专题3 函数图象的分析、判断与计算-【一战成名新中考】2025年中考数学·纯练版总复习·二轮专题培优练

二轮专题培优练·数学 专题三　 函数图象的分析、判断与计算 专 题 三 函 数 图 象 的 分 析 ︑判 断 与 计 算 1. (2022 河北)某项工作,已知每人每天完成的工作量相同,且一个人完成需 12 天. 若 m 个人共同 完成需 n 天,选取 6 组数对(m,n),在坐标系中进行描点,则正确的是 ( C ) 2. 春耕期间,市农资公司连续 8 天调进一批化肥,并在开始调进化肥的第七天开始销售. 若进货期 间每天调进化肥的吨数与销售期间每天销售化肥的吨数都保持不变,这个公司的化肥存量 s (单位:吨)与时间 t(单位:天)之间的函数关系如图所示,则该公司这次化肥销售活动(从开始 进货到销售完毕)所用的时间是　 10　 天. 第 2 题图 　 　 　 　 第 3 题图 3. (2023 仙桃)如图,长方体水池内有一无盖圆柱形铁桶,现用水管往铁桶中持续匀速注水,直到长 方体水池有水溢出一会儿为止. 设注水时间为 t,y1(细实线)表示铁桶中水面高度,y2(粗实线) 表示水池中水面高度(铁桶高度低于水池高度,铁桶底面积小于水池底面积的一半,注水前铁 桶和水池内均无水),则 y1,y2 随时间 t 变化的函数图象大致为 ( C ) 4. 如图,边长分别为 1 和 2 的两个正方形,其中有一条边在同一水平线上,小正方形沿该水平线自 左向右匀速穿过大正方形,设穿过的时间为 t,大正方形的面积为 S1,小正方形与大正方形重叠 部分的面积为 S2,若 S=S1 -S2,则 S 随 t 变化的函数图象大致为 ( A ) 第 4 题图 6 二轮专题培优练·数学 专 题 三 函 数 图 象 的 分 析 ︑判 断 与 计 算 5. (2024 兰州)如图①,在菱形 ABCD 中,∠ABC= 60°,连接 BD,点M 从 B 出发沿 BD 方向以 3 cm / s 的速度运动至 D,同时点 N 从 B 出发沿 BC 方向以 1 cm / s 的速度运动至 C,设运动时间为 x(s), △BMN 的面积为 y(cm2) . y 与 x 的函数图象如图②所示,则菱形 ABCD 的边长为 ( C ) 图① 　 　 　 　 图② 第 5 题图 A. 2 2 cm B. 4 2 cm C. 4 cm D. 8 cm 6. (2023 河南)如图①,点 P 从等边三角形 ABC 的顶点 A 出发,沿直线运动到三角形内部一点,再从 该点沿直线运动到顶点 B. 设点 P 运动的路程为 x,PB PC = y,图②是点 P 运动时 y 随 x 变化的关系 图象,则等边三角形 ABC 的边长为 ( A ) 图① 　 　 　 　 图② 第 6 题图 A. 6 B. 3 C. 4 3 D. 2 3 7. (2024 安徽)如图,在 Rt△ABC 中,∠ABC= 90°,AB= 4,BC= 2,BD 是边 AC 上的高. 点 E,F 分别在 边 AB,BC 上(不与端点重合),且 DE⊥DF. 设 AE= x,四边形 DEBF 的面积为 y,则 y 关于 x 的函 数图象为 ( A ) 第 7 题图 　 　 8. (2023 南通)如图①,△ABC 中,∠C = 90°,AC = 15,BC = 20. 点 D 从点 A 出发沿折线 A-C-B 运动 到点 B 停止,过点 D 作 DE⊥AB,垂足为 E. 设点 D 运动的路径长为 x,△BDE 的面积为 y,若 y 与 x 的对应关系如图②所示,则 a-b 的值为 ( B ) 图① 　 　 　 　 图② 第 8 题图 A. 54 B. 52 C. 50 D. 48 7 二轮专题培优练·数学 专 题 三 函 数 图 象 的 分 析 ︑判 断 与 计 算 9. (2024 重庆 A 卷)如图①,在△ABC 中,AB= 6,BC= 8,点 P 为 AB 上一点,AP= x,过点 P 作 PQ∥BC 交 AC 于点 Q. 点 P,Q 的距离为 y1,△ABC 的周长与△APQ 的周长之比为 y2 . (1)请直接写出 y1,y2 分别关于 x 的函数表达式,并注明自变量 x 的取值范围; (2)在给定的平面直角坐标系中,画出函数 y1,y2 的图象,并分别写出函数 y1,y2 的一条性质; (3)结合函数图象,请直接写出 y1 >y2 时 x 的取值范围(近似值保留小数点后一位,误差不超过 0. 2) . 图① 　 　 　 　 图② 第 9 题图 解:(1)y1 = 4 3 x(0<x<6),y2 = 6 x (0<x<6); 【解法提示】∵PQ∥BC, ∴△APQ∽△ABC, ∴AP AB =PQ BC , C△ABC C△APQ =AB AP , ∴ x 6 = y1 8 ,y2 = 6 x , ∴ y1 = 4 3 x, ∵点 P 为 AB 上一点, ∴ y1 = 4 3 x(0<x<6),y2 = 6 x (0<x<6) . (2)画出图象如解图所示, y1 随 x 的增大而增大, y2 随 x 的增大而减小; (3)由图象得,当 2. 1<x<6 时,y1>y2 . 8 参考答案与重难题解析·数学 3　 二 轮 专 题 培 优 练 答 案 且 m≠-2. 5. D　 【解析】原方程去分母,得 x-4 =mx,解得 x = 4 1-m ,∵ 分 式方程有正整数解且 x≠1,∴ 1-m= 1 或 1-m= 2,解得 m= 0 或 m= -1. 类型 3　 不等式含参问题 1. 0(答案不唯一)　 【解析】原不等式整理得: 1 2 x≤1-m,解 得 x≤2-2m,∵ 原不等式有正数解,∴ 2-2m>0,解得 m<1, 则 m 的值可以是 0. 2. m≤ 5 3 　 【解析】 5-3x≥0①, x-m≥0②,{ 由①得 x≤ 5 3 ,由②得 x≥ m,∵ 不等式组有实数解,∴ m≤ 5 3 . 3. D 思维构建 ①把 a 当作常数; ②分别解不等式组中的两个不等式可得 x>3,x>a; ③根据“大大取较大”可知,当 a<3 时,不等式组的解集是 x>3;当 a= 3 时,不等式的解集是 x>3(或 x>a);当 a>3 时,不等式组的解集是 x>a. 【解析】 4(x-1)>3x-1①, 5x>3x+2a②,{ 解不等式①得 x>3,解不等式② 得 x>a,∵ 不等式组的解集是 x>3,∴ a≤3. 4. A　 【解析】解不等式组得 m+3<x<3,由题意得-2≤m+3< -1,解得-5≤m<-4. 5. -2≤a<-1 或 3≤a<4　 【解析】 2x+1>x+a①, x+1≤6②,{ 解①得 x>a -1,解②得 x≤5,∵ 不等式组所有整数解的和为 12,∴ 不 等式组所有整数解为 5、4、3、2,1,0,-1,-2 或 5,4,3,当不 等式组所有整数解为 5,4,3,2,1,0,-1,-2 时,-3≤a-1< -2,解得-2≤a<-1;当不等式组所有整数解为 5、4、3 时, 2≤a-1<3,解得3≤a<4. 6. 12　 【解析】 2x+1 3 ≤3①, 4x-2<3x+a②, { 解不等式①,得 x≤4,解不等 式②,得 x<a+2,由题意得 a+2>4,解得 a>2;解方程a -8 y+2 - y y+2 = 1 得,y=a -10 2 ,当 a= 8 时,y= 8 -10 2 = -1;当 a= 6 时,y = 6-10 2 = -2(不合题意,舍去);当 a = 4 时,y = 4 -10 2 = - 3, ∴ 符合条件的 a 有 8,4,∴ 8+4 = 12,即所有满足条件的整 数 a 的值之和是 12. 7. 解:不等式组 2y+1>0, 2(y+2m)≤5m{ 的解集为- 1 2 <y≤ 1 2 m, ∵ 关于 y 的不等式组 2y+1>0, 2(y+2m)≤5m{ 至少有三个整数解, 即 y 取 0,1,2, ∴ 1 2 m≥2, ∴ m≥4. 分式方程 8-mx 2-x -2 = x x-2 的解为 x= 4 m-3 , ∵ 关于 x 的分式方程8 -mx 2-x -2= x x-2 有可能产生增根 2, ∴ 4 m-3 ≠2, ∴ m≠5. ∵ 关于 x 的分式方程8 -mx 2-x -2 = x x-2 有整数解, ∴ 4 m-3 为整数,且 m≥4,m≠5, ∴ m= 4 或 7. ∴ 所有满足条件的整数 m 的值的和为 4+7 = 11. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 专题三　 函数图象的分析、判断与计算 1. C　 【解析】∵ 一个人完成需 12 天,∴ 一人一天的工作量 为 1 12 ,∵ m 个人共同完成需 n 天,∴ 一人一天的工作量为 1 mn ,∵ 每人每天完成的工作量相同,∴ mn = 12. ∴ n = 12 m , ∴ n 是 m 的反比例函数,∴ 选取 6 组数对(m,n),在坐标 系中进行描点,则正确的是 C. 2. 10　 【解析】调进化肥的日进量是 30÷ 6 = 5(吨 /天),当在 第 6 天时,库存化肥应该有 30 吨,在第 8 天时库存化肥为 20 吨,∴ 化肥的日销售量是30 -20+5×2 2 = 10(吨 /天),∴ 剩余的 20 吨完全售出需要 20÷10=2(天),故该公司这次化肥销售活 动(从开始进货到销售完毕)所用时间是 8+2=10(天). 3. C　 【解析】根据题意,先用水管往铁桶中持续匀速注水, ∴ y1 中从 0 开始,高度与注水时间成正比,当到达 t1 时,铁 桶中水满,所以高度不变,y2 表示水池中水面高度,从 0 到 t1 ,长方体水池中没有水,所以高度为 0,t1 到 t2 时注水从 0 开始,又∵ 铁桶底面积小于水池底面积的一半,∴ 注水高 度 y2 比 y1 增长的慢,即倾斜程度低,t2 到 t3 时注水底面积 为长方体的底面积,∴ 注水高度 y2 增长的更慢,即倾斜程 度更低,长方体水池有水溢出一会儿为止,∴ t3 到 t4 ,注水 高度 y2 不变. 4. A 5. C　 【解析】根据题意可知,BN=x cm,BM= 3x cm,∵ 四边形 ABCD 为菱形,∠ABC = 60°,∴ ∠DBC = 30°,过点 M 作 MH⊥ BC 于点 H,连接 AC 交 BD 于 O,如解图,则 MH = BM· sin∠MBH= 3 2 x ( cm), ∴ y = S△BMN = 1 2 BN·MH = 3 4 x2 (cm2 ), 设菱形的边长为 a cm, ∴ BD = 2BO = 2BC · 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 3 参考答案与重难题解析·数学4　 二 轮 专 题 培 优 练 答 案 cos∠OBC= 2×a× 3 2 = 3a(cm),∴ BD BC = BM BN ,∴ 点 M 和点 N 同时到达点 D 和点 C,此时△BMN 的面积达到最大值 4 3 ,∴ 3 4 x2 = 4 3 ,解得 x= 4(负值舍去),∴ BC= 4. 第 5 题解图 　 　 第 6 题解图 6. A　 【解析】设点 P 从顶点 A 出发,沿直线运动到三角形内 部一点 O,再从点 O 沿直线运动到顶点 B,结合题图可知, 当点 P 在 AO 上运动时,PB PC = 1,∴ PB =PC,AO = 2 3 ,又∵ △ABC 为等边三角形,∴ ∠BAC = 60°,AB = AC,∵ AP = AP, ∴ △APB≌△APC( SSS),∴ ∠BAO = ∠CAO = 30°,当点 P 在 OB 上运动时,可知点 P 到达点 B 时的路程为 4 3 ,∴ OB= 2 3 ,即 AO =OB = 2 3 ,∴ ∠BAO = ∠ABO = 30°,如解 图,过点 O 作 OD⊥AB,垂足为 D,∴ AD =BD,∴ AD = AO· cos30° = 3,∴ AB= 2AD= 6,即等边三角形 ABC 的边长为 6. 解题通法 分析函数图象解决几何问题的步骤: ①分清函数图象的横、纵坐标代表的量及函数自变量的 取值范围; ②找出分段函数的转折点及函数图象与坐标轴的交点; ③根据②中的特殊点的坐标求出点运动到特殊位置时相 关线段的长度,进而解决问题. 7. A　 【解析】过 D 作 DH⊥AB 于 H,如解图,∵ ∠ABC = 90°, AB= 4,BC= 2,∴ AC = AB2 +BC2 = 2 5 ,∵ S△ABC = 1 2 AB· BC= 1 2 AC · BD, ∴ BD = AB·BC AC = 4×2 2 5 = 4 5 5 , ∴ CD = BC2 -BD2 = 2 5 5 ,∴ AD=AC-CD= 8 5 5 ,∴ DH = AD·BD AB = 8 5 5 ×4 5 5 4 = 8 5 ,∴ S△ADE = 1 2 AE·DH = 1 2 x× 8 5 = 4 5 x,S△BDE = 1 2 BE·DH = 1 2 (4-x) × 8 5 = 16 5 - 4 5 x. ∵ ∠BDE = 90° - ∠BDF= ∠CDF,∠DBE = 90° - ∠CBD = ∠C,∴ △BDE∽ △CDF,∴ S△CDF S△BDE = (CD BD ) 2 = ( 2 5 5 4 5 5 ) 2 = 1 4 ,∴ S△CDF = 1 4 S△BDE = 1 4 ×( 16 5 - 4 5 x)= 4 5 - 1 5 x,∴ y = S△ABC -S△ADE -S△CDF = 1 2 × 2×4- 4 5 x-( 4 5 - 1 5 x)= - 3 5 x+ 16 5 ,∵ - 3 5 <0,∴ y 随 x 的增 大而减小,且 y 与 x 的函数图象为线段(不含端点),观察 各选项图象可知,A 符合题意. 第 7 题解图 8. B　 【解析】∵ ∠C=90°,AC=15,BC=20,∴ AB= AC2+BC2 = 152+202 =25,①当 0≤x≤15 时,点 D 在 AC 边上,如解图 ①,此时 AD = x,∵ ED⊥AB,∴ ∠DEA = 90° = ∠C,∵ ∠CAB = ∠EAD,∴ △CAB∽△EAD,∴ AE AC =AD AB =DE BC ,∴ AE =AC·AD AB = 3x 5 ,DE=BC·AD AB = 4x 5 ,∴ BE= 25- 3x 5 ,∴ y = 1 2 BE·DE = 1 2 × (25-3x 5 )×4x 5 =10x-6x 2 25 ,当 x=10 时,y=76,∴ a=76;②当 15<x ≤35 时,点 D 在 BC 边上,如解图②,此时 BD= 35-x,∵ DE⊥ AB,∴ ∠DEB = 90° = ∠C, ∵ ∠DBE = ∠ABC, ∴ △DBE ∽ △ABC,∴ DB AB = DE AC = BE BC ,∴ BE = BD·BC AB = (35-x)×20 25 = 28- 4x 5 ,DE=BD·AC AB =(35-x)×15 25 = 21- 3x 5 ,∴ y = 1 2 DE·BE= 1 2 ×(28-4x 5 )×(21-3x 5 )= (14- 2x 5 )(21- 3x 5 ),当 x= 25 时,y= 24, ∴ b=24,∴ a-b=76-24=52. 图①　 　 　 　 　 　 　 　 图② 第 8 题解图 9. 解:(1)y1 = 4 3 x(0<x<6),y2 = 6 x (0<x<6); 【解法提示】 ∵ PQ∥BC, ∴ △APQ∽ △ABC, ∴ AP AB = PQ BC , C△ABC C△APQ =AB AP ,∴ x 6 = y1 8 ,y2 = 6 x ,∴ y1 = 4 3 x,∵ 点 P 为 AB 上 一点,∴ y1 = 4 3 x(0<x<6),y2 = 6 x (0<x<6) . (2)画出图象如解图所示, 第 9 题解图 y1 随 x 的增大而增大, y2 随 x 的增大而减小;(y1 ,y2 的性质不唯一) (3)由图象得,当 2. 1<x<6 时,y1 >y2 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 4