精品解析：广东省广雅中学2024-2025学年高一下学期3月阶段性测试数学试题

2024学年下学期高一年级3月阶段性测试数学 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题卡前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号等相关信息填写在答题卡指定区域内； 2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案； 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上，不得使用涂改液，不得使用计算器． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 已知，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的坐标表示列方程求点的坐标. 【详解】设点，则向量， 所以，即，对应的点B坐标为． 故选：C 2. 若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据基底中的向量不共线，即可判断各项是否能作为基底. 【详解】A：，显然共线，无法作为基底； B：，显然共线，无法作为基底； C：中含有零向量，显然共线，无法作为基底； D：令，则，显然无解，说明向量组不共线，可作为基底． 故选：D 3. 给定两个向量，若，则等于（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量加减法的坐标运算及垂直的坐标表示列方程求参数值. 【详解】由题设 故选：C 4. 已知单位向量满足，则在上的投影向量为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解判断. 【详解】单位向量满足，则， 所以所求的投影向量为． 故选：B 5. 已知向量，且与的夹角为钝角，在实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用向量夹角的坐标公式求参数范围，注意反向共线的情况，即可得. 【详解】因为向量，且与的夹角为钝角， 所以，可得， 注意，需排除反向共线的情况，此时，即， 综上，． 故选：B 6. 在平行四边形中，是边靠近的三等分点，与交于点，设，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题设及向量对应线段的位置关系得、，结合即可得. 【详解】由，，所以， 由题意，则， 由. 故选：A 7. 如图，从无人机A上测得正前方的峡谷的两岸的俯角分别为，若无人机的高度是，则此时峡谷的宽度是（ ） A. 60 B. C. 30 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用直角三角形边角关系，结合差角的正切求解. 【详解】依题意，， 则， ， 所以峡谷的宽度；. 故选：A 8. 向量是互相垂直的单位向量，向量满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，，，将问题化为圆上的点到点的距离，即可得. 【详解】已知向量，是互相垂直的单位向量， 设，，， 由，则， 由，， 其几何意义是圆上的点到点的距离， 圆心到的距离为，圆的半径为2， 所以的取值范围是． 故选：D 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分或3分或4分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 零向量是唯一没有方向的向量 B. 零向量的长度等于0 C. 若都为非零向量，则使成立的充分必要条件是与反向共线 D. 两个非零向量和，若，则与垂直 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用零向量、单位向量、共线向量及向量数量积运算律依次判断. 【详解】对于A，零向量方向是任意的，A错误； 对于B，零向量的长度为0，B正确； 对于C，与是单位向量，当且仅当与反向共线时，，C正确； 对于D，对两边平方，得， 即，因此与垂直，D正确． 故选：BCD 10. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列结论中正确的选项有（ ） A. 若A >B， 则 B. ，则 C. 若，则定为直角三角形 D. 若且该三角形有两解，则b的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正弦定理、余弦定理，结合各选项条件逐项求解判断. 【详解】对于A，在中，，A正确； 对于B，由余弦定理得，即， 而，解得，B错误； 对于C，由余弦定理得，整理得，为直角三角形，C正确； 对于D，有两解，则，而，因此，D正确. 故选：ACD 11. 已知定义在上的函数满足，且当时，，则下列结论正确的是（ ）． A. B. 在上单调递增 C. 函数的零点从小到大依次记为，若，则的取值范围为 D. 若函数在上恰有4个零点，则的取值范围为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据及区间解析式，求函数值判断A；由周期性求相关区间解析式画出草图判断B；数形结合判断与交点情况判断C、D. 【详解】A，因为，，所以， 当时，，则， 所以，对； B，由，则，故， 其开口向下且对称轴为，所以在上单调递增，对； C，因为，函数的零点从小到大依次记为， 若，则是与在对称轴为对应区间上的交点横坐标， 在上，则，则， 在上，如下图示， 根据与的交点情况，可得，对； D，同C分析，若在上有4个零点，由图知，错． 故选：ABC 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，且，则_____． 【答案】2024 【解析】 【分析】设，先判断其奇偶性，再应用奇偶性求得，即得，进而求. 【详解】设，则， ， 所以是奇函数，，则， 所以，． 故答案为：2024 13. 在中，，，，则_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据已知得到，应用向量数量积的定义及运算律求向量的模. 【详解】在中，，，， 根据向量减法法则，又，则， 由， 所以①， ，，， 代入①可得，则． 故答案为： 14. 已知中， ①__________； ②为边的中点，若，则__________. 【答案】 ①. ##0.25 ②. 【解析】 【分析】①由同角的三角函数关系，正弦定理边化角，余弦定理求解即可； ②设由余弦定理求解即可； 【详解】， 即 由正弦定理角化边可得 由余弦定理可得； 设 由余弦定理结合①得 在中，在中， 所以，即， ， 等式两边同时除以可得， 解得或（舍去）， 所以. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题第二问关键是能分别在中和中利用余弦定理表示出. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的内角所对的边分别是， （1）已知，求角和． （2）已知，解三角形． 【答案】（1）， （2），，． 【解析】 【分析】（1）由余弦定理求出角，由正弦定理求出； （2）由三角形内角和求，利用和角公式求得的值，再由正弦定理求出即可. 【小问1详解】 由余弦定理，， 因为，所以． 由正弦定理，，可得． 【小问2详解】 已知，，则． 由正弦定理，可得． 又 ， 再由正弦定理，可得． 综上，，，． 16. 已知向量，若函数． （1）求的解析式； （2）求的对称中心和单调递减区间； （3）若在上有且仅有两个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）对称中心为，，递减区间为，； （3）． 【解析】 【分析】（1）应用向量数量积的坐标表示及三角恒等变换化简求函数解析式； （2）利用正弦型函数的性质求对称中心和递减区间； （3）问题化为在上有且仅有两个解，由正弦函数的性质、图象求参数范围. 【小问1详解】 由 ； 【小问2详解】 令，，得，， 所以的对称中心为，． 由，，得，， 所以的单调递减区间为，． 【小问3详解】 已知在上有且仅有两个零点，即在上有且仅有两个解． 当时，． 令，，． 时，； 时，； 时，． 要使与在上有两个交点，则． 17. 在中，角的对边分别为． （1）求； （2）若，求的周长的取值范围． （3）若，且是锐角三角形，求内切圆半径的取值范围． 【答案】（1）； （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再逆用和角的正弦求解. （2）利用余弦定理，结合基本不等式求出范围. （3）利用等面积法得到内切圆半径的表达式，利用余弦定理转化的表达式，运用正弦定理及三角函数的图象与性质求解. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得， ，而，则，又， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，而，由余弦定理， 得，当且仅当时取等号， 因此，解得，而，则， 故的周长的取值范围是. 【小问3详解】 由（2）得，设的内切圆半径为， 由，得， 由（1）及正弦定理，得，， 则， 由为锐角三角形，得，解得，， 则，因此，， 所以内切圆半径的取值范围为. 18. 已知函数的定义域为，非空集合．若对任意，任意且，都有恒成立，就称函数具有性质． （1）当时，判断下列函数是否具备性质． ① ② （2）当，函数，若具有性质，求的取值范围． （3）当，若且具有性质的函数均为常值函数，求所有符合条件的的值． 【答案】（1）函数具有性质；函数不具有性质 （2） （3）为正奇数 【解析】 【分析】(1)利用函数的单调性即可解决；反证法，找特值； (2)结合函数的单调性，利用分类讨论思想，将和分别放在同一单调区间和不同单调区间即可； (3)特殊值法，将代入，利用常函数且任意性得出函数的周期为，而一个周期内的整数可分为奇数和偶数，在分奇偶的条件下结合常函数的特性即可得出. 【小问1详解】 ①因在上单调递增，所以对任意恒成立，即对任意恒成立，故函数具有性质； ②假设函数具有性质，则对任意恒成立，即对任意恒成立，即对任意恒成立，而当时，，与假设矛盾，故函数不具有性质； 【小问2详解】 为偶函数，且在上单调递增，在上单调递减， ①若，因 ，则恒成立，满足题意； ②若，对于任意，有，则， 若，则，矛盾； 若，欲使函数具有性质，只需即可， 得，则，即， 综上，的取值范围为. 【小问3详解】 因为为整数集且具有性质的函数均为常值函数， 若，令，不等式恒成立，但不为常函数， 若，由题意可知：当时，恒成立，所以的周期为， 令，， 由题意可知，则， 当时，，所以， 当时，，所以， 综上所述：为正奇数，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年下学期高一年级3月阶段性测试数学 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题卡前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号等相关信息填写在答题卡指定区域内； 2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案； 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上，不得使用涂改液，不得使用计算器． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 已知，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（ ） A. B. C. D. 3. 给定两个向量，若，则等于（ ） A. 3 B. C. D. 4. 已知单位向量满足，则在上的投影向量为（ ）． A. B. C. D. 5. 已知向量，且与的夹角为钝角，在实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 在平行四边形中，是边靠近的三等分点，与交于点，设，则（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，从无人机A上测得正前方的峡谷的两岸的俯角分别为，若无人机的高度是，则此时峡谷的宽度是（ ） A. 60 B. C. 30 D. 8. 向量是互相垂直的单位向量，向量满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分或3分或4分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 零向量是唯一没有方向的向量 B. 零向量的长度等于0 C. 若都为非零向量，则使成立的充分必要条件是与反向共线 D. 两个非零向量和，若，则与垂直 10. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列结论中正确的选项有（ ） A. 若A >B， 则 B. ，则 C. 若，则定为直角三角形 D. 若且该三角形有两解，则b的取值范围是 11. 已知定义在上的函数满足，且当时，，则下列结论正确的是（ ）． A. B. 在上单调递增 C. 函数的零点从小到大依次记为，若，则的取值范围为 D. 若函数在上恰有4个零点，则的取值范围为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，且，则_____． 13. 在中，，，，则_____ 14. 已知中， ①__________； ②为边的中点，若，则__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的内角所对的边分别是， （1）已知，求角和． （2）已知，解三角形． 16. 已知向量，若函数． （1）求的解析式； （2）求的对称中心和单调递减区间； （3）若在上有且仅有两个零点，求实数的取值范围． 17. 在中，角的对边分别为． （1）求； （2）若，求的周长的取值范围． （3）若，且是锐角三角形，求内切圆半径的取值范围． 18. 已知函数的定义域为，非空集合．若对任意，任意且，都有恒成立，就称函数具有性质． （1）当时，判断下列函数是否具备性质． ① ② （2）当，函数，若具有性质，求的取值范围． （3）当，若且具有性质的函数均为常值函数，求所有符合条件的的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $