类型3 特殊图形存在性问题-【一战成名新中考】2025年中考数学·纯练版总复习·二轮专题培优练

二轮专题培优练·数学 专 题 四 二 次 函 数 与 几 何 图 形 综 合 题 类型 3　 特殊图形存在性问题 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 热身小练 如图,在平面直角坐标系中,已知点 A(1,t),B(3,0),C(0,-3),△ABC 为等腰三角形. 题图 (1)请试着在图中画出当△ABC 为等腰三角形时的几种情况; 解:如解图,共有 5 种情况,以 AB 为底时有 A1,A2 两种情况,以 AC 为底时有 A3,A4 两种情况,以 BC 为底时有 A5 一种情况; (2)AB2 = 　 4+t2 　 ,AC2 = 　 t2+6t+10　 ,BC2 = 　 18　 ;(用含 t 的代数式表示) (3)当△ABC 为等腰三角形时,分以下三种情况讨论: ①AC=AB,则 AC2 =AB2,列方程为　 t2+6t+10= 4+t2 　 ,则 t= 　 　 　 　 ; ②AC=BC,则 AC2 =BC2,列方程为　 t2+6t+10= 18　 ,则 t= 　 -3± 17 　 ; ③AB=BC,则 AB2 =BC2,列方程为　 　 　 　 　 　 ,则 t= 　 ± 14 　 . 变式 如图,在平面直角坐标系中,已知点 A(1,t),B(3,0),C(0,-3),D( s,0),以 A,B,C,D 为顶点的四边形是平行四边形. 变式题图 (1)请试着在图中画出以 A,B,C,D 为顶点的四边形是平行四边形时的几种情况; 解:画图如解图; (2)以 A,B,C,D 为顶点的四边形是平行四边形时,分以下三种情况讨论: ①当 BC,AD 为平行四边形的对角线时,t= 　 -3　 ,s= 　 2　 ; ②当 AB,CD 为平行四边形的对角线时,t= 　 -3　 ,s= 　 4　 ; ③当 BD,AC 为平行四边形的对角线时,t= 　 3　 ,s= 　 -2　 . 51 二轮专题培优练·数学 专 题 四 二 次 函 数 与 几 何 图 形 综 合 题 针对训练 1. (2023 自贡节选)如图,抛物线 y= - 4 3 x2 +bx+4 与 x 轴交于 A( -3,0),B 两点,与 y 轴交于点 C. (1)求抛物线的解析式及 B,C 两点的坐标; (2)以 A,B,C,D 为顶点的四边形是平行四边形,求点 D 的坐标. 第 1 题图 解:(1)把点 A(-3,0)代入 y=- 4 3 x2+bx+4,得 b=- 8 3 , ∴抛物线的解析式为 y=- 4 3 x2- 8 3 x+4, 令 x= 0,则 y= 4;令 y= 0,则- 4 3 x2- 8 3 x+4= 0,解得 x1 =-3,x2 = 1. ∴点 C 的坐标为(0,4),点 B 的坐标为(1,0); (2)以 A,B,C,D 为顶点的四边形是平行四边形,设点 D 的坐标为(a,b),分三种情况: ①若 AC 为对角线,设 AC 的中点为点 F,则根据中点坐标公式可得点 F 的坐标为(- 3 2 ,2), 则有 1+a 2 =- 3 2 , 0+b 2 = 2, ì î í ï ïï ï ïï 解得 a=-4, b= 4,{ 此时点 D 的坐标为(-4,4), ②若以 AB 为对角线,设 AB 的中点为点 G,则点 G 的坐标为(-1,0), 则有 0+a 2 =-1, 4+b 2 = 0, ì î í ï ïï ï ïï 解得 a=-2, b=-4,{ 此时点 D 的坐标为(-2,-4), ③若以 BC 为对角线,设 BC 的中点为 H,则点 H 的坐标为( 1 2 ,2), 则有 -3+a 2 = 1 2 , 0+b 2 = 2, ì î í ï ïï ï ïï 解得 a= 4, b= 4,{ 此时点 D 的坐标为(4,4), 综上所述,点 D 的坐标为(-4,4)或(-2,-4)或(4,4) . 61 二轮专题培优练·数学 专 题 四 二 次 函 数 与 几 何 图 形 综 合 题 2. (2024 达州节选)如图①,抛物线 y=ax2 +bx-3 与 x 轴交于点 A( -3,0)和点 B(1,0),与 y 轴交于点 C,点 D 是抛物线的顶点. (1)求抛物线的解析式; (2)若点 N 是抛物线对称轴上位于点 D 上方的一动点,是否存在以点 N,A,C 为顶点的三角形 是等腰三角形,若存在,请直接写出满足条件的点 N 的坐标;若不存在,请说明理由. 　 第 2 题图 解:(1)由题意得 y=a(x+3)(x-1)= a(x2+2x-3)= ax2+bx-3, 解得 a= 1,b= 2, 则抛物线的解析式为 y=x2+2x-3; (2)存在,点 N 的坐标为(-1, 14)或(-1,- 14)或(-1,-1)或(-1,-3+ 17) . 【解法提示】∵ y=x2+2x-3=(x+1) 2-4,∴点 C(0,-3),抛物线的对称轴为直线 x=-1, 设点 N(-1,m),其中 m>-4, 由点 A,C,N 的坐标得,AC2 = 18,AN2 = 4+m2,CN2 = 1+(m+3) 2, 当 AC=AN 时,则 18= 4+m2,解得 m=± 14, 则点 N(-1, 14)或(-1,- 14); 当 AC=CN,则 18= 1+(m+3) 2,解得 m=-3+ 17或-3- 17(舍去), 则点 N(-1,-3+ 17); 当 AN=CN 时,则 4+m2 = 1+(m+3) 2,解得 m=-1,则点 N(-1,-1); 综上,点 N(-1, 14)或(-1,- 14)或(-1,-1)或(-1,-3+ 17) . 拓展设问 点 E 为平面内一点,直线 AC 上方的对称轴上是否存在点 F,使得以 A、C、F、E 为顶点 的四边形是菱形. 若存在,请直接写出点 F 的坐标;若不存在,请说明理由. 解:存在,点 D 的坐标为(-1,-1)或(-1, 17 -3)或(-1, 14) . 【解法提示】抛物线 y=x2+2x-3 的对称 轴为直线 x=-1. 设点 D 的坐标为(-1,n) . ∵ A(-3,0),C(0,-3),∴ AD2 = (-3+1) 2+(0-n) 2 = n2+4, CD2 =(-1) 2+(n+3) 2 =n2+6n+10,AC2 = 32+(-3) 2 = 18, ①当 AC 为菱形的对角线时,如解图①,此时 AD=CD,∴n2+4=n2+6n+10,解得 n=-1,∴D(-1,-1); ②当 CE 为菱形对角线时,如解图②,此时 AC=CD, ∴n2+6n+10= 18,解得 n= 17 -3 或- 17 -3(不合题意,舍去),∴D(-1, 17 -3); ③当 CD 为对角线时,如解图③,此时 AC=AD,∴ n2+4= 18,解得 n= 14或- 14 (不合题意,舍去),∴ D(-1, 14) . 71 二轮专题培优练·数学 专 题 四 二 次 函 数 与 几 何 图 形 综 合 题 3. (2024 遂宁改编)二次函数 y= x2 +bx+c(a≠0)的图象与 x 轴交于点 A(3,0),与 y 轴交于点 B(0, -3),P、Q 为抛物线上的两点. (1)求二次函数的表达式; (2)当 P、B 两点关于抛物线对称轴对称,△OPQ 是以点 P 为直角顶点的直角三角形时,求点 Q 的坐标. 第 3 题图 解:(1)∵二次函数 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A(3,0),与 y 轴交于点 B(0,-3), ∴ 32+3b+c= 0, c=-3,{ 解得 b=-2, c=-3,{ ∴二次函数的表达式为 y=x2-2x-3;∵抛物线的对称轴为直线 x= 1,点 P、B 关于抛物线对称轴对称,∴ 点 P(2,-3), 设 Q(n,n2-2n-3),∵∠OPQ= 90°,∴OP2+PQ2 =OQ2, ∴ (0-2) 2+(0+3) 2+(2-n) 2+(-3-n2+2n+3) 2 =n2+(n2-2n-3) 2, 整理得:3n2-8n+4= 0,解得 n1 = 2 3 ,n2 = 2(舍去), ∴n= 2 3 ,∴Q( 2 3 ,-35 9 ) . 拓展设问 点 C 是平面直角坐标系中的一点,当点 M 在第四象限内的抛物线上时,是否存在点 M,使得以 A、C、B、M 为顶点的四边形是以 AB 为边的矩形? 若存在,求点 C 的坐标;若不存在, 请说明理由. 解:存在,设 M(m,m2-2m-3),其中 0<m<3,AB2 = 32+32,AM2 =(m-3) 2+(m2-2m-3) 2,BM2 =m2+(m2 -2m) 2, ①当 AB2+AM2 =BM2 时,即 32+32+(m-3) 2+(m2-2m-3) 2 =m2+(m2-2m) 2, ∴m2-m-6= 0,∴ (m+2)(m-3)= 0, 解得 m=-2(舍)或 m= 3(舍); ②AB2+BM2 =AM2 时,即 32+32+m2+(m2-2m) 2 =(m-3) 2+(m2-2m-3) 2, ∴m2-m= 0,解得 m= 0(舍)或 m= 1,∴M(1,-4), ∴C(4,-1),综上所述,C(4,-1) . 81 参考答案与重难题解析·数学8　 二 轮 专 题 培 优 练 答 案 类型 3　 特殊图形存在性问题 热身小练 (1)解:如解图,共有 5 种情况,以 AB 为底时有 A1 ,A2 两种情 况,以 AC 为底时有 A3 ,A4 两种情况,以 BC 为底时有 A5 一种 情况; (2)4+t2 ,t2 +6t+10,18; (3)①t2 +6t+10 = 4+t2 ,-1; ②t2 +6t+10 = 18,-3± 17 ; ③4+t2 = 18,± 14 . 解图 　 　 变式题解图 【变式】(1)解:如解图; (2)①-3;2;②-3;4;③3;-2. 针对训练 1. 解:(1)把点 A(-3,0)代入 y= - 4 3 x2 +bx+4,得 b= - 8 3 , ∴ 抛物线的解析式为 y= - 4 3 x2 - 8 3 x+4, 令 x= 0,则 y= 4; 令 y= 0,则- 4 3 x2 - 8 3 x+4 = 0,解得 x1 = -3,x2 = 1. ∴ 点 C 的坐标为(0,4),点 B 的坐标为(1,0); (2)以 A,B,C,D 为顶点的四边形是平行四边形,设点 D 的坐标为(a,b),分三种情况: ①若 AC 为对角线,设 AC 的中点为点 F,则根据中点坐标 公式可得点 F 的坐标为(- 3 2 ,2), 则有 1+a 2 = - 3 2 , 0+b 2 = 2, ì î í ï ï ï ï 解得 a= -4, b= 4,{ 此时点 D 的坐标为(-4,4); ②若以 AB 为对角线,设 AB 的中点为点 G,则点 G 的坐标 为(-1,0), 则有 0+a 2 = -1, 4+b 2 = 0, ì î í ï ï ï ï 解得 a= -2, b= -4,{ 此时点 D 的坐标为(-2,-4); ③若以 BC 为对角线,设 BC 的中点为 H,则点 H 的坐标为 ( 1 2 ,2), 则有 -3+a 2 = 1 2 , 0+b 2 = 2, ì î í ï ï ï ï 解得 a= 4, b= 4,{ 此时点 D 的坐标为(4,4), 综上所述,点 D 的坐标为(-4,4)或(-2,-4)或(4,4) . 2. 解:(1)由题意得 y=a(x+3)(x-1)= a(x2+2x-3)= ax2+bx-3, 解得 a= 1,b= 2, 则抛物线的解析式为 y= x2 +2x-3; (2)存在, 点 N 的坐标为 ( - 1, 14 ) 或 ( - 1, - 14 ) 或(-1,-1)或(-1,-3+ 17 ) . 【解法提示】∵ y= x2 +2x-3 = (x+1) 2 -4,∴ C(0,-3),抛物 线的对称轴为直线 x= -1. 设点 N( -1,m),其中 m>-4,由 点 A、C、N 的坐标得,AC2 = 18,AN2 = 4+m2 ,CN2 = 1+(m+ 3) 2 ,当 AC= AN 时,则 18 = 4 +m2 ,解得 m = ± 14 ,则点 N(-1, 14 )或( - 1,- 14 );当 AC = CN,则 18 = 1+(m+ 3) 2 ,解得 m= -3+ 17或-3- 17 (舍去),则点 N( -1,-3 + 17 );当 AN=CN 时,则 4+m2 = 1+(m+3) 2 ,解得m= -1, 则点 N(-1,-1);综上,点 N 的坐标为( -1, 14 )或( -1, - 14 )或(-1,-1)或(-1,-3+ 17 ) . 【拓展设问】解:存在,点 F 的坐标为(-1,-1)或(-1, 17 -3)或(-1, 14 ) . 【解法提示】抛物线 y= x2 +2x-3 的对称轴为直线 x= -1. 设 点 F 的坐标为( - 1,n) . ∵ A( - 3,0),C( 0,- 3),∴ AF2 = (-3+1) 2 +(0-n) 2 =n2 + 4,CF2 = ( - 1) 2 +(n+ 3) 2 = n2 + 6n+ 10,AC2 = 32 +(-3) 2 = 18,①当 AC 为菱形的对角线时,如解 图①,此时 AF = CF,∴ n2 + 4 = n2 + 6n+ 10,解得 n = - 1, ∴ F(-1,-1);②当 CE 为菱形对角线时,如解图②,此时 AC=CF,∴ n2 + 6n+ 10 = 18,解得 n = 17 - 3 或- 17 - 3 (不合题意,舍去),∴ F( -1, 17 -3);③当 CF 为对角线 时,如解图③,此时 AC=AF,∴ n2 +4 = 18,解得 n= 14或- 14 (不合题意,舍去),∴ F( -1, 14 ) . 综上,点 F 的坐 标为(-1,-1)或(-1, 17 -3)或(-1, 14 ) . 图① 　 　 图② 图③ 拓展设问题解图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 8 参考答案与重难题解析·数学 9　 二 轮 专 题 培 优 练 答 案 3. 解:(1)∵ 二次函数 y= x2 +bx+c 的图象与 x 轴交于点 A(3, 0),与 y 轴交于点 B(0,-3), ∴ 32 +3b+c= 0, c= -3,{ 解得 b= -2, c= -3,{ ∴ 二次函数的表达式为 y= x2 -2x-3; (2)△OPQ 是以点 P 为直角顶点的直角三角形时,∠OPQ = 90°. ∵ 抛物线的对称轴为直线 x = 1,点 P、B 关于抛物线对称 轴对称,∴ 点 P(2,-3), 设 Q(n,n2 -2n-3),∵ ∠OPQ= 90°, ∴ OP2 +PQ2 =OQ2 , ∴ (0-2) 2 +(0+3) 2 +(2-n) 2 +( - 3-n2 + 2n+ 3) 2 = n2 +(n2 - 2n-3) 2 , 整理得:3n2 -8n+4 = 0,解得 n1 = 2 3 ,n2 = 2(舍去), ∴ n= 2 3 ,∴ Q( 2 3 ,-35 9 ) . 【拓展设问】解:存在,设M(m,m2-2m-3),其中 0<m<3,AB2 = 32+32 = 18,AM2 = (m- 3)2 +(m2 - 2m- 3)2,BM2 = m2 +(m2 - 2m)2, ①当 AB2 +AM2 =BM2 时,即 18+(m- 3) 2 +(m2 - 2m- 3) 2 = m2 +(m2 -2m) 2 , ∴ m2 -m-6 = 0, ∴ (m+2)(m-3)= 0, 解得 m= -2(舍)或 m= 3(舍); ②AB2 +BM2 = AM2 时,即 18 +m2 + (m2 - 2m) 2 = (m- 3) 2 + (m2 -2m-3) 2 , ∴ m2 -m= 0,解得 m= 0(舍)或 m= 1, ∴ M(1,-4),∴ C(4,-1), 综上所述,C(4,-1) . 类型 4　 角度问题 热身小练 1. 解:点 P 位置如解图所示,AP= 2OA. 第 1 题解图　 　 第 2 题解图 2. 解:作出射线 BP 如解图所示. 3. 解:(1)①在 y 轴正半轴上取一点 P,使得∠ABP = ∠ACO, 如解图, 此时,△ACO≌△PBO,∴ OA=OP,∴ 点 P 的坐标为(0,1); ②在 y 轴负半轴上取一点 P′,使得∠ABP′ = ∠ACO,如 解图, 此时,△ACO≌△P′BO,∴ OA=OP′,∴ 点 P′的坐标为(0,-1). 综上所述,点 P 的坐标为(0,1)或(0,-1); 第 3 题解图 (2)如解图,由点 B、P、P′的坐标可得直线 BP 的解析式为 y= - 1 3 x+1,直线 BP′的解析式为 y= 1 3 x-1, 当-x2 +2x+3 = - 1 3 x+1 时,解得 x= 3(舍去)或 x= - 2 3 , 则 y= - 1 3 x+1 = 11 9 ,∴ 点 D 的坐标为(- 2 3 ,11 9 ), 当-x2 +2x+3 = 1 3 x-1 时,解得 x= 3(舍去)或 x= - 4 3 , 则 y= 1 3 x-1 = -13 9 ,∴ 点 D′的坐标为(- 4 3 ,-13 9 ) . 综上所述,点 D 的坐标为(- 2 3 ,11 9 )或(- 4 3 ,-13 9 ) . 针对训练 1. 解:( 1) 将 A ( - 1, 0), C ( 0, 3) 代入 y = ax2 + 2x + c, 得 a-2+c= 0, c= 3,{ 解得 a= -1, c= 3,{ ∴ 二次函数的表达式为 y= -x2 +2x+3; (2)对于 y= -x2 +2x+3,令 y= 0,得-x2 +2x+3 = 0, 解得 x1 = -1,x2 = 3,∴ B(3,0),∴ OB=OC= 3, ∴ △OBC 是等腰直角三角形,∴ ∠ABC= 45°, ∵ ∠QCB= 2∠ABC,∴ ∠QCB= 90°, 如解图,过点 C 作 CQ⊥BC 交抛物线于点 Q,过点 Q 作 QG ⊥y 轴于点 G, 第 1 题解图 ∴ ∠GCQ= 90°-∠OCB= 45°, ∴ △GCQ 是等腰直角三角形, ∴ CG=QG, 设 Q(q,-q2 +2q+3),则 G(0,-q2 +2q+3), ∴ CG= -q2 +2q,GQ= q, ∴ -q2 +2q= q, 解得 q= 0(舍去)或 q= 1,∴ -q2 +2q+3 = 4, ∴ Q(1,4) . 2. 解:(1)∵ 抛物线 y= - 2 3 x2 +bx+c 与 x 轴交于 A,B 两点,且 点 A 坐标为(-1,0),点 B 坐标为(3,0), ∴ 此抛物线的函数解析式为 y= - 2 3 (x+1) (x-3) = - 2 3 x2 + 4 3 x+2; (2)点 M 的坐标为( 19 2 ,-91 2 )或( 17 10 ,117 50 ) . 【解法提示】如解图,以 CB 为对角线作正方形 CTBK,∴ ∠BCK= ∠BCT= 45°,∴ CK,CT 所在直线与抛物线的另一 个交点即为点 M,如解图,过点 T 作 x 轴的平行线交 y 轴 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 9