类型1 不含切线的相关证明与计算-【一战成名新中考】2025年中考数学·纯练版总复习·二轮专题培优练

二轮专题培优练·数学 专 题 六 曲 线 型 ︵ 圆 ︶ 几 何 综 合 题 类型 1　 不含切线的相关证明与计算 1. (2023 安徽)已知四边形 ABCD 内接于☉O,对角线 BD 是☉O 的直径. (1)如图①,连接 OA,CA,若 OA⊥BD,求证:CA 平分∠BCD; (2)如图②,E 为☉O 内一点,满足 AE⊥BC,CE⊥AB. 若 BD= 3 3 ,AE= 3,求弦 BC 的长. 图① 　 　 　 　 图② 第 1 题图 (1)证明:∵OA⊥BD,OB=OD,∴AB ( =AD ( , ∴∠ACB=∠ACD,即 CA 平分∠BCD; (2)解:如解图,延长 AE 交 BC 于 M,延长 CE 交 AB 于 N, ∵AE⊥BC,CE⊥AB,∴∠AMB=∠CNB= 90°, ∵BD 是☉O 的直径,∴∠BAD=∠BCD= 90°, ∴∠BAD=∠CNB,∠BCD=∠AMB,∴AD∥NC,CD∥AM, ∴四边形 AECD 是平行四边形,∴CD=AE= 3, ∴在 Rt△BCD 中,BC= BD2-CD2 = (3 3) 2-32 = 3 2 . 2. (2024 包头)如图,AB 是☉O 的直径,BC,BD 是☉O 的两条弦,点 C 与点 D 在 AB 的两侧,E 是 OB 上一点(OE>BE),连接 OC,CE,且∠BOC= 2∠BCE. (1)如图①,若 BE= 1,CE= 5 ,求☉O 的半径; (2)多解法 ∙∙∙ 如图②,若 BD= 2OE,求证:BD∥OC. (请用两种证法解答) 图① 　 　 　 　 图② 第 2 题图 (1)解:如解图①,过点 O 作 OH⊥BC 于点 H. ∵OC=OB,OH⊥BC,∴∠COH=∠BOH,CH=BH, ∵∠BOC= 2∠BCE,∴∠BOH=∠BCE, ∵∠BOH+∠OBH= 90°,∴∠BCE+∠OBH= 90°, ∴∠CEB= 90°,∴BC= EC2+EB2 = 5+1 = 6,∴CH=BH= 6 2 , ∵cos∠OBH=BH OB =EB BC ,∴ 6 2 OB = 1 6 ,∴OB= 3,即☉O 的半径为 3; 73 二轮专题培优练·数学 专 题 六 曲 线 型 ︵ 圆 ︶ 几 何 综 合 题 3. (2024 成都)如图,在 Rt△ABC 中,∠C= 90°,D 为斜边 AB 上一点,以 BD 为直径作☉O,交 AC 于 E,F 两点,连接 BE,BF,DF. (1)求证:BC·DF=BF·CE; (2)若∠A= ∠CBF,tan∠BFC= 5 ,AF= 4 5 ,求 CF 的长和☉O 的直径. 第 3 题图 (1)证明:∵BD 是☉O 的直径,∴∠BFD= 90°, ∵∠C= 90°,∴∠BFD=∠C, ∵∠BEC=∠BDF,∴△BCE∽△BFD, ∴BC BF =CE DF , ∴BC·DF=BF·CE; (2)CF 的长为 5,☉O 的直径为 3 6 . 详解见答案册 PX 4. (2023 杭州节选)如图,在☉O 中,直径 AB 垂直弦 CD 于点 E,连接 AC,AD,BC,作 CF⊥AD 于点 F, 交线段 OB 于点 G(不与点 O,B 重合),连接 OF. (1)若 BE= 1,求 GE 的长; (2)多解法 ∙∙∙ 若 FO=FG,猜想∠CAD 的度数,并证明你的结论. 　 第 4 题图 (1)解:∵直径 AB 垂直弦 CD 在△BCE 和△GCE 中, ∠BCE=∠GCE, CE=CE, ∠BEC=∠GEC, ì î í ï ï ïï ∴△BCE≌△GCE(ASA),∴GE=BE= 1; (2)解:∠CAD= 45°,证明如下: 解法一:如解图,延长 FO 交 AC 于点 H,连接 OC, ∵FO=FG,∴∠FOG=∠FGO, ∴∠FOG=∠FGO=∠CGB=∠B,∴BC∥FH, ∵AB 是☉O 的直径,∴∠ACB= 90°, ∴∠ACB=∠AHO= 90°, ∵OA=OC,∴AH=CH,∴AF=CF, ∵CF⊥AD,∴△AFC 是等腰直角三角形, ∴∠CAD= 45°. 其他解法见答案册 PX 83 二轮专题培优练·数学 专 题 六 曲 线 型 ︵ 圆 ︶ 几 何 综 合 题 5. (2024 烟台)如图,AB 是☉O 的直径,△ABC 内接于☉O,点 I 为△ABC 的内心,连接 CI 并延长交 ☉O 于点 D,E 是 BC ( 上任意一点,连接 AD,BD,BE,CE. (1)若∠ABC= 25°,求∠CEB 的度数; (2)找出图中所有与 DI 相等的线段,并证明; (3)若 CI= 2 2 ,DI= 13 2 2 ,求△ABC 的周长. 　 第 5 题图 解:(1)∵AB 是☉O 的直径, ∴∠ADB=∠ACB= 90°, 又∵∠ABC= 25°, ∴∠CAB= 90°-25°= 65°, ∵四边形 ABEC 是☉O 内接四边形, ∴∠CEB+∠CAB= 180°, ∴∠CEB= 180°-∠CAB= 115°; (2)DI=AD=BD, 证明:连接 AI,如解图①, ∵点 I 为△ABC 的内心, ∴∠CAI=∠BAI,∠ACI=∠BCI= 1 2 ∠ACB= 45°, ∴AD ( =BD ( , ∴∠DAB=∠DCB=∠ACI,AD=BD, ∵∠DAI=∠DAB+∠BAI,∠DIA=∠ACI+∠CAI, ∴∠DAI=∠DIA, ∴DI=AD=BD; (3)如解图②,过 I 分别作 IQ⊥AB,IF⊥AC,IP⊥BC,垂足分别为 Q、F、P, ∵点 I 为△ABC 的内心,即为△ABC 内切圆的圆心, ∴Q、F、P 分别为该内切圆与△ABC 三边的切点, ∴AQ=AF,CF=CP,BQ=BP, ∵CI= 2 2,∠IFC= 90°,∠ACI= 45°, ∴CF=CI·cos45°= 2=CP, ∵DI=AD=BD,DI= 13 2 2,∠ADB= 90°, ∴AB= 2AD= 2 × 13 2 2 = 13, ∴△ABC 的周长为 AB+AC+BC =AB+AF+CF+CP+BP =AB+AQ+CF+CF+BQ =AB+AQ+BQ+2CF = 2AB+2CF = 2×13+2×2= 30. 93 参考答案与重难题解析·数学16　 二 轮 专 题 培 优 练 答 案 ∴ AC AB =AE AC , ∴ AC2 =AE·AB. 例 3　 3 10 　 【解析】如解图,连接 OC,∵ AB= 10,CD= 6,CD ⊥AB,∴ OA = OC = OB = 5,CH = 3, ∴ OH = OC2 -CH2 = 52 -32 = 4, ∴ AH = OA + OH = 9, ∴ AC = AH2 +CH2 = 92 +32 = 3 10 . 例 3 题解图 　 　 例 4 题解图 例 4　 2 10 3 　 【解析】如解图,连接 OD,过点 C 作 CH⊥AB 于 点 H,∵ AC=BC= 4,∠ACB= 90°,∴ △ACB 为等腰直角三角 形,∴ AB= 4 2 ,∠CAB = 45°,∴ ∠COD = 2∠CAB = 90°,CH =AH = 1 2 AB = 2 2 ,∵ tan ∠CFD = CH FH = 2,∴ FH = 2 ,在 Rt△CFH 中,由勾股定理得 CF2 = CH2 +FH2 ,∴ CF = 10 , ∵ tan∠CFD=OD OF = OD CF-OC = OD 10 -OD = 2,∴ OD = 2 10 3 ,∴ ☉O 的半径为2 10 3 . 例 5　 证明:如解图,连接 AD, 例 5 题解图 ∵ BD ( =CD ( , ∴ ∠CAD= ∠BAD, 又∵ AO=DO, ∴ ∠DAB= ∠ADO, ∴ ∠CAD= ∠ADO, ∴ AC∥OD. 例 6　 证明:如解图,连接 OC, 例 6 题解图 ∵ PC 与半圆 O 相切于点 C, ∴ ∠OCD= 90°, ∴ ∠DCE+∠ACO= 90°, ∵ OA=OC,∴ ∠A= ∠ACO, ∵ DC=DE,∴ ∠DCE= ∠DEC, ∴ ∠DCE= ∠DEC= ∠AEO, ∴ ∠A+∠AEO= 90°, ∴ ∠AOE= 90°, ∴ OD⊥AB. 突破设问 3　 面积问题 例 1　 D　 【解析】如解图,连接 AC,交 OB 于点 F,∵ 在菱形 OABC 中,AC⊥BO,CF = AF,FO =BF,∠COB = ∠BOA,又∵ 扇形 DOE 的半径为 3,∴ FO =BF = 3 2 ,cos∠AOF = OF OA = 3 2 3 = 3 2 ,∴ ∠AOF = 30°,∴ ∠AOC = 2× 30° = 60°,∴ △OAC 为 等边三角形,AC=OA= 3 ,∴ S△AOB = 1 2 S菱形OABC = 1 2 × 1 2 ×3× 3 = 3 3 4 ,S扇形BOD = 30π×32 360 = 3 4 π, ∴ S阴影 = S扇形BOD - S△AOB = 3π-3 3 4 . 例 1 题解图 　 　 例 2 题解图 例 2　 8 3 　 【解析】如解图,连接 OP,交 BD 于点 E. ∵ ∠C = ∠D,∠POB= 2∠D,∴ ∠POB = 2∠C,∵ CP 与☉O 相切于 点 P,∴ PC⊥OP,∴ ∠OPC = 90°,∴ ∠POB+∠C = 90°,即 ∠C= 30°,∵ BD∥CP,∴ ∠C= ∠DBA,∵ ∠C= ∠D,∴ ∠D = ∠DBA,∴ BC∥PD,∴ 四边形 BCPD 是平行四边形,∵ PO = 1 2 AB= 4,∴ PC= 4 3 ,∵ ∠ABD = ∠C = 30°,∴ OE = 1 2 OB = 2,∴ PE= 2,∴ S四边形BCPD =PC·PE= 4 3 ×2 = 8 3 . 类型 1　 不含切线的相关证明与计算 1. (1)证明:∵ OA⊥BD,OB=OD, ∴ AB ( =AD ( , ∴ ∠ACB= ∠ACD, 即 CA 平分∠BCD; (2)解:如解图,延长 AE 交 BC 于 M,延长 CE 交 AB 于 N, 　 第 1 题解图 ∵ AE⊥BC,CE⊥AB, ∴ ∠AMB= ∠CNB= 90°, ∵ BD 是☉O 的直径, ∴ ∠BAD= ∠BCD= 90°, ∴ ∠BAD=∠CNB,∠BCD=∠AMB, ∴ AD∥NC,CD∥AM, ∴ 四边形 AECD 是平行四边形, ∴ CD=AE= 3, ∴ 在 Rt△BCD 中,BC= BD2 -CD2 = (3 3 ) 2 -32 = 3 2 . 2. (1)解:如解图①,过点 O 作 OH⊥BC 于点 H. 第 2 题解图① ∵ OC=OB,OH⊥BC, ∴ ∠COH= ∠BOH,CH=BH, ∵ ∠BOC= 2∠BCE, ∴ ∠BOH= ∠BCE, ∵ ∠BOH+∠OBH= 90°, ∴ ∠BCE+∠OBH= 90°, ∴ ∠CEB= 90°, ∴ BC= EC2 +EB2 = 5+1 = 6 , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 61 参考答案与重难题解析·数学 17　 二 轮 专 题 培 优 练 答 案 ∴ CH=BH= 6 2 , ∵ cos∠OBH=BH OB =EB BC ,∴ 6 2 OB = 1 6 , ∴ OB= 3,即☉O 的半径为 3; (2)证明:证法一:如解图②,过点 O 作 OK⊥BD 于点 K,则 BK=DK, ∵ BD= 2OE,∴ OE=BK, ∵ ∠CEO= ∠OKB= 90°,OC=OB, ∴ Rt△OEC≌Rt△BKO(HL), ∴ ∠COE= ∠OBK,∴ OC∥BD. 第 2 题解图② 多解法 证法二:如解图②,过点 O 作 OK⊥BD 于点 K,则 BK=DK, ∵ BD= 2OE, ∴ OE=BK, ∵ cos∠COE=OE OC ,cos∠OBK=BK OB , OC=OB, ∴ cos∠COE= cos∠OBK, ∴ ∠COE= ∠OBK, ∴ OC∥BD. 3. (1)证明:∵ BD 是☉O 的直径, ∴ ∠BFD= 90°, ∵ ∠C= 90°,∴ ∠BFD= ∠C, ∵ ∠BEC= ∠BDF,∴ △BCE∽△BFD, ∴ BC BF =CE DF ,∴ BC·DF=BF·CE; (2)解:连接 DE,过点 E 作 EH⊥BD 于 H,如解图, 第 3 题解图 ∵ ∠C = 90°, tan ∠BFC = 5 , ∴ BC CF = 5 , ∴ BC= 5CF, ∵ ∠A= ∠CBF, ∴ 90°-∠A= 90°-∠CBF,即∠ABC= ∠BFC, ∴ tan∠ABC= tan∠BFC= 5 , ∴ AC BC = 5 , ∴ AC= 5BC= 5 ×( 5CF)= 5CF, ∵ AC-CF=AF= 4 5 ,∴ 5CF-CF= 4 5 , ∴ CF= 5 ,∴ BC= 5,AC= 5 5 , ∴ AB= BC2 +AC2 = 52 +(5 5 ) 2 = 5 6 , 由(1)知△BCE∽△BFD,∴ ∠CBE= ∠DBF, ∴ ∠CBE-∠FBE= ∠DBF-∠FBE, 即∠CBF= ∠EBA, ∵ ∠A= ∠CBF,∴ ∠A= ∠EBA,∴ AE=BE, ∴ BH=AH= 1 2 AB= 5 6 2 , ∵ ∠BEH= 90°-∠EBA= 90°-∠CBF= ∠BFC, ∴ tan∠BEH= tan∠BFC= 5 , ∴ BH EH = 5 ,即 　 5 6 2 　 EH = 5 , ∴ EH= 30 2 , ∵ BD 是☉O 的直径, ∴ ∠BED= 90°, ∴ ∠EDH= 90°-∠DEH= ∠BEH, ∴ tan∠EDH= tan∠BEH= 5 , ∴ EH DH = 5 ,即 　 30 2 　 DH = 5 ,∴ DH= 6 2 , ∴ BD=DH+BH= 6 2 +5 6 2 = 3 6 , ∴ ☉O 的直径为 3 6 . 即 CF 的长为 5 ,☉O 的直径为 3 6 . 解题通法 遇“求证 BC·DF=BF·CE 或 BC2 =BA·BE 形式的等式成 立”时,想相似.以第 3 题第一问为例,观察题图,找 BC、DF、 BF、CE 所在的两个三角形,证这两个三角形相似即可. 4. 解:(1)∵ 直径 AB 垂直弦 CD, ∴ ∠AED= 90°,∴ ∠DAE+∠D= 90°, ∵ CF⊥AD,∴ ∠FCD+∠D= 90°, ∴ ∠DAE= ∠FCD, 由圆周角定理得∠DAE= ∠BCD, ∴ ∠BCD= ∠FCD, 在△BCE 和△GCE 中, ∠BCE= ∠GCE, CE=CE, ∠BEC= ∠GEC, { ∴ △BCE≌△GCE(ASA), ∴ GE=BE= 1; (2)∠CAD= 45°,证明如下: 解法一:如解图①,延长 FO 交 AC 于点 H,连接 OC, 第 4 题解图① ∵ FO=FG, ∴ ∠FOG= ∠FGO, ∴ ∠FOG= ∠FGO= ∠CGB= ∠B, ∴ BC∥FH, ∵ AB 是☉O 的直径, ∴ ∠ACB= 90°, ∴ ∠ACB= ∠AHO= 90°, ∵ OA=OC, ∴ AH=CH, ∴ AF=CF, ∵ CF⊥AD, ∴ △AFC 是等腰直角三角形, ∴ ∠CAD= 45°. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 71 参考答案与重难题解析·数学18　 二 轮 专 题 培 优 练 答 案 第 4 题解图② 多解法 解法二:如解图②,连接 OC, ∵ FO=FG, ∴ ∠FOG= ∠FGO, ∵ 直径 AB 垂直弦 CD, ∴ CE=DE,∠AED= ∠AEC= 90°, ∵ AE=AE, ∴ △ACE≌△ADE, ∴ ∠DAE= ∠CAE, 设∠DAE= ∠CAE=α,∠FOG= ∠FGO=β, 则∠FCD= ∠BCD= ∠DAE=α,∠AOF= 180°-β, ∵ OA=OC,∴ ∠OCA= ∠OAC=α, ∵ ∠ACB= 90°, ∴ ∠OCF=∠ACB-∠OCA-∠FCD-∠BCD=90°-3α, ∵ ∠CGE=∠OGF=β,∠GCE=α,∠CGE+∠GCE=90°, ∴ β+α= 90°,∴ α= 90°-β, ∵ ∠COG= ∠OAC+∠OCA=α+α= 2α, ∴ ∠COF=∠COG+∠GOF=2α+β=2(90°-β)+β=180°-β, ∴ ∠COF= ∠AOF, 在△COF 和△AOF 中, CO=AO, ∠COF= ∠AOF, OF=OF, ì î í ïï ï ∴ △COF≌△AOF(SAS), ∴ ∠OCF= ∠OAF,即 90°-3α=α, ∴ α= 22. 5°,∴ ∠CAD= 2α= 45°. 5. 题干话外音 题干:AB 是☉O 的直径. 提取信息:∠ACB= ∠ADB= 90°. 题干:点 I 为△ABC 的内心. 提取信息:连接△ABC 的任意顶点与点 I,可得△ABC 的 一条角平分线,过点 I 向△ABC 三边作垂线,可将三边分 为三组相等线段. 由图可得信息:∠ADC= ∠ABC,∠BAD= ∠BCD,∠BDC+ ∠E= 180°… 解:(1)∵ AB 是☉O 的直径, ∴ ∠ADB= ∠ACB= 90°, 又∵ ∠ABC= 25°, ∴ ∠CAB= 90°-25° = 65°, ∵ 四边形 ABEC 是☉O 内接四边形, ∴ ∠CEB+∠CAB= 180°, ∴ ∠CEB= 180°-∠CAB= 115°; (2)DI=AD=BD, 证明:连接 AI,如解图①, ∵ 点 I 为△ABC 的内心, ∴ ∠CAI= ∠BAI,∠ACI= ∠BCI= 1 2 ∠ACB= 45°, ∴ AD ( =BD ( , ∴ ∠DAB= ∠DCB= ∠ACI,AD=BD, ∵ ∠DAI= ∠DAB+∠BAI,∠DIA= ∠ACI+∠CAI, ∴ ∠DAI= ∠DIA, ∴ DI=AD=BD; 第 5 题解图① 　 　 第 5 题解图② (3)如解图②,过 I 分别作 IQ⊥AB,IF⊥AC,IP⊥BC,垂足 分别为 Q、F、P, ∵ 点 I 为△ABC 的内心,即为△ABC 内切圆的圆心, ∴ Q、F、P 分别为该内切圆与△ABC 三边的切点, ∴ AQ=AF,CF=CP,BQ=BP, ∵ CI= 2 2 ,∠IFC= 90°,∠ACI= 45°, ∴ CF=CI·cos45° = 2 =CP, ∵ DI=AD=BD,DI= 13 2 2 ,∠ADB= 90°, ∴ AB= 2AD= 2 × 13 2 2 = 13, ∴ △ABC 的周长为 AB+AC+BC =AB+AF+CF+CP+BP =AB+AQ+CF+CF+BQ =AB+AQ+BQ+2CF = 2AB+2CF = 2×13+2×2 = 30. 类型 2　 与切线有关的证明与计算 1. (1)证明:连接 OD,如解图, 第 1 题解图 ∵ 直线 l 与☉O 相切于点 D, ∴ OD⊥CE, ∵ AE⊥CE,∴ OD∥AE, ∴ ∠ODA= ∠EAD, ∵ OA=OD,∴ ∠ODA= ∠OAD, ∴ ∠OAD= ∠EAD, ∴ AD 平分∠CAE; (2)解:设☉O 的半径为 r,则 OB=OD= r, 在 Rt△OCD 中,∵ OD= r,CD= 3,OC= r+1, ∴ r2 +32 = ( r+1) 2 , 解得 r= 4, 即☉O 的半径为 4. 2. 思维构建 (1)看到翻折可得∠E = ∠CDB = 90°,CB 平分∠DBE,由 此可知本题为角平分线模型,连接 OC,通过证 OC∥ BE 得 OC⊥EF; (2)图中阴影部分为不规则图形,无法直接求面积,观察 可知 S阴影 = S扇形AOC - SRt△COD, 只 需 求 出 ∠AOC 和 Rt△COD 的直角边长即可解决问题. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 81