突破设问1 切线判定&突破设问2 线段问题&突破设问3 面积问题-【一战成名新中考】2025年中考数学·纯练版总复习·二轮专题培优练

二轮专题培优练·数学 专题六　 曲线型(圆)几何综合题 专 题 六 曲 线 型 ︵ 圆 ︶ 几 何 综 合 题 突破设问 1　 切线判定 方法 1 利用“互余角”证切线 例 1　 如图,在△ABC 中,∠ABC = 90°,点 O 为 BC 上一点,以点 O 为圆心,OB 长为半径的圆交 AC 于点 D,∠A= 2∠1. 求证:AC 是☉O 的切线. 例 1 题图 【思维构建】连接 OD,证∠DOC= ∠A,∠DOC+∠C= 90°即可. 证明:如解图,连接 OD, ∵OD=OB,∴∠1=∠ODB, ∵∠A= 2∠1,∠DOC= 2∠1,∴∠A=∠DOC, ∵∠ABC= 90°,∴∠A+∠C= 90°, ∴∠DOC+∠C= 90°,∴∠CDO= 90°. ∵OD 是☉O 的半径,∴AC 是☉O 的切线. 例 2　 如图,☉O 是△ACD 的外接圆,CD 是☉O 的直径,点 B 为圆外一点,且∠BAD= ∠C. 求证:AB 是☉O 的切线. 【思维构建】连接 OA,得∠OAD= ∠ODA,根据圆周角定理的推论得∠D+∠C= 90°,利用等角转换 即可得证. 　 例 2 题图 证明:如解图,连接 OA, ∵CD 是☉O 的直径, ∴∠CAD= 90°,∴∠C+∠D= 90°, ∵OA=OD,∴∠OAD=∠D, ∵∠BAD=∠C,∴∠OAB=∠OAD+∠BAD=∠D+∠C= 90°, ∵OA 是☉O 的半径,∴AB 是☉O 的切线. 方法 2 已知“垂直”证“平行”或已知“平行”证“垂直” 例 3　 如图,AB 是☉O 的直径,点 D 为圆上一点,AC 平分∠BAD 交☉O 于点 C,过点 C 作 CP⊥AD 交 AD 延长线于点 P. 求证:PC 是☉O 的切线. 　 例 3 题图 【思维构建】连接 OC,得∠OCA= ∠OAC= ∠PAC,得 OC∥AP. 证明:如解图,连接 OC, ∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA, ∵AC 平分∠PAB,∴∠PAC=∠OAC, ∴∠PAC=∠OCA,∴OC∥AP, ∵∠P= 90°,∴∠PCO= 90°, ∵OC 是☉O 的半径,∴PC 是☉O 的切线. 33 二轮专题培优练·数学 专 题 六 曲 线 型 ︵ 圆 ︶ 几 何 综 合 题 例 4　 如图,在☉O 中,CD 是☉O 的弦,点 A 是 CD ( 的中点,过点 A 作直线 AB∥CD. 求证:AB 是☉O 的切线. 　 例 4 题图 【思维构建】连接 OA,由垂径定理得 OA⊥CD,CD∥AB,得 OA⊥AB. 证明:如解图,连接 OA, ∵点 A 是 CD ( 的中点,∴OA⊥CD, ∵AB∥CD,∴OA⊥AB, ∵OA 是☉O 的半径, 方法 3 利用“全等”证切线———常在双切线模型中使用 例 5　 如图,AB 是☉O 的直径,AD 是☉O 的切线,AC⊥OD 于点 E,交☉O 于点 C,连接 CD. 求证:CD 是☉O 的切线. 【思维构建】连接 OC,AD 是☉O 的切线→∠DAO= 90°,OD⊥AC→OD 是 AC 的垂直平分线→AD= CD,由 OA=OC,OD=OD→△AOD≌△COD→∠OCD= ∠OAD= 90°→CD 是☉O 的切线. 　 例 5 题图 证明:如解图,连接 OC, ∵AD 是☉O 的切线,∴∠DAO= 90°, ∵OD⊥AC,∴OD 是 AC 的垂直平分线,∴AD=CD, 又∵OA=OC,OD=OD,∴△AOD≌△COD(SSS),∴∠OCD=∠OAD= 90°, ∵OC 是☉O 的半径,∴CD 是☉O 的切线. 突破设问 2　 线段问题 圆中的线段问题常考求线段长和线段位置关系. ①求线段长的常用方法为相似和解直角三角形(勾股定理和锐角三角函数); ②线段位置关系常转化为角度问题去求解,平行可转化为等角问题,垂直可转化为角度互余问题. 方法 1 利用“相似”求线段长或线段间数量关系 例 1 题图 例 1　 如图,AB 为☉O 的直径,点 C 是 AD ( 的中点,过点 C 作射线 BD 的垂线, 垂足为 E. 若 BE= 3,AB= 4,则 BC 的长为　 2 3 　 . 【思维构建】连接 AC,得∠ACB= 90°,证△ACB∽△CEB 即可求出 BC 的长. 例 2　 如图,△BCD 内接于☉O,CD 是☉O 的直径,∠DBC 的角平分线交 CD 于点 E,交☉O 于点 A,连接 AC,AD. 求证:AC2 =AE·AB. 【思维构建】看到 AC2 =AE·AB,想相似,将等式变形为AC AB =AE AC ,由此可知要证△EAC∽△CAB. 　 例 2 题图 证明:∵AB 平分∠DBC,∴∠ABD=∠ABC, ∴AD=AC,∴∠ABC=∠ACE, 又∵∠EAC=∠CAB,∴△EAC∽△CAB, ∴AC AB =AE AC ,∴AC2 =AE·AB. 43 二轮专题培优练·数学 专 题 六 曲 线 型 ︵ 圆 ︶ 几 何 综 合 题 方法 2 利用“解直角三角形”求线段长 例 3　 如图,AB 是☉O 的直径,CD 是☉O 的弦,CD⊥AB 于点 H,若 AB = 10,CD = 6,则 AC 的长 为　 3 10 　 . 【思维构建】由题意可知 AC 是 Rt△ACH 的斜边,若利用勾股定理求 AC,则先要求出 CH 和 AH, 根据垂径定理可求出 CH,连接 OC,利用勾股定理求出 OH 即可. 例 3 题图 　 　 　 　 例 4 题图 例 4　 如图,在△ABC 中,AC=BC,∠ACB = 90°,☉O 经过 A,C 两点,交 AB 于点 D,连接 CD,CO 的 延长线交 AB 于点 F. 若 AC= 4,tan∠CFD= 2,则☉O 的半径为　 　 　 　 . 【思维构建】已知 tan∠CFD= 2,找∠CFD(或与∠CFD 相等的角)所在的直角三角形,图中不存 在这样的三角形,连接 OD,构造直角三角形. 接下来过点 C 作 CH⊥AB 于点 H,得等腰直角三角 形 ACH,利用等腰直角三角形的性质和勾股定理求出 CF,结合 tan∠CFD=2,列关于 OD 的方程即可. 方法 3 利用“角度”证线段位置关系 例 5　 如图,AB 是☉O 的直径,C、D 是☉O 上两点,且 BD ( =CD ( ,连接 OD,AC. 求证:AC∥OD. 【思维构建】连接 AD,根据圆周角定理和等腰三角形的性质证∠CAD= ∠ODA 即可. 　 例 5 题图 证明:如解图,连接 AD, ∵BD ( =CD ( ,∴∠CAD=∠BAD, 又∵AO=DO, ∴∠DAB=∠ADO, ∴∠CAD=∠ADO,∴AC∥OD. 例 6　 如图,AB 为半圆 O 的直径,点 F 在半圆上,点 P 在 AB 的延长线上,PC 与半圆 O 相切于点 C, 与 OF 的延长线相交于点 D,AC 与 OF 相交于点 E,DC=DE. 求证:OD⊥AB. 【思维构建】要证 OD⊥AB,就是证∠A+∠AEO = 90°. 连接 OC,可得∠OCD = 90°,只需证∠A = ∠OCA,∠DCE= ∠AEO 即可. 　 例 6 题图 证明:如解图,连接 OC, ∵PC 与半圆 O 相切于点 C,∴∠OCD= 90°, ∴∠DCE+∠ACO= 90°, ∵OA=OC,∴∠A=∠ACO, ∵DC=DE,∴∠DCE=∠DEC, ∴∠DCE=∠DEC=∠AEO, ∴∠A+∠AEO= 90°, ∴∠AOE= 90°,∴OD⊥AB. 53 二轮专题培优练·数学 专 题 六 曲 线 型 ︵ 圆 ︶ 几 何 综 合 题 突破设问 3　 面积问题 面积问题常考的两种类型: ①与圆有关的不规则图形的面积;(更多练习见一轮章节分层练 P156) ②三角形、特殊四边形面积的计算,直接利用面积公式计算即可. 阴影部 分面积 的计算 扇形的弧 长与面积 弧长公式 l= nπr 180 扇形面积公式 S= nπr2 360 = 1 2 lr ì î í ï ï ï ï ïï 其他常见 图形面积 公式 三角形:S= 1 2 ×底×底边上的高 平行四边形:S=底×底边上的高 矩形:S=长×宽 菱形:S=底×底边上的高=两条对角线之积的一半 正方形:S=边长的平方=任意一条对角线平方的一半 ì î í ï ï ï ïï ï ï ï ïï 阴影部分 面积计算 方法归纳 方法 直接和差法 构造和差法 等积转化法 图示 点拨 S阴影 =S三角形-S扇形 S阴影 =S扇形-S三角形 S阴影 =S小扇形 ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï 例 1　 如图,扇形 DOE 的半径为 3,菱形 OABC 的顶点 A,C,B 分别在 OD,OE,DE ( 上,若 OA= 3 ,则 图中阴影部分的面积为 ( D ) 例 1 题图 A. π- 3 8 B. π- 3 4 C. 3π-3 3 8 D. 3π-3 3 4 【思维构建】观察可知 S阴影 = S扇形BOD -S△AOB,根据菱形的性质求出圆心角和△OAB 的底和高就能 解决问题. 例 2　 如图,☉O 的直径 AB= 8,C 为 AB 延长线上一点,CP 与☉O 相切于点 P,过点 B 作 BD∥CP 交 例 2 题图 ☉O 于点 D,连接 PD. 若∠C= ∠D,则四边形 BCPD 的面积为　 8 3 　 . 【思维构建】遇到求四边形的面积,先判断该四边形是否为特殊四边形. 已 知 CP 为☉O 的切线,则连接半径 OP,可得∠CPO = ∠PEB = 90°,进而可 求得∠C= 30°,证四边形 BCPD 是平行四边形,则 S四边形BCPD =PC·PE,只 需结合含 30°角的直角三角形的性质求出 PC 和 PE 即可. 63 参考答案与重难题解析·数学 15　 二 轮 专 题 培 优 练 答 案 ∴ h= -3t2 +8t-2 = -3( t- 4 3 ) 2 +10 3 , ∵ -3<0, ∴ 当 t= 4 3 ,即 x1 = 1 3 时,h 取最大值10 3 . 11. 解:(1)由题意,∵ 二次函数为 y= x2 +bx+c, ∴ 抛物线的对称轴为直线 x= - b 2 = - 1 2 , ∴ b= 1,∴ 二次函数的表达式为 y= x2 +x+c. 又∵ 抛物线经过点 A(-2,5),∴ 4-2+c= 5, ∴ c= 3,∴ 二次函数的表达式为 y= x2 +x+3; (2)由题意,∵ 点 B(1,7)向上平移 2 个单位长度,向左平 移 m 个单位长度(m>0), ∴ 平移后的点为(1-m,9) . 又∵ (1-m,9)在 y= x2 +x+3 的图象上, ∴ 9 = (1-m) 2 +(1-m)+3, ∴ m= 4 或 m= -1(舍去),∴ m= 4; (3)由题意,当 n<- 1 2 时, 最大值与最小值的差为 5-[(n+ 1 2 ) 2 +11 4 ] = 9 4 , 解得 n1 =n2 = - 1 2 ,不符合题意,舍去. 当- 1 2 ≤n≤1 时, 最大值与最小值的差为 5-11 4 = 9 4 ,符合题意. 当 n>1 时,最大值与最小值的差为(n+ 1 2 )2+11 4 -11 4 = 9 4 , 解得 n1 = 1 或 n2 = -2,不符合题意,舍去. 综上所述,n 的取值范围为- 1 2 ≤n≤1. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 专题六　 曲线型(圆)几何综合题 突破设问 1　 切线判定 例 1　 证明:如解图,连接 OD, 例 1 题解图 ∵ OD=OB,∴ ∠1 = ∠ODB, ∵ ∠A= 2∠1,∠DOC= 2∠1, ∴ ∠A= ∠DOC, ∵ ∠ABC= 90°,∴ ∠A+∠C= 90°, ∴ ∠DOC+∠C= 90°, ∴ ∠CDO= 90°. ∵ OD 是☉O 的半径, ∴ AC 是☉O 的切线. 例 2 题解图 例 2　 证明:如解图,连接 OA, ∵ CD 是☉O 的直径,∴ ∠CAD= 90°, ∴ ∠C+∠D= 90°, ∵ OA=OD,∴ ∠OAD= ∠D, ∵ ∠BAD= ∠C, ∴ ∠OAB = ∠OAD + ∠BAD = ∠D + ∠C = 90°, ∵ OA 是☉O 的半径, ∴ AB 是☉O 的切线. 例 3 题解图 例 3　 证明:如解图,连接 OC, ∵ OA=OC,∴ ∠OAC= ∠OCA, ∵ AC 平分∠PAB, ∴ ∠PAC= ∠OAC, ∴ ∠PAC= ∠OCA,∴ OC∥AP, ∵ ∠P= 90°,∴ ∠PCO= 90°, ∵ OC 是☉O 的半径, ∴ PC 是☉O 的切线. 例 4　 证明:如解图,连接 OA, ∵ 点 A 是 CD ( 的中点, ∴ OA⊥CD, 例 4 题解图 ∵ AB∥CD,∴ OA⊥AB, ∵ OA 是☉O 的半径, ∴ AB 是☉O 的切线. 例 5　 证明:如解图,连接 OC, ∵ AD 是☉O 的切线,∴ ∠DAO= 90°, ∵ OD⊥AC, 例 5 题解图 ∴ OD 是 AC 的垂直平分线, ∴ AD=CD, 又∵ OA=OC,OD=OD, ∴ △AOD≌△COD(SSS), ∴ ∠OCD= ∠OAD= 90°, ∵ OC 是☉O 的半径, ∴ CD 是☉O 的切线. 突破设问 2　 线段问题 例 1　 2 3 　 【解析】如解图,连接 AC,则∠ACB = ∠CEB = 90°,∵ 点 C 为 AD ( 的中点,∴ ∠ABC = ∠EBC,∴ △ACB∽ △CEB,∴ AB BC =BC BE ,∴ 4 BC =BC 3 ,∴ BC= 2 3 . 例 1 题解图 例 2　 证明:∵ AB 平分∠DBC, ∴ ∠ABD= ∠ABC,∴ AD=AC, ∴ ∠ABC= ∠ACE, 又∵ ∠EAC= ∠CAB, ∴ △EAC∽△CAB, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 51 参考答案与重难题解析·数学16　 二 轮 专 题 培 优 练 答 案 ∴ AC AB =AE AC , ∴ AC2 =AE·AB. 例 3　 3 10 　 【解析】如解图,连接 OC,∵ AB= 10,CD= 6,CD ⊥AB,∴ OA = OC = OB = 5,CH = 3, ∴ OH = OC2 -CH2 = 52 -32 = 4, ∴ AH = OA + OH = 9, ∴ AC = AH2 +CH2 = 92 +32 = 3 10 . 例 3 题解图 　 　 例 4 题解图 例 4　 2 10 3 　 【解析】如解图,连接 OD,过点 C 作 CH⊥AB 于 点 H,∵ AC=BC= 4,∠ACB= 90°,∴ △ACB 为等腰直角三角 形,∴ AB= 4 2 ,∠CAB = 45°,∴ ∠COD = 2∠CAB = 90°,CH =AH = 1 2 AB = 2 2 ,∵ tan ∠CFD = CH FH = 2,∴ FH = 2 ,在 Rt△CFH 中,由勾股定理得 CF2 = CH2 +FH2 ,∴ CF = 10 , ∵ tan∠CFD=OD OF = OD CF-OC = OD 10 -OD = 2,∴ OD = 2 10 3 ,∴ ☉O 的半径为2 10 3 . 例 5　 证明:如解图,连接 AD, 例 5 题解图 ∵ BD ( =CD ( , ∴ ∠CAD= ∠BAD, 又∵ AO=DO, ∴ ∠DAB= ∠ADO, ∴ ∠CAD= ∠ADO, ∴ AC∥OD. 例 6　 证明:如解图,连接 OC, 例 6 题解图 ∵ PC 与半圆 O 相切于点 C, ∴ ∠OCD= 90°, ∴ ∠DCE+∠ACO= 90°, ∵ OA=OC,∴ ∠A= ∠ACO, ∵ DC=DE,∴ ∠DCE= ∠DEC, ∴ ∠DCE= ∠DEC= ∠AEO, ∴ ∠A+∠AEO= 90°, ∴ ∠AOE= 90°, ∴ OD⊥AB. 突破设问 3　 面积问题 例 1　 D　 【解析】如解图,连接 AC,交 OB 于点 F,∵ 在菱形 OABC 中,AC⊥BO,CF = AF,FO =BF,∠COB = ∠BOA,又∵ 扇形 DOE 的半径为 3,∴ FO =BF = 3 2 ,cos∠AOF = OF OA = 3 2 3 = 3 2 ,∴ ∠AOF = 30°,∴ ∠AOC = 2× 30° = 60°,∴ △OAC 为 等边三角形,AC=OA= 3 ,∴ S△AOB = 1 2 S菱形OABC = 1 2 × 1 2 ×3× 3 = 3 3 4 ,S扇形BOD = 30π×32 360 = 3 4 π, ∴ S阴影 = S扇形BOD - S△AOB = 3π-3 3 4 . 例 1 题解图 　 　 例 2 题解图 例 2　 8 3 　 【解析】如解图,连接 OP,交 BD 于点 E. ∵ ∠C = ∠D,∠POB= 2∠D,∴ ∠POB = 2∠C,∵ CP 与☉O 相切于 点 P,∴ PC⊥OP,∴ ∠OPC = 90°,∴ ∠POB+∠C = 90°,即 ∠C= 30°,∵ BD∥CP,∴ ∠C= ∠DBA,∵ ∠C= ∠D,∴ ∠D = ∠DBA,∴ BC∥PD,∴ 四边形 BCPD 是平行四边形,∵ PO = 1 2 AB= 4,∴ PC= 4 3 ,∵ ∠ABD = ∠C = 30°,∴ OE = 1 2 OB = 2,∴ PE= 2,∴ S四边形BCPD =PC·PE= 4 3 ×2 = 8 3 . 类型 1　 不含切线的相关证明与计算 1. (1)证明:∵ OA⊥BD,OB=OD, ∴ AB ( =AD ( , ∴ ∠ACB= ∠ACD, 即 CA 平分∠BCD; (2)解:如解图,延长 AE 交 BC 于 M,延长 CE 交 AB 于 N, 　 第 1 题解图 ∵ AE⊥BC,CE⊥AB, ∴ ∠AMB= ∠CNB= 90°, ∵ BD 是☉O 的直径, ∴ ∠BAD= ∠BCD= 90°, ∴ ∠BAD=∠CNB,∠BCD=∠AMB, ∴ AD∥NC,CD∥AM, ∴ 四边形 AECD 是平行四边形, ∴ CD=AE= 3, ∴ 在 Rt△BCD 中,BC= BD2 -CD2 = (3 3 ) 2 -32 = 3 2 . 2. (1)解:如解图①,过点 O 作 OH⊥BC 于点 H. 第 2 题解图① ∵ OC=OB,OH⊥BC, ∴ ∠COH= ∠BOH,CH=BH, ∵ ∠BOC= 2∠BCE, ∴ ∠BOH= ∠BCE, ∵ ∠BOH+∠OBH= 90°, ∴ ∠BCE+∠OBH= 90°, ∴ ∠CEB= 90°, ∴ BC= EC2 +EB2 = 5+1 = 6 , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 61