专题06 因数与倍数（考点聚焦+重点速记+典例精讲+真题专练）-2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 （通用版）

2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 作者的话 小升初，是学生学习生涯中的一个重要转折点。在这个关键的阶段，数学作为小学阶段的核心学科之一，对学生的升学有着举足轻重的影响。《2024—2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测》正是为即将面临小升初挑战的六年级学生精心打造的一套复习宝典。 数学，是一门需要扎实的基础、敏锐的思维和熟练的解题技巧的学科。在小学六年的学习过程中，学生们积累了一定的数学知识，但小升初的数学考试要求更高，不仅考查学生对基础知识点的掌握程度，更注重对学生综合运用知识、逻辑思维能力和解决问题能力的评估。因此，系统而有效的专项复习显得尤为重要。 本套资料“讲练测”一体化的设计，具有独特的优势和精心的编排。 “讲”部分，犹如一位知识渊博的导师，对小学数学的各个知识板块进行了深入浅出的讲解。从数与代数中的整数、小数、分数的认识、运算，到方程、比和比例的运用；从图形与几何里的平面图形的周长、面积计算，到立体图形的表面积、体积求解；从统计与概率中的数据收集与分析，到事件发生的可能性探讨等，每个知识点都进行了详细的剖析。教师在讲解过程中，注重联系实际生活，让学生们能够深切感受到数学就在身边，激发他们对数学的学习兴趣。同时，针对每个知识点中的重点和难点，通过列举典型例题的方式，引导学生们逐步掌握解题思路和方法，做到举一反三。 “练”部分则像是为学生们准备的实战演练场。精心挑选的练习题覆盖了各种题型，包括选择题、填空题、计算题、应用题等。这些练习题由易到难，层次分明，既能让基础薄弱的学生巩固所学知识，查漏补缺；又能让基础较好的学生得到进一步的提升，挑战更高的要求。练习题紧密结合小升初考试的命题趋势，让学生们在练习过程中熟悉考试题型和命题规律，提升答题速度和准确率。 “测”部分，如同一次次的模拟考试。阶段性的测试题可以让学生们及时检测自己的学习成果，了解自己在复习过程中的优势和不足。通过模拟考试，学生们能够逐渐适应考试的氛围和节奏，克服紧张情绪，增强自信心。而且，每一个测试题都配有详细的答案解析，无论是对是错，学生们都能从中发现自己的问题所在，从而有针对性地进行改进。 在备战小升初的数学复习之路上，本套资料将陪伴着学生们走好每一步。它既是一套知识梳理的工具，又是一把提高成绩的钥匙，更是一位相伴学生成长的良师益友。希望同学们能够充分利用这套资料，在2024—2025学年的小升初数学复习过程中取得优异的成绩，顺利迈向理想中学的大门。 2025年4月 2024-2025学年六年级备战小升初数学专项复习讲练测 专题06 因数与倍数 （考点聚焦+重点速记+典例精讲+真题专练） 目录 第一部分考点聚焦 4 第二部分重点速记 4 一、因数与倍数的意义。 4 二、找一个数的因数的方法。 4 三、找一个数的倍数的方法。 5 四、2，3，5的倍数的特征。 5 五、奇数和偶数。 5 六、质数、合数与分解质因数。 5 七、公因数和最大公因数。 5 八、公倍数和最小公倍数。 5 九、有特殊关系的两个数的最大公因数和最小公倍数。 6 第三部分典例精讲 6 【考点一】因数和倍数的认识 6 【考点二】找一个数的因数的方法 8 【考点三】找一个数的倍数的方法 9 【考点四】2、3、5的倍数的特征 11 【考点五】奇数和偶数的认识 13 【考点六】质数与合数的认识 15 【考点七】分解质因数 16 【考点八】奇偶性 19 【考点九】最大公因数和最小公倍数 22 【考点十】运用最大公因数解决问题 25 【考点十一】运用最小公倍数解决问题 27 第四部分真题专练 29 第一部分考点聚焦 第二部分重点速记 一、因数与倍数的意义。 1、在整数除法中，如果商是整數而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。 二、找一个数的因数的方法。 方法一：列除法算式。用这个数作被除数变换除数（非零自然数），所得的商是整数且没有余数时，这些除数和商就是这个数的因数。 方法二：列乘法算式。把这个数尽可能多地写成两个整数相乘的形式，这些整数就是这个数的因数。 三、找一个数的倍数的方法。 方法一：列除法算式。能被这个数整除的数就是这个数的倍数。 方法二：列乘法算式。用这个数依次与非零自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 四、2，3，5的倍数的特征。 1、2的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8。 2、3的倍数的特征：各个数位上数字的和是3的倍数。 3、5的倍数的特征：个位上是0或5。 五、奇数和偶数。 1、在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 2、最小的奇数是1，最小的偶数是0，没有最大的奇数和偶数。 3、奇偶性的判断。 奇数±偶数=奇数 奇数x偶数=偶数 奇数±奇数=偶数 奇数x奇数=奇数 偶数±偶数=偶数 偶数x偶数=偶数 六、质数、合数与分解质因数。 1、质数：一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（素数）。 2、合数：一个数，如果除了1和它本身外还有其他的因数，这样的数叫做合数。 3、质因数：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数都叫做这个合数的质因数。 4、分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 5、互质数：只有公因数1的两个数叫做互质数。 七、公因数和最大公因数。 1、公因数和最大公因数：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。其中最大的一个公因数叫做这几个数的最大公因数。 2、求两个数的最大公因数的方法。 列举法、短除法和分解质因数法是求两个数的最大公因数的三种常用方法。 八、公倍数和最小公倍数。 1、公倍数和最小公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。其中最小的一个公倍数叫做这几个数的最小公倍数。 2、求两个数的最小公倍数的方法。 列举法、短除法和分解质因数法是求两个数的最小公倍数的三种常用方法。 九、有特殊关系的两个数的最大公因数和最小公倍数。 1、如果两个数中较小数是较大数的因数，即两个数成倍数关系，那么较小数就是这两个数的最大公因数，较大数就是这两个数的最小公倍数。 2、如果两个数是互质数，那么它们的最大公因数是1，最小公倍数是这两个数的积。 第三部分典例精讲 【考点一】因数和倍数的认识 【典例一】某班学生人数在40人到50人之间，男生人数和女生人数的比是5∶6，这个班有男生（ ）人。 【答案】20 【分析】把男生人数看作5份，女生人数看作6份，则全班人数看作11份，则全班人数是11的倍数，某班学生人数在40人到50人之间，则全班人数是44人，据此解答即可。 【解答】全班人数是44人 44÷（5＋6）×5 ＝4×5 ＝20（人） 【点评】本题考查按比分配，解答本题的关键是掌握按比分配的解题方法。 【典例二】一个三位数是3的倍数，去掉它的个位数字后，所得的两位数是17的倍数，这个三位数最大是（ ）。 【答案】858 【分析】根据题意可知，在17的倍数中，‌最大的两位数是17×5＝85。然后需要找到一个三位数，‌其个位数字去掉后能得到85，‌并且这个三位数还需要是3的倍数。‌考虑到3的倍数的特性，‌我们需要找到一个数字加到85上使其成为3的倍数。‌通过尝试不同的个位数字，‌发现‌当个位数字为8时，‌整个三位数858是3的倍数，‌因为8＋5＋8＝21，‌而21是3的倍数。‌据此解答即可。 【解答】由分析可得，一个三位数是3的倍数，去掉它的个位数字后，所得的两位数是17的倍数，这个三位数最大是858。 【典例三】若A的最大因数是13，B的最小倍数是1，那么A＋B的和的所有因数有（ ）个，A－B的差的所有因数有（ ）个。 【答案】4 6 【分析】已知A的最大因数是13，根据“一个数的最大因数是它本身”，可知A是13； 已知B的最小倍数是1，根据“一个数的最小倍数是它本身”，可知B是1； 然后分别求出A＋B的和、A－B的差，再写出和、差的所有因数，数出个数即可。 【解答】A＝13，B＝1； A＋B＝13＋1＝14 14的因数有：1，2，7，14；有4个； A－B＝13－1＝12 12的因数有：1，2，3，4，6，12；有6个。 那么A＋B的和的所有因数有4个，A－B的差的所有因数有6个。 【典例四】在数字卡片2、49、51、1、17、4、24、12中，摸到质数的可能性是（ ），摸到24的因数的可能性是（ ），选出4个数组成一个比例是（ ）。 【答案】 24∶2＝12∶1 【分析】质数指的是只有1和它本身两个因数的自然数； 数字卡片中的质数有：2和17； 合数指的是除了1和它本身之外还有其他的因数的自然数； 1既不是质数也不是合数； 24的因数有：1，2，3，4，6，8，12，24； 两个比的比值相等，用等号连接组成的式子就是比例。 【解答】质数有2和17，所以摸到的质数可能是2和17， 因此摸到的可能性是； （2）24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6 数字卡中24的因数有：1，2，4，12，24, 所以摸到24的因数可能性是1，2，4，12，24， 所以摸到的可能性是； （3）24∶2＝12 12∶1＝12 所以组成的比例是：24∶2＝12∶1； 也可以是4∶2＝2 24∶12＝2 所以组成的比例是：4∶2＝24∶12； （答案不唯一） 【点评】考查质数合数以及因数的相关知识，要会求一个数的因数，知道质数与合数的特点，以及比例的含义。 【考点二】找一个数的因数的方法 【典例一】已知，那a的因数有（ ）个。 【答案】6 【分析】由题意可知，我们知道，所以a的因数就是2、2、3的乘积，计算出a＝2×2×3＝12，我们可以通过列乘法算式找因数：把这个数写成两个自然数相乘的形式，算式中每个自然数都是该数的因数，据此解答即可。 【解答】 ＝4×3 ＝12 12＝1×12＝2×6＝3×4 12的因数有1、2、3、4、6、12 共6个。 所以，a的因数有6个。 【典例二】有一把玩具密码锁，密码是一个两位数，它既是9的倍数，又是18的因数，这把密码锁的密码是（ ）。 【答案】18 【分析】根据求一个数倍数的方法，先找出9的几个倍数；再根据求一个数因数的方法，找出18的所有因数；进而确定符合题意的数得解。 【解答】9×1＝9、9×2＝18、9×9＝27、9×4＝36，所以9的倍数有：9、18、27、36、… 1×18＝18、2×9＝18、3×6＝18，所以18的因数有：1、2、3、6、9、18。 所以一个数既是9的倍数，又是18的因数的两位数是18。 【典例三】一个数比20小，既是3的倍数又是15的因数，这个数可能是（ ）。 【答案】3或15 【分析】求一个数的因数时，就用这个数从1开始去整除，一直除到除数和商交换位置或除数和商相同为止，除数和商都是被除数的因数，重复的因数只写一个；求一个数的倍数时，用这个数乘1、2、3…所得的积就是这个数的倍数，求出20以内3的倍数和15的因数即可求得。 【解答】3×1＝3 3×2＝6 3×3＝9 3×4＝12 3×5＝15 3×6＝18 20以内3的倍数：3、6、9、12、15、18。 15÷1＝15 15÷3＝5 15的因数有：1、3、5、15。 所以，一个数比20小，既是3的倍数又是15的因数，这个数可能是3或15。 【典例四】一个数既是35的因数，又是5的倍数，这个数可能是（ ）或（ ）。 【答案】5 35 【分析】根据题意，先找出35的所有因数，再从中找出5的倍数即可。 列乘法算式找35的因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是35的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是35的因数。 5的倍数的特征：个位上的数字是0或5。 【解答】通过分析可得： 35＝1×35＝5×7，则35的因数有1、5、7、35； 5的倍数有：5、10、15、20、25、30、35…。 则这个数可能是5或35。 【考点三】找一个数的倍数的方法 【典例一】一个数既是36的因数，又是6的倍数，而且比6大，比36小。这个数可能是（ ）。 【答案】12或18 【分析】先根据乘法算式找出36的因数，再在所有的因数找找出6的倍数，最后找出比6大，比36小的数即可。 【解答】36的因数：1、2、3、4、6、9、12、18、36； 其中6的倍数：6、12、18、36； 其中比6大，比36小的数：12、18； 这个数可能是12或18。 【典例二】学校舞蹈队人数在60~70人之间，男生人数是女生人数的，女生人数比男生多，女生有（    ）人。 【答案】；40 【分析】根据题意，男生人数是女生人数的，即把学校舞蹈队人数分成3＋5＝8份，其中男生人数占其中的3份，女生人数占其中的5份；求女生人数比男生人数多几分之几，用男生人数份数与女生人数份数的差，除以男生人数的份数，即可；舞蹈队人数分成8份，也就是说舞蹈队人数是8的倍数；先写出8的倍数，就看得出在60~70之间的8的倍数，也就是舞蹈队的人数，再用舞蹈队人数÷总份数，求出1份是多少，进而求出女生人数。 【解答】男生人数是女生人数的可知， 总人数是3＋5＝8（份） 男生占其中的3份，女生占其中的5份。 （5－3）÷3 ＝2÷3 ＝ 8的倍数有：8，16，24，32，40，48，56，64，72… 又因为学校舞蹈队人数在60~70人之间； 那么舞蹈队人数是64人。 64÷8×5 ＝8×5 ＝40（人） 学校舞蹈队人数在60~70人之间，男生人数是女生人数的，女生人数比男生多，女生有40人。 【典例三】为了培养学生的节约意识，锻炼社会实践能力，学校举办了“跳蚤市场”活动。同学们把家里闲置的旧书和旧玩具等用品带来售卖。 【答案】42 【分析】列乘法算式找倍数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出这个数与非0自然数的乘法算式，乘法算式中的积就是这个数的倍数。 据此求出50以内14的倍数，50以内最大的倍数就是女孩收入的钱数。 【解答】14×1＝14（元） 14×2＝28（元） 14×3＝42（元） 14×4＝56（元） 50以内14的倍数有：14、28、42 女孩收入的钱数是42元。 【典例四】在1～200的整数中，是3的倍数或4的倍数的数一共有（ ）个。 【答案】100 【分析】分别计算出3的倍数有多少个、4的倍数有多少个，再减去重复计算的数（3和4的公倍数），即可得解。 【解答】（个）……2，即在1～200的整数中，3的倍数有66个； （个），即在1～200的整数中，4的倍数有50个；    （个）……8，即在1～200的整数中，12的倍数有16个； （个） 在1～200的整数中，是3的倍数或4的倍数的数一共有100个。 【点评】此题考查了倍数的知识及集合问题，要熟练掌握找一个数的倍数的方法。 【考点四】2、3、5的倍数的特征 【典例一】一个四位数“7□6□”能同时被2、3、5整除，个位只能填（ ），百位上最大能填（ ）。 【答案】0 8 【分析】同时是2、3、5倍数的倍数特征：个位数字是0，各个数位上数字相加的和是3的倍数，所以这个四位数的个位数字只能是0，再从最大的一位数判断这个数各个数位上的数字之和是否为3的倍数，据此解答。 【解答】分析可知，这个四位数的个位只能填0。 当百位数字为9时，7＋9＋6＋0＝22，22不是3的倍数； 当百位数字为8时，7＋8＋6＋0＝21，21是3的倍数。 所以，一个四位数“7□6□”能同时被2、3、5整除，个位只能填0，百位上最大能填8。 【典例二】从0，3，5，7这四个数字中任选3个数，排成能同时被2、3、5整除的三位数，这个三位数可以是（ ）。 【答案】570/750 【分析】根据2的倍数特征：末尾是0、2、4、6、8的数是2的倍数；3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数，则这个数就是3的倍数；5的倍数特征：末尾是0、5的数是5的倍数；由于要同时被2、3、5整除，这个三位数的末尾必须是0，同时另外两位数字之和是3的倍数才行，据此即可填空。 【解答】由分析可知： 3＋5＝8，8不是3的倍数； 3＋7＝10，10不是3的倍数； 5＋7＝12，12是3的倍数； 即这个三位数可以是570或者是750。 【典例三】“7■24★”是一个五位数，它同时是2、3、5的倍数，那么★所代表的数字是 ，■所代表的数字最小是 。 【答案】0 2 【分析】2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数。 5的倍数特征：个位上是0或5的数。 2、5的倍数特征：个位上是0的数。 3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【解答】“7■24★”是2、5的倍数，那么★一定是0； 7＋■＋2＋4＋0＝13＋■ 要使这个五位数是3的倍数，各个数位上的和应是： 13＋2＝15，13＋5＝18，13＋8＝21； ■可以是2、5、8，其中2最小。 “7■24★”是一个五位数，它同时是2、3、5的倍数，那么★所代表的数字是0，■所代表的数字最小是2。 【典例四】亮亮在登录某软件时需要验证码，由于手机屏幕有损坏，其中有两位看不清。已知5□2□既是3的倍数，又含有因数5，则这个四位数最大可能是（ ）。 【答案】5925 【分析】已知5□2□既是3的倍数，又含有因数5，那么这个数的个位一定是0或5，且各位数字之和是3的倍数。要求这四位数最大，所以百位上的数字为9，据此解答。 【解答】因为这个四位数最大，所以百位上是9。又因为个位一定是0或5，且各位数字之和是3的倍数。 当个位是0时，数字和为16，不是3的倍数，不满足条件。 当个位是5时，数字和为21，是3的倍数，所以这个最大的四位数是5925。 【考点五】奇数和偶数的认识 【典例一】有3个连续奇数，中间一个奇数是，这3个数的和是（ ）。这3个数的平均数是（ ）。 【答案】3 【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。连续奇数的特点，两个相邻的奇数相差2。 已知3个连续奇数的中间一个奇数是，用中间的奇数分别减2、加2，求出相邻的另外两个奇数。这3个连续奇数相加，求出它们的和；用它们的和除以3，求出这3个数的平均数。 【解答】这3个连续奇数分别是（－2）、、（＋2）。 这3个数的和： （－2）＋＋（＋2） ＝－2＋＋＋2 ＝3 平均数：3÷3＝ 这3个数的和是3，这3个数的平均数是。 【典例二】“哥德巴赫猜想”认为，所有大于2的偶数，都可以表示为两个质数的和。请你将50写成两个质数的和：50＝（ ）＋（ ）。 【答案】3 47 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 【解答】50以内的质数有：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47； 其中3＋47＝50，7＋43＝50，13＋37＝50，19＋31＝50。 填空如下： 将50写成两个质数的和：50＝（3）＋（47）。 （答案不唯一） 【典例三】三张卡片上分别写着3，4，7，用其中任意两张组成两位数。如果组成的两位数是偶数，则明明赢；如果组成的两位数是奇数，则丽丽赢。（ ）赢的可能性较大。 【答案】丽丽 【分析】当个位是4时，组成两位数是偶数，当个位是3或7时，组成两位数是奇数。可能性大小的判断，从两位数的个数上分析。个数多，赢的可能性就大，个数少，赢的可能性就小。据此解答。 【解答】偶数有34、74一共2个，奇数有43、73、47、37一共有4个。因此丽丽赢的可能性较大。 【典例四】在两位数中，能被3整除的最大偶数是（ ），同时能被3和5整除的最小奇数是（ ）。 【答案】96 15 【分析】3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 5的倍数特征：个位上是0或5的数。 整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 【解答】9＋6＝15，能被3整除； 1＋5＝6，能被3整除； 在两位数中，能被3整除的最大偶数是（96），同时能被3和5整除的最小奇数是（15）。 【考点六】质数与合数的认识 【典例一】一个八位数，最高位上是最小的合数，万位上是最大的一位数，千位上是6，其余各位都是0，这个数写（ ），读作（ ）。 【答案】40096000 四千零九万六千 【分析】合数是因数除了1和它本身两个因数还有其它的因数，最小的合数是4； 只有个位一个数位的数是一位数，最大的一位数是9； 根据数位写出这个数。读数时，把数先分级，从高位读起，亿级或万级的数按照个级的读法去读，再在每级的末尾加一个“亿”或“万”字，每级末尾的0都不读，每一级的开头或中间无论有几个0，都读一个0。 【解答】千万位是4，万位是9，千位是6，其他数位是0 则这个数写作：40096000，读作：四千零九万六千。 【典例二】我国汉族人口的数量截止到2024年是个十位数，最高位上的数既不是质数也不是合数，亿位上的数是最小的质数，千万位上是最大的偶数，百万位上的数是最小的合数，千位上是能同时被2和3整除的一位数，个位上是最大的一位数，其余各位上都是最小的自然数，这个数是 。保留整数约是 亿。 【答案】1284006009 13 【分析】根据质数、合数、偶数的认识，这个十位数，最高位上的数既不是质数也不是合数是1，亿位上的数是最小的质数是2，千万位上是最大的偶数是8，百万位上的数是最小的合数是4，千位上是能同时时被2和3整除的一位数（即2和3的最小公倍数）是6，个位上是最大的一位数是9，其余各位上都是最小的自然数，所以这个数是1284006009。 结合用“四舍五入”求大数近似数的方法，省略“亿”后面的尾数就是四舍五入到亿位，就是把亿位后的千万位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上“亿”字，据此解答即可。 【解答】根据分析可得： 这个数是1284006009。保留整数约是13亿。 【典例三】一个九位数，最高位上是最大的一位数，十万位上是最小的质数，万位上是最小的合数，其余数位上都是0，这个数写作（ ），省略亿位后面的尾数约是（ ）亿。 【答案】900240000 9 【分析】最大的一位数是9，最小的质数是2，最小的合数是4。 由题意可知，这个数的亿位上是9，十万位上是2，万位上是4，其它数位上用“0”占位；省略“亿”位后面的尾数就是四舍五入到亿位，看千万位的大小，再进行四舍五入，最后在数的末尾写上“亿”字，据此解答。 【解答】900240000≈9亿 一个九位数，最高位上是最大的一位数，十万位上是最小的质数，万位上是最小的合数，其余数位上都是0，这个数写作900240000，省略亿位后面的尾数约是9亿。 【典例四】一个数的百位上是最小的质数，十分位上是最小的合数，百分位、千分位上是最大的一位数，其余各位上都是0。这个数写作（ ），精确到0.01是（ ）。 【答案】200.499 200.50 【分析】最小的质数是2，即百位上是2，最小的合数是4，即十分位上是4，最大的一位数是9，即百分位和千分位上是9，其余数位是0，写上0即可，据此写出这个数；精确到0.01就是保留两位小数，看千分位上的数进行四舍五入，据此求出即可。 【解答】一个数的百位上是最小的质数，十分位上是最小的合数，百分位、千分位上是最大的一位数，其余各位上都是0。这个数写作200.499，精确到0.01是200.50。 【考点七】分解质因数 【典例一】甲、乙玩抽扑克游戏，现有1～9的扑克各若干张，甲、乙两人分别从中取出5张，然后计算五张扑克上数字的乘积，最后发现乘积一样，都为1764，并且甲取的扑克数字之和比乙取的扑克数字之和大4，那么甲、乙扑克数字之和分别为 。 【答案】28、24 【分析】将1764分解质因数，求和，找出符合甲取的扑克数字之和比乙取的扑克数字之和大4的数。 【解答】 ① 此时和为： ② 此时和为： ③ 此时和为： ④ 此时和为： ⑤ 此时和为： 因为甲取的扑克数字之和比乙取的扑克数字之和大4，所以符合题意的是24和28。 即甲取得扑克数字之和为28，乙取得扑克数字之和为24。 所以甲、乙扑克数字之和分别为28、24。 【点评】考查数字问题。根据数的特征，进行分解质因数，分析每组数字的组合情况，然后求出每组的和即可。 【典例二】小军用计算器算得两个整数的积是385，但是忘记了这两个数，只记得它们都是两位数，都小于50，这两个数是（ ）和（ ）。 【答案】11 35 【分析】将385分解质因数，再确定两个都小于50的因数即可。把一个合数分解成若干个质因数的乘积的形式，即求质因数的过程叫做分解质因数。分解质因数通常用短除法，通常从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止。 【解答】 385＝5×7×11 5×7＝35 这两个数是11和35。 【典例三】有四个数相乘975×935×972×口，要使它的积最后4个数都是0，则口里最小应填（ ）。 【答案】20 【分析】一个数末尾要有0，那它必须能被10整除。因为2×5＝10，10×10×10×10＝10000，要使它的积最后4个数都是0，那么积分解质因数后就一定要有4个2和4个5。因此先将975、935、972分别分解质因数，看它们的质因数中一共有几个2和5，还少几个，还少的这几个2和5的乘积就是口的值。 【解答】975＝5×5×3×13 935＝5×11×17 972＝2×2×3×3×3×3×3 口＝5×2×2＝20。 口里最小应填20。 【典例四】一个长方体中相邻两个面的面积分别是15cm2，21cm2，这个长方体（长、宽、高都是质数）的表面积是（ ）cm2，体积是（ ）cm3。 【答案】142 105 【分析】长方体相对的面面积相等，其中前或后面的面积＝长×高，上、下面的面积＝长×宽，左或右面的面积＝宽×高。这个长方体的长、宽、高都是质数，且相邻两个面的面积分别是15cm2、21cm2，那么把15和21分别分解质因数，从而确定长方体的长、宽、高，再根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可。 【解答】15＝5×3 21＝7×3 则这个长方体的长、宽、高分别是7cm、5cm、3cm。 表面积：（7×5＋7×3＋5×3）×2 ＝（35＋21＋15）×2 ＝71×2 ＝142（cm2） 体积：7×5×3＝105（cm3） 则这个长方体的表面积是142cm2，体积是105cm3。 【考点八】奇偶性 【典例一】“”的和是（ ）数（填“奇”或“偶”），这9个数的平均数是（ ）。 【答案】奇 39 【分析】偶数个奇数相加得偶数；奇数个奇数相加得奇数，奇数＋偶数＝奇数；再根据平均数＝总数÷数据个数，代入数据计算即可。 【解答】一共是有奇数5个，偶数有4个；5个奇数的和奇数；4个偶数的和是偶数，5个奇数和＋4个偶数和＝奇数； 所以的和是奇数。 （）÷9 ＝（71＋37＋38＋39＋40＋41＋42＋43）÷9 ＝（108＋38＋39＋40＋41＋42＋43）÷9 ＝（146＋39＋40＋41＋42＋43）÷9 ＝（185＋40＋41＋42＋43）÷9 ＝（225＋41＋42＋43）÷9 ＝（266＋42＋43）÷9 ＝（308＋43）÷9 ＝351÷9 ＝39 “”的和是奇数，这9个数的平均数是39。 【典例二】小明把6个数分别写在三张卡片的正面和反面，每个面上写一个数，每张卡片上的2个数的和相等，然后他将卡片放在桌子上，发现正面上写着28、40、49，反面上的数都只能被1和它自己整除。那么反面上的三个数的平均数是（ ）。 【答案】12 【分析】分析题目，28、40、49的奇偶情况是：偶数、偶数、奇数；如果和是偶数，则反面上的三个数的奇偶情况是偶数、偶数、奇数；和是奇数，则反面上的三个数的奇偶情况是奇数、奇数、偶数。反面上的数都只能被1和它自己整除，是质数，而在质数中，只有2是偶数，所以反面上的三个数的奇偶情况只能是奇数、奇数、偶数，则49的背面是2，正反面之和是49＋2＝51，据此可知反面其他两个数分别为51－28和51－40，据此求出反面三个数的和再除以3即可求出它们的平均数。 【解答】因为28、40、49奇偶性不一样，根据卡片正反面上两个数字和相等，所以49的背面是2，和为49＋2＝51。 [（51－28）＋（51－40）＋2]÷3 ＝[23＋11＋2]÷3 ＝36÷3 ＝12 小明把6个数分别写在三张卡片的正面和反面，每个面上写一个数，每张卡片上的2个数的和相等，然后他将卡片放在桌子上，发现正面上写着28、40、49，反面上的数都只能被1和它自己整除。那么反面上的三个数的平均数是12。 【典例三】兰兰将99颗珠子装入两种盒子中，每个大盒子能装12颗，每个小盒子能装5颗，恰好装满若干个盒子。已知盒子数大于10，则大盒子有 个。 【答案】2 【分析】设大盒有x个，小盒有y个，其中x和y都是整数，x＋y＞10。根据大盒装珠子的数量＋小盒装珠子的数量＝99颗，列出等式：12x＋5y＝99。99是奇数，奇数＋偶数＝奇数，12x肯定是偶数，5y只能是奇数。则y的取值应该是奇数，对y的取值分类讨论，得出x的值，x＝（99-5y）÷12，再得出x＋y的值，看是否符合题意。 【解答】当y＝1时， 99－5×1 ＝99－5 ＝94（个） 94不能被12整除，不符合题意； 当y＝3时， 99－5×3 ＝99－15 ＝84（个） 84÷12＝7（个） 3＋7＝10（个）， 不符合题意； 当y＝5时， 99－5×5 ＝99－25 ＝74（个） 74不能被12整除，不符合题意； 当y＝7时， 99－5×7 ＝99－35 ＝64（个） 64不能被12整除，不符合题意； 当y＝9时， 99－5×9 ＝99－45 ＝54（个） 54不能被12整除，不符合题意； 当y＝11时， 99－5×11 ＝99－55 ＝44（个） 44不能被12整除，不符合题意； 当y＝13时， 99－5×13 ＝99－65 ＝34（个） 34不能被12整除，不符合题意； 当y＝15时， 99－5×15 ＝99－75 ＝24（个） 24÷12＝2（个） 15＋2＝17（个），17＞10，符合题意； 则大盒子有2个。 【点评】本题关键是明确小盒子个数是奇数。 【典例四】六年（2）班有53名学生，参加下午课后延时服务的同学有A名。如果A是奇数，那么没有参加下午课后延时服务的同学人数是（ ）。（填“奇数”或“偶数”） 【答案】偶数 【分析】奇数＋偶数＝奇数，因为53是奇数、A是奇数，那么没有参加下午课后延时服务的同学人数是偶数。 【解答】六年（2）班有53名学生，参加下午课后延时服务的同学有A名。如果A是奇数，那么没有参加下午课后延时服务的同学人数是偶数。 【考点九】最大公因数和最小公倍数 【典例一】求下列各组数的最大公因数和最小公倍数。 24和16    11和7    12和51 【答案】8，48；1，77；3，204 【分析】利用分解质因数法，把每组数中的合数分解成几个质因数乘积的形式，两个数的公有质因数的乘积就是这两个数的最大公因数，最大公因数和独有质因数的乘积，就是这两个数的最小公倍数。求每组数的最大公因数和最小公倍数即可；互质的两个数的最大公因数是1，最小公倍数是这两个数的乘积。 【解答】24和16 24＝2×2×2×3 16＝2×2×2×2 24和16的最大公因数是：2×2×2＝8，最小公倍数是：8×2×3＝48。 11和7 11和7互质，所以11和7的最大公因数是：1，最小公倍数是：11×7＝77。 12和51 12＝2×2×3 51＝3×17 12和51的最大公因数是：3，最小公倍数是：3×2×2×17＝204。 【典例二】分别求出下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 11和7             18和6            8 和12           9和21 【答案】11和7的最大公因数是1；最小公倍数是77； 18和6的最大公因数是6；最小公倍数是18； 8和12的最大公因数是4；最小公倍数是24； 9和21的最大公因数是3；最小公倍数是63 【分析】当两个数是互质数时，它们的最大公因数是1，最小公倍数是两数的乘积； 当两个数是倍数关系时，它们的最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数； 分解质因数是把合数分解成若干个质因数相乘的形式。 两个或两个以上的合数分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是最大公因数；把公有的质因数与每个数独有质因数乘起来，就是最小公倍数。 【解答】（1）11和7是互质数； 11和7的最大公因数是1； 11和7的最小公倍数是11×7＝77； （2）18和6是倍数关系； 18和6的最大公因数是6； 18和6的最小公倍数是18； （3）8＝2×2×2 12＝2×2×3 8和12的最大公因数是2×2＝4； 8和12的最小公倍数是2×2×2×3＝24； （4）9＝3×3 21＝3×7 9和21的最大公因数是3； 9和21的最小公倍数是3×3×7＝63。 【典例三】求下面每组数的最大公因数。 36和10       13和23      84和56      25和75 【答案】2；1；28；25 【分析】用分解质因数的方法求两个数的最大公因数，先把每个数分别分解质因数，再把两个数中的全部公有质因数提取出来连乘，所得的积就是这两个数的最大公因数； 互质的两个数，最大公因数是1； 存在倍数关系的两个数，较小数是它们的最大公因数，据此解答。 【解答】（1）36＝2×2×3×3， 10＝2×5， 36和10的最大公因数是2。 （2）13和23是互质数，13和23的最大公因数是1。 （3）84＝2×2×3×7， 56＝2×2×2×7， 84和56的最大公因数是2×2×7＝28。 （4）75÷25＝3，25和75的最大公因数是25。 【典例四】找出每组数的最小公倍数。 （1）4和6        （2）12和14        （3）11和1        （4）32和16 【答案】（1）12；（2）84 （3）11；（4）32 【分析】全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。两数互质，最小公倍数是两数的积；两数成倍数关系，最小公倍数是较大数，据此分析。 【解答】（1）4＝2×2、6＝2×3，2×2×3＝12 4和6的最小公倍数是12。 （2）12＝2×2×3、14＝2×7，2×2×3×7＝84 12和14的最小公倍数是84。 （3）11和1互质，11×1＝11 11和1的最小公倍数是11。 （4）32÷16＝2 32和16的最小公倍数是32。 【考点十】运用最大公因数解决问题 【典例一】有85个橘子和51个苹果。如果要把这些水果分装在塑料袋中，要求每个塑料袋中两种水果都有，并且同种水果个数相同，最多要准备多少个塑料袋？每个塑料袋中有几个橘子、几个苹果？ 【答案】17个塑料袋；5个橘子；3个苹果 【分析】根据题意，把85个橘子和51个苹果分装在塑料袋中，要求每个塑料袋中两种水果都有，并且同种水果个数相同，则塑料袋的数量是85和51的公因数；求最多要准备多少个塑料袋，就是求85和51的最大公因数； 先把85和51分解质因数后，把它们公有的相同质因数乘起来就是最大公因数，也就是最多要准备塑料袋的数量。再看橘子、苹果里分别有几个这样的最大公因数，即可求出每个塑料袋中有橘子、苹果的个数。 【解答】85＝5×17 51＝3×17 85和51的最大公因数是17； 即最多要准备17个塑料袋。 橘子：85÷17＝5（个） 苹果：51÷17＝3（个） 答：最多要准备17个塑料袋，每个塑料袋中有5个橘子、3个苹果。 【典例二】将一张长32厘米、宽24厘米的长方形纸，剪成同样大小、边长为整厘米数的正方形，且没有剩余，有多少种不同的剪法？正方形的边长最大是多少厘米？（在图中画一画） 【答案】4种；8厘米 【分析】把一张长方形纸剪成同样的正方形且没有剩余，说明正方形的边长是长、宽的公因数；先列举出32和24的所有因数，从中找出两个数公有的因数，也就是正方形可能的边长，进而得出有几种不同的剪法，其中最大的公因数就是正方形最大的边长。 【解答】32的因数：1，2，4，8，16，32； 24的因数：1，2，3，4，6，8，12，24； 32和24的公因数：1，2，4，8； 即正方形的边长可能是1厘米、2厘米、4厘米、8厘米，所以有4种不同的剪法。 32和24的最大公因数是8，则正方形的边长最大是8厘米。 如图： 答：有4种不同的剪法，正方形的边长最大是8厘米。 【典例三】端午节是我国的传统节日，被列入国家级非物质文化遗产名录。在端午节，红红和奶奶包了45个红枣粽和37个肉粽，并把它们分别分给了几个亲戚，结果红枣粽正好分完，肉粽还剩1个。红红和奶奶把粽子最多平均分给了几个亲戚？ 【答案】9个 【分析】根据题意可知，几个亲戚实际分了45个红枣粽和37－1＝36（个）肉粽，求最多平均分给几个亲戚，也就是求45和36的最大公因数，据此即可解答。 【解答】37－1＝36（个） 45＝3×3×5 36＝2×2×3×3 所以45和36的最大公因数是：3×3＝9，即最多平均分给9个亲戚。 答：红红和奶奶把粽子最多平均分给了9个亲戚。 【典例四】随着造纸工艺的进步，纸的用途也越来越多。王师傅要用正方形壁纸贴满一面背景墙（使用的壁纸必须都是整块），背景墙长40分米，高24分米，王师傅可以把壁纸裁剪成边长是几分米的正方形？边长最大是几分米？ 【答案】边长是1分米、2分米、4分米或8分米的正方形；边长最大是8分米 【分析】要使用边长是整分米的正方形壁纸贴满一面背景墙，则需要求出背景墙长、宽的公因数，运用求一个数的因数方法分别求出40和24的因数，再找出它们的公因数，其中最大公因数即为壁纸最大的边长。 【解答】40＝1×40＝2×20＝4×10＝5×8 24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6 40和24的公因数有1，2，4，8，最大公因数为8。 答：王师傅可以把壁纸裁剪成边长是1分米、2分米、4分米或8分米的正方形；边长最大是8分米。 【考点十一】运用最小公倍数解决问题 【典例一】士兵们在操练，韩信前来点兵。他发现每行6人，最后一行缺1人；每行4人或5人，最后一行也都缺1人。算一算，这批士兵至少有多少人？ 【答案】59人 【分析】根据题意可知，这批士兵人数是6的倍数加上1人；4的倍数加上1人；5的倍数加上1人，也就是6，4，5最小公倍数减去1，根据求最小公倍数的方法：几个数的共有质因数与每一个数独有质因数的连乘积；如果这几个数是倍数关系，最小公倍数为较大的那个数；如果这几个数是互质数，最小公倍数为几个数的连乘积，据此解答。 【解答】6＝2×3 4＝2×2 5＝1×5 6，4，5的最小公倍数是3×2×2×5＝60。 60－1＝59（人） 答：这批士兵至少有59人。 【典例二】小红家有一些鸡蛋，5个5个地数，6个6个地数都多出了2个，已知这些鸡蛋总数在80到100个之间。你能算出小红家有多少个鸡蛋吗？ 【答案】92个 【分析】根据题意，一些鸡蛋，5个5个地数，6个6个地数都多出了2个，说明这些鸡蛋的总个数比5和6的公倍数还多2； 先求出5和6的最小公倍数，再找出在80到100之间的公倍数，最后再加上2个，即是这些鸡蛋的总个数。 【解答】5和6的最小公倍数是：5×6＝30 30在80到100之间的公倍数是：30×3＝90 90＋2＝92（个） 答：小红家有92个鸡蛋。 【典例三】一个老人临终留了17匹马给3个儿子，说老大分得二分之一，老二分得三分之一，老三分得九分之一，不许杀死马。如何分？ 【答案】老大9匹；老二6匹；老三2匹 【分析】根据题意，17匹马给3个儿子，老大分得，老二分得，老三分得，因为不许杀死马，每人分到马的数量应是整数；但17不能被2、3、9整除，必须把马的总数调整成一个能被2、3、9整除的数；考虑2、3、9的最小公倍数是18，先按18匹马计算，根据求一个数的几分之几是多少，用18×、18×、18×分别求出3个儿子分得的匹数，相加是17匹，正好将马分完。 【解答】 2、3、9的最小公倍数是3×2×3＝18 按18匹马进行计算： 老大分得了：18×＝9（匹） 老二分得了：18×＝6（匹） 老三分得了：18×＝2（匹） 9＋6＋2＝17（匹） 这样正好将马分完。 答：最后老大分得了9匹，老二分得了6匹，老三分得了2匹。 【典例四】早上5时40分1路公交车和2路公交车同时发车，1路车每隔8分发一辆车，2路车每隔12分发一辆车，这两路车几时几分第二次同时发车？（先填表再回答） 1路公交车 5时40分 5时48分 2路公交车 5时40分 【答案】5时56分；6时4分；6时12分 5时52分；6时4分；6时16分；6时28分 6时4分 【分析】1路车，每向后发一辆车，用上一辆车的发车时刻加上8分钟； 2路车，每向后发一辆车，用上一辆车的发车时刻加上12分钟； 据此把表格补充完整。 已知1路车每隔8分发一辆车，2路车每隔12分发一辆车，求第二次两车同时发车时刻，就是求8和12的最小公倍数，再用第一次两路车同时发车时刻加上最小公倍数，即可求解。 【解答】1路公交车： 5时48分＋8分＝5时56分 5时56分＋8分＝6时4分 6时4分＋8分＝6时12分 2路公交车： 5时40分＋12分＝5时52分 5时52分＋12分＝6时4分 6时4分＋12分＝6时16分 6时16分＋12分＝6时28分 填表如下： 1路公交车 5时40分 5时48分 5时56分 6时4分 6时12分 2路公交车 5时40分 5时52分 6时4分 6时16分 6时28分 8＝2×2×2 12＝2×2×3 8和12的最小公倍数：2×2×2×3＝24 即每隔24分两路车就同时发车。 5时40＋24分＝6时4分 答：这两路车6时4分第二次同时发车。 第四部分真题专练 一、填空题 1．m和n是非0的自然数，如果m÷n＝2，那么m和n的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。 2．“是不是所有大于2的偶数，都可以表示为两个质数的和呢？”这是德国数学家哥德巴赫最先提出的问题。这一著名的数学难题被称为“数学皇冠上的明珠”。请你写出一组这样的式子：（ ）。 3．某校六年级同学要植一些树（不超过100棵）。如果每行植6棵，最后一行缺1棵；如果每行植5棵或4棵，最后一行也都缺1棵。这批树苗有（ ）棵。 4．一筐苹果，3个3个拿、4个4个拿、5个5个拿都正好拿完且没有剩余，这筐苹果最少有（ ）个。 5．学校组织六年级学生开展学雷锋活动。每3人为一组，余1人；每6人为一组，余1人；每7人为一组，少6人。六年级至少有（ ）名学生。 6．如果m÷n＝z（m、n、z均为整数，且n≠0），那么m和n最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。 7．一个九位数，它的最高位上是最小的质数，百位上是最大的一位数，千位上是最小的合数，十位上是既不是质数也不是合数的数，其余各位上都是0，这个数写作（ ），省略亿位后面的尾数约是（ ）亿。 8．有两根木料，一根长12米，另一根长18米，现在要把它们截成长度相等的若干小段，每段不能有剩余，每小段最长（ ）米，两根木料一共可以截成（ ）段。 9．用96朵康乃馨和72朵粉百合做成花束，每束花里的康乃馨朵数相同，粉百合朵数也相同，每束花里至少有（ ）朵花。 10．的分数单位是（ ），再加上（ ）个这样的分数单位就是最小的质数。 二、选择题 11．一袋糖，4颗4颗地分、5颗5颗地分、6颗6颗地分，都正好分完而没有剩余，这袋糖最少有（    ）颗。 A．30 B．60 C．120 D．240 12．把分别写有1、2、3…9的9张数字卡片反扣在桌面，打乱顺序后，任意摸出1张，摸到（    ）的可能性最大。 A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数 13．六（2）班的同学有的人喜欢踢足球，还有的人喜欢打篮球，六（2）班至少有（    ）人。 A．90 B．75 C．60 D．45 14．下面4个数都是四位数，T是比10小的自然数，M是0，下面4个数一定既是3的倍数又是5的倍数的数是（    ）。 A． B． C． D． 15．把分别写有1、2、3、4、5、6、7、8、9的数字卡片反扣在桌面上，打乱顺序后任意摸一张，摸到（    ）的可能性最大。 A．奇数 B．偶数 C．质数 16．赵伟家的客厅长6米，宽4.8米。计划在地面上铺方砖，要求都用整块的方砖，且正好铺满，需要（    ）。 A．50厘米 B．60厘米 C．80厘米 D．100厘米 17．6的因数有1，2，3，6，这几个因数的关系是：1＋2＋3＝6，像6这样，等于除了它自身以外的全部因数之和的数，叫作完全数。下面的数中，（    ）是完全数。 A．8 B．28 C．36 D．49 18．从1，2，3，4，5，6，7这7张数字卡片中任意抽取一张，抽到（    ）的可能性最小。 A．质数 B．合数 C．奇数 D．偶数 19．用2、4、5三个数字组成没有重复数字的三位数，这个三位数是（    ）的可能性最大。 A．质数 B．质因数 C．奇数 D．偶数 20．数学上把相差2的两个质数叫“孪生质数”，如5和7都是质数，且5和7相差2，那么5和7就是一对孪生质数。下列（    ）是孪生质数。 A．2和3 B．9和11 C．13和15 D．17和19 三、计算题 21．直接写出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 〔7，10〕＝       〔24，4〕＝         〔12，15〕＝         （8，12）＝        （75，15）＝          （20，21）＝ 22．用短除法分解质因数。 42                87                     152 四、解答题 23．将分别标有1、2、3、4、5的五个小球放在一个袋子里，从袋子里任意摸出一个球。 （1）摸出球上的数是奇数的可能性大，还是偶数的可能性大？ （2）摸出球上的数大于3与小于3的可能性相比，结果怎样？ 24．有一张长方形纸板，长80厘米，宽60厘米，如果要剪成若干同样大小的正方形而没有剩余，剪出小正方形的边长最大是多少厘米？可以剪多少个这样的小正方形？ 25．李叔叔的密码锁由三位数字组成，李叔叔设计的密码的第一个数字是最小的质数，第二个数字是最大的一位数，三个数字相乘的积是90，这个密码是什么？ 26．一堆糖果，如果平均分给4个小朋友，剩下3块；如果平均分给5个小朋友，缺1块；如果平均分给6个小朋友，也缺1块。这堆糖果至少有多少块？ 27．乐乐和明明在玩“青蛙跳跃”游戏，乐乐的“青蛙”每次跳10厘米，明明的“青蛙”每次跳15厘米，两人的“青蛙”同时从起点开始跳，每两次跳跃间隔时间相同。在游戏中，每隔12厘米有一个陷阱，当第一只“青蛙”掉进陷阱时，另一只“青蛙”与最近的陷阱的距离是多少厘米？ 28．李奶奶家的养鸡场今天捡了一些鸡蛋。2个2个地数，刚好数完；3个3个地数，也刚好数完；5个5个地数，同样也正好数完。听李奶奶说这些鸡蛋不到50个，你知道李奶奶家一共有多少个鸡蛋吗？ 29．北街小学五年级学生参加学校举行的“庆六一”合唱比赛。老师在排队时发现了一个有趣的现象，如果每排12人，多了1人；如果每排16人，还是多了1人。至少有多少人参加合唱比赛？ 30．春节期间市政工程队给东湖路的一侧挂彩带（两端都挂），每5米挂一条彩带，共挂了25条。现在为了节约用电，改为每6米挂一条彩带。除两端的彩带不移动以外，还有多少条彩带不必移动？ 31．张老师买回一条22米长的红彩带和一条20米长的黄彩带，把它们裁成同样长的小段，结果红彩带剩余1米，黄彩带剩余2米，所裁成的小段最长是多少米？各能裁成多少段长度相等的小段？ 32．小明、小红和小刚三人的年龄正好是三个连续的偶数，他们的年龄总和是48岁，他们中最小的是多少岁？最大的是多少岁？ 33．一个长方形的硬纸板长是48厘米，宽是36厘米。如果将这个长方形硬纸板分割成最大的正方形而且没有剩余。能分割多少个相同的正方形？ 34．三个同学商议暑期去图书馆借书。小明说：“我每4天就去一次”，小华说：“我每6天去一次”，小红说：“我每8天才能去一次。”如果三人7月5日上午9点同时去图书馆借书，那么下一次他们三人会在几月几日上午9点同时在图书馆相遇？ 35．甲、乙两人玩游戏，游戏规则如下：每人从下面3张卡片中任选2张，如果积是2的倍数，甲获胜；如果积是3的倍数，乙获胜；如果积既是2的倍数又是3的倍数就重来。你认为这个游戏公平吗？为什么？ 参考答案 1．【分析】根据题意，如果m÷n＝2，说明m和n是倍数关系，且m＞n；根据“当两个数是倍数关系时，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数”进行解答； 【解答】m和n是非0的自然数，如果m÷n＝2，那么m和n的最大公因数是（n），最小公倍数是（m）。 2．【分析】一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数。在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数。根据质数和偶数的定义，写出符合要求的式子即可。 【解答】36＝7＋29 36是大于2的偶数，7和29是质数。（答案不唯一） 【点评】本题考查对质数和偶数的认识，要熟练掌握。 3．【分析】由于每行植6棵或者5棵或者4棵，最后一行都缺少1棵，如果再多加1棵数，那么这些树的数量正好是6的倍数，5的倍数，4的倍数，说明这些树的数量是6、5、4的公倍数，求出它们的公倍数之后，找出它们在100以内的公倍数，再减1即可。 【解答】由分析可知： 6＝2×3 4＝2×2 6、5、4的最小公倍数是：2×2×3×5＝60 由于总数量比100少。 60－1＝59（棵） 这批树苗有59棵。 【点评】本题主要考查最小公倍数的求法，熟练掌握最小公倍数的求法是解题的关键。 4．【分析】求这筐苹果最少有多少个，即求3、4、5的最小公倍数；三个数互质时的最小公倍数的方法：三个数两两互质，这三个数的最小公倍数，即这三个数的乘积。因为3、4、5两两互质，所以它们三个数的最小公倍数就是它们的乘积。 【解答】3×4×5＝60（个） 这筐苹果最少有60个。 【点评】此题考查了最小公倍数的灵活应用，掌握相应的方法是解答本题的关键。 5．【分析】“每3人为一组，余1人；每6人为一组，余1人；每7人为一组，少6人”，可知六年级共有的最少人数是比3、6和7的最小公倍数多1的数，进而求出3、7和6的最小公倍数，再加1得解。 【解答】3、7和6的最小公倍数是：6×7＝42 42＋1＝43（名） 六年级至少有43名学生。 6．【分析】已知m÷n＝z（m、n、z均为整数，且n≠0），也就是m是n的倍数。当两个数是倍数关系时，其中较大的数是这两个数的最小公倍数，较小的数是这两个数的最大公因数。据此解答即可。 【解答】如果m÷n＝z（m、n、z均为整数，且n≠0），那么m和n最大公因数是n，最小公倍数是m。 7．【分析】一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数。一个数除了1和它本身两个因数，还有其他的因数，这个数叫做合数（讨论因数、倍数、质数、合数时一般不包括0）。最小的质数是2，最小的合数是4，既不是质数也不是合数的数是1；最大的一位数是9；据此可写出对应的数；省略“亿”后面的尾数就是四舍五入到亿位，就是看亿位后的千万位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上“亿”字，据此写出。 【解答】根据分析可知，最高位上是2，百位上是9，千位上是4，十位上是1，其余各位上都是0，这个数写作200004910； 200004910≈2亿 省略亿位后面的尾数约是2亿。 8．【分析】根据题意，把两根长12米、18米的木料截成长度相等的若干小段，每段不能有剩余，那么每小段的长度是12和18的公因数；求每小段最长的长度，就是求12和18的最大公因数； 先把12和18分解质因数，再把公有的相同质因数乘起来就是它们的最大公因数； 再看12、18里面分别有几个这样的最大公因数，最后相加，即是一共可以截成几段。 【解答】12＝2×2×3 18＝2×3×3 12和18的最大公因数是：2×3＝6 即每小段最长是6米。 18÷6＋12÷6 ＝3＋2 ＝5（段） 每小段最长6米，两根木料一共可以截成5段。 9．【分析】若每个花束的康乃馨和粉百合花的朵数相同，说明康乃馨和粉百合花都是等分的，而且分的份数相同，要使每束花里花朵数最少，只要求出96和72的最大公因数，即可获得花束数，花的总数96＋72除以花束数，就得到每个花束里至少有多少朵花。 【解答】96＝2×2×2×2×2×3 72＝2×2×2×3×3 96和72的最大公因数：2×2×2×3＝24 96÷24＋72÷24 ＝4＋3 ＝7（朵） 每束花里至少有7朵花。 10．【分析】判定一个分数的单位看分母，分母是几，分数单位就是几分之一；最小的质数是2，用2减去原分数求出差，再看有几个这样的分数单位即可。 【解答】的分数单位是，最小的质数是2。 ，里有10个。 因此的分数单位是，再加上10个这样的分数单位就是最小的质数。 11．【分析】根据题意，一袋糖，4颗4颗地分、5颗5颗地分、6颗6颗地分，都正好分完而没有剩余，说明这袋糖最少的颗数是4、5、6的最小公倍数，据此解答。 【解答】 4、5、6的最小公倍数是2×2×3×5＝60 即这袋糖最少有60颗。 故答案为：B 12．【分析】质数有2、3、5、7，共4个；合数有4、6、8、9，共4个，奇数有1、3、5、7、9，共5个，奇数的个数多于质数和合数，所以摸到奇数的可能性大，据此解答即可。 【解答】由分析可得：把分别写有1、2、3…9的9张数字卡片反扣在桌面，打乱顺序后，任意摸出1张，摸到奇数的可能性最大。 故答案为：A 13．【分析】由题意可知，六（2）班的总人数既能平均分成9份，又能平均分成15份，所以总人数是9和15的最小公倍数，求出9和15的最小公倍数即可。 【解答】 9和15的最小公倍数是 所以六（2）班至少有45人。 故答案为：D 14．【分析】要判断这四个选项中的数哪个一定既是3的倍数又是5 的倍数，需要分别根据3和5的倍数特征来对每个选项进行分析。5的倍数特征是个位是0或5，3的倍数特征是一个数的各位数之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【解答】A．当T＝5时，它是5的倍数。此时这个数各位数之和为5＋5＋5＋5＝20。根据3的倍数特征，因为20÷3＝6……2，20 不能被3整除，所以 20 不是3的倍数，那么这个数不是的倍数，所以该选项不符合题意。 B．个位上是M，已知M＝0，根据5的倍数特征，个位是 0，所以它是5的倍数。再看它是否为3的倍数，这个数各位数之和为T＋0＋T＋0＝2T。只有当T是3、6、9时，2T分别为2×3＝6、2×6＝12、2×9＝18，6、12、18 是3的倍数此时这个数才是3的倍数。当T取其他值时，比如T＝1，2×1＝2，2不是3的倍数，所以它不一定是3的倍数，该选项不符合题意。 C．要成为5的倍数，个位T需为 5，此时这个数各位数之和为5＋5＋0＋5＝15。因为15÷3＝5，15 能被3整除，所以当T＝5时它是3的倍数。但当T取其他值时，比如T＝1，个位不是 5，不是 5的倍数，所以它不一定既是3的倍数又是 5的倍数，C该选项不符合题意。 D．由于M＝0，根据5的倍数特征，个位是 0，所以它是5的倍数。这个数各位数之和为T＋T＋T＋0＝3T，因为T是1、2、3、4、5、6、7、8、9中任意一个数，3T÷3＝T，3T一定能被3整除，所以它一定是3的倍数。因此它一定既是3的倍数又是5的倍数。该选项符合题意。 故答案为：D 15．【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 根据奇数、偶数、质数的意义，先确定1～9中奇数、偶数、质数的个数；再根据可能性的判定方法，比较奇数、偶数、质数的个数多少，个数最多的，摸到的可能性最大。 【解答】A．1～9中，奇数是1、3、5、7、9，有5个； B．1～9中，偶数是2、4、6、8，有4个； C．1～9中，质数是2、3、5、7，有4个； 5＞4，奇数最多； 所以，打乱顺序后任意摸一张，摸到奇数的可能性最大。 故答案为：A 16．【分析】先根据进率“1米＝100厘米”把6米换算成600厘米，4.8米换算成480厘米； 在长600厘米、宽480厘米的地面上铺方砖，要求都用整块的方砖，且正好铺满，那么方砖的边长是600和480的公因数； 先把600和480分解质因数，把公有的相同质因数乘起来即是它们的最大公因数，再列举这个最大公因数的所有因数，即是600和480的公因数，从各选项中找出哪个数是600和480的公因数，即是方砖的边长。 【解答】6米＝600厘米 4.8米＝480厘米 600＝2×2×2×3×5×5 480＝2×2×2×2×2×3×5 600和480的最大公因数是：2×2×2×3×5＝120 120的因数：1，2，3，4，5，6，8，10，12，15，20，24，30，40，60，120； A．50不是600和480的公因数，所以边长为50厘米的方砖不能正好铺满； B．60是600和480的公因数，所以边长为60厘米的方砖能正好铺满； C．80不是600和480的公因数，所以边长为80厘米的方砖不能正好铺满； D．100不是600和480的公因数，所以边长为100厘米的方砖不能正好铺满。 故答案为：B 17．【分析】由题可知，一个数等于除了它本身以外的全部因数之和的数叫作完全数，所以先分别找出每个选项中数字的除了自身以外的因数，再计算这些因数的和，看是否等于该数字的本身，从而判断哪个数是完全数，据此解答。 【解答】A．8的因数有：1、2、4、8，1＋2＋4＝7，7≠8，所以8不是完全数。 B．28的因数有：1、2、4、7、14、28，1＋2＋4＋7＋14＝28，所以28是完全数。 C．36的因数有：1、2、4、6、9、18，1＋2＋4＋6＋9＋18＝41，41≠36，所以36不是完全数。 D．49的因数有1、7、49，1＋7＝8，8≠49，所以49不是完全数。 故答案为：B 18．【分析】除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。据此确定质数、合数、奇数和偶数的个数，比较，哪种数的个数最少，抽到哪种数的可能性就最小。 【解答】质数有2，3，5，7，共4个；合数有4，6，共2个；奇数有1、3、5、7，共4个；偶数有2，4，6，共3个，2＜3＜4，最少的是合数，抽到合数的可能性最小。 故答案为：B 19．【分析】质数：一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除的数。 质因数：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。 奇数：不能被2整除的数。 偶数：能被2整除的数。 根据对质数、合数、奇数、偶数的理解，以及通过列举法分析可能性大小。 【解答】由分析可得：用2、4、5三个数字组成没有重复数字的三位数有245、254、425、452、524、542，这其中没有质数，奇数有2个，偶数有4个。 4＞2 这个三位数是偶数的可能性最大。 故答案为：D 20．【分析】一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能整除其他自然数的数， 即除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数。 一个大于1的自然数，除了1和它自身外，还能整除其他自然数的数， 即除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。 据此逐项判断即可。 【解答】A．2和3都是质数，但它们的差是1，所以2和3不是孪生质数。该选项不符合题意。 B．9和11， 9是合数，11是质数，该选项不符合题意。 C．13和15，13是质数，15是合数，该选项不符合题意。 D．17和19都是质数，它们的差是2，所以9和11是孪生质数。该选项符合题意。 故答案为：D 21．【分析】7和10互质，它们的最小公倍数是7×10＝70； 24是4的倍数，它们的最小公倍数是24； 12＝2×2×3，15＝3×5，它们的最小公倍数是2×2×5×3＝60； 8＝2×2×2，12＝2×2×3，它们的最大公因数是2×2＝4； 75是15的倍数，它们的最大公因数是15； 20和21互质，它们的最大公因数是1。 【解答】〔7，10〕＝70      〔24，4〕＝24        〔12，15〕＝60         （8，12）＝4        （75，15）＝15      （20，21）＝1 22．【分析】把一个合数用几个质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数，求一个数分解质因数，要从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止。 【解答】42＝2×3×7 87＝3×29 152＝2×2×2×19 23．【分析】（1）奇数：能被2整除的数是奇数；偶数：不能被2整除的数是偶数；即1、3、5有3个奇数；2、4有2个偶数；当数量越多的时候，可能性越大，据此即可解答； （2）大于3的数有4、5，有2种情况；小于3的数有1、2，有2种情况，都是2种情况，所以可能性相同，据此即可解答。 【解答】（1）奇数有：1、3、5；偶数有：2、4 奇数的个数3个＞偶数个数2个 答：摸出球上的数是奇数的可能性大。 （2）大于3的数：4、5；小于3的数：1、2 都有两种情况。 答：摸出球上的数大于3与小于3的可能性相同。 24．【分析】根据题意，裁成的正方形边长最大是多少，就是求80和60的最大公因数，求至少可以裁成多少个这样的正方形，用这张纸的面积除以正方形面积，由此解答即可。 【解答】80＝2×2×2×2×5，60＝2×2×3×5 80和60的最大公因数是2×2×5＝20 即裁成的小正方形的边长最大是20厘米。 （80×60）÷（20×20） ＝4800÷400 ＝12（个） 答：剪出小正方形的边长最大是20厘米，至少可以剪12个这样的小正方形。 25．【分析】质数：因数只有1和它的本身的数叫作因数，最小的质数是2；最大的一位数是9；根据三个数字的乘积是90，则第三个数字＝乘积÷第一个数÷另外一个数。 【解答】最小的质数是2，最大的一位数是9 90÷2÷9 ＝45÷9 ＝5 答：这个密码是295。 26．【分析】根据题意，平均分给4个小朋友，剩下3块，即缺1块；平均分给5个小朋友，缺1块；如果平均分给6个小朋友，也缺1块；说明这堆糖果总数至少比4、5、6的最小公倍数还少1块；先求出4、5、6的最小公倍数，再减1即可求解。 【解答】 4、5、6的最小公倍数是：2×2×5×3＝60 60－1＝59（块） 答：这堆糖果至少有59块。 27．【分析】已知明明的“青蛙”每次跳15厘米，每隔12厘米有一个陷阱，先求出15和12的最小公倍数是60，即明明的“青蛙”每跳60厘米就会掉进陷阱，再用除法求出此时明明跳了4次； 已知乐乐的“青蛙”每次跳10厘米，每隔12厘米有一个陷阱，先求出10和12的最小公倍数是60，即乐乐的“青蛙”每跳60厘米就会掉进陷阱，再用除法求出此时乐乐跳了6次； 由此确定明明的“青蛙”先掉进陷阱，明明的“青蛙”跳4次时，乐乐的“青蛙”跳了（10×4）厘米，离的最近的陷阱是第3个陷阱，离起点的距离是（12×3）厘米，用减法求出乐乐的“青蛙”离最近的陷阱的距离。 【解答】 15＝3×5 12＝2×2×3 15和12的最小公倍数是：2×2×3×5＝60 即明明的“青蛙”每跳60厘米就会掉进陷阱； 60÷15＝4（次） 即明明的“青蛙”第4次跳跃时掉进陷阱。 10＝2×5 12＝2×2×3 10和12的最小公倍数是：2×2×3×5＝60 即乐乐的“青蛙”每跳60厘米就会掉进陷阱； 60÷10＝6（次） 即乐乐的“青蛙”第6次跳跃时掉进陷阱。 4＜6 10×4－12×3 ＝40－36 ＝4（厘米） 答：另一只“青蛙”与最近的陷阱的距离是4厘米。 28．【分析】2个2个地数，刚好数完，3个3个地数，也刚好数完，5个5个地数，同样也正好数完，说明鸡蛋的数量既是2的倍数，也是3的倍数，还是5的倍数，求出2、3、5的最小公倍数，再写出其他公倍数，从中找出小于50的数即可。 【解答】2、3、5的最小公倍数是2×3×5＝30，其他公倍数还有60、90、120…，小于50的公倍数只有30； 答：李奶奶家一共有30个鸡蛋。 29．【分析】根据题意，假设当每排都是12人或16人时没有多余人数时，那么这个人数就是12和16的公倍数，要求最少多少人，算出12和16的最小公倍数后再加上1即可。据此解答。 【解答】12＝2×2×3 16＝2×2×2×2 那么12和16最小公倍数是： 2×2×3×2×2 ＝4×3×2×2 ＝12×2×2 ＝24×2 ＝48 48＋1＝49（人） 答：至少有49人参加合唱比赛。 30．【分析】因为彩带两端都挂，则彩带的条数＝间隔数＋1，一共有（25－1）个间隔，每5米挂1条，则用5×（25－1）即可求出路的总长度，也就是120米；如果改为每6米挂一条彩带，则除两端的彩带不移动以外，彩带到一端起点的距离是5和6的公倍数，也不必移动，先求除5和6的最小公倍数，再翻倍求出120以内5和6的公倍数，据此找出还有多少条彩带不必移动。 【解答】5×（25－1） ＝5×24 ＝120（米） 5和6的最小公倍数是：5×6＝30 30×2＝60 30×3＝90 30×4＝120 小于120的5和6的公倍数有30、60、90，一共3个，所以有3条彩带不用动。 答：除两端的彩带不移动以外，还有3条彩带不必移动。 【点评】本题主要考查了植树问题以及公倍数的应用，掌握植树问题的相关公式是解答本题的关键。 31．【分析】根据题意得：红彩带、黄彩带裁成相同长的小段的长度分别为21米、18米，因为裁成的小段一样长，即求这两个数的最大公因数；再运用总长÷每段长度＝段数，得出答案。 【解答】红彩带所用长度：（米）         黄彩带所用长度：（米） 21和18的最大公因数是3，也就是所裁成的小段最长是3米； 红彩带：（段） 黄彩带：（段） 答：所裁成的小段最长是3米；红彩带、黄彩带各能裁成7段、6段长度相等的小段。 【点评】本题主要考查的是最大公因数的应用，解题的关键是熟练掌握最大公因数的概念及其应用，进而得出答案。 32．【解答】48÷3＝16（岁） 16－2＝14（岁） 16＋2＝18（岁） 33．【分析】由题意可知，要分割成最大的正方形而且没有剩余，也就是正方形的边长是长方形的长和宽的最大公因数，纸没有剩余，首先求出48和36的最大公因数，长和宽分别除以它们的最大公因数，再求这两个的积就是可以裁的个数。 【解答】48＝2×2×2×2×3 36＝2×2×3×3 48和36的最大公因数是：2×2×3＝12 （48÷12）×（36÷12） ＝4×3 ＝12（个） 答：能分割12个相同的正方形。 【点评】根据本题考查求最大公因数的方法：两个数的共有质因数的连乘积是最大公因数。 34．【分析】由题意可知：小明每4天就去一次图书馆，小华每6天去一次图书馆，小红每8天去一次图书馆，要求下一次他们三人会在几月几日上午9点同时在图书馆相遇，只需求出4、6、8的最小公倍数，即为经过的天数；用7月5日加上经过的天数即为下次相遇的时间。 【解答】4＝2×2 6＝2×3 8＝2×2×2 4、6、8的最小公倍数是2×2×2×3＝24。 7月5日＋24日＝7月29日 答：那么下一次他们三人会在7月29日上午9点同时在图书馆相遇。 【点评】此题主要考查最小公倍数的求法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答。 35．【分析】判断游戏规则是否公平，主要看双方获胜的概率是否相同，先把任意两个数的积列出来，看一共有几种情况，再看2的倍数的个数和3的倍数的个数，然后比较出现的概率，如果相同则公平，如果不相同则不公平，据此解答。 【解答】1×2＝2 1×3＝3 2×3＝6 由上可知，从3张卡片中任选2张积一共有3种情况，其中2的倍数有2、6，3的倍数有3、6，积既是2的倍数又是3的倍数有6，此时需要重来，若出现需要重来的情况就重新选，直到出现只满足“2的倍数”或“3的倍数”的结果，每次不重来时，甲和乙各有1种获胜的可能，概率相等，所以游戏是公平的。 学科网（北京）股份有限公司 $$