专题2 方程与不等式含参问题-【一战成名新中考】2025年中考数学·纯练版总复习·二轮专题培优练

二轮专题培优练·数学 专题二　 方程与不等式含参问题 专 题 二 方 程 与 不 等 式 含 参 问 题 类型 1　 一次方程含参问题 1. 关于 x,y 的二元一次方程(a-1)x+(a+2)y+5-2a= 0,当 a 取一个确定的值时就得到一个方程, 所有这些方程有一个公共解,则这个公共解是 ( D ) A. x= 1, y= 2{ B. x= -3, y= 1{ C. x= 2, y= 0{ D. x= 3, y= -1{ 2. (2023 眉山)已知关于 x,y 的二元一次方程组 3x-y=4m+1, x+y=2m-5{ 的解满足 x-y=4,则m的值为 ( B ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. (2023 泸州)关于 x,y 的二元一次方程组 2x+3y= 3+a, x+2y= 6{ 的解满足 x+y>2 2 ,写出 a 的一个整数值 　 6(答案不唯一) 　 . 4. 已知关于 x,y 的二元一次方程组 x+y= 3n, 2x-y= 6.{ (1)如果该方程组的解互为相反数,求 n 的值及方程组的解; (2)若方程组的解为正数,求 n 的取值范围. 解:(1)依题意得 x+y= 0,∴n= 0, 则有 x+y= 0, 2x-y= 6,{ 解得 x= 2, y=-2;{ (2)解 x+y= 3n, 2x-y= 6{ 得 x=n+2, y= 2n-2.{ 由题意得 n+2>0, 2n-2>0,{ 解得 n>1. 类型 2　 分式方程含参问题 1. (2023 永州)若关于 x 的分式方程 1 x-4 - m 4-x = 1(m 为常数)有增根,则增根是　 x= 4　 . 2. 易错 ∙∙ 　 若关于 x 的方程mx -1 x-1 = 2 无解,则 m 的值为 ( C ) A. 1 B. 1 或 3 C. 1 或 2 D. 2 或 3 3. (2023 牡丹江)若分式方程 a x+2 = 1- 3 x+2 的解为负数,则 a 的取值范围是 ( D ) A. a<-1 且 a≠-2 B. a<0 且 a≠-2 C. a<-2 且 a≠-3 D. a<-1 且 a≠-3 4. (2023 佳木斯)已知关于 x 的分式方程 m x-2 +1 = x 2-x 的解是非负数. 则 m 的取值范围是 ( C ) A. m≤2 B. m≥2 C. m≤2 且 m≠-2 D. m<2 且 m≠-2 5. 若关于 x 的分式方程x -4 x-1 = mx x-1 有正整数解,则整数 m 的值为 ( D ) A. -3 B. 0 C. -1 D. -1 或 0 4 二轮专题培优练·数学 专 题 二 方 程 与 不 等 式 含 参 问 题 类型 3　 不等式含参问题 1. (2024 烟台)关于 x 的不等式 m- x 2 ≤1-x 有正数解,m 的值可以是　 0(答案) 　 (写出一个即可) . 2. 若关于 x 的不等式组 5-3x≥0, x-m≥0{ 有实数解,则实数 m 的取值范围是　 　 　 　 . 3. 若关于 x 的不等式组 4(x-1) >3x-1, 5x>3x+2a{ 的解集为 x>3,则 a 的取值范围是 ( D ) A. a>3 B. a<3 C. a≥3 D. a≤3 4. (2023 眉山)关于 x 的不等式组 x>m+3, 5x-2<4x+1{ 的整数解仅有 4 个,则 m 的取值范围是 ( A ) A. -5≤m<-4 B. -5<m≤-4 C. -4≤m<-3 D. -4<m≤-3 5. 若关于 x 的不等式组 2x+1>x+a, x+1≤6{ 所有整数解的和为12,则 a 的取值范围是　 -2≤a<-1 或 3≤a<4　 . 6. (2024 重庆 B 卷)若关于 x 的一元一次不等式组 2x+1 3 ≤3, 4x-2<3x+a ì î í ï ï ïï 的解集为 x≤4,且关于 y 的分式方程 a-8 y+2 - y y+2 = 1 的解均为负整数,则所有满足条件的整数 a 的值之和是　 　 　 　 . 7. 若数 m 使关于 y 的不等式组 2y+1>0, 2(y+2m)≤5m{ 至少有三个整数解,且使关于 x 的分式方程 8-mx 2-x - 2 = x x-2 有整数解,求所有满足条件的整数 m 的值的和. 解:不等式组 2y+1>0, 2(y+2m)≤5m{ 的解集为- 1 2 <y≤ 1 2 m, ∵关于 y 的不等式组 2y+1>0, 2(y+2m)≤5m{ 至少有三个整数解,即 y 取 0,1,2, ∴ 1 2 m≥2,∴m≥4. 分式方程 8-mx 2-x -2= x x-2 的解为 x= 4 m-3 , ∵关于 x 的分式方程8 -mx 2-x -2= x x-2 有可能产生增根 2, ∴ 4 m-3 ≠2,∴m≠5. ∵关于 x 的分式方程8 -mx 2-x -2= x x-2 有整数解, ∴ 4 m-3 为整数,且 m≥4,m≠5,∴m= 4 或 7. ∴所有满足条件的整数 m 的值的和为 4+7= 11. 5 参考答案与重难题解析·数学2　 二 轮 专 题 培 优 练 答 案 ①若 x,y 均为偶数,设 x = 2k,y = 2m,其中 k,m 均为自 然数, 则 x2 -y2 = (2k) 2 -(2m) 2 = 4(k2 -m2 )为 4 的倍数, 而 4n-2 不是 4 的倍数,矛盾,故 x,y 不可能均为偶数; ②若 x,y 均为奇数,设 x = 2k+1,y = 2m+1,其中 k,m 均为 自然数, 则 x2 -y2 = (2k+ 1) 2 -( 2m+ 1) 2 = 4( k2 -m2 +k-m) 为 4 的 倍数, 而 4n-2 不是 4 的倍数,矛盾,故 x,y 不可能均为奇数, ③若 x,y 一个是奇数一个是偶数,则 x2 -y2 为奇数, 而 4n-2 是偶数,矛盾,故 x,y 不可能一个是奇数一个是 偶数, 由①②③可知,形如 4n-2(n 为正整数)的正整数 N 不能 表示为 x2 -y2(x,y 均为自然数) . 9. (1)证明:解法一:∵ 3m+n= b a ,mn= c a , ∴ b=a(3m+n),c=amn, 则 b2 -12ac = [a(3m+n)] 2 -12a2mn =a2(9m2 +6mn+n2 )-12a2mn =a2(9m2 -6mn+n2 ) =a2 (3m-n) 2 , ∵ a,m,n 是实数, ∴ a2 (3m-n) 2 ≥0, ∴ b2 -12ac 为非负数; 多解法 解法二:∵ 3m+n= b a ,mn= c a , ∴ -(3m+n)= - b a ,3mn= 3c a , ∴ x1 = -3m 和 x2 = -n 是关于 x 的一元二次方程 ax 2 +bx+3c = 0 的根, ∴ b2 -12ac≥0, ∴ b2 -12ac 为非负数. (2)解:m,n 不可能都为整数. 理由:若 m,n 都为整数,其可能情况有:①m,n 都为奇数; ②m,n 中至少有一个为偶数. ①当 m,n 都为奇数时,则 3m+n 必为偶数, 又∵ 3m+n= b a , ∴ b=a(3m+n), ∵ a 为奇数, ∴ a(3m+n) 必为偶数,这与 b 为奇数矛盾; ②当 m,n 中至少有一个为偶数时,则 mn 必为偶数, 又∵ mn= c a , ∴ c=amn, ∵ a 为奇数, ∴ amn 必为偶数,这与 c 为奇数矛盾; 综上所述,m,n 不可能都为整数. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 专题二　 方程与不等式含参问题 类型 1　 一次方程含参问题 1. D　 【解析】∵ (a-1)x+(a+2)y+5-2a= 0,∴ ax-x+ay+2y+ 5-2a= 0,∴ (x+y-2)a = x-2y-5,∴ 所有这些方程的公共 解与关于 x,y 的二元一次方程组 x+y-2 = 0, x-2y-5 = 0{ 的解相同,∴ 这个公共解是 x= 3, y= -1.{ 2. B 　 【 解 析 】 ∵ 关 于 x、 y 的 二 元 一 次 方 程 组 为 3x-y= 4m+1①, x+y= 2m-5②,{ ①-②,得 2x- 2y = 2m+ 6,∴ x-y = m+ 3, ∵ x-y= 4,∴ m+3 = 4,∴ m= 1. 3. 6(答案不唯一)　 【解析】 2x+3y= 3+a①, x+2y= 6②,{ ①-②得,x+y = a-3. ∵ x+y>2 2 ,∴ a-3>2 2 ,解得 a>2 2 +3. ∵ 4 < 8 < 9 ,∴ 2<2 2 <3,∴ 5<2 2 + 3< 6,∵ a 取整数值,∴ a 可取 大于 5 的所有整数. 4. 解:(1)依题意得 x+y= 0,∴ n= 0, 则有 x+y= 0, 2x-y= 6,{ 解得 x= 2, y= -2;{ (2)解 x+y= 3n, 2x-y= 6{ 得 x=n+2, y= 2n-2,{ 由题意得 n+2>0, 2n-2>0,{ 解得 n>1. 类型 2　 分式方程含参问题 1. x= 4　 【解析】∵ 关于 x 的分式方程 1 x-4 - m 4-x = 1(m 为常 数)有增根,∴ x-4 = 0,∴ x= 4. 2. C 　 【解析 】 由 题 意, 去 分 母 得, mx - 1 = 2 ( x - 1 ), ∴ (m-2)x= -1. ①当 m-2 = 0 时,即当 m = 2 时,0×x = -1, ∴ 此方程无解,∴ 分式方程mx -1 x-1 = 2 也无解,符合题意. ② 当 m-2≠0 时,x = -1 m-2 . 而此时分式方程mx -1 x-1 = 2 无解, ∴ -1 m-2 -1 = 0,∴ m= 1. 检验:将 m = 1 代入 m-2,得 m-2 = -1≠0,符合题意. 综上,满足题意的 m 的值为 1 或 2. 避坑神招 遇“含参分式方程无解”,要分类讨论,分式化为整式方程后, ①整式方程无解;②整式方程的解是原分式方程的增根. 3. D　 【解析】方程两侧同乘(x+2)得,a = x+2-3,∴ x = a+1, ∵ 解为负数,∴ a+1<0,即 a<-1,要使分式有意义,x≠-2, 即 a+1≠-2,∴ a≠-3. 4. C　 【解析】去分母得,m+x-2 = -x,解得 x = 2 -m 2 ,由分式方 程的解是非负数,得到2 -m 2 ≥0,且2 -m 2 - 2≠0,解得 m≤2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 2 参考答案与重难题解析·数学 3　 二 轮 专 题 培 优 练 答 案 且 m≠-2. 5. D　 【解析】原方程去分母,得 x-4 =mx,解得 x = 4 1-m ,∵ 分 式方程有正整数解且 x≠1,∴ 1-m= 1 或 1-m= 2,解得 m= 0 或 m= -1. 类型 3　 不等式含参问题 1. 0(答案不唯一)　 【解析】原不等式整理得: 1 2 x≤1-m,解 得 x≤2-2m,∵ 原不等式有正数解,∴ 2-2m>0,解得 m<1, 则 m 的值可以是 0. 2. m≤ 5 3 　 【解析】 5-3x≥0①, x-m≥0②,{ 由①得 x≤ 5 3 ,由②得 x≥ m,∵ 不等式组有实数解,∴ m≤ 5 3 . 3. D 思维构建 ①把 a 当作常数; ②分别解不等式组中的两个不等式可得 x>3,x>a; ③根据“大大取较大”可知,当 a<3 时,不等式组的解集是 x>3;当 a= 3 时,不等式的解集是 x>3(或 x>a);当 a>3 时,不等式组的解集是 x>a. 【解析】 4(x-1)>3x-1①, 5x>3x+2a②,{ 解不等式①得 x>3,解不等式② 得 x>a,∵ 不等式组的解集是 x>3,∴ a≤3. 4. A　 【解析】解不等式组得 m+3<x<3,由题意得-2≤m+3< -1,解得-5≤m<-4. 5. -2≤a<-1 或 3≤a<4　 【解析】 2x+1>x+a①, x+1≤6②,{ 解①得 x>a -1,解②得 x≤5,∵ 不等式组所有整数解的和为 12,∴ 不 等式组所有整数解为 5、4、3、2,1,0,-1,-2 或 5,4,3,当不 等式组所有整数解为 5,4,3,2,1,0,-1,-2 时,-3≤a-1< -2,解得-2≤a<-1;当不等式组所有整数解为 5、4、3 时, 2≤a-1<3,解得3≤a<4. 6. 12　 【解析】 2x+1 3 ≤3①, 4x-2<3x+a②, { 解不等式①,得 x≤4,解不等 式②,得 x<a+2,由题意得 a+2>4,解得 a>2;解方程a -8 y+2 - y y+2 = 1 得,y=a -10 2 ,当 a= 8 时,y= 8 -10 2 = -1;当 a= 6 时,y = 6-10 2 = -2(不合题意,舍去);当 a = 4 时,y = 4 -10 2 = - 3, ∴ 符合条件的 a 有 8,4,∴ 8+4 = 12,即所有满足条件的整 数 a 的值之和是 12. 7. 解:不等式组 2y+1>0, 2(y+2m)≤5m{ 的解集为- 1 2 <y≤ 1 2 m, ∵ 关于 y 的不等式组 2y+1>0, 2(y+2m)≤5m{ 至少有三个整数解, 即 y 取 0,1,2, ∴ 1 2 m≥2, ∴ m≥4. 分式方程 8-mx 2-x -2 = x x-2 的解为 x= 4 m-3 , ∵ 关于 x 的分式方程8 -mx 2-x -2= x x-2 有可能产生增根 2, ∴ 4 m-3 ≠2, ∴ m≠5. ∵ 关于 x 的分式方程8 -mx 2-x -2 = x x-2 有整数解, ∴ 4 m-3 为整数,且 m≥4,m≠5, ∴ m= 4 或 7. ∴ 所有满足条件的整数 m 的值的和为 4+7 = 11. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 专题三　 函数图象的分析、判断与计算 1. C　 【解析】∵ 一个人完成需 12 天,∴ 一人一天的工作量 为 1 12 ,∵ m 个人共同完成需 n 天,∴ 一人一天的工作量为 1 mn ,∵ 每人每天完成的工作量相同,∴ mn = 12. ∴ n = 12 m , ∴ n 是 m 的反比例函数,∴ 选取 6 组数对(m,n),在坐标 系中进行描点,则正确的是 C. 2. 10　 【解析】调进化肥的日进量是 30÷ 6 = 5(吨 /天),当在 第 6 天时,库存化肥应该有 30 吨,在第 8 天时库存化肥为 20 吨,∴ 化肥的日销售量是30 -20+5×2 2 = 10(吨 /天),∴ 剩余的 20 吨完全售出需要 20÷10=2(天),故该公司这次化肥销售活 动(从开始进货到销售完毕)所用时间是 8+2=10(天). 3. C　 【解析】根据题意,先用水管往铁桶中持续匀速注水, ∴ y1 中从 0 开始,高度与注水时间成正比,当到达 t1 时,铁 桶中水满,所以高度不变,y2 表示水池中水面高度,从 0 到 t1 ,长方体水池中没有水,所以高度为 0,t1 到 t2 时注水从 0 开始,又∵ 铁桶底面积小于水池底面积的一半,∴ 注水高 度 y2 比 y1 增长的慢,即倾斜程度低,t2 到 t3 时注水底面积 为长方体的底面积,∴ 注水高度 y2 增长的更慢,即倾斜程 度更低,长方体水池有水溢出一会儿为止,∴ t3 到 t4 ,注水 高度 y2 不变. 4. A 5. C　 【解析】根据题意可知,BN=x cm,BM= 3x cm,∵ 四边形 ABCD 为菱形,∠ABC = 60°,∴ ∠DBC = 30°,过点 M 作 MH⊥ BC 于点 H,连接 AC 交 BD 于 O,如解图,则 MH = BM· sin∠MBH= 3 2 x ( cm), ∴ y = S△BMN = 1 2 BN·MH = 3 4 x2 (cm2 ), 设菱形的边长为 a cm, ∴ BD = 2BO = 2BC · 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 3