类型5 相似，全等存在性问题-【一战成名新中考】2025年中考数学·纯练版总复习·二轮专题培优练

二轮专题培优练·数学 专 题 四 二 次 函 数 与 几 何 图 形 综 合 题 类型 5　 相似、全等存在性问题 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 热身小练 1. 若△ABC∽△A′B′C′,∠A= 60°,则∠A′= 　 60　 °, AB A′B′ = BC (　 　 ) . 2. 若以点 D,E,F 为顶点的三角形与△ABC 相似,且∠A= ∠D,AB AC = 1 2 ,则DE DF = 　 　 　 　 　 . 3. 已知直线 l 与 x 轴交于点 B,与 y 轴交于点 C,点 F 是线段 BC 上一点,FM⊥x 轴于点 M, 点 O 是坐标原点. 若点 E 是直线 FM 上一点,请在图中画出当△CEF 和△COB 相似时点 E 的位置草图. 第 3 题图 解:点 E 的位置如解图所示. 针对训练 1. (2024 内江节选)如图,在平面直角坐标系中,一次函数 y= -2x+6 的图象与 x 轴交于点 A,与 y 轴 交于点 B,抛物线 y= -x2 +bx+c 经过 A、B 两点,在第一象限的抛物线上取一点 D,过点 D 作 DC⊥ x 轴于点 C,交 AB 于点 E. (1)求这条抛物线所对应的函数表达式; (2)是否存在点 D,使得△BDE 和△ACE 相似? 若存在,请求出点 D的坐标,若不存在,请说明理由. 第 1 题图 备用图 12 二轮专题培优练·数学 专 题 四 二 次 函 数 与 几 何 图 形 综 合 题 2. (2022 桂林)如图,抛物线 y= -x2 +3x+4 与 x 轴交于 A,B 两点(点 A 位于点 B 的左侧),与 y 轴交 于 C 点,抛物线的对称轴 l 与 x 轴交于点 N,长为 1 的线段 PQ(点 P 位于点 Q 的上方)在 x 轴上 方的抛物线对称轴上运动. (1)直接写出 A,B,C 三点的坐标; (2)过点 P 作 PM⊥y 轴于点 M,当△CPM 和△QBN 相似时,求点 Q 的坐标. 第 2 题图 解:(1)A(-1,0),B(4,0),C(0,4); 【解法提示】在 y=-x2+3x+4 中,令 x= 0 得 y= 4,令 y= 0 得 x=-1 或 x= 4. (2)由 y=-x2+3x+4 得抛物线对称轴为直线 x=- 3 -2 = 3 2 , 设 Q( 3 2 ,t),则 P( 3 2 ,t+1),M(0,t+1),N( 3 2 ,0), ∵B(4,0),C(0,4), ∴BN= 5 2 ,QN= t,PM= 3 2 ,CM= | t-3 | , ∵∠CMP=∠QNB= 90°, ∴△CPM 和△QBN 相似,只需CM QN =PM BN 或 CM BN =PM QN , ①当CM QN =PM BN 时, | t -3 | t = 3 2 5 2 , 解得 t= 15 2 或 t= 15 8 , ∴Q( 3 2 ,15 2 )或( 3 2 ,15 8 ); ②当CM BN =PM QN 时, | t -3 | 5 2 = 3 2 t , 解得 t= 3 +2 6 2 或 t= 3 -2 6 2 (舍去), ∴Q( 3 2 ,3 +2 6 2 ), 综上所述,点 Q 的坐标是( 3 2 ,15 2 )或( 3 2 ,15 8 )或( 3 2 ,3 +2 6 2 ) . 22 二轮专题培优练·数学 专 题 四 二 次 函 数 与 几 何 图 形 综 合 题 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 第 2 题图 热身小练 1. 已知,△ABC 和△DEF. (1)若∠A=∠D,再添加两个条件 AB=　 DE　 ,AC=　 DF　 或 AB=　 DF　 ,AC=　 DE　 ,可 使△ABC 和△DEF 全等; (2)若∠B=∠E,∠C=∠F,再添加一个条件使△ABC 和△DEF 全等,这样的条件有　 3　 个, 请写出所有可以添加的条件:　 BC=EF 或 AB=DE 或 AC=DF　 ; (3)若 AB=DE,再添加两个条件 AC= 　 DF　 ,BC= 　 EF　 或 AC= 　 EF　 ,BC= 　 DF　 , 可使△ABC 和△DEF 全等. 2. 已知直线 BC 与 x 轴交于点 C,与 y 轴交于点 B,点 E 是线段 BC 上一点,过点 E 作 BC 的 垂线 l,点 F 是直线 BC 上一点,过点 F 作 x 轴的平行线与直线 l 交于点 D,若已知△DEF 与△BOC 全等,OB= 4,则可以确定△DEF 中哪条边的长? 并说明理由. 解:若已知△DEF 与△BOC 全等,OB= 4, 则可以确定△DEF 中 DE= 4,理由如下: ∵DF∥x 轴, ∴∠DFE=∠BCO, ∵∠BOC=∠DEF= 90°,△DEF 与△BOC 全等, ∴EF=OC,DE=OB= 4. 针对训练 3. (2024 陕西模拟)如图,在平面直角坐标系中,二次函数 y = - 1 2 x2 +x+4 的图象与 x 轴交于 A、B 两 点(A 在 B 的左侧),其顶点为 P,对称轴与 x 轴交于点 H. (1)求点 A、P 的坐标; (2)连接 AP,点 D 是该二次函数图象第四象限上的动点,过 D 作 DE⊥x 轴于点 E,点 F 是 x 轴 上一点,是否存在以点 D、E、F 为顶点的三角形与△APH 全等? 若存在,求出所有满足条件 的点 D 的坐标;若不存在,请说明理由. 第 3 题图 解:(1)A(-2,0),P(1, 9 2 ); (2)存在,∵H在二次函数 y=- 1 2 x2+x+4=- 1 2 (x-1)2+ 9 2 的对称轴上且交于 x 轴, ∴H(1,0),∵A(-2,0),P(1, 9 2 ),∴ |AH | = 3, |PH | = 9 2 , 设点 D(a,- 1 2 a2+a+4),∵DE⊥x 轴于点 E,点 F 是 x 轴上一点, ∴E(a,0),∴ |ED | = 1 2 a2-a-4,∵以点 D、E、F 为顶点的三角形与△APH 全等, ∴当△AHP≌△DEF 时,AH=DE,∴3= 1 2 a2-a-4, 解得 a1 = 1+ 15,a2 = 1- 15(舍),∴D(1+ 15,-3); 当△AHP≌△FED 时,PH=ED,∴ 9 2 = 1 2 a2-a-4,解得 a1 = 3 2 +1,a2 = 1-3 2(舍),∴D(3 2 +1,- 9 2 ); 综上所述,当点 D 的坐标为(1+ 15,-3)或(3 2 +1,- 9 2 )时,存在以点 D、E、F 为顶点的三角形与 △APH 全等. 32 二轮专题培优练·数学 专 题 四 二 次 函 数 与 几 何 图 形 综 合 题 4. 如图①,二次函数 y= - 1 8 x2 + 1 4 x+3 的图象交 x 轴于 A、B 两点(点 A 在点 B 的左侧),交 y 轴于 C 点,连接 AC,过点 C 作 CD⊥AC 交 AB 于点 D. (1)求点 D 的坐标; (2)如图②,在直线 BC 上取一点 M(不与点 B 重合),在直线 CD 的右上方是否存在这样的点 N,使得以 C、M、N 为顶点的三角形与△BCD 全等? 若存在,请求出点 N 的坐标;若不存在, 请说明理由. 图① 　 　 　 　 图② 第 4 题图 解:(1)令 x= 0,则 y= 3,∴C(0,3),∴OC= 3. 令 y= 0,则- 1 8 x2+ 1 4 x+3= 0,解得 x1 =-4,x2 = 6, ∴A(-4,0),B(6,0),∴OA= 4,OB= 6. ∵CD⊥AC,∴∠ACD= 90°, ∵CO⊥AD,∴OC2 =OA·OD,∴OD= 9 4 ,∴D( 9 4 ,0); (2)存在. ∵B(6,0),C(0,3),D( 9 4 ,0),∴CD=BD= 15 4 ,BC= 3 5,∴∠DCB=∠DBC. ①如解图①,△CMN≌△DCB,MN 交 y 轴于 K, 则 CM=CN=DC=DB= 15 4 ,MN=BC= 3 5,∠CMN=∠CNM=∠DBC=∠DCB, ∴MN∥AB,∴MN⊥y 轴,∴∠CKN=∠COB= 90°,MK=NK= 1 2 MN= 3 5 2 , ∴△CKN∽△COB,∴KN CK =OB OC = 2,∴CK= 3 5 4 ,∴OK=OC+CK= 12 +3 5 4 , ∴N(3 5 2 ,12 +3 5 4 ) . ②如解图②,△MCN≌△DBC,则 CN=CB= 3 5,∠MCN=∠DBC, ∴CN∥AB,∴N(3 5,3) . ③如解图③,△CMN≌△DBC,则∠CMN = ∠DCB,CM = CN = DC = DB = 15 4 ,MN = BC = 3 5,∴ MN ∥CD, 作 MR⊥y 轴于 R,则CR CO =RM OB =CM CB = 5 4 ,∴CR= 3 5 4 ,RM= 3 5 2 ,∴OR= 3-3 5 4 , 作 MQ∥y 轴,NQ⊥MQ 于点 Q,则∠NMQ=∠DCO,∠NQM=∠DOC= 90°, ∴△COD∽△MQN,∴MQ NQ =CO DO = 4 3 ,∴MQ= 4 5 MN= 12 5 5 ,NQ= 3 5 MN= 9 5 5 , ∴NQ-RM= 3 5 10 ,OR+MQ= 60 +33 5 20 ,∴N(-3 5 10 ,60 +33 5 20 ) . 综上所述,满足要求的 N 点坐标有(3 5 2 ,12 +3 5 4 )、(3 5,3)、(- 3 5 10 ,60 +33 5 20 ) . 42 参考答案与重难题解析·数学10　 二 轮 专 题 培 优 练 答 案 于点 Q,过点 B 作 BG⊥TQ 于点 G,则 OB = GQ = 3, ∴ ∠CTB= 90° = ∠CQT = ∠QGB, ∴ ∠QCT + ∠CTQ = 90° = ∠CTQ+∠BTG,∴ ∠QCT = ∠BTG,∵ CT = BT,∴ △CQT≌ △TGB,∴ QT=GB,CQ=TG,设 TQ=GB=m,则 CQ=TG = 3- m,∵ C(0,2),∴ QO = 3-m-2 = 1-m,∵ OQ = BG,∴ 1-m = m,解得 m= 1 2 ,∴ T( 1 2 ,- 1 2 ),设直线 CT 的解析式为 y = nx+2,∴ 1 2 n+2 = - 1 2 ,解得 n = -5,∴ 直线 CT 的解析式为 y = - 5x + 2, 联 立 y= - 2 3 x2 + 4 3 x+2, y= -5x+2, { 解 得 x= 0,y= 2{ 或 x= 19 2 , y= - 91 2 , ì î í ï ï ï ï ∴ M( 19 2 ,- 91 2 ),同理可得 K( 5 2 , 5 2 ),直线 CK 的解析式为 y = 1 5 x + 2, 联立 y= - 2 3 x2 + 4 3 x+2, y= 1 5 x+2, ì î í ï ï ï ï 解得 x= 17 10 , y= 117 50 ì î í ï ï ï ï 或 x= 0, y= 2,{ ∴ M ( 17 10 , 117 50 ), 综上, 点 M 的坐标为 ( 19 2 ,-91 2 )或( 17 10 ,117 50 ) . 第 2 题解图 类型 5　 相似、全等存在性问题 热身小练 1. 60,B′C′　 2. 2 或 1 2 3. 解:点 E 的位置如解图所示. 第 3 题解图 针对训练 1. 解:(1)令 y= 0,则-2x+6 = 0,解得 x= 3, 令 x= 0,则 y= 6, ∴ A(3,0),B(0,6), 把 A(3,0),B(0,6)代入 y= -x2 +bx+c, 得 -9+3b+c= 0, c= 6,{ 解得 b= 1, c= 6,{ ∴ 抛物线所对应的函数表达式为 y= -x2 +x+6; (2)存在,设点 D( t,-t2 +t+6), ∵ △BDE 和△ACE 相似,∠BED= ∠AEC, ∴ △ACE∽△BDE 或△ACE∽△DBE, ①如解图①,当△ACE∽△BDE 时,∠BDE= ∠ACE= 90°, ∴ BD∥AC,∴ D 点纵坐标为 6, ∴ -t2 +t+6 = 6,解得 t= 0 或 t= 1,∴ D(1,6); 第 1 题解图① 　 　 第 1 题解图② ②如解图②,当△ACE∽△DBE 时,∠BDE= ∠CAE, 过 B 作 BH⊥DC 于点 H,则 H( t,6),BH = t,DH = -t2 +t, ∠BHD= 90°, ∴ BH DH = tan∠BDE= tan∠CAE=OB OA , ∴ t -t2 +t = 6 3 = 2,∴ -2t2 +2t= t, 解得 t= 0(舍去)或 t= 1 2 ,∴ -t2 +t+6 = 25 4 , ∴ D( 1 2 ,25 4 ), 综上所述,点 D 的坐标为(1,6)或( 1 2 ,25 4 ) . 2. 解:(1)A(-1,0),B(4,0),C(0,4);【解法提示】在 y= -x2 + 3x+4 中,令 x= 0 得 y= 4,令 y= 0 得 x= -1 或 x= 4. (2)抛物线 y= -x2 +3x+4 的对称轴为直线 x= - 3-2 = 3 2 , 设 Q( 3 2 ,t),则 P( 3 2 ,t+1),M(0,t+1),N( 3 2 ,0), ∵ B(4,0),C(0,4), ∴ BN= 5 2 ,QN= t,PM= 3 2 ,CM= | t-3 | , ∵ ∠CMP= ∠QNB= 90°, ∴ △CPM 和△QBN 相似,只需CM QN =PM BN 或 CM BN =PM QN , ①当CM QN =PM BN 时, | t -3 | t = 3 2 5 2 ,解得 t= 15 2 或 t= 15 8 , ∴ Q( 3 2 ,15 2 )或( 3 2 ,15 8 ); ②当CM BN =PM QN 时, | t -3 | 5 2 = 3 2 t , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 01 参考答案与重难题解析·数学 11　 二 轮 专 题 培 优 练 答 案 解得 t= 3 +2 6 2 或 t= 3 -2 6 2 (舍去), ∴ Q( 3 2 ,3 +2 6 2 ), 综上所述,点 Q 的坐标是( 3 2 , 15 2 ) 或( 3 2 , 15 8 ) 或 ( 3 2 , 3+2 6 2 ) . 热身小练 1. (1)DE,DF,DF,DE; (2)3,BC=EF 或 AB=DE 或 AC=DF; (3)DF,EF,EF,DF 2. 解:若已知 △DEF 与 △BOC 全等,OB = 4, 则可以确定 △DEF 中 DE= 4,理由如下: ∵ DF∥x 轴, ∴ ∠DFE= ∠BCO, ∵ ∠BOC= ∠DEF= 90°,△DEF 与△BOC 全等, ∴ EF=OC,DE=OB= 4. 针对训练 3. 解:(1)∵ 二次函数 y= - 1 2 x2 +x+4 的图象与 x 轴交于 A、B 两点(A 在 B 的左侧), 令 y= 0,即- 1 2 x2 +x+4 = 0,解得 x1 = -2,x2 = 4, ∴ A(-2,0),B(4,0), ∵ y= - 1 2 x2 +x+4 = - 1 2 (x-1) 2 + 9 2 , ∴ P(1, 9 2 ); (2)存在, ∵ 点 H 在二次函数 y= - 1 2 x2 +x+ 4 = - 1 2 (x- 1) 2 + 9 2 的对 称轴上且交于 x 轴,∴ H(1,0), ∵ A(-2,0),P(1, 9 2 ), ∴ AH= 3,PH= 9 2 , 设点 D(a,- 1 2 a2 +a+4), ∵ DE⊥x 轴于点 E,点 F 是 x 轴上一点, ∴ E(a,0),∴ DE= 1 2 a2 -a-4, ∵ 以点 D,E,F 为顶点的三角形与△APH 全等, ∴ 当△AHP≌△DEF 时,AH=DE, ∴ 3 = 1 2 a2 -a-4,解得 a1 = 1+ 15 ,a2 = 1- 15 (舍), ∴ D(1+ 15 ,-3); 当△AHP≌△FED 时,PH=DE, ∴ 9 2 = 1 2 a2 -a-4,解得 a1 = 3 2 +1,a2 = 1-3 2 (舍), ∴ D(3 2 +1,- 9 2 ); 综上所述,当点 D 的坐标为( 1 + 15 , - 3) 或( 3 2 + 1, - 9 2 )时,存在以点 D、 E、 F 为顶点的三角形与 △APH 全等. 4. 解:(1)令 x= 0,则 y= 3, ∴ C(0,3),∴ OC= 3. 令 y= 0,则- 1 8 x2 + 1 4 x+3 = 0,解得 x1 = -4,x2 = 6, ∴ A(-4,0),B(6,0),∴ OA= 4,OB= 6. ∵ CD⊥AC,∴ ∠ACD= 90°, ∵ CO⊥AD,∴ △AOC∽△COD, ∴ OA OC =OC OD ,即 OC2 =OA·OD, ∴ OD= 9 4 ,∴ D( 9 4 ,0); (2)存在. ∵ B(6,0),C(0,3),D( 9 4 ,0), ∴ CD=BD= 15 4 ,BC= 3 5 , ∴ ∠DCB= ∠DBC. ①如解图①,△CMN≌△DCB,MN 交 y 轴于 K, 第 4 题解图① 则 CM=CN=DC=DB= 15 4 ,MN=BC= 3 5 ,∠CMN = ∠CNM = ∠DBC= ∠DCB, ∴ MN∥AB,∴ MN⊥y 轴, ∴ ∠CKN= ∠COB= 90°,MK=NK= 1 2 MN= 3 5 2 , ∴ △CKN∽△COB, ∴ KN CK =OB OC = 2,∴ CK= 3 5 4 , ∴ OK=OC+CK= 12 +3 5 4 , ∴ N(3 5 2 ,12 +3 5 4 ) . ②如解图②,△MCN≌△DBC, 则 CN=CB= 3 5 ,∠MCN= ∠DBC, ∴ CN∥AB,∴ N(3 5 ,3) . 第 4 题解图② 　 　 第 4 题解图③ ③如解图③,△CMN≌△DBC, 则∠CMN= ∠DBC= ∠DCB,CM =CN =DC = DB = 15 4 ,MN = BC= 3 5 , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 11 参考答案与重难题解析·数学12　 二 轮 专 题 培 优 练 答 案 ∴ MN∥CD, 作 MR⊥y 轴于 R,则CR CO =RM OB =CM CB = 5 4 , ∴ CR= 3 5 4 ,RM= 3 5 2 ,∴ OR=CO-CR= 3-3 5 4 , 作 MQ∥y 轴,NQ⊥MQ 于点 Q, 则∠NMQ= ∠DCO,∠NQM= ∠DOC= 90°, ∴ △COD∽△MQN,∴ MQ NQ =CO DO = 4 3 , ∵ 在 Rt△MQN 中,MQ2 +NQ2 =MN2 , ∴ MQ= 4 5 MN= 12 5 5 ,NQ= 3 5 MN= 9 5 5 , ∴ NQ-RM= 3 5 10 ,OR+MQ= 60 +33 5 20 , ∴ N(-3 5 10 ,60 +33 5 20 ) . 综上所述,满足要求的 N 点坐标有(3 5 2 ,12 +3 5 4 ),(3 5 , 3),(-3 5 10 ,60 +33 5 20 ) . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 专题五　 二次函数图象与性质的应用 突破设问 1　 交点问题 例 1　 (1) t>4 或 t≤0　 (2)0<t<3 或 t= 4　 (3)3≤t<4 例 2　 (1) t>4 或 t<0　 (2) t= 4 或 0≤t<3　 (3)3≤t<4 例 3　 (1)①-3,-1　 ②0,2　 (2)h>2 或 h<-3 (3)-3≤h<-1 或 0<h≤2　 (4)-1≤h≤0 突破设问 2　 含参最值问题 例 1　 D 步骤 1　 确定二次函数图象的对称轴、开口方向 ①1　 ②不确定 步骤 2　 分类讨论与数形结合 ②当 x=-1 时,函数有最小值 2,则 m+2m+3=2,解得 m=- 1 3 例 1 题解图② 步骤 3　 得出结论　 1 或- 1 3 例 2　 b≥46 13 步骤 1　 确定二次函数图象的对称轴、开口方向 ①向下　 ②b 步骤 2　 分类讨论与数形结合 ③如解图③,对称轴在自变量取值范围内,即 4≤b≤5,当 x = 6 时,y 有最小值,-62 +12b+b-1≥9 得 b≥46 13 ,∴ 4≤b≤5; ④如解图④,对称轴在自变量取值范围左侧,即 0<b<4,当 x = 6 时,y 有最小值,∴ -62+12b+b-1≥9,解得 b≥46 13 , ∴ 46 13 ≤b<4 图③ 　 　 图④ 例 2 题解图 步骤 3　 得出结论　 b≥46 13 例 3　 -9 或 7 步骤 1　 确定二次函数图象的对称轴、开口方向 ①向上 ②y 轴(或直线 x= 0),(0,2) 步骤 2　 分类讨论 ③当点 F 在 y 轴右侧,点 E 在 y 轴左侧或 y 轴上,且点 F 到 y 轴的距离大于等于点 E 到 y 轴的距离时,此时-1≤m≤0,∴ t = y2 -y最小值 = 1,即 1 32 (m+2) 2 + 2- 2 = 1,解得 m = - 2± 4 2 (舍 去) ④当点 E 在 y 轴右侧时, 此时 m > 0, ∴ t = y2 - y1 = 1, 即 1 32 (m+2) 2 +2-( 1 32 m2 +2)= 1,解得 m= 7 步骤 3　 得出结论　 -9 或 7 突破设问 3　 大小比较 例 1　 y3 >y1 >y2 　 【解析】解法一:将点 A(0,y1 ),B( 1 2 ,y2 ), C(3,y3 )代入抛物线解析式 y = (x-1) 2 +k 可得 y1 = k+1,y2 = k+ 1 4 ,y3 = k+4,∴ y3 >y1 >y2 . 多解法 解法二:根据题意可知抛物线的对称轴为直线 x = 1,点 C(3,y3)关于直线 x= 1 对称的点的坐标为(-1,y3),∵ 抛 物线开口向上,∴ 在对称轴左侧 y 随 x 的增大而减小,∴ y3 >y1 >y2 . 解法三:∵ y=(x-1) 2 +k 的开口向上,且对称轴为直线 x = 1, | 3-1 | > | 0-1 | > | 1 2 -1 | ,∴ y3 >y1 >y2 . 例 2　 A　 【解析】∵ A,B 分别位于抛物线对称轴的两侧, ∴ 2n+3<1<n-1 或 n-1<1<2n+3,∴ -1<n<2,由题意得,抛 物线的对称轴是直线x= - -2 2 = 1. ∵ a = 1> 0,∴ 抛物线开口 向上,∴ 抛物线上的点离对称轴越近函数值越小,又∵ y1 <y2 , ∴ | 2n+3-1 | < | n-1-1 | ,即 | 2n+2 | < | n-2 | . ∴ 2n+2<2-n, ∴ n<0. 综上所述,-1<n<0. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 21