类型2 面积问题-【一战成名新中考】2025年中考数学·纯练版总复习·二轮专题培优练

参考答案与重难题解析·数学6　 二 轮 专 题 培 优 练 答 案 1, 3 ), 如解图,过点 B 作直线 l⊥y 轴,作点 F 关于直线 l 的对称 第 3 题解图 点 F′(m+1,3 3 ),连接 DF′, 则 BD+BF=BD+BF′≥DF′,当 D,B,F′ 三 点 共 线 时, BD + BF = DF′ = (m+1-m) 2 +(3 3 ) 2 = 2 7 为最小, 则 BD+BF 的最小值为 2 7 . 【拓展设问】解:∵ 由(2)知点 C 横坐标 为 x= 1,代入 y= - 3 2 x2 +2 3 x,得 y= 3 3 2 , ∴ 点 E 的坐标为(1,3 3 2 ), ∵ 抛物线的对称轴为直线 x= 2, ∴ O 点和 A 点关于直线 x= 2 对称, ∴ MO=MA, ∴ |ME-MA | = |ME-MO | ≤OE,当 O,E,M 三点共线时,取 等号, ∴ |ME-MA |的最大值为 OE 的长, ∵ 点 E 的坐标为(1,3 3 2 ), ∴ OE= 12 +( 3 3 2 ) 2 = 31 2 , ∵ 直线 OE 的表达式为 y= 3 3 2 x, ∴ 当 x=2 时,y=3 3,此时点M的坐标为(2,3 3), ∴ 点 M 的坐标为(2,3 3 )时, |ME-MA | 的值最大,最大值 为 31 2 . 热身小练 1. (1)1;(2)1 2. 解:解法一:过点 F 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 B,如解图①, 第 2 题解图① ∴ OE∥BF, ∴ △AOE∽△ABF, ∵ AE EF = 1 3 ,OA=OE= 1, ∴ AE AF = 1 4 ,∴ OA AB =OE BF = 1 4 , ∴ AB= 4,BF= 4,∴ OB= 3, ∴ 点 F 的坐标为(3,4) . 第 2 题解图② 多解法 解法二:过点 F 作 y 轴的垂线交 y 轴于点 D,如解图②, ∴ OA∥DF, ∴ △AOE∽△FDE, ∵ AE EF = 1 3 ,OA=OE= 1, ∴ OA DF =OE DE = 1 3 , ∴ DF=DE= 3,∴ OD= 4, ∴ 点 F 的坐标为(3,4). 针对训练 4. 解:(1)将 A(-3,-1),B(0,2)代入 y= -x2 +bx+c, 得 -9-3b+c= -1, c= 2,{ 解得 b= -2, c= 2,{ ∴ 抛物线的函数表达式为 y= -x2 -2x+2; (2)如解图,过点 C 作 x 轴的垂线 CH 交 AB 于点 M,交 x 轴于点 H,则 CM∥y 轴, ∴ △CDM∽△ODB,∴ CD OD =CM OB =CM 2 , 设直线 AB 的表达式为 y=mx+n, 把 A(-3,-1),B(0,2)代入表达式得 -3m+n= -1, n= 2,{ 解得 m= 1, n= 2{ ∴ 直线 AB 的表达式为 y= x+2. 设 C( t,-t2 -2t+2),且-3<t<0,则 M( t,t+2), ∴ CM= -t2 -2t+2-t-2 = -t2 -3t= -( t+ 3 2 ) 2 + 9 4 , 第 4 题解图 ∵ -3<t<0, ∴ 当 t= - 3 2 时,CM 有最大值, ∴ CD OD 的最大值为 9 4 2 = 9 8 , 此时点 C 的坐标为(- 3 2 ,11 4 ) . 类型 2　 面积问题 热身小练 (1)y= -x+3; (2)-t2 +3t;【解法提示】∵ P( t,-t2 +2t+3),0<t<3,PQ∥y 轴, ∴ 点 Q 的坐标为( t,-t+3),∴ PQ= yP-yQ = -t 2 +2t+3-( -t+3) = -t2 +3t. (3)- 1 2 t3 + 3 2 t2 ;【解法提示】S△PAQ = 1 2 PQ·xP = 1 2 ( -t2 +3t) · t= - 1 2 t3 + 3 2 t2 . (4) 3 2 ; 【解法提示】 ∵ △PAQ 和 △PBQ 共底边 PQ, ∴ 当 △PAQ 和△PBQ 的共底边 PQ 上的高相等时,S△PAQ = S△PBQ, ∵ 当△PAQ 和△PBQ 共底边 PQ 时,两三角形的高之和为 OB = 3,PQ∥y 轴,∴ t= 3 2 . (5) 3 2 , 27 8 ;【解法提示】 ∵ S△PAB = 1 2 × 3PQ = - 3 2 t2 + 9 2 t = - 3 2 ( t- 3 2 ) 2 +27 8 ,∵ - 3 2 <0,∴ 当 t = 3 2 时,S△PAB 有最大值,最 大值为 27 8 . 针对训练 1. 解:(1)把 B(3,m)代入 y= x+2 得,m= 3+2 = 5, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 6 参考答案与重难题解析·数学 7　 二 轮 专 题 培 优 练 答 案 ∴ B(3,5), 把 A(-2,0),B(3,5)代入 y= -x2 +bx+c,得 -4-2b+c= 0, -9+3b+c= 5,{ 解得 b= 2, c= 8,{ ∴ 抛物线的解析式为 y= -x2 +2x+8; (2)设 P( t,-t2 +2t+8),-2<t<3,则 E( t,t+2),D( t,0), ∵ PE= 2ED,∴ -t2 +2t+8-( t+2)= 2( t+2), 解得 t= 1 或 t= -2(此时点 P 与点 A 重合,舍去), ∴ 点 P 的坐标为(1,9); (3)存在,点 M 的坐标为(1 + 13 2 ,11 + 13 2 )或(1 - 13 2 , 11- 13 2 )或(1 + 37 2 , -1+ 37 2 )或(1 - 37 2 , -1- 37 2 ) . 第 1 题解图 【解法提示】过点 M 作 MK∥y 轴交直线 AB 于点 K,如解图. 在 y = - x2 + 2x + 8 中,令 y= 0,得 0 = -x2 + 2x+ 8,解得 x = -2 或 x= 4,∴ C(4,0),又∵ A( -2,0), ∴ AC = 6,由(1)知 B(3,5),∴ S△ABC = 1 2 ×6×5 = 15,设 M(m,-m2 +2m+8),则 K(m,m+2),∴ MK= | -m2 +2m+8-(m+2) | = | -m2 +m+6 | , ∴ S△ABM = 1 2 MK · | xB - xA | = 1 2 | - m2 + m + 6 | × 5 = 5 2 | -m2 +m+6 | ,∵ △ABM 的面积等于△ABC 面积的一半, ∴ 5 2 | -m2 +m+6 | = 1 2 ×15,∴ | -m2 +m+6 | = 3,∴ -m2 +m+6 = 3 或-m2 +m+ 6 = - 3,解得 m = 1± 13 2 或 m = 1± 37 2 , ∴ 点 M 的 坐 标 为 ( 1 + 13 2 , 11 + 13 2 ) 或 ( 1 - 13 2 , 11- 13 2 )或(1 + 37 2 , -1+ 37 2 )或(1 - 37 2 , -1- 37 2 ) . 2. 解:(1)由题意可知,设二次函数的表达式为 y=a(x+2)(x -6), 将 C(0,6)代入上式得:6 =a(0+2)(0-6), 解得 a= - 1 2 , ∴ 二次函数的表达式为 y = - 1 2 (x+2) (x-6) = - 1 2 x2 +2x +6; (2)作点 O 关于直线 BC 的对称点 E,连接 EC,EB,如 解图, 第 2 题解图 ∵ B(6,0),C(0,6),∠BOC = 90°, A(-2,0), ∴ OB=OC= 6,AB= 6-(-2)= 8, ∵ O,E 关于直线 BC 对称, ∴ 四边形 OBEC 为正方形, ∴ E(6,6),∴ BE= 6, 连接 AE,交 BC 于点 D,由对称性 得 DE=DO, 此时 DO+DA 有最小值,为 AE 的长, ∴ AE= AB2 +BE2 = 82 +62 = 10, ∵ △AOD 的周长为 DA+DO+AO,AO = 2,DA+DO 的最小值 为 AE= 10, ∴ △AOD 的周长的最小值为 10+2 = 12; (3)解法一:由已知点 A(-2,0),B(6,0),C(0,6), 设直线 BC 的解析式为 y= kx+b′, 将 B(6,0),C(0,6)代入 y= kx+b′中, 则 6k+b′= 0, b′= 6,{ 解得 k= -1, b′= 6,{ ∴ 直线 BC 的解析式为 y= -x+6, 同理可得,直线 AC 的解析式为 y= 3x+6, ∵ PD∥AC, ∴ 可设直线 PD 的解析式为 y= 3x+e, 由(1)设 P(m,- 1 2 m2 +2m+6)(0<m<6), 将 P 点坐标代入直线 PD 的解析式得 3m+e= - 1 2 m2 +2m+ 6,解得 e= - 1 2 m2 -m+6, ∴ 直线 PD 的解析式为 y= 3x- 1 2 m2 -m+6, 联立 y= -x+6, y= 3x- 1 2 m2 -m+6,{ 得 x= 1 8 m2 + 1 4 m, y= - 1 8 m2 - 1 4 m+6, ì î í ï ï ï ï ∴ D( 1 8 m2 + 1 4 m,- 1 8 m2 - 1 4 m+6), ∵ 点 P,D 都在第一象限, ∴ S=S△PBD+S△PAD =S△PAB-S△DAB = 1 2 AB·[(- 1 2 m2 +2m+6)-(- 1 8 m2 - 1 4 m+6)] = 1 2 ×8×(- 3 8 m2 + 9 4 m) = - 3 2 m2 +9m = - 3 2 (m-3) 2 +27 2 , ∵ - 3 2 <0, ∴ 当 m= 3 时,S 有最大值,最大值为27 2 , 此时 P 点的坐标为(3,15 2 ) . 多解法 解法二(思路):利用平行等积,将△PAD 面积的转化为 △PCD 的面积,那么△PAD 与△PBD 的面积之和等于 △PBC 的面积,即求△PBC 的面积最大值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 7 二轮专题培优练·数学 专 题 四 二 次 函 数 与 几 何 图 形 综 合 题 类型 2　 面积问题 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 热身小练 如图,在平面直角坐标系中,已知点 A(0,3),点 B(3,0),点 P( t,-t2 +2t+3),0<t<3,作 PQ∥y 轴交直线 AB 于点 Q. (1)直线 AB 的解析式为　 y=-x+3　 ; (2)用含 t 的代数式表示 PQ 的长为　 -t2+3t　 ; (3)用含 t 的代数式表示△PAQ 的面积为　 　 　 　 　 　 ; (4)当 S△PAQ =S△PBQ 时,t 的值为　 　 　 　 ; (5)当 t= 　 　 　 　 时,△PAB 的面积最大,最大面积是　 　 　 　 . 针对训练 1. (2024 凉山州)如图,抛物线 y= -x2 +bx+c 与直线 y= x+2 相交于 A( -2,0),B(3,m)两点,与 x 轴相 交于另一点 C. (1)求抛物线的解析式; (2)点 P 是直线 AB 上方抛物线上的一个动点(不与 A、B 重合),过点 P 作直线 PD⊥x 轴于点 D,交直线 AB 于点 E,当 PE= 2ED 时,求 P 点坐标; (3)抛物线上是否存在点 M 使△ABM 的面积等于△ABC 面积的一半? 若存在,请直接写出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由. 第 1 题图 解:(1)把 B(3,m)代入 y=x+2 得,m= 3+2= 5,∴B(3,5), 把 A(-2,0),B(3,5)代入 y=-x2+bx+c 得: -4-2b+c= 0, -9+3b+c= 5,{ 解得 b= 2, c= 8,{ ∴抛物线的解析式为 y=-x2+2x+8; (2)设 P( t,-t2+2t+8),-2<t<3,则 E( t,t+2),D( t,0), ∵PE= 2ED,∴-t2+2t+8-( t+2)= 2( t+2), 解得 t= 1 或 t=-2(此时点 P 与点 A 重合,舍去), ∴点 P 的坐标为(1,9); (3)存在,点 M 的坐标为(1 + 13 2 ,11 + 13 2 )或(1 - 13 2 ,11 - 13 2 )或(1 + 37 2 , -1+ 37 2 )或(1 - 37 2 , -1- 37 2 ) . 详解见答案册 PX 31 二轮专题培优练·数学 专 题 四 二 次 函 数 与 几 何 图 形 综 合 题 2. (2023 张家界)如图,在平面直角坐标系中,已知二次函数 y = ax2 +bx+c 的图象与 x 轴交于点 A( -2,0)和点 B(6,0)两点,与 y 轴交于点 C(0,6) . 点 D 为线段 BC 上的一动点. (1)求二次函数的表达式; (2)如图①,求△AOD 周长的最小值; (3)多解法 ∙∙∙ 如图②,过动点 D 作 DP∥AC 交抛物线第一象限部分于点 P,连接 PA,PB,记△PAD 与△PBD 的面积和为 S,当 S 取得最大值时,求点 P 的坐标,并求出此时 S 的最大值. 图① 　 　 　 　 图② 第 2 题图 解:(1)由题意可知,设二次函数的表达式为 y=a(x+2)(x-6), 将 C(0,6)代入上式得 6=a(0+2)×(0-6),解得 a=- 1 2 , ∴二次函数的表达式为 y=- 1 2 (x+2)(x-6)= - 1 2 x2+2x+6; (2)作点 O 关于直线 BC 的对称点 E,连接 EC,EB,如解图, ∵B(6,0),C(0,6),∠BOC= 90°,A(-2,0), ∴OB=OC= 6,AB= 6-(-2)= 8, ∵O,E 关于直线 BC 对称, ∴四边形 OBEC 为正方形, ∴E(6,6),∴BE= 6, 连接 AE,交 BC 于点 D,由对称性得 DE=DO, 此时 DO+DA 有最小值,为 AE 的长, ∴AE= AB2+BE2 = 82+62 = 10, ∵△AOD 的周长为 DA+DO+AO,AO= 2,DA+DO 的最小值为 AE= 10, ∴△AOD 的周长的最小值为 10+2= 12; (3)S 有最大值27 2 ,此时 P 点的坐标为(3,15 2 ) . 详解见答案册 PX 41