类型4 角度问题-【一战成名新中考】2025年中考数学·纯练版总复习·二轮专题培优练

二轮专题培优练·数学 专 题 四 二 次 函 数 与 几 何 图 形 综 合 题 类型 4　 角度问题 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 热身小练 1. 如图,点 A 在 x 轴的负半轴上,请在 y 轴上画出点 P,使得∠PAO= 60°. 第 1 题图 解:点 P 位置如解图所示,AP= 2OA. 2. 在如图所示的网格坐标系中,点 A 的坐标是(4,0),点 B 的坐标是(0,2),请在图中作射 线 BP,使得∠PBA= 45°. 第 2 题图 解:作出射线 BP 如解图所示. 3. 如图,抛物线 L:y= -x2 +2x+3 经过点 A( -1,0),B(3,0),C(0,3) . (1)在 y 轴上取一点 P,使得∠ABP= ∠ACO,写出点 P 的坐标; (2)在(1)的条件下,求直线 BP 与抛物线 L 的交点 D 的坐标. 第 3 题图 解:(1)①在 y 轴正半轴上取一点 P,使得∠ABP =∠ACO,如解图,此时,△ACO≌△PBO,点 P 的坐标为(0,1);②在 y 轴负半轴上取一点 P′ (2)如解图,由点 B、P、P′的坐标可得直线 BP 的解析式为 y=- 1 3 x+1,直线 BP′的解析式为 y= 1 3 x-1, 当-x2+2x+3=- 1 3 x+1时,解得 x=3(舍去)或 x=- 2 3 ,则 y=- 1 3 x+1=11 9 ,∴点 D 的坐标为(- 2 3 ,11 9 ), 当-x2+2x+3= 1 3 x-1时,解得 x=3(舍去)或 x=- 4 3 ,则 y= 1 3 x-1=-13 9 ,∴点D′的坐标为(- 4 3 ,- 13 9 ) 综上所述,点 D 的坐标为(- 2 3 ,11 9 )或(- 4 3 ,- 13 9 ) . 91 二轮专题培优练·数学 专 题 四 二 次 函 数 与 几 何 图 形 综 合 题 针对训练 1. (2024 大庆节选)如图,已知二次函数 y = ax2 + 2x+c 的图象与 x 轴交于 A,B 两点,A 点坐标为 ( -1,0),与 y 轴交于点 C(0,3) . (1)求二次函数的表达式; (2)在直线 BC 上方的抛物线上存在点 Q,使得∠QCB= 2∠ABC,求点 Q 的坐标. 第 1 题图 解:(1)将 A(-1,0),C(0,3)代入 y=ax2+2x+c,得 a-2+c= 0, c= 3,{ 解得 a=-1, c= 3,{ ∴抛物线解析式为 y=-x2+2x+3; (2)对于 y=-x2+2x+3,令 y= 0,得-x2+2x+3= 0, 解得 x1 =-1,x2 = 3,∴B(3,0),∴OB=OC= 3, ∴△OBC 是等腰直角三角形,∴∠ABC= 45°, ∵∠QCB= 2∠ABC,∴∠QCB= 90°, 如解图,过点 C 作 CQ⊥BC 交抛物线于点 Q,过点 Q 作 QG⊥y 轴于点 G, ∴∠GCQ= 90°-∠OCB= 45°, ∴△GCQ 是等腰直角三角形, ∵CG=QG, 设 Q(q,-q2+2q+3),则 G(0,-q2+2q+3), ∴CG=-q2+2q,GQ=q,∴-q2+2q=q, ∴Q(1,4) . 2. (2024 广安节选)如图,抛物线 y= - 2 3 x2 +bx+c 与 x 轴交于 A,B 两点,与 y 轴交于点 C,点 A 坐标为 ( -1,0),点 B 坐标为(3,0) . (1)求此抛物线的函数解析式. (2)点 M 为该抛物线上的点,当∠MCB= 45°时,请直接写出所有满足条件的点 M 的坐标. 第 2 题图 解:(1)∵抛物线 y=- 2 3 x2+bx+c 与 x 轴交于 A,B 两点,且点 A 坐标为(-1,0),点 B 坐标为(3,0), ∴此抛物线的函数解析式为 y=- 2 3 (x+1)(x-3)= - 2 3 x2+ 4 3 x+2; (2)点 M 的坐标为(19 2 ,-91 2 )或(17 10 ,117 50 ) . 详解见答案册 PX 02 参考答案与重难题解析·数学 9　 二 轮 专 题 培 优 练 答 案 3. 解:(1)∵ 二次函数 y= x2 +bx+c 的图象与 x 轴交于点 A(3, 0),与 y 轴交于点 B(0,-3), ∴ 32 +3b+c= 0, c= -3,{ 解得 b= -2, c= -3,{ ∴ 二次函数的表达式为 y= x2 -2x-3; (2)△OPQ 是以点 P 为直角顶点的直角三角形时,∠OPQ = 90°. ∵ 抛物线的对称轴为直线 x = 1,点 P、B 关于抛物线对称 轴对称,∴ 点 P(2,-3), 设 Q(n,n2 -2n-3),∵ ∠OPQ= 90°, ∴ OP2 +PQ2 =OQ2 , ∴ (0-2) 2 +(0+3) 2 +(2-n) 2 +( - 3-n2 + 2n+ 3) 2 = n2 +(n2 - 2n-3) 2 , 整理得:3n2 -8n+4 = 0,解得 n1 = 2 3 ,n2 = 2(舍去), ∴ n= 2 3 ,∴ Q( 2 3 ,-35 9 ) . 【拓展设问】解:存在,设M(m,m2-2m-3),其中 0<m<3,AB2 = 32+32 = 18,AM2 = (m- 3)2 +(m2 - 2m- 3)2,BM2 = m2 +(m2 - 2m)2, ①当 AB2 +AM2 =BM2 时,即 18+(m- 3) 2 +(m2 - 2m- 3) 2 = m2 +(m2 -2m) 2 , ∴ m2 -m-6 = 0, ∴ (m+2)(m-3)= 0, 解得 m= -2(舍)或 m= 3(舍); ②AB2 +BM2 = AM2 时,即 18 +m2 + (m2 - 2m) 2 = (m- 3) 2 + (m2 -2m-3) 2 , ∴ m2 -m= 0,解得 m= 0(舍)或 m= 1, ∴ M(1,-4),∴ C(4,-1), 综上所述,C(4,-1) . 类型 4　 角度问题 热身小练 1. 解:点 P 位置如解图所示,AP= 2OA. 第 1 题解图　 　 第 2 题解图 2. 解:作出射线 BP 如解图所示. 3. 解:(1)①在 y 轴正半轴上取一点 P,使得∠ABP = ∠ACO, 如解图, 此时,△ACO≌△PBO,∴ OA=OP,∴ 点 P 的坐标为(0,1); ②在 y 轴负半轴上取一点 P′,使得∠ABP′ = ∠ACO,如 解图, 此时,△ACO≌△P′BO,∴ OA=OP′,∴ 点 P′的坐标为(0,-1). 综上所述,点 P 的坐标为(0,1)或(0,-1); 第 3 题解图 (2)如解图,由点 B、P、P′的坐标可得直线 BP 的解析式为 y= - 1 3 x+1,直线 BP′的解析式为 y= 1 3 x-1, 当-x2 +2x+3 = - 1 3 x+1 时,解得 x= 3(舍去)或 x= - 2 3 , 则 y= - 1 3 x+1 = 11 9 ,∴ 点 D 的坐标为(- 2 3 ,11 9 ), 当-x2 +2x+3 = 1 3 x-1 时,解得 x= 3(舍去)或 x= - 4 3 , 则 y= 1 3 x-1 = -13 9 ,∴ 点 D′的坐标为(- 4 3 ,-13 9 ) . 综上所述,点 D 的坐标为(- 2 3 ,11 9 )或(- 4 3 ,-13 9 ) . 针对训练 1. 解:( 1) 将 A ( - 1, 0), C ( 0, 3) 代入 y = ax2 + 2x + c, 得 a-2+c= 0, c= 3,{ 解得 a= -1, c= 3,{ ∴ 二次函数的表达式为 y= -x2 +2x+3; (2)对于 y= -x2 +2x+3,令 y= 0,得-x2 +2x+3 = 0, 解得 x1 = -1,x2 = 3,∴ B(3,0),∴ OB=OC= 3, ∴ △OBC 是等腰直角三角形,∴ ∠ABC= 45°, ∵ ∠QCB= 2∠ABC,∴ ∠QCB= 90°, 如解图,过点 C 作 CQ⊥BC 交抛物线于点 Q,过点 Q 作 QG ⊥y 轴于点 G, 第 1 题解图 ∴ ∠GCQ= 90°-∠OCB= 45°, ∴ △GCQ 是等腰直角三角形, ∴ CG=QG, 设 Q(q,-q2 +2q+3),则 G(0,-q2 +2q+3), ∴ CG= -q2 +2q,GQ= q, ∴ -q2 +2q= q, 解得 q= 0(舍去)或 q= 1,∴ -q2 +2q+3 = 4, ∴ Q(1,4) . 2. 解:(1)∵ 抛物线 y= - 2 3 x2 +bx+c 与 x 轴交于 A,B 两点,且 点 A 坐标为(-1,0),点 B 坐标为(3,0), ∴ 此抛物线的函数解析式为 y= - 2 3 (x+1) (x-3) = - 2 3 x2 + 4 3 x+2; (2)点 M 的坐标为( 19 2 ,-91 2 )或( 17 10 ,117 50 ) . 【解法提示】如解图,以 CB 为对角线作正方形 CTBK,∴ ∠BCK= ∠BCT= 45°,∴ CK,CT 所在直线与抛物线的另一 个交点即为点 M,如解图,过点 T 作 x 轴的平行线交 y 轴 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 9 参考答案与重难题解析·数学10　 二 轮 专 题 培 优 练 答 案 于点 Q,过点 B 作 BG⊥TQ 于点 G,则 OB = GQ = 3, ∴ ∠CTB= 90° = ∠CQT = ∠QGB, ∴ ∠QCT + ∠CTQ = 90° = ∠CTQ+∠BTG,∴ ∠QCT = ∠BTG,∵ CT = BT,∴ △CQT≌ △TGB,∴ QT=GB,CQ=TG,设 TQ=GB=m,则 CQ=TG = 3- m,∵ C(0,2),∴ QO = 3-m-2 = 1-m,∵ OQ = BG,∴ 1-m = m,解得 m= 1 2 ,∴ T( 1 2 ,- 1 2 ),设直线 CT 的解析式为 y = nx+2,∴ 1 2 n+2 = - 1 2 ,解得 n = -5,∴ 直线 CT 的解析式为 y = - 5x + 2, 联 立 y= - 2 3 x2 + 4 3 x+2, y= -5x+2, { 解 得 x= 0,y= 2{ 或 x= 19 2 , y= - 91 2 , ì î í ï ï ï ï ∴ M( 19 2 ,- 91 2 ),同理可得 K( 5 2 , 5 2 ),直线 CK 的解析式为 y = 1 5 x + 2, 联立 y= - 2 3 x2 + 4 3 x+2, y= 1 5 x+2, ì î í ï ï ï ï 解得 x= 17 10 , y= 117 50 ì î í ï ï ï ï 或 x= 0, y= 2,{ ∴ M ( 17 10 , 117 50 ), 综上, 点 M 的坐标为 ( 19 2 ,-91 2 )或( 17 10 ,117 50 ) . 第 2 题解图 类型 5　 相似、全等存在性问题 热身小练 1. 60,B′C′　 2. 2 或 1 2 3. 解:点 E 的位置如解图所示. 第 3 题解图 针对训练 1. 解:(1)令 y= 0,则-2x+6 = 0,解得 x= 3, 令 x= 0,则 y= 6, ∴ A(3,0),B(0,6), 把 A(3,0),B(0,6)代入 y= -x2 +bx+c, 得 -9+3b+c= 0, c= 6,{ 解得 b= 1, c= 6,{ ∴ 抛物线所对应的函数表达式为 y= -x2 +x+6; (2)存在,设点 D( t,-t2 +t+6), ∵ △BDE 和△ACE 相似,∠BED= ∠AEC, ∴ △ACE∽△BDE 或△ACE∽△DBE, ①如解图①,当△ACE∽△BDE 时,∠BDE= ∠ACE= 90°, ∴ BD∥AC,∴ D 点纵坐标为 6, ∴ -t2 +t+6 = 6,解得 t= 0 或 t= 1,∴ D(1,6); 第 1 题解图① 　 　 第 1 题解图② ②如解图②,当△ACE∽△DBE 时,∠BDE= ∠CAE, 过 B 作 BH⊥DC 于点 H,则 H( t,6),BH = t,DH = -t2 +t, ∠BHD= 90°, ∴ BH DH = tan∠BDE= tan∠CAE=OB OA , ∴ t -t2 +t = 6 3 = 2,∴ -2t2 +2t= t, 解得 t= 0(舍去)或 t= 1 2 ,∴ -t2 +t+6 = 25 4 , ∴ D( 1 2 ,25 4 ), 综上所述,点 D 的坐标为(1,6)或( 1 2 ,25 4 ) . 2. 解:(1)A(-1,0),B(4,0),C(0,4);【解法提示】在 y= -x2 + 3x+4 中,令 x= 0 得 y= 4,令 y= 0 得 x= -1 或 x= 4. (2)抛物线 y= -x2 +3x+4 的对称轴为直线 x= - 3-2 = 3 2 , 设 Q( 3 2 ,t),则 P( 3 2 ,t+1),M(0,t+1),N( 3 2 ,0), ∵ B(4,0),C(0,4), ∴ BN= 5 2 ,QN= t,PM= 3 2 ,CM= | t-3 | , ∵ ∠CMP= ∠QNB= 90°, ∴ △CPM 和△QBN 相似,只需CM QN =PM BN 或 CM BN =PM QN , ①当CM QN =PM BN 时, | t -3 | t = 3 2 5 2 ,解得 t= 15 2 或 t= 15 8 , ∴ Q( 3 2 ,15 2 )或( 3 2 ,15 8 ); ②当CM BN =PM QN 时, | t -3 | 5 2 = 3 2 t , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 01