精品解析：浙江省杭州第四中学2024-2025学年高二下学期3月数学强化检测题

杭州第四中学高二年级数学强化试题 2025.3.7 满分150分，考试时间120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1. 向量与之间的夹角为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的夹角公式来计算两向量夹角，即可得出结果. 【详解】因为与, 所以 又因, , 所以, 因为两向量夹角，所以. 故选：C 2. 已知复数是关于的二次方程的一个解，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由复数是方程，代入得，列出方程组，即可求解. 【详解】因为复数是方程， 代入得，可得， 可得，可得， 因为，所以. 故选：C. 3. 已知的展开式中所有项的系数之和为729，则该展开式中常数项为（ ） A 40 B. 60 C. 80 D. 100 【答案】B 【解析】 【分析】先令结合系数和为729求出，再写出展开式的通项公式，令，解出，即可求得常数项. 【详解】由展开式中所有项的系数之和为729得，所以，所以该展开式的通项公式为 ，令得，常数项为． 故选：B 4. 设，函数与在上的值域相同，则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据可知，对和的取值范围进行分类讨论，分别求出函数与在上的值域，根据可知值域相等的几种情况，进而求解. 【详解】由指数函数在R上单调递增，可知当时，， ∴，. 当时，，故函数在上的值域为； 当时，，故函数在上的值域为； 当时，，， 若，即时，故函数在上的值域为； 若，即时，故函数在上的值域为. 同理可知：当时，函数在上的值域为； 当时，函数在上的值域为； 当时，故函数在上的值域为； 当时，故函数在上的值域为. ，则，， ∴或或或， 即，故. 故选：D. 5. 甲、乙两位老师带领六位同学分别去、两所学校参加交流活动，甲、乙老师将去往不同的学校，甲老师的队伍中至少需要有两位学生，乙老师的队伍中至少需要有三位学生，且所有学生均参与活动，则不同的参会方案的种数为（ ） A. 50 B. 60 C. 70 D. 80 【答案】C 【解析】 【分析】分两种情况，求出每种情况下的方案数相加可得结果. 【详解】甲老师的队伍有3位学生，乙老师的队伍有3位学生的情况有种， 甲老师的队伍有2位学生，乙老师的队伍有4位学生的情况有种情况， 故不同的参会方案的种数为. 故选：C 6. 已知函数，若存在常数，使得函数为偶函数，则可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出的解析式，得和都是偶函数，然后根据偶函数的定义分析求解. 【详解】由， 得是偶函数， 因为不可能是奇函数， 所以和都是偶函数， 为偶函数，则，即， 为偶函数，则，， ，，结合选项，只有时，. 故选：C. 7. 已知在中，，，的角平分线与的外接圆相交于点，，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以为坐标原点，为轴，为轴建系，确定的外接圆方程，结合的角平分线方程，求得的坐标，即可求解. 【详解】 以为坐标原点，为轴，为轴建系， 设，则 则中点坐标为， 因为，， 所以的外接圆即为以中点为圆心，半径为1的圆， 方程为：， 由的角平分线的平分线方程为：， 两方程联立可得：， 解得或， 所以的坐标为， 又， 所以， 即，结合， 可得：， 即， 故选：A 8. 世纪以来，人工智能迅猛发展，在人工智能算法中，精确率、召回率、卡帕（）系数是衡量算法性能的重要指标在对某型号扫雷机器人的测试中，记表示事件“选择的位点实际有雷”，表示事件“选择的位点检测到有雷”，定义：精确率，召回率，卡帕系数，其中，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用并事件概率公式及条件概率公式进行化简即可求解. 【详解】由已知得：， 根据， 所以有， 则上式又可化为： ， 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9. 已知随机变量满足，其中，,则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的性质，结合和的含义，逐项分析判断，即可得到答案. 【详解】由随机变量满足， 对于A中，由正态分布曲线的性质，可得， 若，可得，所以A正确； 对于B中，由正态分布曲线的性质，可得， 当时，和的大小关系不能确定，所以B错误； 对于C中，由正态分布曲线的性质，可得， 若，可得，所以C正确； 对于D中，由，可得，且， 根据方差的性质，可得随机变量的的分布更集中，随机变量的分布离散， 所以，所以D正确. 故选：ACD. 10. 设函数，则（ ） A. 是偶函数 B. 的最小正周期为 C. 的值域为 D. 在单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A选项，利用奇偶性的定义进行判断即可； 对于B选项，利用周期性的定义进行判断即可； 对于C选项，首先证明函数的周期为，然后分与两种情况分别讨论函数的值域，进而进行判断选项的正误即可； 对于D选项，当可得，进而判断函数的单调区间即可. 【详解】对于A选项，已知且定义域为， 由于， 得是偶函数，故A选项正确； 对于B选项，， 得的最小正周期不是，故B选项错误； 对于C选项，由于， 得的周期为， 当时，， 由于，得，故 当时，， 由于，得，故. 综上所述可得的值域为，故C选项正确； 对于D选项，当时，， 由于，得，根据余弦函数性质可知在是单调递增. 故D选项正确. 故选：ACD 11. 投掷一枚均匀的骰子次，记录每次骰子出现的点数.根据部分统计结果，可以推断出点数至少被投掷出过次的是（ ） A. 第25百分位数为2，极差为4 B. 平均数为3.5，第75百分位数为3.5 C. 平均数为3，方差为3 D. 众数为4，平均数为4.75 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，可采用特值法；对于B，根据平均数和百分位数，即可判断，对于C, 可采用特值法；对于D，可假设这8个数没有6点，根据题设推出矛盾，即可判断. 【详解】不妨设，则 对于A，这8个数可以是，故不一定出现点数6，故A错误； 对于B，因为平均数为3,5，所以, 又第75百分位数为3.5，所以，∴， 当，即，， 此时， 所以，且，， 所以，所以.所以一定出现点数6, 故B正确； 对于C,这8个数可以是， ,， 故不一定出现点数6，故C错误； 对于D, 因为平均数为，所以, 又众数为4，假设这8个数没有6点，则和最大的情况为，和题设矛盾，故一定出现点数6，故D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 若双曲线的两条渐近线之间的夹角为，则__________ 【答案】或 【解析】 【分析】求出双曲线的渐近线方程，由条件列方程求. 【详解】因为双曲线的方程为，所以， 所以双曲线的渐近线方程为， 又双曲线的两条渐近线之间的夹角为， 所以的倾斜角为或 所以，或 所以，或 故答案为：或 13. 已知，且，记随机变量X为x，y，z中的最小值，则________． 【答案】 【解析】 【分析】求出X可能取值为1和2，分别求出事件总情况及与的情况，求出相应的概率，求出期望，利用计算出答案. 【详解】因为，所以随机变量X可能取值为1和2， 用隔板法可求得：事件总情况为种， 时，分两种情况： ①三个数中只有一个1，有种； ②三个数中有两个1，有种， 所以时，， 时，也分两种情况： ①三个数中只有一个2，有种； ②三个数中有两个2，有种， 所以是，， 所以， ， 故答案为：． 14. 已知圆：（）与曲线：有且仅有个公共点，则__________ 【答案】 【解析】 【分析】除原点外，与还有1个公共点，，求导，利用导数几何意义得到切线方程，利用点到直线距离公式得到方程，结合，求出的值. 【详解】的圆心为，半径为， 显然在圆上，且在上， 显然除原点外，与还有1个公共点，， 则与在处有相同的切线， ，故过点的切线斜率为， 切线方程为，即， 则到的距离为， 所以， 又，解得，故， . 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分 15. 甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，经过大数据分析，每局比赛甲获胜的概率约为，乙获胜的概率约为 （1）若比赛为三局两胜制，设比赛结束时比赛场次为，求的分布列与数学期望； （2）若比赛为五局三胜制，在已知甲最终获胜的条件下，求进行了局比赛的概率 【答案】（1）分布列见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）可取2,3，按独立事件概率求解，写出分布列，可求数学期望； （2）分别求出“甲最终获胜”和“甲经历5局获胜”的概率，再按条件概率求解即可. 【小问1详解】 所有可能的取值为，， ，， 所以的分布列为： 2 3 则. 【小问2详解】 设事件“甲最终获胜”，事件“共进行了场比赛”， 则， ，故. 16. 如图,在四棱锥中,底面是边长为1的菱形,,底面,,为的中点． （Ⅰ）求异面直线AB与MD所成角的大小； （Ⅱ）求点B到平面OCD的距离． 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） 【解析】 【分析】（Ⅰ）由可知或其补角即为异面直线与所成的角.作于连接,则在中即可求解.(分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系,写出各个点的坐标,由向量运算可求解) （Ⅱ）点A和点B到平面OCD的距离相等. 连接OP,过点A作于点Q, 利用等体积法求点A到平面OCD的距离即可.（求得平面OCD的法向量，利用距离公式求解即可） 【详解】方法一:（综合法） （Ⅰ）为异面直线与所成的角（或其补角） 作于连接,如下图所示: 平面，则,,, 则平面，平面， ,,则, , 所以, 所以与所成角的大小为 （Ⅱ）平面，所以点A和点B到平面OCD的距离相等, 连接OP,过点A作于点Q,由（Ⅰ）知平面 平面，，又， , 平面,线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离 , 所以点B到平面OCD的距离为 方法二:(向量法) 作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系,如下图所示: （Ⅰ）设与所成的角为, 与所成角的大小为 （Ⅱ） 设平面OCD的法向量为,则 即,取,解得 设点B到平面OCD的距离为,则为在向量上的投影的绝对值 所以点B到平面OCD的距离为 17. 设抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于两点、，记的中点为，的中垂线与轴相交于点，已知直线平行于轴． （1）求的取值范围； （2）记的面积为，的面积为，证明：； （3）当时，求的值 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】(1)利用抛物线方程，可设出两点的坐标，利用平行关系，可得，再利用中垂线方程，最后结合基本不等式即可求出的范围； (2)利用三角形的面积公式分别求出和，再利用作商的方法即可证明和的大小； (3)根据已知条件及(1)，(2)将中的值都用表示出来，最后化简求值即可. 【小问1详解】 因为抛物线的方程为，所以焦点， 设，， 因为为的中点，则， 因为直线平行于轴，所以，即， 由题意可知，直线是直线的中垂线，则， 又，所以， 因为，所以直线的方程为，即， 所以将点代入直线方程得， ，化简得， 因为，且，所以， 解得，所以的取值范围是； 【小问2详解】 由题意可知，， ， 由(1)知，， 所以 ， ， 由(1)知，所以，所以，得证； 【小问3详解】 易知， ，， 因为，，所以， 由(2)可知， 因为， 所以， 即， 即，解得. 18. 已知函数， （1）当时，求的对称中心； （2）证明：有唯一零点 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）设对称中心为，利用中心对称则公式即可求对称中心； （2）由得到，设，求出的单调性，结合零点存在定理即可判断. 【小问1详解】 当时，， 设的对称中心为， 则， 所以， 整理得， 所以，解得， 所以的对称中心为 【小问2详解】 由于，所以等价于， 设，则， 仅当时，因此在单调递增， 即至多有一个零点，从而至多有一个零点 又因为，， 故在内存在零点， 综上所述，可知有唯一零点 19. 某电子器件由若干个相同的电子模块构成，每个电子模块由4个电子元件按如图所示方式联接，其中每个电子元件导通的概率均为0.9. （1）求每个电子模块导通的概率（保留两位有效数字）； （2）已知某电子器件由20个相同的电子模块构成，系统内不同电子模块彼此独立，是否导通互不影响，当且仅当电子器件中不低于50%的电子模块处于导通状态时，电子器件才能正常工作.若在该电子器件中再添加两个相同的电子模块，试判断新电子器件较原电子器件正常工作的概率是增加还是减小？请说明理由. 【答案】（1）0.8 （2）增大，理由见解析 【解析】 【分析】（1）电子模块导通，根据各电子元件导通情况列算式计算； （2）分别计算新电子器件和原电子器件正常工作的概率，作差比较大小. 【小问1详解】 该电子模块导通即电子1、4必须导通且电子2、3至少要有一个导通， 所以. 【小问2详解】 设为原电子器件中导通的子模块的个数，， 则新电子器件正常工作即原电子器件中至少有11个电子模块导通； 或者原电子器件中恰有10个电子模块导通，且新加入的两个模块至少有一个导通； 或者原电子器件中恰有9个模块导通，且新加入的两个模块导通. 设事件“原电子器件中至少有10个电子模块导通”， 则， 事件“原电子器件中恰有10个模块导通，且新加入的模块至少有一个模块导通”， 则； 事件“原电子器件恰有9个模块导通，且新加入的模块两个都导通”， 则， 则 ， 又∵， ∴ ， 所以再添加个电子模块，新电子器件较原电子器件正常工作的概率增大. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 杭州第四中学高二年级数学强化试题 2025.3.7 满分150分，考试时间120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1. 向量与之间的夹角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数是关于的二次方程的一个解，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 3. 已知的展开式中所有项的系数之和为729，则该展开式中常数项为（ ） A. 40 B. 60 C. 80 D. 100 4. 设，函数与在上值域相同，则（ ） A 0 B. C. D. 5. 甲、乙两位老师带领六位同学分别去、两所学校参加交流活动，甲、乙老师将去往不同的学校，甲老师的队伍中至少需要有两位学生，乙老师的队伍中至少需要有三位学生，且所有学生均参与活动，则不同的参会方案的种数为（ ） A. 50 B. 60 C. 70 D. 80 6. 已知函数，若存在常数，使得函数为偶函数，则可以为（ ） A. B. C. D. 7. 已知在中，，，的角平分线与的外接圆相交于点，，则（ ） A. 1 B. C. D. 8. 世纪以来，人工智能迅猛发展，在人工智能算法中，精确率、召回率、卡帕（）系数是衡量算法性能的重要指标在对某型号扫雷机器人的测试中，记表示事件“选择的位点实际有雷”，表示事件“选择的位点检测到有雷”，定义：精确率，召回率，卡帕系数，其中，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9. 已知随机变量满足，其中，,则下列命题正确的是（ ） A 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 设函数，则（ ） A. 是偶函数 B. 最小正周期为 C. 的值域为 D. 在单调递增 11. 投掷一枚均匀的骰子次，记录每次骰子出现的点数.根据部分统计结果，可以推断出点数至少被投掷出过次的是（ ） A. 第25百分位数为2，极差为4 B. 平均数为3.5，第75百分位数为3.5 C. 平均数为3，方差为3 D. 众数为4，平均数为4.75 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 若双曲线的两条渐近线之间的夹角为，则__________ 13. 已知，且，记随机变量X为x，y，z中的最小值，则________． 14. 已知圆：（）与曲线：有且仅有个公共点，则__________ 四、解答题：本题共5小题，共77分 15. 甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，经过大数据分析，每局比赛甲获胜的概率约为，乙获胜的概率约为 （1）若比赛为三局两胜制，设比赛结束时比赛场次为，求的分布列与数学期望； （2）若比赛为五局三胜制，在已知甲最终获胜条件下，求进行了局比赛的概率 16. 如图,在四棱锥中,底面是边长为1的菱形,,底面,,为的中点． （Ⅰ）求异面直线AB与MD所成角的大小； （Ⅱ）求点B到平面OCD的距离． 17. 设抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于两点、，记的中点为，的中垂线与轴相交于点，已知直线平行于轴． （1）求的取值范围； （2）记的面积为，的面积为，证明：； （3）当时，求的值 18. 已知函数， （1）当时，求的对称中心； （2）证明：有唯一零点 19. 某电子器件由若干个相同的电子模块构成，每个电子模块由4个电子元件按如图所示方式联接，其中每个电子元件导通的概率均为0.9. （1）求每个电子模块导通的概率（保留两位有效数字）； （2）已知某电子器件由20个相同的电子模块构成，系统内不同电子模块彼此独立，是否导通互不影响，当且仅当电子器件中不低于50%的电子模块处于导通状态时，电子器件才能正常工作.若在该电子器件中再添加两个相同的电子模块，试判断新电子器件较原电子器件正常工作的概率是增加还是减小？请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$