猜押 函数的概念与基本初等函数（四大题型）-2025年高考数学冲刺抢押秘籍（新高考通用）

函数的概念与基本初等函数 猜押考点 3年真题 考情分析 押题依据 函数的概念与基本初等函数 2024全国新高考I卷6、8 2024全国新高考Ⅱ卷6 2023全国新高考I卷4、11 2023全国新高考Ⅱ卷4 2022全国新高考I卷12、 2022全国新高考Ⅱ卷8 函数的周期性单调性与奇偶性的综合应用是高考的重难点方向，特别是新高考新题型以后，它们与抽象函数的结合将是未来一个重要方向 图像的识别及应用逐渐淡化 函数的综合因应用作为压轴题，一般会是同构，构造函数比较大小，函数的综合性质应用化工等 1.以基本初等函数为载体，考查函数的单调性及其应用； 2.函数的奇偶性、对称性与函数的图像相结合加以考查. 3.随着高考改革的推进，题目的减少，抽象函数性质的考查，以及函数性质、导数的综合考查将增多. 题型一 函数的概念与单调性 1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南·模拟预测）设函数，则使得成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·江西·一模）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·四川攀枝花·模拟预测）已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是 . 5．（2025高三下·河北承德·专题练习）已知，，，，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·辽宁朝阳·阶段练习）已知函数，在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·湖北·阶段练习）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型二 周期性、奇偶性、对称性的应用 1．（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）已知定义域为的偶函数满足，则（    ） A．3 B．2 C．6 D．10 2．（2025·河南郑州·二模）（多选）已知对于任意非零实数，函数均满足，，下列结论正确的有（   ） A． B．关于点中心对称 C．关于轴对称 D． 3．（24-25高二下·吉林白城·阶段练习）已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三下·浙江宁波·阶段练习）已知函数为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 5．（2025·四川自贡·二模）若是偶函数，则（   ） A．0 B． C． D． 6．（2025高二·全国·专题练习）（多选）已知函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，记的导函数为，则下列函数为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·山东枣庄·阶段练习）已知定义在上的函数，的导函数分别为，，且，，，则下列判断错误的是（    ） A．关于直线对称 B． C．的周期为4 D． 8．（24-25高二下·天津西青·阶段练习）已知为的导函数，则的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   题型三 函数图像的应用 1．（24-25高二下·湖北宜昌·阶段练习）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·云南大理·期中）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·山西晋中·阶段练习）已知是的导函数，且，则的图象不可能是（    ） A． B． C． D． 4．（2025高三·全国·专题练习）如图，圆C和直角三角形AOB的两边相切，射线OP从OA处开始，绕点O匀速旋转(到OB处为止)时，所扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，它的图象大致为（ ） A． B． C． D． 5．（2025高二·全国·专题练习）（多选）设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，可能正确的是（    ） A． B． C． D． 题型四 函数性质的综合应用 1．（24-25高三下·湖北·开学考试）已知函数的定义域为，且对任意，满足，且则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）已知函数的定义域为为奇函数，，则（    ） A．为奇函数 B．的图象关于直线对称 C．的最小正周期为4 D．的图象关于点对称 3．（24-25高一上·江苏无锡·期中）已知函数，若正数m，n满足，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D． 4．（24-25高一上·福建三明·期中）已知奇函数的定义域为，满足对任意、，且，都有，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）已知函数的定义域为R，且对任意，满足，且，则（   ） A．651 B．676 C．1226 D．1275 6．（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）（多选）已知定义在上的函数不恒等于，且对任意的，有，则（    ） A． B．是偶函数 C．的图象关于点中心对称 D．是的一个周期 7．（24-25高三上·辽宁沈阳·开学考试）（多选）若定义在R上的函数，满足，，，则下列结论中正确的是（   ） A．是偶函数 B．是周期为4的周期函数 C． D． 8．（23-24高三下·江西·阶段练习）（多选）已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（    ） A．的图象关于点对称 B．是以8为周期的周期函数 C． D． 9．（24-25高一上·上海·单元测试）德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，函数被称为狄利克雷函数．关于狄利克雷函数有如下四个命题：①；②对任意，恒有成立；③任取一个不为0的有理数，对任意实数均成立；④存在三个点，，，使得为等边三角形．其中真命题的序号为（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 10．（23-24高二下·重庆·期末）写出一个同时具有下列性质的函数= . ①为定义在R上的非常值函数； ②且,均存在唯一的且 ）使得 成立； ③均存在.使得成立. 11．（2024·黑龙江·模拟预测）（多选）已知函数的定义域为，若，有，，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．4为函数的一个周期 12．（2024·山东泰安·模拟预测）（多选）已知函数是上的奇函数，且过点，对于一切正实数，都有． 当时，恒成立，则（    ） A． B．在上是单调函数 C．有三个零点 D．当时， 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 函数的概念与基本初等函数 猜押考点 3年真题 考情分析 押题依据 函数的概念与基本初等函数 2024全国新高考I卷6、8 2024全国新高考Ⅱ卷6 2023全国新高考I卷4、11 2023全国新高考Ⅱ卷4 2022全国新高考I卷12、 2022全国新高考Ⅱ卷8 函数的周期性单调性与奇偶性的综合应用是高考的重难点方向，特别是新高考新题型以后，它们与抽象函数的结合将是未来一个重要方向 图像的识别及应用逐渐淡化 函数的综合因应用作为压轴题，一般会是同构，构造函数比较大小，函数的综合性质应用化工等 1.以基本初等函数为载体，考查函数的单调性及其应用； 2.函数的奇偶性、对称性与函数的图像相结合加以考查. 3.随着高考改革的推进，题目的减少，抽象函数性质的考查，以及函数性质、导数的综合考查将增多. 题型一 函数的概念与单调性 1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】的部分利用导数转换成不等式恒成立问题；的部分利用二次函数的性质即可判定；分段点处也要满足递减的性质，然后取交集即可得出答案. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以当时，恒成立，则； 当时，由在上递减， 若，，合题意， 若，则，故; 又分段点处也要满足递减的性质，所以，解得. 综上所述，， 故选：C． 2．（2025·湖南·模拟预测）设函数，则使得成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】易得函数关于对称，且在上单调递减，在单调递增，将原不等式转化为求解即可. 【详解】因为，所以， 即函数关于对称， 当时，单调递增， 所以函数在上单调递减，在单调递增， 因为，所以，解得， 即的取值范围是， 故选：B. 3．（2025·江西·一模）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求函数的定义域，再利用复合函数的单调性即可求解. 【详解】由且，得，即或， 所以函数的定义域为， 因为在上单调递减，在上单调递增， 又函数为增函数， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又函数为增函数， 所以函数的单调递增区间为. 故选：B. 4．（2025·四川攀枝花·模拟预测）已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】求出得到，得到关于直线对称，对求导，判断当时的单调性，根据得到恒成立，即可求解. 【详解】因为，定义域为， ， 即，所以关于直线对称， 又， 当时，，，，所以， 所以在单调递增，在单调递减， 因为不等式对任意恒成立， 所以恒成立，即恒成立， 所以，即，解得， 所以实数a的取值范围是. 5．（2025高三下·河北承德·专题练习）已知，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数解析式判断出其单调性，即可得出结论. 【详解】易知函数和在上单调递增， 所以在上单调递增， 又， 故，即． 故选：D 6．（24-25高一下·辽宁朝阳·阶段练习）已知函数，在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由函数在上单调递增，列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得，，解得，即， 所以实数的取值范围为. 故选：A 7．（24-25高一下·湖北·阶段练习）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数的单调性有在上单调递减，结合二次函数的性质求参数范围. 【详解】由题设，函数在上单调递增， 易知在上单调递减， 当时，满足题设， 当时，或， 综上，. 故选：B. 题型二 周期性、奇偶性、对称性的应用 1．（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）已知定义域为的偶函数满足，则（    ） A．3 B．2 C．6 D．10 【答案】A 【分析】先利用偶函数性质和已知等式得到函数的周期，再根据周期和已知等式计算. 【详解】因为是定义域为的偶函数，所以. 已知，将换为，可得，又因为，所以. 由和可得. 令，则，那么，又因为，所以， 即，所以函数的周期是，所以. 在中，令，可得，即，解得，所以. 故选：A. 2．（2025·河南郑州·二模）（多选）已知对于任意非零实数，函数均满足，，下列结论正确的有（   ） A． B．关于点中心对称 C．关于轴对称 D． 【答案】ABD 【分析】由中令可得A正确；由可得B正确；由可得C错误；换元法求出可得D正确. 【详解】对于A，由可得； 对于B，由可得，即， 所以关于点中心对称，故B正确； 对于C，由可得，所以关于轴对称，故C错误； 对于D，由中令可得， 设，① 又，② 由①②可得， 所以，即， 所以，所以 所以，故D正确； 故选：ABD 3．（24-25高二下·吉林白城·阶段练习）已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数解析式判断的奇偶性和单调性，即可求解. 【详解】因为，定义域为，所以为奇函数， ，因为，所以，所以在上单调递增， 所以， 又单调递增，所以，即解集为. 故选：A. 4．（24-25高三下·浙江宁波·阶段练习）已知函数为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用偶函数的定义列式结合对数运算计算求参. 【详解】因为函数为偶函数， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以，所以且， 则. 故选：A. 5．（2025·四川自贡·二模）若是偶函数，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶函数定义，列式运算得解. 【详解】由题，可得，即， ， ，即 因不恒为0，故. 故选：B. 6．（2025高二·全国·专题练习）（多选）已知函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，记的导函数为，则下列函数为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用抽象函数的奇偶性、对称性、周期性，结合导数运算法则逐项判断即可. 【详解】因为为奇函数，为偶函数， 所以，， 所以为偶函数，故B正确； 又对两边求导，得， 即，所以是偶函数，故D正确； 由，可得， 由，可得， 所以，即，即得， 所以是周期为4的函数，则，两边求导，得， 所以是奇函数，故A错误； 由，可得，即， 又由，可得， 所以，即为偶函数，所以为偶函数，故C正确． 故选：BCD． 7．（24-25高二下·山东枣庄·阶段练习）已知定义在上的函数，的导函数分别为，，且，，，则下列判断错误的是（    ） A．关于直线对称 B． C．的周期为4 D． 【答案】B 【分析】由题意，根据函数的对称性，合理赋值即可判断A；利用导数求导可得、，通过合理赋值即可判断BCD. 【详解】由，得①， ②，得③， 由①②③，得，所以函数图象关于直线对称，故A正确； 由，得，令，得； 由，得， 令，得， ∴④， 又⑤，令，得，故B错误； ④⑤两式相加，得，得， 所以，即函数的周期为4，故C正确； 由，令，得，所以， 所以，故D正确. 故选：B 8．（24-25高二下·天津西青·阶段练习）已知为的导函数，则的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据的奇偶性排除BD；根据单调性排除C，即可得解. 【详解】因为 ，， 所以，， 因为， 所以在上是奇函数，故可排除选项B，D， 令，则， 当时，， 所以在单调递减，即在单调递减，故可排除选项C. 故选：A 题型三 函数图像的应用 1．（24-25高二下·湖北宜昌·阶段练习）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出函数的定义域，再根据函数值的特征排除B、C，利用导数说明函数的单调性，即可排除A. 【详解】函数的定义域为， 当时，故排除C， 当时，，则，所以，故排除B； 又， 所以当或时，所以在，上单调递增， 当或时，所以在，上单调递减，故排除A. 故选：D 2．（23-24高二下·云南大理·期中）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的导数，利用导数判定函数的单调性即可得出选项． 【详解】解：，定义域为， ， 令，得， 令，得， 所以在和上单调递增，在上单调递减，排除A、C， 当时，，，，所以，排除B， 只有D中图象符合题意； 故选：D 3．（24-25高二下·山西晋中·阶段练习）已知是的导函数，且，则的图象不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据设，分析的取值，结合函数图象可确定答案. 【详解】设， A.当，，时，， 函数为开口向下的二次函数，对称轴为轴，满足要求，A正确； B.∵时，，时，，∴. 由图象得，为开口向上的二次函数，即， 由得，故，对称轴为轴，不合要求，B错误； C.由图象可得为奇函数，且，故， ∴， 当时，恒成立，在上单调递增，满足要求，C正确； D.∵时，，∴， 由，得，， 由图象得，，的极小值点为，极大值点大于，即，故. 由得，，由得，或， ∴在上单调递增，在和上单调递减，满足要求，D正确. 故选：B. 4．（2025高三·全国·专题练习）如图，圆C和直角三角形AOB的两边相切，射线OP从OA处开始，绕点O匀速旋转(到OB处为止)时，所扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，它的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，设单位时间旋转角度为，圆半径为r，则，由题可得关于t的表达式，由导数知识可得答案. 【详解】如图，设单位时间旋转角度为，圆C半径为r， 则，则， 则，即函数图象单调递增， 再令，则函数图象的切线斜率逐渐变大，曲线也逐渐变陡，故选项B符合； 故选：B 5．（2025高二·全国·专题练习）（多选）设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，可能正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用导数研究函数的单调性，逐个进行判断即可. 【详解】对于选项A，若为的图象，当时，，在单调递增； 当时，，在单调递增，图象可能正确，故A正确； 对于选项B，若为的图象，，在上单调递增，图象可能正确，故B正确； 对于选项C，若为的图象，当时，，为常函数；当时，，在单调递增，图象可能正确，故C正确； 对于选项D，若为的图象，当时，，在单调递增，不符合； 若为的图象，当时，，在单调递减，不符合； 当时，，在单调递减，也不符合，故D错误； 综上，故选ABC． 题型四 函数性质的综合应用 1．（24-25高三下·湖北·开学考试）已知函数的定义域为，且对任意，满足，且则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据累加法可得即可求解. 【详解】当时， 因为， 故 由累加法可得， 故，故AB错误， 由， 所以故，所以C错误,D正确， 故选：D 【点睛】关键点点睛：利用累加法可得. 2．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）已知函数的定义域为为奇函数，，则（    ） A．为奇函数 B．的图象关于直线对称 C．的最小正周期为4 D．的图象关于点对称 【答案】D 【分析】根据为奇函数，得，从而可知的对称中心；根据题意令可知，从而，结合对称中心可判断的对称轴与奇偶性和最小正周期. 【详解】因为为奇函数，所以， 所以的图象关于点对称，则的图象关于点对称，项正确； 因为函数的定义域为，易知的定义域为， 因为为奇函数，所以， 则，所以， 根据的图象关于点对称，得， 所以，故为偶函数，项错误； 因为， 所以，所以的最小正周期为， 则的最小正周期为，项错误； 根据为偶函数，且关于点对称，最小正周期为， 易知的所有对称轴为直线，故项错误. 故选：. 3．（24-25高一上·江苏无锡·期中）已知函数，若正数m，n满足，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数解析式可得，据此得出，再由“1”的技巧及基本不等式得解. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以由可得，即， 由， 则， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：D 4．（24-25高一上·福建三明·期中）已知奇函数的定义域为，满足对任意、，且，都有，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，其中，分析函数的奇偶性与单调性，可得出，分、两种情况将不等式变形，结合函数的单调性即可得解. 【详解】构造函数，其中， 则，所以，函数为偶函数， 对任意的对任意、，且，都有， 不妨设，则，可得，即， 所以，函数在上为减函数，则该函数在上为增函数， 且，， 当时，由可得，可得； 当时，由可得，可得. 综上所述，不等式的解集为. 故选：B. 【点睛】思路点睛：根据函数单调性求解函数不等式的思路如下： （1）先分析出函数在指定区间上的单调性； （2）根据函数单调性将函数值的关系转变为自变量之间的关系，并注意定义域； （3）求解关于自变量的不等式 ，从而求解出不等式的解集. 5．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）已知函数的定义域为R，且对任意，满足，且，则（   ） A．651 B．676 C．1226 D．1275 【答案】D 【分析】根据条件变形得到，再结合条件求得，再通过赋值求的值. 【详解】由条件，可知，，，以上三个式子相加得：， 又，所以， ，，，…，， 以上式子相加得， 所以. 故选：D 6．（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）（多选）已知定义在上的函数不恒等于，且对任意的，有，则（    ） A． B．是偶函数 C．的图象关于点中心对称 D．是的一个周期 【答案】ABC 【分析】利用赋值法令根据表达式可判断A正确，再根据偶函数定义可得B正确；取并根据对称中心定义可得C正确，由对称中心以及偶函数性质可判断是的一个周期，可得D错误. 【详解】对于A,根据题意令，则由可得，解得，即A正确； 对于B,令可得，所以， 即可得对任意的满足，即是偶函数，所以B正确； 对于C,令，则由可得， 即满足，因此可得的图象关于点中心对称，即C正确； 对于D,由于是偶函数，所以满足，即， 可得，也即，所以是的一个周期，即D错误. 故选：ABC 7．（24-25高三上·辽宁沈阳·开学考试）（多选）若定义在R上的函数，满足，，，则下列结论中正确的是（   ） A．是偶函数 B．是周期为4的周期函数 C． D． 【答案】ABC 【分析】利用与得到，然后利用，得到的周期性，然后得到周期；再利用与得到为偶函数；利用得到，最后利用得到的值即可. 【详解】因为，所以． 又因为，所以． 又，则， 即，所以，故是周期为4的周期函数． 因为，所以也是周期为4的周期函数，选项B正确； 因为，则，则， 所以，所以为偶函数，选项A正确； 因为，令，得，即， 令，得，即， 故，选项C正确； 由， 得 ， 所以，选项D错误． 故选：ABC． 【点睛】当有两个函数时，需要根据其函数关系消元，得到一个函数的关系，然后得出的性质；最后再利用与的关系求解相关的一些性质即可. 8．（23-24高三下·江西·阶段练习）（多选）已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（    ） A．的图象关于点对称 B．是以8为周期的周期函数 C． D． 【答案】ABC 【分析】根据函数奇偶性以及表达式可知满足，可判断A正确；化简可得可知B正确；又可得，即C正确；利用赋值法可求得，可知D错误. 【详解】对于A，由题意， 且，即①， 用替换中的，得②， 由①+②得， 所以的图象关于点对称，且，故A正确； 对于B，由， 可得，， 所以， 所以是以8为周期的周期函数，故B正确； 对于C，由①知， 则，所以，故C正确； 对于D，又因为，所以， 令，则有2， 令，则有， 令，则有， 所以 ， 所以 ，故D错误. 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：函数性质综合问题经常利用函数的奇偶性、对称性、周期性中的两条性质去推导第三个性质，再将3个性质综合运用即可实现问题求解. 9．（24-25高一上·上海·单元测试）德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，函数被称为狄利克雷函数．关于狄利克雷函数有如下四个命题：①；②对任意，恒有成立；③任取一个不为0的有理数，对任意实数均成立；④存在三个点，，，使得为等边三角形．其中真命题的序号为（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】D 【分析】命题①：根据狄利克雷函数的定义分别验证为无理数和为有理数时的值；命题②和命题③：分为无理数和为有理数两种情况进行验证；命题④：结合狄利克雷函数的定义利用特殊点进行验证． 【详解】①若为有理数，则是有理数，则，若为无理数，则是有理数，则，故①错误； ②若为有理数，则为有理数，此时，，即成立， 若为无理数，则为无理数，此时，，即成立， 综上，对任意，恒有成立，故②正确； ③若为有理数，则为有理数，此时，，即成立， 若为无理数，则为无理数，此时，，即成立， 综上，任取一个不为0的有理数，对任意实数均成立，故③正确； ④对任意有理数，存在三个点、、是边长为的等边三角形，故④正确． 故选：D． 10．（23-24高二下·重庆·期末）写出一个同时具有下列性质的函数= . ①为定义在R上的非常值函数； ②且,均存在唯一的且 ）使得 成立； ③均存在.使得成立. 【答案】（答案不唯一） 【分析】取，即可逐一验证符合3个条件. 【详解】取，显然满足条件①， 若时，即，则或， 故且，总存在唯一的且 ）使得，满足条件②， 对，取，则满足, 对，取，则满足, ，取，故满足条件③ 因此，符合所有条件， 故答案为：（答案不唯一） 11．（2024·黑龙江·模拟预测）（多选）已知函数的定义域为，若，有，，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．4为函数的一个周期 【答案】ACD 【分析】根据已知条件进行赋值，以及利用变量替换推出函数性质，逐一判断选项即可求解. 【详解】根据题意，， 取，得，因为，所以，A正确; 取，得，所以，B错误; 取，得，即， 所以为偶函数，C正确; 取，得，所以， 即4为函数的一个周期，D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：解答抽象函数问题，常用的方法是赋值法，求函数值时，通常令等式中的变量取等特殊值；判断函数奇偶性时，通常通过赋值使等式中出现；当然要结合所求灵活赋值，根据函数的性质进行求解. 12．（2024·山东泰安·模拟预测）（多选）已知函数是上的奇函数，且过点，对于一切正实数，都有． 当时，恒成立，则（    ） A． B．在上是单调函数 C．有三个零点 D．当时， 【答案】ACD 【分析】对于A，赋值即可判断；对于B，分别赋值、和求出和即可判断；对于C，探究在上的单调性，结合、和函数奇偶性即可判断；对于D，由函数单调性以及研究特殊值，，即可得解. 【详解】由题， 对于A：令，，所以A正确； 对于B：令， ，得； 令，，得， 令，，得，所以B不正确； 对于C：当时， ，得， 故，即 又即， 所以，设， 则， 因为，所以， ， 因为当时，恒成立， 所以，即， 故在上单调递增， 又，，且函数是上的奇函数， 所以，故有三个零点． 所以C正确； 对于D：当时， 因为在上单调递增，，，所以 ； 当时，因为，， ， ， ， 由奇函数在上单调递增，所以； 所以当时，.所以D正确. 故选：ACD． 【点睛】关键点睛：探究函数零点个数和根据函数值，求解变量的关键是巧妙赋值实现，从而结合奇偶性探究得出函数在R上的单调性. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$