲在开始转动后距离地面高度； （2）求在转动一周的过程中，关于的函数解析式； （3）若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求高度差的最大值（答案可用表达式）． 18. （1）请证明：； （2）请证明： （3）若（其中，，都不是直角）且，，求的最小值 19. 已知函数． （1）当和时；用五点作图法在给定坐标系中作出函数在上的图象．（写出必要的作图步骤） （2）当和时（其中），对任意实数，在区间上要使函数值出现不少于8次，不多于16次，求的值 （3）当和时，对任意实数，在区间上要使函数值出现不少于次，不多于次，求满足上述条件时的最多个数以及对应，的取值．（其中） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$