精品解析：2025年山西省中考模拟演练(一) 数学试卷

2025山西中考模拟演练（一） 数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．满分120分，考试时间120分钟 2．答卷前，考生务必将自己的班级、姓名填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 随着居民消费水平的提高，2024年前三个季度山西省居民衣着价格较去年上涨，记作，若食品烟酒价格较去年下降，则应记作（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正负数的意义，根据正负数表示一对相反意义的量，上涨为正，则下降为负，进行判断即可． 【详解】解：由题意，下降，应记作； 故选B． 2. 下面是四届世博会会徽图案，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形；故不符合题意； B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形；故不符合题意； C、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故符合题意； D、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形；故不符合题意； 故选：C． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，二次根式的运算，根据积的乘方，幂的乘方，二次根式的除法法则，减法法则，平方差公式，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，原运算错误，不符合题意； B、，原运算错误，不符合题意； C、，原运算正确，符合题意； D、，原运算错误，不符合题意； 故选C． 4. 如图，将一副三角板按如图方式摆放，，，．若，过点作，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理，先由平行线的性质求出的度数，再由三角形内角和定理求出的度数，据此可得的度数，再由平行线的性质求出的度数，进而可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 5. 如图，在电路图上有，，，，五个开关和一个正常的小灯泡L，将这些开关随机闭合两个，能让灯泡发光的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查列表法求概率，根据题意，列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，列出表格如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共20种等可能的结果，其中能让灯泡发光的情况有12种情况， ∴； 故选A． 6. 不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， 故选：D． 7. 一元二次方程配方后可化为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法的应用，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，进而可得答案． 【详解】解： ， 故选：A． 8. 广胜寺坐落在山西省临汾市洪洞县，其上寺的十三层宝塔名曰飞虹塔，是我国现存历史最久远，建制最高大的七彩琉璃塔．某项目学习小组的同学要测量飞虹塔的高度，如图所示，塔的顶端为点，为塔高，在地面上一点处竖直放一根标杆，，，测得该塔底部点到点的距离为，在的延长线上找一点，使，，三点在同一直线上，，，三点在同一水平线上，测得，由测量数据求出塔的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即：， ∴； 故选C． 9. 将抛物线平移后，得到抛物线的函数表达式为，则平移的方向和距离是（ ） A. 向右平移5个单位长度，再向上平移10个单位长度 B. 向右平移5个单位长度，再向下平移10个单位长度 C. 向左平移5个单位长度，再向上平移10个单位长度 D. 向左平移5个单位长度，再向下平移10个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，把平移后的解析式化为顶点式，再根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：∵将抛物线平移后，得到抛物线的函数表达式为， ∴平移方式为向左平移5个单位长度，再向下平移10个单位长度， 故选：D． 10. 如图，在中，，，以为直径作（圆心为点），交于点，点是上一点，连接并延长，交于点．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，求弧长，连接，根据圆周角定理，结合三角形的内角和定理，求出的度数，进而求出的度数，进而求出的度数，再利用弧长公式进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵为直径，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为：； 故选B． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、分解因式，先根据多项式乘以多项式的运算法则去括号，再合并同类项，最后利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 如图是由若干个相同的小正方体组合而成的一个几何体的三视图，则组成该几何体的小正方体的个数是______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据主视图可以确定几何体的层数，根据俯视图可确定下面一层的小正方体个数，根据左视图可确定上面一层小正方体的个数，据此可得答案． 【详解】解：由主视图可知该几何体分为上下两层，由俯视图可知，该几何体下面一层有2个小正方体，由左视图可知，该几何体上面一层有2个小正方体， ∴该几何体一共有6个小正方体， 故答案为：6． 13. 某公司低价收购一批新品种的柑橘．为统计柑橘在运输、储存中的损坏率，销售人员首先从所有的柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录在下表中： 损坏柑橘质量 6.60 11.55 16.16 20.58 25.22 31.93 柑橘总质量 60 110 160 210 260 310 柑橘损坏的频率 0.110 0.105 0.101 0.098 0.097 0.103 据此估计这批新品种柑橘损坏的概率是______（结果精确到0.01） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，据此根据表格中的数据找到频率的稳定值即可得到答案． 【详解】解：由表格可知，随着柑橘总质量的增加，柑橘损坏的频率逐渐稳定在附近， ∴估计这批新品种柑橘损坏的概率是， 故答案为：． 14. 【热点素材】2024年10月18日，山西黄河、长城、太行三个一号旅游公路全线贯通．太原市某旅行社抢抓商机，将“太原—太行周末游”项目在原来门市报价的基础上每人降价40元，这样某企业原定12800元的团建费用现只需花费11520元．该旅行社原来门市报价是每人______元． 【答案】400 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设该旅行社原来门市报价是每人x元，则现在该旅行社门市报价是每人元，再根据人数不变建立方程求解即可． 【详解】解：设该旅行社原来门市报价是每人x元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴该旅行社原来门市报价是每人400元， 故答案为：400． 15. 在矩形中，点，分别为，的中点，点，分别在，上，将矩形沿折叠，使点和点重合，边的对应线段恰好经过点，连接．若，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了矩形与折叠问题，解直角三角形，设，在中，，得出，进而求得，过点作于点，在中，勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵折叠 ∴ ∴ ∴ ∴ 设， ∵，是的中点 ∴ ∴ ∴ 又∵是的中点 ∴ ∴ ∵折叠 ∴ 在中， ∴ 解得：（负值舍去） ∴， ∴ 如图所示，过点作于点， 在中， ∴， 在中，， ∴ 在中， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：． （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合计算，含乘方的有理数混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可； （2）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后计算分式加法即可得到答案． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且与反比例函数的图象交于点，过点作轴于点，且． （1）求直线的函数表达式． （2）设点是轴上的点，若的面积等于12，求出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数与几何综合，熟知待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）根据题意可得点C横坐标为3，据此求出点C坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求求出点A坐标，再根据三角形面积计算公式求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵轴，，且点C在第一象限， ∴点C的横坐标为3， 在中，当时，， ∴； 设直线的函数表达式为，则， ∴， ∴直线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：在中，当时，， ∴， ∵点是轴上的点，的面积等于12， ∴， ∴， ∴点P的坐标为或． 18. 2024年10月教育部办公厅下发了《关于进一步加强中小学规范汉字书写教育的通知》（教语用厅（2024）1号），某校为落实这一通知，组织开展了汉字书写大赛，同学们踊跃参加．王老师随机调查了部分参加汉字书写大赛的学生成绩（满分为100分），成绩由分数转化为优秀、良好、及格、不及格四个等级，并将调查结果绘制成如下两幅统计图． 王老师还统计了书法兴趣小组10名同学的成绩如下表： 分数／分 80 85 90 95 人数名 1 4 3 2 请根据已知信息，解答下列问题： （1）条形统计图中______；扇形统计图中表示“不及格”的扇形的圆心角的度数是______． （2）书法兴趣小组10名同学的成绩的中位数是______分． （3）若该校共有240名同学参加了汉字书写大赛，请你估计该校成绩优秀的学生人数． 【答案】（1）20，24 （2） （3）估计该校成绩优秀的学生人数为名 【解析】 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，求中位数： （1）用成绩良好的人数除以所占的比例，求出调查的人数，进而求出的值，用360度乘以“不及格”的人数所占的比例求出圆心角的度数即可； （2）根据中位数的确定方法进行求解即可； （3）利用样本估计总体的思想，进行求解即可． 【小问1详解】 解：（名）； ∴， ； 故答案为：20，24； 【小问2详解】 书法兴趣小组10名同学的成绩的中位数是（分）； 故答案为：； 【小问3详解】 （名）； 答：估计该校成绩优秀的学生人数为名． 19. 校园“科技节”来临之际，无人机表演点亮了校园科技之美．某校“综合与实践”活动小组的同学要用无人机测量大楼的高度，无人机在，两楼之间上方的点处，点距地面的高度为，此时，测得楼的楼顶处和楼的楼顶处的俯角均为，已知，，其中点，，，，，均在同一竖直平面内，点，，在同一条水平直线上．请根据以上数据，求大楼的高度．（，结果保留一位小数） 【答案】大楼的高度为 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键．过点作于点，过点作于点，交于点，分别解直角三角形和直角三角形，求出的长，再用求出的长即可． 【详解】解：过点作于点，过点作于点，交于点， 由题意，得：， ∴四边形均为矩形，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； 答：大楼的高度为． 20. 【热点素材】从2025年起山西中考体育总分值为60分，新增球类项目（足球、篮球、排球三选一），为适应中考改革，某校开学前用10500元从体育用品专卖店一次性购买三类球共160个，已知每个篮球120元，每个足球55元，每个排球40元，购买足球和排球的数量相同． （1）求购买三类球各多少个． （2）学校计划再次从该体育用品专卖店购买篮球和排球共40个，费用不超过3000元，求该校最多可以购买多少个篮球． 【答案】（1）购买足球60个，排球60个，篮球40个 （2）该校最多可以购买17个篮球 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程组和不等式是解题的关键． （1）设购买足球x个，购买篮球y个，根据球的总数为160个以及总费用为10500元建立方程组求解即可； （2）设购买篮球m个，则购买排球个，根据球的费用不超过3000元列出不等式求出m的最大值即可． 【小问1详解】 解：设购买足球x个，购买篮球y个， 由题意得，， 解得， 答：购买足球60个，排球60个，篮球40个； 【小问2详解】 解：设购买篮球m个，则购买排球个， 由题意得，， 解得， ∵m为整数， ∴m的最大值为17， 答：该校最多可以购买17个篮球． 21. 【创新考法】阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记（部分），请仔细阅读并完成相应任务． 等面积法在解题中的应用 等面积法是初中几何中的重要解题方法，它一般是利用等面积把几何问题中的线段关系或量与量之间的关系转化为面积关系来解决问题的一种方法．这种方法可以把问题简捷化，提高学习效率．下面是我利用等面积法证明勾股定理的例子． 例：如图1，，点在线段上，．记，，．求证：． 证明：连接，，过点作边上的高，则． ， ， ． ． 任务： （1）如图，是的内切圆，半径为，的周长为，则的面积为______． （2）将两个全等的直角三角形按图3所示摆放，其中．参照阅读材料中例题的证明方法，求证：． （3）如图4，在菱形中，对角线，交于点，是上一点，且．若，，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】（1） （2） 证明：如图，延长交延长线于点，过点作延长线于点，连接，， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形和四边形是矩形， ∴，， ∴， ， ， ． ； （3） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，勾股定理的应用，三角形的内切圆，矩形的判定与性质，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，菱形的性质，熟练掌握这些性质与判定，并掌握面积转换是解题的关键． （1）设与三边的切点分别为，，，连接，，，，，，利用即可求解； （2）延长交延长线于点，过点作于点，连接，，利用，，即可解决； （3）先证明，结合菱形性质得出，再分别利用三角形的同高面积求出，，，最后利用即可求解． 【小问1详解】 解：如图，设与三边的切点分别为，，，连接，，，，，， ∴于，于，于， ∵的半径为， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵菱形中，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵菱形中，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴图中阴影部分的面积， 故答案为：． 22. 综合与实践 甲、乙两名同学打羽毛球比赛．假设羽毛球的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．如图，建立平面直角坐标系，羽毛球从点的正上方发出，飞行过程中羽毛球的竖直高度（单位：m）与点的水平距离（单位：m）之间近似满足函数关系． 比赛中，甲同学连续进行了两次发球．第一次发球时，羽毛球的水平距离与竖直高度的五组对应数据如下： 水平距离 0 3 6 9 12 竖直高度 0.8 3.05 3.8 3.05 0.8 根据以上数据，回答下列问题： （1）求出竖直高度与水平距离之间满足的函数关系． （2）若乙同学原地起跳能使球拍达到最大高度（达到最大高度刚好能接住羽毛球）为2.3m，那他想保证这次能接到甲同学的球（两人之间的水平距离得保持在以上），离甲同学最近的水平距离是多少．（，结果保留整数） 【答案】（1） （2）离甲同学最近的水平距离是 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出时的的值，即可得出结果． 【小问1详解】 解：由题意，得：， 解得：， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴当时， 解得：或， ∵两人之间的水平距离得保持在以上， ∴离甲同学最近的水平距离是． 23. 综合与探究 问题情境 如图1，在矩形中，，延长至点．使得．点是边上一点，且，连接，． 操作发现 （1）若，则的长为________，的长为________． 拓展探索 （2）如图2，将绕点逆时针旋转，点的对应点为，使点在矩形内部．若，分别与，相交于点，． ①请判断和的数量关系，并说明理由． ②如图3，在旋转过程中，若点恰好在矩形对角线上．请探索并直接写出图3中所有与图1中相等的线段． 【答案】（1）；； （2）①，理由如下： ∵四边形为矩形， ∴， 连接，如图： 由题意结合旋转的性质可得：为等腰直角三角形，， ∴， ∴，， ∴，即， ∴， ∴； ②、 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质可得，结合题意得出垂直平分，由垂直平分线的性质可得，证明为等腰直角三角形，得出，求出，即可得解； （2）①连接，由题意结合旋转的性质可得为等腰直角三角形，，从而得出，推出，，证明，即可得解； ②由（1）可得：，解直角三角形得出，由题意结合旋转的性质可得为等腰直角三角形，，证明，得出，由①可得：，即可得解． 【详解】解：（1）∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； 故答案为，； （2）①略 ②由（1）可得：， ∵四边形为矩形， ∴，， 连接，如图： ， ∵，， ∴， ∴， 由题意结合旋转的性质可得：为等腰直角三角形，， ∴为等边三角形，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由①可得：， ∴图3中所有与图1中相等的线段为、． 【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025山西中考模拟演练（一） 数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．满分120分，考试时间120分钟 2．答卷前，考生务必将自己的班级、姓名填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 随着居民消费水平的提高，2024年前三个季度山西省居民衣着价格较去年上涨，记作，若食品烟酒价格较去年下降，则应记作（ ） A. B. C. D. 2. 下面是四届世博会会徽图案，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将一副三角板按如图方式摆放，，，．若，过点作，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在电路图上有，，，，五个开关和一个正常的小灯泡L，将这些开关随机闭合两个，能让灯泡发光的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 一元二次方程配方后可化为（ ） A. B. C. D. 8. 广胜寺坐落在山西省临汾市洪洞县，其上寺的十三层宝塔名曰飞虹塔，是我国现存历史最久远，建制最高大的七彩琉璃塔．某项目学习小组的同学要测量飞虹塔的高度，如图所示，塔的顶端为点，为塔高，在地面上一点处竖直放一根标杆，，，测得该塔底部点到点的距离为，在的延长线上找一点，使，，三点在同一直线上，，，三点在同一水平线上，测得，由测量数据求出塔的高度为（ ） A. B. C. D. 9. 将抛物线平移后，得到抛物线的函数表达式为，则平移的方向和距离是（ ） A. 向右平移5个单位长度，再向上平移10个单位长度 B. 向右平移5个单位长度，再向下平移10个单位长度 C. 向左平移5个单位长度，再向上平移10个单位长度 D. 向左平移5个单位长度，再向下平移10个单位长度 10. 如图，在中，，，以为直径作（圆心为点），交于点，点是上一点，连接并延长，交于点．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：________． 12. 如图是由若干个相同的小正方体组合而成的一个几何体的三视图，则组成该几何体的小正方体的个数是______． 13. 某公司低价收购一批新品种的柑橘．为统计柑橘在运输、储存中的损坏率，销售人员首先从所有的柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录在下表中： 损坏柑橘质量 6.60 11.55 16.16 20.58 25.22 31.93 柑橘总质量 60 110 160 210 260 310 柑橘损坏的频率 0.110 0.105 0.101 0.098 0.097 0.103 据此估计这批新品种柑橘损坏的概率是______（结果精确到0.01） 14. 【热点素材】2024年10月18日，山西黄河、长城、太行三个一号旅游公路全线贯通．太原市某旅行社抢抓商机，将“太原—太行周末游”项目在原来门市报价的基础上每人降价40元，这样某企业原定12800元的团建费用现只需花费11520元．该旅行社原来门市报价是每人______元． 15. 在矩形中，点，分别为，的中点，点，分别在，上，将矩形沿折叠，使点和点重合，边的对应线段恰好经过点，连接．若，则的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：． （2）化简：． 17. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且与反比例函数的图象交于点，过点作轴于点，且． （1）求直线的函数表达式． （2）设点是轴上的点，若的面积等于12，求出所有符合条件的点的坐标． 18. 2024年10月教育部办公厅下发了《关于进一步加强中小学规范汉字书写教育的通知》（教语用厅（2024）1号），某校为落实这一通知，组织开展了汉字书写大赛，同学们踊跃参加．王老师随机调查了部分参加汉字书写大赛的学生成绩（满分为100分），成绩由分数转化为优秀、良好、及格、不及格四个等级，并将调查结果绘制成如下两幅统计图． 王老师还统计了书法兴趣小组10名同学的成绩如下表： 分数／分 80 85 90 95 人数名 1 4 3 2 请根据已知信息，解答下列问题： （1）条形统计图中______；扇形统计图中表示“不及格”的扇形的圆心角的度数是______． （2）书法兴趣小组10名同学的成绩的中位数是______分． （3）若该校共有240名同学参加了汉字书写大赛，请你估计该校成绩优秀的学生人数． 19. 校园“科技节”来临之际，无人机表演点亮了校园科技之美．某校“综合与实践”活动小组的同学要用无人机测量大楼的高度，无人机在，两楼之间上方的点处，点距地面的高度为，此时，测得楼的楼顶处和楼的楼顶处的俯角均为，已知，，其中点，，，，，均在同一竖直平面内，点，，在同一条水平直线上．请根据以上数据，求大楼的高度．（，结果保留一位小数） 20. 【热点素材】从2025年起山西中考体育总分值为60分，新增球类项目（足球、篮球、排球三选一），为适应中考改革，某校开学前用10500元从体育用品专卖店一次性购买三类球共160个，已知每个篮球120元，每个足球55元，每个排球40元，购买足球和排球的数量相同． （1）求购买三类球各多少个． （2）学校计划再次从该体育用品专卖店购买篮球和排球共40个，费用不超过3000元，求该校最多可以购买多少个篮球． 21. 【创新考法】阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记（部分），请仔细阅读并完成相应任务． 等面积法在解题中的应用 等面积法是初中几何中的重要解题方法，它一般是利用等面积把几何问题中的线段关系或量与量之间的关系转化为面积关系来解决问题的一种方法．这种方法可以把问题简捷化，提高学习效率．下面是我利用等面积法证明勾股定理的例子． 例：如图1，，点在线段上，．记，，．求证：． 证明：连接，，过点作边上的高，则． ， ， ． ． 任务： （1）如图，是的内切圆，半径为，的周长为，则的面积为______． （2）将两个全等的直角三角形按图3所示摆放，其中．参照阅读材料中例题的证明方法，求证：． （3）如图4，在菱形中，对角线，交于点，是上一点，且．若，，则图中阴影部分的面积为______． 22. 综合与实践 甲、乙两名同学打羽毛球比赛．假设羽毛球的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．如图，建立平面直角坐标系，羽毛球从点的正上方发出，飞行过程中羽毛球的竖直高度（单位：m）与点的水平距离（单位：m）之间近似满足函数关系． 比赛中，甲同学连续进行了两次发球．第一次发球时，羽毛球的水平距离与竖直高度的五组对应数据如下： 水平距离 0 3 6 9 12 竖直高度 0.8 3.05 3.8 3.05 0.8 根据以上数据，回答下列问题： （1）求出竖直高度与水平距离之间满足的函数关系． （2）若乙同学原地起跳能使球拍达到最大高度（达到最大高度刚好能接住羽毛球）为2.3m，那他想保证这次能接到甲同学的球（两人之间的水平距离得保持在以上），离甲同学最近的水平距离是多少．（，结果保留整数） 23. 综合与探究 问题情境 如图1，在矩形中，，延长至点．使得．点是边上一点，且，连接，． 操作发现 （1）若，则的长为________，的长为________． 拓展探索 （2）如图2，将绕点逆时针旋转，点的对应点为，使点在矩形内部．若，分别与，相交于点，． ①请判断和的数量关系，并说明理由． ②如图3，在旋转过程中，若点恰好在矩形对角线上．请探索并直接写出图3中所有与图1中相等的线段． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $