2025届上海市黄浦区高考二模数学试卷

2025年上海市黄浦区二模数学试卷 （完卷时间：120分钟 满分：150分） 2025年4月 考生注意： 1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效； 2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚； 3．本试卷共21道试题． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分．其中第1~6题每题满分4分，第7~12题每题满分5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果． 1．设，不等式的解集为_____________． 2．设，集合，，若，则_____________． 3．抛物线的焦点到其顶点的距离为_____________． 4．在△中，若，，，则_____________． 5．为虚数单位，若复数满足且，则_____________． 6．函数的最大值是_____________． 7．已知等比数列为严格增数列，其前项和为，若，，则该数列的公比为_____________． ( 第 9 题 )8．已知为常数，圆（）与圆有公共点，当取到最小值时，的值为_____________． 9．某商场要悬挂一个棱长为2米的正方体物件作为装饰，如图，、 、、为该正方体的顶点，、、为三根直绳索，且均垂直于屋顶所在平面．若平面与平面平行，且点到的距离为2米，则直绳索的长度约为_____________米．（结果精确到0.01米） 10．若从2025的所有正约数中任取一个数，则这个数是一个完全平方数的概率为_____________． 11．设为等差数列，其前项和为，若，则满足的正整数 _____________． 12．设、为常数，，若对任意的，函数在区间 上恰有4个零点，则的取值范围是_____________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分．其中第13-14题每题满分4分，第15-16题每题满分5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分． 13．如果两种证券在一段时间内收益数据的相关系数为0.8，那么表明（ ）． A．两种证券的收益有反向变动的倾向 B．两种证券的收益有同向变动的倾向 C．两种证券的收益之间存在完全反向的联动关系，即涨或跌是相反的 D．两种证券的收益之间存在完全同向的联动关系，即同时涨或同时跌 ( 第 14 题 )14．如图，在平行六面体中，设，，若、、组成空间向量的一个基，则可以是（ ）． A． B． C． D． 15．设，随机变量取值、、、的概率均为0.25，随机变量取值、、、的概率也均为0.25，随机变量取值、、、的概率也均为0.25．若记、分别为、的方差，则（ ）． A． B． C． D．与的大小关系与、、、的取值有关 16．给定四面体．平面满足：①、、、四个点均不在平面上，也不在的同侧；②若平面与四面体的棱有公共点，则该公共点一定是此棱的中点或两个三等分点之一．设、、、四个点到平面的距离分别为（），那么的所有不同值的个数组成的集合为（ ）． A． B． C． D． 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 已知． （1）若，求的值； （2）是否存在实数，使函数是奇函数？请说明理由． 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 在四面体中，，． （1）若△为正三角形，平面平面，求四面体体积； （2）若，，求二面角的大小． 19．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 一盒子中有大小与质地均相同的20个小球，其中白球（）个，其余为黑球． （1）当盒中的白球数时，从盒中不放回地随机取两次，每次取一个球，用表示事件“第一次取到白球”，用表示事件“第二次取到白球”，求和，并判断事件与是否相互独立； （2）某同学要策划一个抽奖活动，参与者从盒中一次性随机取10个球，若其中恰有3个白球，则获奖，否则不获奖，要使参与者获奖的可能性最大、最小，该同学应该分别如何放置白球的数量？ 20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 椭圆：（）的左、右焦点分别为、，过点的直线与交于点． （1）若，点的坐标为，求点到直线的距离； （2）当时，求满足的点的个数； （3）设直线与的另一个交点为，（），点的横坐标为，若的离心率，求的取值范围． 21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 设是的一个非空子集，函数的定义域为，若在上不是单调函数，且存在常数，使得对任意的成立，则称函数具有性质H，称为该函数的一个下界． （1）设，，判断函数，是否具有性质H； （2）设为常数，，，当且仅当满足什么条件时，函数，具有性质H，且是该函数的一个下界； （3）设，，，若函数，具有性质H，求的取值范围；当在上述范围内变化时，若总是该函数的下界，求的取值范围． 高三数学试卷 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年上海市黄浦区二模数学试卷 一、填空题 1． 2． 2 3． 4． 5． 6． 2 7． 4 8． 1 9． 3.15 10． 11． 15 12． 二、选择题 13．B 14．B 15．A 16．B 三、解答题 17．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 解（1）由题设，，即， 解得，负值舍．因此． （2）函数的定义域为． 记． 若是奇函数，则，即，解得． 当时，，其定义域为． 对任意给定的，都有，并且． 因此，当时，函数是奇函数． 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 解 取中点，连接、． （1）由题设，得，又平面平面，故平面． 在等腰Rt△中，，． 四面体体积． （2）由题设，得，，故为二面角的平面角． 在等腰△中，． 在△中，． 因此二面角的大小为． 19．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 解（1）由题设，． ，，，故． 因为，所以事件与不相互独立． （2）从盒子中一次性随机取10个球，设其中恰有3个白球的概率为（）． 由，得（）． 当时，；当时，． 故当时，取到最大值． 又，，且，当时，取到最小值． 因此，当该同学放置6个白球时，参与者获奖的可能性最大；当该同学放置13个白球时，参与者获奖的可能性最小． 20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分 解（1）由题意，直线的方程为． 因此，点到直线的距离． （2）设点的坐标为． 由，得． 由方程组（*）消，得． 由，得，进而，即． 当时，，，满足的点的个数为两个； 当时，，有两解，方程组（*）有四组不同的解，即满足的点有四个． （3）设点的纵坐标为，点的坐标为． 由，得，． 代入方程，得．（*） 由点在上，得，进而． 代入（*）式，结合离心率，化简得． 由，得． 因此的取值范围是． 21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分 解（1）当时，函数的值域为． 因为不存在常数，使得对任意的成立，所以函数，不具有性质H． （2）对求导，得． 令，得，，此函数有两个驻点． 当时，，函数严格增；当时，，函数严格减；当时，，函数严格增． 函数在处取到极大值，在处取到极小值． 令，得为该方程的另一解． ①当时，，此时的取值范围是，不满足是该函数的一个下界； ②当时，，此时该函数具有性质H，且是该函数的一个下界； ③当时，函数在上严格增，不具有性质H． 综上，当且仅当时，函数，具有性质H，且是该函数的一个下界． （3）对求导，得． 当时，，函数在上严格增，不具有性质H． 因此，当且仅当时，函数，具有性质H． 于是对任意的及任意的成立． 令，其中． 因为当时，，所以函数严格减，当时，函数取到最小值． 于是对任意的成立． 令，求导，得，令，得为该函数的一个驻点． 当时，，函数严格减；当时，，函数严格增． 该函数在处取到极小值． 因此的取值范围是． 4 学科网（北京）股份有限公司 $$