2.4 平面向量基本定理及坐标表示（4知识点+6题型+巩固训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（北师大版2019必修第二册）

2.4 平面向量基本定理及坐标表示 课程标准 学习目标 （1）理解平面向量基本定理及其意义，在平面内，当一组基选定后，会用这组基来表示其他向量； （2）借助平面坐标系，掌握平面向量的坐标表示； （3）理解向量坐标的运算及中点坐标公式； （4）掌握平面向量平行的坐标表示． （1）会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题； （2）会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；能将向量的几何运算和代数运算灵活地结合起来，解决一些平面向量的计算问题； （3）理解用坐标表示的平面向量共线的条件，并能正确地进行有关应用． 知识点01 平面向量基本定理 1、平面向量基本定理 （1）平面向量基本定理：如果e1和e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对该平面内任意一个向量a，存在唯一的一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2； （2）基：把不共线的向量e1和e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基，记为{e1，e2}． 2、正交基、正交分解及标准正交基 （1）若基中的两个向量互相垂直，则称这组基为正交基； （2）在正交基下向量的线性表示称为正交分解； （3）若基中的两个向量是互相垂直的单位向量，则称这组基为标准正交基． 【即学即练1】（24-25高一下·四川德阳·月考）已知点是正方形内一定点，记．试用表示 ． 【即学即练2】（24-25高一下·湖北咸宁·月考）（多选）若，是平面内两个不共线的向量，则下列说法正确的是（    ） A．（，）可以表示平面内的所有向量 B．对于平面内的任一向量，使的实数，有无数多对 C．若，，，均为实数，且向量与共线，则有且只有一个实数，使 D．若存在实数，，使，则 知识点02 平面向量的坐标表示 1、平面向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为标准正交基．对于坐标平面内的任意向量a，以坐标原点O为起点作＝a（通常称为位置向量）．由平面向量基本定理可知，有且仅有一对实数x，y，使＝xi＋yj． 因此，a＝xi＋yj． 我们把(x，y)称为向量a在标准正交基{i，j}下的坐标，向量a可以表示为a＝(x，y)． 2、点的坐标与向量坐标间的关系 在平面直角坐标系中，点的位置被它的位置向量所唯一确定，设点的坐标为，容易看出，即点的位置向量的坐标也就是点的坐标；反之，点在平面直角坐标系中的坐标也是点所决定的位置向量的坐标． 【即学即练3】（24-25高一下·贵州六盘水·月考）已知，则点的坐标是 . 【即学即练4】（24-25高一下·甘肃陇南·月考）已知，则 . 知识点03 平面向量运算的坐标表示 1、平面向量运算的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)． 数学公式 文字语言表述 向量加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和 向量减法 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差 向量数乘 λa＝(λx1，λy1) 实数与向量数乘的坐标等于这个实数与向量的相应坐标的乘积 2、任一向量的坐标 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量， 即任意一个向量的坐标等于其终点的坐标减去起点的坐标． 【即学即练5】（24-25高一下·海南儋州·月考）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【即学即练6】（24-25高一下·广东东莞·月考）平行四边形三个顶点坐标分别为，，，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 知识点04 平面向量平行的坐标表示 1、平面向量平行的坐标表示 在平面直角坐标系中，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0.若a∥b，则由共线(平行)向量基本定理，存在实数λ，使得a＝λb，即(x1，y1)＝λ(x2，y2)＝(λx2，λy2)， 所以消去λ，得x1y2－x2y1＝0． 2、易错及要点注释 （1）若y1≠0且y2≠0，则上式可变形为＝. （2）x1y2－x2y1＝0适用于向量平行的任何情况，包含零向量的情况． 即对任意向量a，b，有x1y2－x2y1＝0⇔a∥b. （3）两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)平行的条件x1y2－x2y1＝0容易写错，该条件的正确记法为“交叉相乘，差为0”． 【即学即练7】（24-25高一下·江苏淮安·月考）已知向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 【即学即练8】（24-25高一下·贵州六盘水·月考）（多选）已知向量和均不共线，且，则向量可以是（    ） A． B． C． D． 难点：平面向量基本定理的应用 若直接利用基表示向量比较困难，可设出目标向量，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量（一般需建立两个不同的向量表达式），再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得． 【示例1】（24-25高一下·河北沧州·月考）如图，在中，.若N为AB中点，与交于点P，且，的值为（    ） A． B．1 C． D． 【示例2】（24-25高一下·天津静海·月考）如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（    ） A．2 B．8 C．9 D．18 【题型1：两个向量作为一组基的判断】 例1．（24-25高一下·山东青岛·月考）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中可以作为平面向量基底的是（    ） A． B． C． D． 变式1-1．（24-25高一下·甘肃平凉·月考）（多选）设，是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 变式1-2．（23-24高一下·云南昆明·期中）若是平面内的一组基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（    ） A． B．2 C． D． 变式1-3．（23-24高一下·广东河源·月考）（多选）已知向量，不共线，则下列能作为平面向量的一个基底的有（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 判断所给的两个向量能否作为一组基的方法 由基的定义可知，要判断两个向量a，b能否作为一组基，只需判断两向量是否共线，而判断向量是否共线就要看是否存在λ∈R，使a＝λb成立．另外，作为基的向量必为非零向量． 【题型2：不共线向量作为一组基表示其他向量】 例2．（24-25高一下·广东佛山·月考）在中，设，，若，，则（    ） A． B． C． D． 变式2-1．（24-25高一下·安徽·月考）已知是的中线，在直线上，且，则（    ） A． B． C． D． 变式2-2．（24-25高一下·河北石家庄·月考）如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，则（    ） A． B． C． D． 变式2-3．（24-25高一上·辽宁朝阳·期末）如图，四边形中，为线段的中点，为线段上靠近的一个四等分点，则（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 用不共线向量作为基表示其他向量的方法 1、利用向量的线性运算及向量的运算法则对所求向量不断转化，直至用基表示为止． 2、列向量方程组，利用基表示向量的唯一性求解． 【题型3：平面向量的坐标表示】 例3．（24-25高一下·江苏常州·月考）已知向量，点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 变式3-1．（24-25高一下·四川·月考）已知为一组标准正交基，，，则在基下的坐标为（    ） A． B． C． D． 变式3-2．（24-25高一下·天津·月考）已知点，则与向量同方向的单位向量为（    ） A． B． C． D． 变式3-3．（24-25高一下·新疆喀什·月考）已知平行四边形的三个顶点的坐标为，则顶点的坐标为 . 【方法技巧与总结】 求向量的坐标的一般方法 1、数形结合法：根据正交分解，求向量在轴、轴上的坐标分量； 2、平移法：把向量的始点移至坐标原点，终点坐标即向量的坐标； 3、若已知、，则． 【题型4：平面向量的坐标运算】 例4．（24-25高一下·广西南宁·月考）已知，，则（      ） A． B． C． D． 变式4-1．（24-25高一下·山东·月考）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 变式4-2．（24-25高一下·贵州六盘水·月考）已知点是线段上靠近点的一个三等分点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 变式4-3．（2024·山东·一模）已知向量，若，则向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1、进行平面向量的坐标运算时，应先将向量用坐标表示出来．一般地，已知有向线段两端点的坐标，应先求出向量的坐标．求一个点的坐标时，可以转化为求该点相对于坐标原点的向量的坐标． 2、坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量．由此可建立相等关系求某些参数的值． 【题型5：利用向量的坐标运算求参数】 例5．（24-25高一上·北京·期末）如图所示，四点在正方形网格的格点处.若，则实数（    ） A． B． C． D． 变式5-1．（24-25高一下·云南昆明·月考）如图，正方形中，M是的中点，若，则（    ） A． B． C． D．1 变式5-2．（23-24高一下·广东梅州·期末）如图，在扇形AOB中，扇形的半径为，点在弧上移动，．当时，（    ） A． B． C．2 D． 变式5-3．（23-24高一下·河南郑州·期中）如图，在直角梯形中，，，，为的中点，若，则的值（    ） A． B． C．2 D． 【方法技巧与总结】 已知含参数的向量等式，依据某点的位置探求参数的问题，其本质是向量坐标运算的应用，用已知点的坐标和参数表示出该点的坐标，利用该点的位置确定横、纵坐标应满足的条件，建立关于参数的方程（组）或不等式（组），并进行求解． 【题型6：向量平行的坐标表示的应用】 例6．（24-25高一下·黑龙江牡丹江·月考）已知向量，则下列向量与平行的是（    ） A． B． C． D． 变式6-1．（24-25高一下·广东深圳·月考）已知平面内给定三个向量. 若，则实数的值为 . 变式6-2．（24-25高一下·河北石家庄·月考）已知向量 ，，，若点不能构成三角形，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式6-3．（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·月考）（多选）已知向量，，且与共线，则可能是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1、判断两个向量共线的方法：一般是利用向量的坐标运算求出需要判断的向量的坐标，并根据两个向量平行的坐标来判断，即先求出，，若，则． 2、由向量共线求参数的值 已知两个向量共线求参数时，参数一般设置在两个位置：一是向量坐标本身含参，二是将相关向量用已知两个向量的含参关系表示，解题时应根据题目特点选择向量共线的坐标表示的两种形式，建立有关参数的方程或方程组求解． 1．（24-25高一下·江苏南京·月考）已知点，则与向量方向相反的单位向量为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·贵州贵阳·月考）已知，是平面上两个不共线的向量，以下可以作为平面向量一组基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（24-25高一下·四川乐山·月考）已知向量，若，则实数（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·广东东莞·月考）（多选）在下列各组向量中，不能作为基底的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·河南郑州·月考）已知平面内四个点的坐标，计算下列问题： (1)用坐标表示，； (2)用坐标表示. 6．（24-25高一下·四川广元·月考）已知六边形为正六边形，设，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·江苏徐州·月考）已知点与点，点在直线上，且，则点的坐标为 . 8．（23-24高一下·山东日照·月考）在中，P为AB的中点，O在边AC上，BO交CP于R，且，设，，用，表示 ． 9．（24-25高一下·四川乐山·月考）如图，在中，与CE的交点为，则（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·辽宁·期末）（多选）《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生四象，四象生八卦，其中八卦深遂的哲理解释了自然，社会现象.如图1所示的是八卦模型图，其平面图形如图2中的正八边形，其中为正八边形的中心，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．和不能构成一组基底 11．（24-25高一下·广东东莞·月考）（多选）设是平面内共始点的三个非零向量，且两两不共线，,则下列命题中正确的是（    ） A．关于的方程可能有两个不同的实数解 B．关于的方程至少有一个实数解 C．关于的方程最多有一个实数解 D．关于的方程若有实数解，则三个向量的终点不可能共线 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.4 平面向量基本定理及坐标表示 课程标准 学习目标 （1）理解平面向量基本定理及其意义，在平面内，当一组基选定后，会用这组基来表示其他向量； （2）借助平面坐标系，掌握平面向量的坐标表示； （3）理解向量坐标的运算及中点坐标公式； （4）掌握平面向量平行的坐标表示． （1）会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题； （2）会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；能将向量的几何运算和代数运算灵活地结合起来，解决一些平面向量的计算问题； （3）理解用坐标表示的平面向量共线的条件，并能正确地进行有关应用． 知识点01 平面向量基本定理 1、平面向量基本定理 （1）平面向量基本定理：如果e1和e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对该平面内任意一个向量a，存在唯一的一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2； （2）基：把不共线的向量e1和e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基，记为{e1，e2}． 2、正交基、正交分解及标准正交基 （1）若基中的两个向量互相垂直，则称这组基为正交基； （2）在正交基下向量的线性表示称为正交分解； （3）若基中的两个向量是互相垂直的单位向量，则称这组基为标准正交基． 【即学即练1】（24-25高一下·四川德阳·月考）已知点是正方形内一定点，记．试用表示 ． 【答案】 【解析】 . 【即学即练2】（24-25高一下·湖北咸宁·月考）（多选）若，是平面内两个不共线的向量，则下列说法正确的是（    ） A．（，）可以表示平面内的所有向量 B．对于平面内的任一向量，使的实数，有无数多对 C．若，，，均为实数，且向量与共线，则有且只有一个实数，使 D．若存在实数，，使，则 【答案】AD 【解析】对于A，B，D，向量，可视为一组基底， 则由平面向量基本定理可知A、D正确，B错误， 对于C，当时，这样的有无数个，故C错误．故选：AD. 知识点02 平面向量的坐标表示 1、平面向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为标准正交基．对于坐标平面内的任意向量a，以坐标原点O为起点作＝a（通常称为位置向量）．由平面向量基本定理可知，有且仅有一对实数x，y，使＝xi＋yj． 因此，a＝xi＋yj． 我们把(x，y)称为向量a在标准正交基{i，j}下的坐标，向量a可以表示为a＝(x，y)． 2、点的坐标与向量坐标间的关系 在平面直角坐标系中，点的位置被它的位置向量所唯一确定，设点的坐标为，容易看出，即点的位置向量的坐标也就是点的坐标；反之，点在平面直角坐标系中的坐标也是点所决定的位置向量的坐标． 【即学即练3】（24-25高一下·贵州六盘水·月考）已知，则点的坐标是 . 【答案】 【解析】设，因，解得 故点的坐标是. 【即学即练4】（24-25高一下·甘肃陇南·月考）已知，则 . 【答案】 【解析】由，则. 知识点03 平面向量运算的坐标表示 1、平面向量运算的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)． 数学公式 文字语言表述 向量加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和 向量减法 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差 向量数乘 λa＝(λx1，λy1) 实数与向量数乘的坐标等于这个实数与向量的相应坐标的乘积 2、任一向量的坐标 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量， 即任意一个向量的坐标等于其终点的坐标减去起点的坐标． 【即学即练5】（24-25高一下·海南儋州·月考）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得.故选：C. 【即学即练6】（24-25高一下·广东东莞·月考）平行四边形三个顶点坐标分别为，，，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，设， 四边形为平行四边形，， 则， 即，解得，故.故选：A. 知识点04 平面向量平行的坐标表示 1、平面向量平行的坐标表示 在平面直角坐标系中，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0.若a∥b，则由共线(平行)向量基本定理，存在实数λ，使得a＝λb，即(x1，y1)＝λ(x2，y2)＝(λx2，λy2)， 所以消去λ，得x1y2－x2y1＝0． 2、易错及要点注释 （1）若y1≠0且y2≠0，则上式可变形为＝. （2）x1y2－x2y1＝0适用于向量平行的任何情况，包含零向量的情况． 即对任意向量a，b，有x1y2－x2y1＝0⇔a∥b. （3）两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)平行的条件x1y2－x2y1＝0容易写错，该条件的正确记法为“交叉相乘，差为0”． 【即学即练7】（24-25高一下·江苏淮安·月考）已知向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为向量，，且，所以，，解得.故选：D. 【即学即练8】（24-25高一下·贵州六盘水·月考）（多选）已知向量和均不共线，且，则向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】由题意得，不共线. A.∵，∴不共线，A正确. B.∵，∴，故为共线向量，B错误. C. ∵，∴不共线，C正确. D.∵，∴，故为共线向量，D错误.故选：AC. 难点：平面向量基本定理的应用 若直接利用基表示向量比较困难，可设出目标向量，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量（一般需建立两个不同的向量表达式），再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得． 【示例1】（24-25高一下·河北沧州·月考）如图，在中，.若N为AB中点，与交于点P，且，的值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【解析】因为共线，所以存在实数，使得， 又，， 则，即， 且N为AB中点，则， 又共线，则存在实数，使得， 即， 所以， 联立方程，解得，则， 所以.故选：D 【示例2】（24-25高一下·天津静海·月考）如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（    ） A．2 B．8 C．9 D．18 【答案】C 【解析】由题意，，又共线，则， 且，所以， 当且仅当时取等号，即的最小值为9.故选：C 【题型1：两个向量作为一组基的判断】 例1．（24-25高一下·山东青岛·月考）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中可以作为平面向量基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以不能作为平面向量的基底，A不正确； 因为不共线，所以能作为平面向量的基底，B正确； 因为，所以不能作为平面向量的基底，C不正确； 因为，所以不能作为平面向量的基底，D不正确； 故选：B 变式1-1．（24-25高一下·甘肃平凉·月考）（多选）设，是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】ACD 【解析】因为，是平面内所有向量的一组基底，所以，不共线， 因为和没有倍数关系，所以二者不共线，可作为平面的一组基底， 因为和没有倍数关系，所以二者不共线，可作为平面的一组基底， 因为和没有倍数关系，所以二者不共线，可作为平面的一组基底， 因为，所以和共线，不能作为基底.故选：. 变式1-2．（23-24高一下·云南昆明·期中）若是平面内的一组基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【解析】A选项，，所以共线，不能作为基底. B选项，，所以共线，不能作为基底. C选项，，所以共线，不能作为基底. D选项，易知不共线，可以作为基底.故选：D 变式1-3．（23-24高一下·广东河源·月考）（多选）已知向量，不共线，则下列能作为平面向量的一个基底的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】对于A，令，即， 所以无解， 故向量与不共线，能作为平面向量的一个基底，A正确； 对于B，因为，即向量与共线， 故不能作为平面向量的一个基底；B错误； 对于C，令，即，所以无解， 故向量与不共线，能作为平面向量的一个基底，C正确； 对于D，令，即，所以无解， 故向量与不共线，能作为平面向量的一个基底，D正确故选：ACD. 【方法技巧与总结】 判断所给的两个向量能否作为一组基的方法 由基的定义可知，要判断两个向量a，b能否作为一组基，只需判断两向量是否共线，而判断向量是否共线就要看是否存在λ∈R，使a＝λb成立．另外，作为基的向量必为非零向量． 【题型2：不共线向量作为一组基表示其他向量】 例2．（24-25高一下·广东佛山·月考）在中，设，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在中，设，， 因为，，所以， 即得，即 则.故选：B. 变式2-1．（24-25高一下·安徽·月考）已知是的中线，在直线上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，，， 所以.故选：C. 变式2-2．（24-25高一下·河北石家庄·月考）如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意在平行四边形中，， 又是的中点，则， 又与交于点， 所以，则，所以， 又， 所以故选：A. 变式2-3．（24-25高一上·辽宁朝阳·期末）如图，四边形中，为线段的中点，为线段上靠近的一个四等分点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，为线段的中点， 则． 故选：D． 【方法技巧与总结】 用不共线向量作为基表示其他向量的方法 1、利用向量的线性运算及向量的运算法则对所求向量不断转化，直至用基表示为止． 2、列向量方程组，利用基表示向量的唯一性求解． 【题型3：平面向量的坐标表示】 例3．（24-25高一下·江苏常州·月考）已知向量，点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设点，由向量的坐标表示可知，， 所以，解得，即点的坐标为.故选：A. 变式3-1．（24-25高一下·四川·月考）已知为一组标准正交基，，，则在基下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 则在基下的坐标为.故选：A. 变式3-2．（24-25高一下·天津·月考）已知点，则与向量同方向的单位向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，， 所以，则， 得到与同方向的单位向量为，故C正确.故选：C 变式3-3．（24-25高一下·新疆喀什·月考）已知平行四边形的三个顶点的坐标为，则顶点的坐标为 . 【答案】 【解析】根据题意得，设， 则，解得，， 所以顶点的坐标为. 【方法技巧与总结】 求向量的坐标的一般方法 1、数形结合法：根据正交分解，求向量在轴、轴上的坐标分量； 2、平移法：把向量的始点移至坐标原点，终点坐标即向量的坐标； 3、若已知、，则． 【题型4：平面向量的坐标运算】 例4．（24-25高一下·广西南宁·月考）已知，，则（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因，，则故选：C 变式4-1．（24-25高一下·山东·月考）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由向量，得.故选：D 变式4-2．（24-25高一下·贵州六盘水·月考）已知点是线段上靠近点的一个三等分点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得，， 设，则，所以， 即，解得故选：B 变式4-3．（2024·山东·一模）已知向量，若，则向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】向量，若， 则.故选：D. 【方法技巧与总结】 1、进行平面向量的坐标运算时，应先将向量用坐标表示出来．一般地，已知有向线段两端点的坐标，应先求出向量的坐标．求一个点的坐标时，可以转化为求该点相对于坐标原点的向量的坐标． 2、坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量．由此可建立相等关系求某些参数的值． 【题型5：利用向量的坐标运算求参数】 例5．（24-25高一上·北京·期末）如图所示，四点在正方形网格的格点处.若，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】建立平面直角坐标系，如图， 则, 所以， 由可得， 即，解得，所以.故选：C 变式5-1．（24-25高一下·云南昆明·月考）如图，正方形中，M是的中点，若，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【解析】以为坐标原点建立平面直角坐标系，设正方形边长为1， 则，则. 故，，， 故由得，解得，故，故选：D. 变式5-2．（23-24高一下·广东梅州·期末）如图，在扇形AOB中，扇形的半径为，点在弧上移动，．当时，（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解析】 如图，，又扇形的半径为， 所以，即， 所以， 由，得， 所以，故选：B 变式5-3．（23-24高一下·河南郑州·期中）如图，在直角梯形中，，，，为的中点，若，则的值（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解析】建立如图所示平面直角坐标系： 则， 所以， 因为， 所以， 则，解得， 所以，故选：B 【方法技巧与总结】 已知含参数的向量等式，依据某点的位置探求参数的问题，其本质是向量坐标运算的应用，用已知点的坐标和参数表示出该点的坐标，利用该点的位置确定横、纵坐标应满足的条件，建立关于参数的方程（组）或不等式（组），并进行求解． 【题型6：向量平行的坐标表示的应用】 例6．（24-25高一下·黑龙江牡丹江·月考）已知向量，则下列向量与平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以． 若向量满足，则该向量与平行，检验易知D符合题意．故选：D． 变式6-1．（24-25高一下·广东深圳·月考）已知平面内给定三个向量.若，则实数的值为 . 【答案】 【解析】因为，又， 所以，所以. 变式6-2．（24-25高一下·河北石家庄·月考）已知向量 ，，，若点不能构成三角形，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得,， 若点三点共线，则点不能构成三角形, 即，解得：， 所以的值为.故选：B. 变式6-3．（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·月考）（多选）已知向量，，且与共线，则可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】因为，，且与共线， 则当与同向时，，则； 则当与反向时，，则. 故选：AD. 【方法技巧与总结】 1、判断两个向量共线的方法：一般是利用向量的坐标运算求出需要判断的向量的坐标，并根据两个向量平行的坐标来判断，即先求出，，若，则． 2、由向量共线求参数的值 已知两个向量共线求参数时，参数一般设置在两个位置：一是向量坐标本身含参，二是将相关向量用已知两个向量的含参关系表示，解题时应根据题目特点选择向量共线的坐标表示的两种形式，建立有关参数的方程或方程组求解． 1．（24-25高一下·江苏南京·月考）已知点，则与向量方向相反的单位向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由点，可得，且 则与向量方向相反的单位向量.故选：B. 2．（24-25高一下·贵州贵阳·月考）已知，是平面上两个不共线的向量，以下可以作为平面向量一组基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】对于A，因为，所以不可以作为平面向量一组基底，故A不符题意； 对于B，因为，所以， 所以不可以作为平面向量一组基底，故B不符题意； 对于C，假设，则存在唯一实数，使得，即， 所以，无解， 所以向量不共线，所以可以作为平面向量一组基底，故C符合题意； 对于D，因为，所以， 所以不可以作为平面向量一组基底，故D不符题意.故选：C. 3．（24-25高一下·四川乐山·月考）已知向量，若，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为向量，所以， ， 若，则，即.故选：B 4．（24-25高一下·广东东莞·月考）（多选）在下列各组向量中，不能作为基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】对于A，由于，故不共线，可以作为基底， 对于B，，共线，不可以作为基底， 对于C, 由于，故不共线，可以作为基底， 对于D，由于，故， 因此，当时，此时共线，不可以作为基底，故选：BD 5．（24-25高一下·河南郑州·月考）已知平面内四个点的坐标，计算下列问题： (1)用坐标表示，； (2)用坐标表示. 【答案】(1)，；(2) 【解析】（1）因为， 所以，. （2）， 由（1）得，， 所以. 6．（24-25高一下·四川广元·月考）已知六边形为正六边形，设，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如下图所示： 由正六边的几何性质可得， 所以，， 所以，， 对于A选项，，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C对； 对于D选项，，D对.故选：A. 7．（24-25高一下·江苏徐州·月考）已知点与点，点在直线上，且，则点的坐标为 . 【答案】或. 【解析】令，由点在直线上，，则， 所以，则，可得， 或，则，可得， 所以点的坐标为或. 8．（23-24高一下·山东日照·月考）在中，P为AB的中点，O在边AC上，BO交CP于R，且，设，，用，表示 ． 【答案】 【解析】已知为的中点，则. 又因为，所以. 因为、、共线， 所以存在实数，使得，将，代入可得：   ①. 因为、、共线， 同理，存在实数，使得，将，代入可得：   ②. 由①②可得解得，. 所以 9．（24-25高一下·四川乐山·月考）如图，在中，与CE的交点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为、、三点共线，，所以， 又因为，所以， 设，则， 即，消可解得，所以，所以， 所以，又，所以， 所以.故选：B. 10．（24-25高一上·辽宁·期末）（多选）《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生四象，四象生八卦，其中八卦深遂的哲理解释了自然，社会现象.如图1所示的是八卦模型图，其平面图形如图2中的正八边形，其中为正八边形的中心，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．和不能构成一组基底 【答案】ACD 【解析】对于A选项，由题意知，，，， 所以，，所以，，所以，， 又因为，由相等向量的定义可知，，A对； 对于B选项，，B错； 对于C选项，根据平面向量的加法法则可知， 为以、为邻边的正方形中以为始点的一条对角线所对应的向量， 所以，，所以，， 又因为，故，C对； 对于D选项，连接，如下图所示： 由正八边形的几何性质可得， ，， 又因为，则为等腰三角形，则， 所以，， 所以，，所以，， 因为，所以，，故和共线，即和不能构成一组基底，D对. 故选：ACD. 11．（24-25高一下·广东东莞·月考）（多选）设是平面内共始点的三个非零向量，且两两不共线，,则下列命题中正确的是（    ） A．关于的方程可能有两个不同的实数解 B．关于的方程至少有一个实数解 C．关于的方程最多有一个实数解 D．关于的方程若有实数解，则三个向量的终点不可能共线 【答案】CD 【解析】，，是平面内共始点的三个非零向量，且两两不共线，， 以，作为一组基底，则对任意向量，存在唯一的有序数对，使， 对于A，由方程，可得， 则有，，因与一一对应，故方程不可能两个实数解，故A错误； 对于B，若取，则方程组无解，故B错误； 对于C，当时，方程有解， 结合A项结论，可知方程最多有一个实数解，故C正确； 对于D，设向量的公共始点为，终点分别为， 假设三点共线，则必存在实数使：， 即，整理得：， 由为非零向量，且两两不共线，可得， 所以，又， 所以，，两式相加，，即， 该方程无实数解，与题设矛盾， 故假设不成立，即三个向量终点不可能共线，故D正确.故选：CD. 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$