专题5 二次函数图象与性质的应用-【一战成名新中考】2025年中考数学·纯练版总复习·二轮专题培优练

二轮专题培优练·数学 专题五　 二次函数图象与性质的应用 专 题 五 二 次 函 数 图 象 与 性 质 的 应 用 突破设问 1　 交点问题 ◆水平直线与一段抛物线的交点问题 例 1　 已知直线 y= t 与抛物线 y= -x2 +2x+3(0≤x<3)的 交点个数为 a. (1)当 a= 0 时,t 的取值范围为　 t>4 或t≤0 　 ; (2)当 a= 1 时,t 的取值范围为　 0<t<3 或 t= 4 　 ; (3)当 a=2 时,t 的取值范围为　 3≤t<4 　 . 【点拨】数形结合法:联立 y= t, y=-x2+2x+3,{ 再根据 根的判别式及图象确定 a 的取值范围,注意要 结合自变量的取值范围. 图象法: a=0 请画出 a=1,2 时直线 y=t 的图象 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 同学们! 直线 y=t 与抛物线 y=-x2+2x+3 的交点个数为 0,1,2 时,t 的取值范围是多少? 可自行探究. ◆动线段与定抛物线的交点问题 例 2　 已知点 A 在直线 y = -x+3 上,将点 A 向右平移 3 个单位长度得到点 B,设点 A 的纵坐标为 t,线段 AB 与抛物线 y= -x2 +2x+3 的交点个数为 a. (1)当 a= 0 时,t 的取值范围为　 t>4 或 t<0　 ; (2)当 a= 1 时,t 的取值范围为　 t= 4 或 0≤t<3　 ; (3)当 a= 2 时,t 的取值范围为　 3≤t<4 　 . 【点拨】图象法: 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 同学们! 已知线段 AB 的长度为 1,点 A(m,2),B(n,2),则抛物线 y = -x2 +2x+3 与线段 AB 的交点 情况可自行探究. ◆动抛物线与定线段的交点问题 例 3　 已知点 A( -2,2),B(1,2),探究抛物线 y= (x-h) 2 +1 与线段 AB 的交点情况. (1)①点 A 在抛物线上: 当点 A在抛物线对称轴右侧时,h 的值为　 -3　 ; 当点 A在抛物线对称轴左侧时,h 的值为　 -1　 ; ②点 B 在抛物线上: 当点 B 在抛物线对称轴右侧时,h 的值为 　 ; 当点 B 在抛物线对称轴左侧时,h 的值为 　 ; (2)当没有交点时,h的取值范围为　 h>2或 h<-3 　 ; (3)当只有一个交点时,h 的取值范围为 　 ; (4)当有 2 个交点时,h 的取值范围为　 -1≤h≤0　 . 突破口:找临界端点———将线段两端的坐标 代入解析式中,求出此时 h 的值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 52 二轮专题培优练·数学 专 题 五 二 次 函 数 图 象 与 性 质 的 应 用 突破设问 2　 含参最值问题 例 1　 已知二次函数 y=mx2 -2mx+3(m 为常数,且m≠0),当-1≤x≤2 时,函数有最小值 2,则m 的 值是 ( D ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 A. 1 B. 1 3 C. 1 或 1 3 D. 1 或- 1 3 步骤 1　 确定二次函数图象的对称轴、开口方向 ①已知二次函数 y=mx2 -2mx+3,则抛物线对称轴为直线 x= 　 　 　 　 ; ②二次项系数为m(m 为常数,且m≠0),则抛物线开口方向　 不确定　 (填“确定”或“不确定”). 步骤 2　 分类讨论与数形结合 ①当 m>0 时,抛物线开口向上,画出草图如解图①,当 x= 1 时,函数有最小值 2,则 m-2m+3 = 2, 解得 m= 1; ②当 m<0 时,抛物线开口向下,在解图②的坐标系中画出草图,并补全剩余步骤 　 　 . 图① 　 　 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋画图区 图② 例 1 题解图 步骤 3　 得出结论 故 m 的值为　 　 　 　 　 . 例 2　 (2023 贵州改编)已知抛物线 y= -x2 +2bx+b-1(b>0),当 4≤x≤6 时,y 的值恒大于等于 9􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍. 则 b 的取值范围为　 　 　 　 　 . 步骤 1　 确定二次函数图象的对称轴、开口方向 ①已知抛物线 y= -x2 +2bx+b-1 = -(x-b) 2 +b2 +b-1,则抛物线的开口　 向下　 ; ②抛物线的对称轴为直线 x= 　 　 　 　 . 步骤 2　 分类讨论与数形结合 ①如解图①,对称轴在自变量取值范围右侧,即 b>6,当 x= 4 时,y 有最小值, ∴ -42 +8b+b-1≥9,解得 b≥26 9 ,∴ b>6; ②如解图②,对称轴在自变量取值范围内,即 5<b≤6,当 x= 4 时,y 有最小值, ∴ -42 +8b+b-1≥9 得 b≥26 9 ,∴ 5<b≤6; 62 二轮专题培优练·数学 专 题 五 二 次 函 数 图 象 与 性 质 的 应 用 请补全后面两种情况的过程及草图并计算出结果: ③ 　 　 ; ④ 　 　 . 图① 　 　 　 图② 　 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 画图区 图③ 　 　 　 图④ 例 2 题解图 步骤 3　 得出结论　 则 b 的取值范围为　 　 　 　 . 例 3　 若抛物线 y= 1 32 x2 +2 经过点 E(m,y1),F(m+2,y2 ),抛物线在 E,F 之间的部分为图象 G(包 括 E,F 两点),图象 G 上点的纵坐标的最大值与最小值的差 t 为 1 时,m的值为　 -9或 7　 . 步骤 1　 确定二次函数图象的对称轴、开口方向 ①已知抛物线 y= 1 32 x2 +2,则抛物线的开口　 向上　 ; ②抛物线的对称轴为　 y 轴(或直线 x= 0) 　 ,顶点坐标为　 (0,2) 　 ; 步骤 2　 分类讨论 ∵ 抛物线经过点 E(m,y1),F(m+2,y2),∴ y1 = 1 32 m2 +2,y2 = 1 32 (m+2) 2 +2. ①当点 F 在 y 轴(抛物线对称轴)左侧(m+2<0)时,此时 m<-2,y 的值随 x 值的增大而减小, ∴ t= y1 -y2 = 1,即 1 32 m2 +2-[ 1 32 (m+2) 2 +2] = 1,解得 m= -9; ②当点 F 在 y 轴上或 y 轴右侧(m+2≥0),点 E 在 y 轴左侧(m<0),且点 F 到 y 轴的距离小于 点 E 到 y 轴的距离(m+2<-m)时,此时-2≤m<-1,∴ t= y1 -y最小值 = 1,即 1 32 m2 +2-2 = 1,解得 m = ±4 2 (舍去); 请补全后面两种情况的过程并计算出结果: ③ 　 　 ; ④ 　 　 . 步骤 3　 得出结论　 则 m 的值为　 -9 或 7　 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋【注意】例 2、例 3 本质上都是围绕对称轴进行分类讨论,解答完成后应检查分类讨论是否完备,如 例 3 针对 m 进行分类讨论,每种情况下 m 的取值范围分别为 m<-2,-2≤m<-1,-1≤m≤0,m>0, 做到了不重复不遗漏. 另外 m 的值在哪边取等号均可,只要保证最终所有分类情况覆盖 m 的整个 取值范围即可. 72 二轮专题培优练·数学 专 题 五 二 次 函 数 图 象 与 性 质 的 应 用 突破设问 3　 大小比较 比较二次函数值大小的 4 种方法: 方法一:直接代入法,直接将 x 的值代入,求出对应的 y 值. 方法二:画草图比较,画出图象根据图中点的位置高低进行判断. 方法三:异侧转同侧,用增减性比较. 求出某一异侧点关于对称轴对称的点的横坐标,然后利用 增减性进行比较. 如图①和图②. 图① 　 　 　 　 图② 方法四:距离法 先定开口方向,再算距离,开口向上,距离对称轴越远,点的纵坐标越大;开口向下,距离对称轴 越远,点的纵坐标越小. 如图③和图④. 图③ 　 　 　 　 图④ 例 1　 多解法 ∙∙∙ (2024 北京海淀区模拟)若点 A(0,y1),B( 1 2 ,y2 ),C(3,y3 )在抛物线 y = (x-1) 2 +k 上, 则 y1,y2,y3 的大小关系为　 y3>y1>y2 　 (用“>”连接) . 【思维构建】解法一:抛物线的解析式中仅含有一个参数,且 A,B,C 三点的横坐标已知,将 A,B, C 三点的横坐标代入抛物线解析式中,可用含 k 的式子表示出 y1,y2,y3,比较这三个式子的大小 即可解决问题; 解法二:此抛物线的对称轴为直线 x= 1,且 A,B,C 三点的横坐标已知,点 A,B 在对称轴的左侧, 点 C 在对称轴的右侧,可求出点 C 关于对称轴对称的点的横坐标,再根据增减性进行比较即可; 解法三:先求出 A,B,C 三点到对称轴的距离,开口向上时,距离对称轴越远,点的纵坐标越大. 例 2　 (2024 广西梧州模拟)已知抛物线 y= x2 -2x+c 经过 A(2n+3,y1 ),B(n-1,y2 )两点,若 A,B 分别 位于抛物线对称轴的两侧,且 y1 <y2,则 n 的取值范围是 ( A ) A. -1<n<0 B. -1<n<2 C. n>2 D. n<-1 【思维构建】已知抛物线开口向上,且 y1 <y2,则点 B 到对称轴的距离大于点 A 到对称轴的距离. 82 二轮专题培优练·数学 专 题 五 二 次 函 数 图 象 与 性 质 的 应 用 综合训练 1. (2023 十堰)已知点 A(x1,y1)在直线 y= 3x+19 上,点 B(x2,y2 ),C(x3,y3 )在抛物线 y = x2 +4x-1 上,若 y1 = y2 = y3,x1 <x2 <x3,则 x1 +x2 +x3 的取值范围是 ( A ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. -12<x1 +x2 +x3 <-9 B. -8<x1 +x2 +x3 <-6 C. -9<x1 +x2 +x3 <0 D. -6<x1 +x2 +x3 <1 2. (2023 岳阳)若一个点的坐标满足(k,2k),我们将这样的点定义为“倍值点” . 若关于 x 的二次函 数 y= ( t+1)x2 +( t+2)x+s(s,t 为常数,t≠-1)总有两个不同的倍值点,则 s 的取值范围是 ( D ) A. s<-1 B. s<0 C. 0<s<1 D. -1<s<0 3. (2023 南充)抛物线 y= -x2 +kx+k- 5 4 与 x 轴的一个交点为 A(m,0),若-2≤m≤1,则实数 k 的取值 范围是 ( B ) A. -21 4 ≤k≤1 B. k≤-21 4 或 k≥1 C. -5≤k≤ 9 8 D. k≤-5 或 k≥ 9 8 4. (2024 成都)在平面直角坐标系 xOy 中,A(x1,y1 ),B(x2,y2 ),C(x3,y3 )是二次函数 y = -x2 +4x-1 图象上三点. 若 0<x1 <1,x2 >4,则 y1 　 >　 y2(填“>”或“<”);若对于 m<x1 <m+1,m+1<x2 <m+2, m+2<x3 <m+3,存在 y1 <y3 <y2,则 m 的取值范围是　 　 　 　 . 5. (2022 北京)在平面直角坐标系 xOy 中,点(1,m),(3,n)在抛物线 y = ax2 +bx+c(a>0)上,设抛物 线的对称轴为直线 x= t. (1)多解法 ∙∙∙ 当 c= 2,m=n 时,求抛物线与 y 轴交点的坐标及 t 的值; (2)点(x0,m)(x0≠1)在抛物线上. 若 m<n<c,求 t 的取值范围及 x0 的取值范围. 解:(1)解法一:当 m=n 时,点(1,m),(3,n)的纵坐标相等, 由抛物线的对称性可得,抛物线的对称轴为 x= 1 +3 2 = 2, ∴ t= 2,∵ c= 2, ∴抛物线与 y 轴交点的坐标为(0,2); (2)∵m<n<c, ∴ a+b+c<9a+3b+c<c, 解得-4a<b<-3a, ∴3a<-b<4a, ∴3a 2a <- b 2a <4a 2a ,即 3 2 <t<2. 由题意可知,点(x0,m)与点(1,m)关于 x= t 对称,∴ t= x0+1 2 , 当 t= 3 2 时,x0 = 2;当 t= 2 时,x0 = 3. ∴ x0 的取值范围为 2<x0<3. 综上所述,t 的取值范围为 3 2 <t<2;x0 的取值范围为 2<x0<3. 其他解法见本册 PX 92 二轮专题培优练·数学 专 题 五 二 次 函 数 图 象 与 性 质 的 应 用 6. 已知抛物线 y= x2 +bx+c 的对称轴为直线 x= 1,与 x 轴交于点( -1,0) . (1)求抛物线的函数表达式; (2)若把抛物线沿 x 轴平移m 个单位长度,在自变量 x 的值满足 2≤x≤3 的情况下,与其对应的 函数值 y 的最小值为-2,求 m 的值. 第 6 题图 解:(1)由题意得 - b 2 = 1, 1-b+c= 0, ì î í ï ï ïï 解得 b=-2, c=-3,{ ∴抛物线的函数表达式为 y=x2-2x-3; (2)∵ y=x2-2x-3=(x-1) 2-4,∴当 x= 1 时,ymin =-4≠-2, 令 y=-2,得 x2-2x-3=-2, 解得 x= 1+ 2或 x= 1- 2, ∴当 m= 0 时,在自变量 x 的值满足 2≤x≤3 的情况下的最小值不为-2; 当抛物线向左平移时, ∵2≤1+ 2≤3,且当 2≤x≤3 时,y 随 x 的增大而增大, ∴m= 1+ 2 -2= 2 -1, 当抛物线向右平移时,m= 3-(1- 2)= 2+ 2, 综上所述,m= 2 -1 或 m= 2+ 2 . 7. (2024 云南昆明模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,已知二次函数 y= - 1 2 x2 +bx+c 的图象经过坐标原 点 O 和点 A(4+a,0),其中 a≥0. (1)当 a= 0 时,求 y 关于 x 的函数表达式,并求出当 x 为何值时,y 有最大值,最大值是多少? (2)当 a>0 时,在 0≤x≤4 范围内,y 是否存在最大值 10? 若存在,求出相应的 a 和 x 的值;若不 存在,请说明理由. 解:(1)当 a= 0 时,A(4,0), 把 O(0,0),A(4,0)分别代入 y=- 1 2 x2+bx+c,得 c= 0, -8+4b+c= 0,{ ∴ b= 2, c= 0,{ ∴ y 关于 x 的函数表达式为 y=- 1 2 x2+2x. ∵ y=- 1 2 x2+2x=- 1 2 (x-2) 2+2, ∴当 x= 2 时,y 有最大值,最大值为 2; (2)在 0≤x≤4 范围内,y 存在最大值 10,此时 a 的值为 5,x 的值为 4. 详解见本册 PX 03 二轮专题培优练·数学 专 题 五 二 次 函 数 图 象 与 性 质 的 应 用 8. (2023 淮安)已知二次函数 y= x2 +bx-3(b 为常数) . (1)该函数图象与 x 轴交于 A,B 两点,若点 A 的坐标为(3,0), ①b 的值是　 -2　 ,点 B 的坐标是　 (-1,0) 　 ; ②当 0<y<5 时,借助图象,求自变量 x 的取值范围; (2)对于一切实数 x,若函数值 y>t 总成立,求 t 的取值范围(用含 b 的式子表示); (3)当m<y<n 时(其中 m,n 为实数,m<n),自变量 x 的取值范围是 1<x<2,求 n 与 b 的值及m 的 取值范围. 解:(1)①-2;(-1,0); ②由题意,令 y=x2-2x-3= 5,∴ x= 4 或 x=-2. 又∵ a= 1>0,∴二次函数图象开口向上, ∴当 0<y<5 时,满足题意的自变量有两部分,∴-2<x<-1 或 3<x<4; (2)由题意,∵对于一切实数 x,若函数值 y>t 总成立, 即 x2+bx-3>t 恒成立,即 x2+bx-3-t>0. ∵ y=x2+bx-3-t 开口向上,∴Δ=b2-4(-3-t)<0,∴ t<-b 2+12 4 ; (3)由题意,二次函数图象上横坐标为 x= 1 与 x= 2 的两点关于对称轴对称, ∴对称轴 x=- b 2 = 1+2 2 ,∴ b=-3, ∴二次函数为 y=x2-3x-3=(x- 3 2 ) 2-21 4 , ∴当 x= 1 或 x= 2 时,y=-5,此时 n=-5. ∵m<y<-5 时,自变量 x 的取值范围是 1<x<2, ∴m<-21 4 . 9. (2023 云南节选)在平面直角坐标系中,若点的横坐标、纵坐标都为整数,则称这样的点为整点. 设 函数 y= (4a+2)x2 +(9-6a)x-4a+4(实数 a 为常数)的图象为图象 T. 是否存在整数 a,使图象 T 与 x 轴的公共点中有整点? 若存在,求所有整数 a 的值;若不存在,请说明理由. 解:存在整数 a,使图象 T 与 x 轴的公共点中有整点, 当 a=- 1 2 时,函数为 y= 12x+6,令 y= 0 得,x=- 1 2 不符合题意; 当 a≠- 1 2 时,在 y=(4a+2)x2+(9-6a)x-4a+4 中,令 y= 0 得,0=(4a+2)x2+(9-6a)x-4a+4, 解得 x=- 1 2 或 x= 4a -4 2a+1 , ∵ x= 4a -4 2a+1 = 2- 6 2a+1 ,∴当 2a+1 是 6 的因数时,4a -4 2a+1 是整数, ∴2a+1=-6 或 2a+1=-3 或 2a+1=-2 或 2a+1=-1 或 2a+1= 1 或 2a+1= 2 或 2a+1= 3 或 2a+1= 6, 解得 a=- 7 2 或 a=-2 或 a=- 3 2 或 a=-1 或 a= 0 或 a= 1 2 或 a= 1 或 a= 5 2 ,∵ a 是整数, ∴ a=-2 或 a=-1 或 a= 0 或 a= 1. 13 二轮专题培优练·数学 专 题 五 二 次 函 数 图 象 与 性 质 的 应 用 10. (2024 安徽)已知抛物线 y=-x2+bx(b 为常数)的顶点横坐标比抛物线 y=-x2+2x 的顶点横坐标大 1. (1)求 b 的值; (2)点 A(x1,y1)在抛物线 y= -x2 +2x 上,点 B(x1 +t,y1 +h)在抛物线 y= -x2 +bx 上. ①若 h= 3t,且 x1≥0,t>0,求 h 的值; ②若 x1 = t-1,求 h 的最大值. 解:(1)∵抛物线 y=-x2+bx 的顶点横坐标为 b 2 ,y=-x2+2x 的顶点横坐标为 1, ∴ b 2 -1= 1,∴ b= 4; (2)∵点 A(x1,y1)在抛物线 y=-x2+2x 上,∴ y1 =-x21+2x1, ∵B(x1+t,y1+h)在抛物线 y=-x2+4x 上,∴ y1+h=-(x1+t) 2+4(x1+t), -x21+2x1+h=-(x1+t) 2+4(x1+t),∴h=-t2-2x1 t+2x1+4t. ①∵h= 3t,∴3t=-t2-2x1 t+2x1+4t,∴ t( t+2x1)= t+2x1, ∵ x1≥0,t>0,∴ t+2x1>0,∴ t= 1,∴h= 3; ②将 x1 = t-1 代入 h=-t2-2x1 t+2x1+4t, ∴h=-3t2+8t-2,h=-3( t- 4 3 ) 2+10 3 , ∵-3<0,∴当 t= 4 3 ,即 x1 = 1 3 时,h 取最大值10 3 . 11. (2024 浙江)已知二次函数 y=x2+bx+c(b,c 为常数)的图象经过点 A(-2,5),对称轴为直线 x=- 1 2 . (1)求二次函数的表达式; (2)若点 B(1,7)向上平移 2 个单位长度,向左平移 m(m>0)个单位长度后,恰好落在 y = x2 + bx+c 的图象上,求 m 的值; (3)当-2≤x≤n 时,二次函数 y= x2 +bx+c 的最大值与最小值的差为 9 4 ,求 n 的取值范围. 解:(1)由题意,∵二次函数为 y=x2+bx+c,∴抛物线的对称轴为直线 x=- b 2 =- 1 2 , ∴ b= 1,∴二次函数的表达式为 y=x2+x+c. 又∵抛物线经过点 A(-2,5), ∴4-2+c= 5,∴ c= 3,∴二次函数的表达式为 y=x2+x+3. (2)由题意,∵点 B(1,7)向上平移 2 个单位长度,向左平移 m 个单位长度(m>0), ∴平移后的点为(1-m,9) . 又∵ (1-m,9)在 y=x2+x+3 的图象上, ∴9=(1-m) 2+(1-m)+3,∴m= 4 或 m=-1(舍去),∴m= 4; (3)由题意,当 n<- 1 2 时,最大值与最小值的差为 5-[(n+ 1 2 ) 2+11 4 ] = 9 4 , ∴n1 =n2 =- 1 2 ,不符合题意,舍去. 当- 1 2 ≤n≤1 时,最大值与最小值的差为 5-11 4 = 9 4 ,符合题意. 当 n>1 时,最大值与最小值的差为(n+ 1 2 ) 2+11 4 - 11 4 = 9 4 ,解得 n1 = 1 或 n2 =-2,不符合题意,舍去. 综上所述,n 的取值范围为- 1 2 ≤n≤1. 23 参考答案与重难题解析·数学12　 二 轮 专 题 培 优 练 答 案 ∴ MN∥CD, 作 MR⊥y 轴于 R,则CR CO =RM OB =CM CB = 5 4 , ∴ CR= 3 5 4 ,RM= 3 5 2 ,∴ OR=CO-CR= 3-3 5 4 , 作 MQ∥y 轴,NQ⊥MQ 于点 Q, 则∠NMQ= ∠DCO,∠NQM= ∠DOC= 90°, ∴ △COD∽△MQN,∴ MQ NQ =CO DO = 4 3 , ∵ 在 Rt△MQN 中,MQ2 +NQ2 =MN2 , ∴ MQ= 4 5 MN= 12 5 5 ,NQ= 3 5 MN= 9 5 5 , ∴ NQ-RM= 3 5 10 ,OR+MQ= 60 +33 5 20 , ∴ N(-3 5 10 ,60 +33 5 20 ) . 综上所述,满足要求的 N 点坐标有(3 5 2 ,12 +3 5 4 ),(3 5 , 3),(-3 5 10 ,60 +33 5 20 ) . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 专题五　 二次函数图象与性质的应用 突破设问 1　 交点问题 例 1　 (1) t>4 或 t≤0　 (2)0<t<3 或 t= 4　 (3)3≤t<4 例 2　 (1) t>4 或 t<0　 (2) t= 4 或 0≤t<3　 (3)3≤t<4 例 3　 (1)①-3,-1　 ②0,2　 (2)h>2 或 h<-3 (3)-3≤h<-1 或 0<h≤2　 (4)-1≤h≤0 突破设问 2　 含参最值问题 例 1　 D 步骤 1　 确定二次函数图象的对称轴、开口方向 ①1　 ②不确定 步骤 2　 分类讨论与数形结合 ②当 x=-1 时,函数有最小值 2,则 m+2m+3=2,解得 m=- 1 3 例 1 题解图② 步骤 3　 得出结论　 1 或- 1 3 例 2　 b≥46 13 步骤 1　 确定二次函数图象的对称轴、开口方向 ①向下　 ②b 步骤 2　 分类讨论与数形结合 ③如解图③,对称轴在自变量取值范围内,即 4≤b≤5,当 x = 6 时,y 有最小值,-62 +12b+b-1≥9 得 b≥46 13 ,∴ 4≤b≤5; ④如解图④,对称轴在自变量取值范围左侧,即 0<b<4,当 x = 6 时,y 有最小值,∴ -62+12b+b-1≥9,解得 b≥46 13 , ∴ 46 13 ≤b<4 图③ 　 　 图④ 例 2 题解图 步骤 3　 得出结论　 b≥46 13 例 3　 -9 或 7 步骤 1　 确定二次函数图象的对称轴、开口方向 ①向上 ②y 轴(或直线 x= 0),(0,2) 步骤 2　 分类讨论 ③当点 F 在 y 轴右侧,点 E 在 y 轴左侧或 y 轴上,且点 F 到 y 轴的距离大于等于点 E 到 y 轴的距离时,此时-1≤m≤0,∴ t = y2 -y最小值 = 1,即 1 32 (m+2) 2 + 2- 2 = 1,解得 m = - 2± 4 2 (舍 去) ④当点 E 在 y 轴右侧时, 此时 m > 0, ∴ t = y2 - y1 = 1, 即 1 32 (m+2) 2 +2-( 1 32 m2 +2)= 1,解得 m= 7 步骤 3　 得出结论　 -9 或 7 突破设问 3　 大小比较 例 1　 y3 >y1 >y2 　 【解析】解法一:将点 A(0,y1 ),B( 1 2 ,y2 ), C(3,y3 )代入抛物线解析式 y = (x-1) 2 +k 可得 y1 = k+1,y2 = k+ 1 4 ,y3 = k+4,∴ y3 >y1 >y2 . 多解法 解法二:根据题意可知抛物线的对称轴为直线 x = 1,点 C(3,y3)关于直线 x= 1 对称的点的坐标为(-1,y3),∵ 抛 物线开口向上,∴ 在对称轴左侧 y 随 x 的增大而减小,∴ y3 >y1 >y2 . 解法三:∵ y=(x-1) 2 +k 的开口向上,且对称轴为直线 x = 1, | 3-1 | > | 0-1 | > | 1 2 -1 | ,∴ y3 >y1 >y2 . 例 2　 A　 【解析】∵ A,B 分别位于抛物线对称轴的两侧, ∴ 2n+3<1<n-1 或 n-1<1<2n+3,∴ -1<n<2,由题意得,抛 物线的对称轴是直线x= - -2 2 = 1. ∵ a = 1> 0,∴ 抛物线开口 向上,∴ 抛物线上的点离对称轴越近函数值越小,又∵ y1 <y2 , ∴ | 2n+3-1 | < | n-1-1 | ,即 | 2n+2 | < | n-2 | . ∴ 2n+2<2-n, ∴ n<0. 综上所述,-1<n<0. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 21 参考答案与重难题解析·数学 13　 二 轮 专 题 培 优 练 答 案 综合训练 1. A　 【解析】令 3x+19 = x2 +4x-1,整理得 x2 +x-20 = 0,解得 x1 = -5,x2 = 4,∴ 直线 y = 3x+19 与抛物线的交点的横坐标 为-5,4,∵ y= x2 +4x-1 = (x+2) 2 -5,∴ 抛物线开口向上,对 称轴为直线 x= -2,顶点为(-2,-5),把 y= -5 代入 y= 3x+ 19,解得 x= -8,若 y1 = y2 = y3 ,x1 <x2 <x3 ,则-8<x1 <-5,x2 + x3 = -4,∴ -12<x1 +x2 +x3 <-9. 2. D 思维构建 “倍值点”都在直线 y= 2x 上,二次函数有两个“倍值点”,则 二次函数的图象与直线 y=2x 有两个交点. 【解析】易得点(k,2k)在直线 y= 2x 上,∵ 关于 x 的二次函 数 y= ( t+1)x2 +( t+2) x+s( s,t 为常数, t≠-1)总有两个不 同的倍值点,∴ 二次函数 y= ( t+1) x2 +( t+2) x+s( s,t 为常 数,t≠-1)的图象与直线 y = 2x 有两个交点,令( t+ 1) x2 + ( t+2)x+s= 2x,则( t+1) x2 +tx+s = 0,∴ Δ = t2 -4s( t+1) >0. 令 y′= t2 -4s( t+1)= t2 -4st-4s,∵ y′>0,∴ Δ′= ( -4s) 2 +16s = 16s2 +16s<0,即 s( s+1)<0,解得-1<s<0. 3. B 速解技巧 特殊值法: 观察 A,B,C,D 四个选项,发现 A,C 含 k= 0,B,D 中不含 k = 0,∴ 令 k= 0,则 y= -x2 - 5 4 ,∴ 此时函数图象与 x 轴无交 点,故排除 A,C. ∵ B 中含有 k= 1,D 中不含 k= 1,∴ 令 k= 1,则y= -x2 +x- 1 4 = -(x- 1 2 ) 2,该函数图象与 x 轴有一交 点( 1 2 ,0),故排除 D,则 B 选项正确. 4. >;- 1 2 <m<1　 【解析】∵ y = -x2 +4x-1 = -(x-2) 2 +3,∴ 二 次函数 y = -x2 + 4x- 1 图象的对称轴为直线 x = 2,开口向 下,∵ 0<x1 <1,x2 >4,∴ 2-x1 <x2 -2,即(x1 ,y1 )比(x2 ,y2 )离 对称轴的水平距离近,∴ y1 >y2 ;∵ m<x1 <m+1,m+1<x2 <m+ 2,m+2<x3 <m+3,∴ x1 <x2 <x3 ,∵ 对于 m<x1 <m+1,m+1<x2 <m+2,m+ 2<x3 <m+ 3,存在 y1 <y3 <y2 ,∴ x1 < 2,x3 > 2,且 A(x1 ,y1 )离对称轴最远,B(x2 ,y2 )离对称轴最近,∴ 2-x1 > x3 -2> | x2 -2 | ,∴ x1 +x3 <4,且 x2 +x3 >4,∵ 2m+2<x1 +x3 <2m +4,2m+3<x2 +x3 <2m+5,∴ 2m+2<4,且 2m+5>4,解得- 1 2 <m<1. 5. 解:( 1)解法一:当 m = n 时,点( 1,m),( 3,n) 的纵坐标 相等, 由抛物线的对称性可得,抛物线的对称轴为x= 1 +3 2 = 2, ∴ t= 2, ∵ c= 2,∴ 抛物线与 y 轴交点的坐标为(0,2); 多解法 解法二:将点(1,m),(3,n)代入抛物线 y=ax2 +bx+c, ∴ m=a+b+c, n= 9a+3b+c,{ ∵ m=n, ∴ a+b+c= 9a+3b+c,整理,得 b= -4a, ∴ 抛物线的对称轴为直线 x= - b 2a = --4a 2a = 2, ∴ t= 2, ∵ c= 2, ∴ 抛物线与 y 轴交点的坐标为(0,2); (2)∵ m<n<c,∴ a+b+c<9a+3b+c<c, 解得-4a<b<-3a,∴ 3a<-b<4a, ∴ 3a 2a <- b 2a <4a 2a ,即 3 2 <t<2; 由题意可知,点(x0 ,m)与点(1,m)关于 x= t 对称, ∴ t= x0 +1 2 , 当 t= 3 2 时,x0 = 2; 当 t= 2 时,x0 = 3, ∴ x0 的取值范围为 2<x0 <3. 综上所述,t 的取值范围为 3 2 <t<2;x0 的取值范围为 2<x0<3. 6. 解:(1)由题意得 - b 2 = 1, 1-b+c= 0, { 解得 b= -2,c= -3,{ ∴ 抛物线的函数表达式为 y= x2 -2x-3; (2)∵ y= x2 -2x-3 = (x-1) 2 -4, ∴ 当 x= 1 时,ymin = -4≠-2, ∴ 当 m= 0 时,在自变量 x 的值满足 2≤x≤3 的情况下的 最小值不为-2; 令 y= -2,得 x2 -2x-3 = -2, 解得 x= 1+ 2或 x= 1- 2 , 当抛物线向左平移 m 个单位长度时, ∵ 2≤1+ 2 ≤3,且当 2≤x≤3 时,y 随 x 的增大而增大, ∴ m= 1+ 2 -2 = 2 -1, 当抛物线向右平移 m 个单位长度时,m = 3 - ( 1 - 2 ) = 2+ 2 , 综上所述,m= 2 -1 或 m= 2+ 2 . 7. 解:(1)当 a= 0 时,A(4,0), 把 O(0,0),A(4,0)分别代入 y= - 1 2 x2 +bx+c 得, c= 0, -8+4b+c= 0,{ ∴ b= 2, c= 0,{ ∴ y 关于 x 的函数表达式为 y= - 1 2 x2 +2x. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 31 参考答案与重难题解析·数学14　 二 轮 专 题 培 优 练 答 案 ∵ y= - 1 2 x2 +2x= - 1 2 (x-2) 2 +2, ∴ 当 x= 2 时,y 有最大值,最大值为 2; (2)在 0≤x≤4 范围内,y 存在最大值 10, ∵ 二次函数的图象经过原点 O 和点 A(4+a,0), ∴ c= 0, - 1 2 ×(4+a) 2 +b(4+a)+c= 0,{ ∴ b= 1 2 (4+a), c= 0, { ∴ y= - 1 2 x2 + 1 2 (4+a)x= - 1 2 (x-4 +a 2 ) 2 +(4 +a) 2 8 . ∴ 抛物线 y= - 1 2 x2 + 1 2 (4+a)x 的对称轴为直线x=a +4 2 . ①当a +4 2 ≥4,即 a≥4 时, ∴ 当 x= 4 时,y= - 1 2 x2 + 1 2 (4+a)x 取得最大值. ∴ - 1 2 ×42 + 1 2 (4+a)×4 = 10,解得 a= 5. ∴ 当 a 的值为 5,x 的值为 4 时,y 取得最大值 10; ②当a +4 2 <4,即 0<a<4 时, ∴ 当 x=a +4 2 时,y= - 1 2 x2 + 1 2 (4+a)x 取得最大值. ∴ (4 +a) 2 8 = 10,解得 a= -4-4 5 (小于 0,舍去)或 a= -4+4 5 (大于 4,舍去), 综上所述,当 a 的值为 5,x 的值为 4 时,y 取得最大值 10. 8. 解:(1)①-2,(-1,0);【解法提示】∵ 二次函数 y = x2 +bx- 3 过点 A(3,0),∴ 9+3b-3 = 0. ∴ b = -2. ∴ 二次函数表达 式为 y= x2 -2x-3. 令 y= 0,∴ x2 -2x-3 = 0. 解得 x = -1 或 x = 3,∴ B(-1,0) . ②由题意,令 y= x2 -2x-3 = 5,∴ x= 4 或 x= -2. 又∵ a= 1>0,∴ 二次函数图象开口向上, ∴ 当 0<y<5 时,满足题意的自变量有两部分, ∴ -2<x<-1 或 3<x<4; (2)由题意,∵ 对于一切实数 x,若函数值 y>t 总成立,即 x2 +bx-3>t 恒成立,即 x2 +bx-3-t>0. ∵ y= x2 +bx-3-t 开口向上, ∴ Δ= b2 -4(-3-t)<0,∴ t<-b 2 +12 4 ; (3)由题意,二次函数图象上横坐标为 x = 1 与 x = 2 的两 点关于对称轴对称, ∴ 对称轴 x= - b 2 = 1+2 2 ,∴ b= -3, ∴ 二次函数为 y= x2 -3x-3 = (x- 3 2 ) 2 -21 4 , ∴ 当 x= 1 或 x= 2 时,y= -5,即此时 n= -5. ∵ m<y<-5 时,自变量 x 的取值范围是 1<x<2, ∴ m<-21 4 . 9. 解:存在整数 a,使图象 T与 x 轴的公共点中有整点, 当 a= - 1 2 时,函数表达式为 y= 12x+6, 令 y= 0,得 x= - 1 2 不符合题意; 当 a≠- 1 2 时,在 y= (4a+2)x2 +(9-6a)x-4a+4 中,令 y = 0,得 0 = (4a+2)x2 +(9-6a)x-4a+4, 解得 x= - 1 2 或 x= 4a -4 2a+1 , ∵ x= 4a -4 2a+1 = 2- 6 2a+1 ,a 是整数, ∴ 当 2a+1 是 6 的因数时,4a -4 2a+1 是整数, ∴ 2a+1 = -6 或 2a+1 = -3 或 2a+1 = -2 或 2a+1 = -1 或 2a +1 = 1 或 2a+1 = 2 或 2a+1 = 3 或 2a+1 = 6, 解得 a= - 7 2 或 a= -2 或 a= - 3 2 或 a= -1 或 a= 0 或 a= 1 2 或 a= 1 或 a= 5 2 , ∵ a 是整数, ∴ a= -2 或 a= -1 或 a= 0 或 a= 1. 10. 题干话外音 题干:抛物线 y= -x2 +bx 的顶点横坐标比抛物线 y = -x2 + 2x 的顶点横坐标大 1. 提取信息: b 2 -1 = 1. 题干:点 A(x1,y1)在抛物线 y = -x 2 +2x 上,点 B(x1 +t,y1 +h)在抛物线 y= -x2 +bx 上. 提取信息:y1 = -x 2 1 +2x1,y1 +h= -(x1 +t) 2 +4(x1 +t) . 题干:h= 3t. 提取信息:要求 h 的值只需求出 t 的值即可. 题干:x1 = t-1. 提取信息:可消去式子中的参数 x1,使式子中只含 t. 解:(1)∵ 抛物线 y= -x2 +bx 的顶点横坐标为 b 2 , y= -x2 +2x 的顶点横坐标为 1, ∴ b 2 -1 = 1,∴ b= 4; (2)∵ 点 A(x1 ,y1 )在抛物线 y= -x 2 +2x 上, ∴ y1 = -x 2 1 +2x1 , ∵ B(x1 +t,y1 +h)在抛物线 y= -x 2 +4x 上, ∴ y1 +h= -(x1 +t) 2 +4(x1 +t), -x21 +2x1 +h= -(x1 +t) 2 +4(x1 +t), ∴ h= -t2 -2x1 t+2x1 +4t. ①∵ h= 3t,∴ 3t= -t2 -2x1 t+2x1 +4t, ∴ t( t+2x1 )= t+2x1 , ∵ x1 ≥0,t>0,∴ t+2x1 >0,∴ t= 1,∴ h= 3; ②将 x1 = t-1 代入 h= -t 2 -2x1 t+2x1 +4t, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 41 参考答案与重难题解析·数学 15　 二 轮 专 题 培 优 练 答 案 ∴ h= -3t2 +8t-2 = -3( t- 4 3 ) 2 +10 3 , ∵ -3<0, ∴ 当 t= 4 3 ,即 x1 = 1 3 时,h 取最大值10 3 . 11. 解:(1)由题意,∵ 二次函数为 y= x2 +bx+c, ∴ 抛物线的对称轴为直线 x= - b 2 = - 1 2 , ∴ b= 1,∴ 二次函数的表达式为 y= x2 +x+c. 又∵ 抛物线经过点 A(-2,5),∴ 4-2+c= 5, ∴ c= 3,∴ 二次函数的表达式为 y= x2 +x+3; (2)由题意,∵ 点 B(1,7)向上平移 2 个单位长度,向左平 移 m 个单位长度(m>0), ∴ 平移后的点为(1-m,9) . 又∵ (1-m,9)在 y= x2 +x+3 的图象上, ∴ 9 = (1-m) 2 +(1-m)+3, ∴ m= 4 或 m= -1(舍去),∴ m= 4; (3)由题意,当 n<- 1 2 时, 最大值与最小值的差为 5-[(n+ 1 2 ) 2 +11 4 ] = 9 4 , 解得 n1 =n2 = - 1 2 ,不符合题意,舍去. 当- 1 2 ≤n≤1 时, 最大值与最小值的差为 5-11 4 = 9 4 ,符合题意. 当 n>1 时,最大值与最小值的差为(n+ 1 2 )2+11 4 -11 4 = 9 4 , 解得 n1 = 1 或 n2 = -2,不符合题意,舍去. 综上所述,n 的取值范围为- 1 2 ≤n≤1. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 专题六　 曲线型(圆)几何综合题 突破设问 1　 切线判定 例 1　 证明:如解图,连接 OD, 例 1 题解图 ∵ OD=OB,∴ ∠1 = ∠ODB, ∵ ∠A= 2∠1,∠DOC= 2∠1, ∴ ∠A= ∠DOC, ∵ ∠ABC= 90°,∴ ∠A+∠C= 90°, ∴ ∠DOC+∠C= 90°, ∴ ∠CDO= 90°. ∵ OD 是☉O 的半径, ∴ AC 是☉O 的切线. 例 2 题解图 例 2　 证明:如解图,连接 OA, ∵ CD 是☉O 的直径,∴ ∠CAD= 90°, ∴ ∠C+∠D= 90°, ∵ OA=OD,∴ ∠OAD= ∠D, ∵ ∠BAD= ∠C, ∴ ∠OAB = ∠OAD + ∠BAD = ∠D + ∠C = 90°, ∵ OA 是☉O 的半径, ∴ AB 是☉O 的切线. 例 3 题解图 例 3　 证明:如解图,连接 OC, ∵ OA=OC,∴ ∠OAC= ∠OCA, ∵ AC 平分∠PAB, ∴ ∠PAC= ∠OAC, ∴ ∠PAC= ∠OCA,∴ OC∥AP, ∵ ∠P= 90°,∴ ∠PCO= 90°, ∵ OC 是☉O 的半径, ∴ PC 是☉O 的切线. 例 4　 证明:如解图,连接 OA, ∵ 点 A 是 CD ( 的中点, ∴ OA⊥CD, 例 4 题解图 ∵ AB∥CD,∴ OA⊥AB, ∵ OA 是☉O 的半径, ∴ AB 是☉O 的切线. 例 5　 证明:如解图,连接 OC, ∵ AD 是☉O 的切线,∴ ∠DAO= 90°, ∵ OD⊥AC, 例 5 题解图 ∴ OD 是 AC 的垂直平分线, ∴ AD=CD, 又∵ OA=OC,OD=OD, ∴ △AOD≌△COD(SSS), ∴ ∠OCD= ∠OAD= 90°, ∵ OC 是☉O 的半径, ∴ CD 是☉O 的切线. 突破设问 2　 线段问题 例 1　 2 3 　 【解析】如解图,连接 AC,则∠ACB = ∠CEB = 90°,∵ 点 C 为 AD ( 的中点,∴ ∠ABC = ∠EBC,∴ △ACB∽ △CEB,∴ AB BC =BC BE ,∴ 4 BC =BC 3 ,∴ BC= 2 3 . 例 1 题解图 例 2　 证明:∵ AB 平分∠DBC, ∴ ∠ABD= ∠ABC,∴ AD=AC, ∴ ∠ABC= ∠ACE, 又∵ ∠EAC= ∠CAB, ∴ △EAC∽△CAB, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 51